Trong bài viết ngày hôm nay, Khoa Cử chúng tôi muốn đem đến cho các bạn một dạng bài rất hay trong chương trình lớp 11 đó chính là xét tính tăng giảm của dãy số lớp 11 đầy đủ và chi tiết cho các bạn tham khảo. Với những thông tin được Khoa cử chúng tôi chia sẽ về bài tập xét tính tăng giảm của dãy số bên dưới đây hy vọng sẽ hỗ trợ cho bạn học tốt môn Toán Đại lớp 11 nhé!
I. CÁCH GIẢI
Dãy số $\left( {{u}_{n}} \right)$ được gọi là dãy số tăng nếu ta có ${{u}_{n+1}}>{{u}_{n}}$ với mọi $n\in {{\mathbb{N}}^{*}}.$
Dãy số $\left( {{u}_{n}} \right)$ được gọi là dãy số giảm nếu ta có ${{u}_{n+1}}<{{u}_{n}}$ với mọi $n\in {{\mathbb{N}}^{*}}.$
Chú ý: Không phải mọi dãy số đều tăng hoặc giảm. Chẳng hạn, dãy số $\left( {{u}_{n}} \right)$ với ${{u}_{n}}={{\left( -3 \right)}^{n}}$ tức là dãy $-3,9,-27,81,…$ không tăng cũng không giảm.
Phương pháp giải.
Cách 1: Xét hiệu ${{u}_{n+1}}-{{u}_{n}}$
- Nếu ${{u}_{n+1}}-{{u}_{n}}>0\ \forall n\in {{\mathbb{N}}^{*}}$thì $({{u}_{n}})$ là dãy số tăng.
- Nếu ${{u}_{n+1}}-{{u}_{n}}<0\ \forall n\in {{\mathbb{N}}^{*}}$ thì $({{u}_{n}})$ là dãy số giảm.
Cách 2: Khi ${{u}_{n}}>0\ \forall n\in {{\mathbb{N}}^{*}}$ ta xét tỉ số $\frac{{{u}_{n+1}}}{{{u}_{n}}}$
- Nếu $\frac{{{u}_{n+1}}}{{{u}_{n}}}>1$ thì $({{u}_{n}})$ là dãy số tăng.
- Nếu $\frac{{{u}_{n+1}}}{{{u}_{n}}}<1$ thì $({{u}_{n}})$ là dãy số giảm.
Cách 3: Nếu dãy số $({{u}_{n}})$được cho bởi một hệ thức truy hồi thì ta có thể sử dụng phương pháp quy nạp để chứng minh ${{u}_{n+1}}>{{u}_{n}}\ \forall n\in {{\mathbb{N}}^{*}}$ (hoặc ${{u}_{n+1}}<{{u}_{n}}\ \forall n\in {{\mathbb{N}}^{*}}$)
* Công thức giải nhanh một số dạng toán về dãy số
Dãy số $({{u}_{n}})$có ${{u}_{n}}=an+b$tăng khi $a>0$và giảm khi $a<0$
Dãy số $({{u}_{n}})$có ${{u}_{n}}={{q}^{n}}$
- Không tăng, không giảm khi $q<0$
- Giảm khi $0<q<1$
- Tăng khi $q>1$
Dãy số $({{u}_{n}})$có ${{u}_{n}}=\frac{an+b}{cn+d}$ với điều kiện $\text{cn}+\text{d}>0\ \forall n\in {{\mathbb{N}}^{*}}$
- Tăng khi $ad-bc>0$
- Giảm khi $ad-bc<0$
Dãy số đan dấu cũng là dãy số không tăng, không giảm
Nếu dãy số $({{u}_{n}})$tăng hoặc giảm thì dãy số $\left( {{q}^{n}}.{{u}_{n}} \right)$ (với $q<0$) không tăng, không giảm
Dãy số $({{u}_{n}})$có ${{u}_{n+1}}=a{{u}_{n}}+b$ tăng nếu $\left\{ \begin{align} & a>0 \\ & {{u}_{2}}-{{u}_{1}}>0 \\\end{align} \right.$ ; giảm nếu $\left\{ \begin{align} & a>0 \\ & {{u}_{2}}-{{u}_{1}}<0 \\\end{align} \right.$và không tăng không giảm nếu $a<0$
Dãy số $({{u}_{n}})$có $\left\{ \begin{align} & {{u}_{n+1}}=\frac{a{{u}_{n}}+b}{c{{u}_{n}}+d} \\ & c,d>0,{{u}_{n}}>0\ \forall n\in {{\mathbb{N}}^{*}} \\\end{align} \right.$tăng nếu $\left\{ \begin{align} & ad-bc>0 \\ & {{u}_{2}}-{{u}_{1}}>0 \\\end{align} \right.$và giảm nếu $\left\{ \begin{align} & ad-bc>0 \\ & {{u}_{2}}-{{u}_{1}}<0 \\\end{align} \right.$
Dãy số $({{u}_{n}})$có $\left\{ \begin{align} & {{u}_{n+1}}=\frac{a{{u}_{n}}+b}{c{{u}_{n}}+d} \\ & c,d>0,{{u}_{n}}>0\ \forall n\in {{\mathbb{N}}^{*}} \\\end{align} \right.$không tăng không giảm nếu $ad-bc<0$
| Nếu $\left\{ \begin{align} & ({{u}_{n}})\uparrow \\ & ({{v}_{n}})\uparrow \\\end{align} \right.$thì dãy số $\left( {{u}_{n}}+{{v}_{n}} \right)\uparrow $ | Nếu $\left\{ \begin{align} & ({{u}_{n}})\downarrow \\ & ({{v}_{n}})\downarrow \\\end{align} \right.$thì dãy số $\left( {{u}_{n}}+{{v}_{n}} \right)\downarrow $ |
| Nếu $\left\{ \begin{align} & ({{u}_{n}})\uparrow ;{{u}_{n}}\ge 0\ \forall n\in {{\mathbb{N}}^{*}} \\ & ({{v}_{n}})\uparrow ;{{v}_{n}}\ge 0\ \forall n\in {{\mathbb{N}}^{*}} \\\end{align} \right.$thì dãy số $\left( {{u}_{n}}.{{v}_{n}} \right)\uparrow $ | Nếu $\left\{ \begin{align} & ({{u}_{n}})\downarrow ;{{u}_{n}}\ge 0\ \forall n\in {{\mathbb{N}}^{*}} \\ & ({{v}_{n}})\downarrow ;{{v}_{n}}\ge 0\ \forall n\in {{\mathbb{N}}^{*}} \\\end{align} \right.$thì dãy số $\left( {{u}_{n}}.{{v}_{n}} \right)\downarrow $ |
| Nếu $({{u}_{n}})\uparrow $ và ${{u}_{n}}\ge 0\ \forall n\in {{\mathbb{N}}^{*}}$ thì dãy số $\left( \sqrt{{{u}_{n}}} \right)\uparrow $
và dãy số $\left( {{({{u}_{n}})}^{m}} \right)\uparrow \forall m\in {{\mathbb{N}}^{*}}$ |
Nếu $({{u}_{n}})\downarrow $ và ${{u}_{n}}\ge 0\ \forall n\in {{\mathbb{N}}^{*}}$ thì dãy số $\left( \sqrt{{{u}_{n}}} \right)\downarrow $ và dãy số $\left( {{({{u}_{n}})}^{m}} \right)\downarrow \forall m\in {{\mathbb{N}}^{*}}$ |
| Nếu $({{u}_{n}})\uparrow $ và ${{u}_{n}}>0\ \forall n\in {{\mathbb{N}}^{*}}$ thì dãy số$\left( \frac{1}{{{u}_{n}}} \right)\downarrow $ | Nếu $({{u}_{n}})\downarrow $ và ${{u}_{n}}>0\ \forall n\in {{\mathbb{N}}^{*}}$ thì dãy số$\left( \frac{1}{{{u}_{n}}} \right)\uparrow $. |
II. BÀI TẬP MẪU
Bài tập 1:
Trong các dãy số $\left( {{u}_{n}} \right)$ cho bởi số hạng tổng quát ${{u}_{n}}$ sau, dãy số nào tăng?
A. ${{u}_{n}}=\frac{n}{{{2}^{n}}}.$ B. ${{u}_{n}}=\frac{n}{2{{n}^{2}}+1}.$ C. ${{u}_{n}}=\frac{{{n}^{2}}+1}{3n+2}.$ D. ${{u}_{n}}={{(-2)}^{n}}\sqrt{{{n}^{2}}-1}.$
Lời giải
Chọn C
Ta xét đáp án A ${{u}_{n}}=\frac{n}{{{2}^{n}}}\Rightarrow \left\{ \begin{align} & {{u}_{1}}=\frac{1}{2} \\ & {{u}_{2}}=\frac{2}{4} \\\end{align} \right.\Rightarrow {{u}_{1}}={{u}_{2}}\Rightarrow $Loại A
Ta xét đáp án B ${{u}_{n}}=\frac{n}{2{{n}^{2}}+1}.\Rightarrow \left\{ \begin{align} & {{u}_{1}}=\frac{1}{3} \\ & {{u}_{2}}=\frac{2}{9} \\\end{align} \right.\Rightarrow {{u}_{1}}>{{u}_{2}}\Rightarrow $ Loại B
Ta xét đáp án C ${{u}_{n}}=\frac{{{n}^{2}}+1}{3n+2}..\Rightarrow \left\{ \begin{align} & {{u}_{1}}=\frac{2}{5}=\frac{16}{40} \\ & {{u}_{2}}=\frac{5}{8}=\frac{25}{40} \\\end{align} \right.\Rightarrow {{u}_{1}}<{{u}_{2}}\Rightarrow $Xét tiếp
Ta xét đáp án D ${{u}_{n}}={{\left( -2 \right)}^{n}}\sqrt{{{n}^{2}}-1}.\Rightarrow \left\{ \begin{align} & {{u}_{1}}=0 \\ & {{u}_{2}}=4\sqrt{3} \\ & {{u}_{3}}=-8\sqrt{8} \\\end{align} \right.\Rightarrow {{u}_{1}}<{{u}_{2}}>{{u}_{3}}\Rightarrow $ Loại D
Có thể dùng Table trong casio để nhập hàm rồi loại trừ với Start 1; End 20; Step 1
Chú ý: Nếu bài này mà giải theo tự luận thì rất dài ta phải xét ${{u}_{n+1}}-{{u}_{n}}$ của 4 dãy số
Bài tập 2:
Trong các dãy số sau, dãy số nào là dãy số giảm
A. ${{u}_{n}}=\frac{n-3}{n+1}$. B. ${{u}_{n}}=\frac{n}{2}$. C. ${{u}_{n}}=\frac{2}{{{n}^{2}}}$. D. ${{u}_{n}}=\frac{{{\left( -1 \right)}^{n}}}{{{3}^{n}}}$.
Lời giải
Xét A:
Ta có ${{u}_{n}}=\frac{n-3}{n+1};$ ${{u}_{n+1}}=\frac{n-2}{n+2}$. Khi đó: ${{u}_{n+1}}-{{u}_{n}}=\frac{n-2}{n+2}-\frac{n-3}{n+1}=\frac{4}{\left( n+1 \right)\left( n+2 \right)}>0$ $\forall n\in \mathbb{N}$
Vậy $\left( {{u}_{n}} \right)$ là dãy số tăng.
Xét B:
Ta có ${{u}_{n}}=\frac{n}{2};$ ${{u}_{n+1}}=\frac{n+1}{2}$. Khi đó: ${{u}_{n+1}}-{{u}_{n}}=\frac{n+1}{2}-\frac{n}{2}=\frac{1}{2}>0$ $\forall n\in \mathbb{N}$
Vậy $\left( {{u}_{n}} \right)$là dãy số tăng.
Xét C:
Ta có ${{u}_{n}}=\frac{2}{{{n}^{2}}}$, ${{u}_{n+1}}=\frac{2}{{{\left( n+1 \right)}^{2}}}$
$\frac{{{u}_{n+1}}}{{{u}_{n}}}=\frac{{{n}^{2}}}{{{\left( n+1 \right)}^{2}}}<\frac{{{n}^{2}}}{{{n}^{2}}}=1,\forall n\in {{\mathbb{N}}^{*}}$. Vậy $\left( {{u}_{n}} \right)$ là dãy giảm.
Xét D:
Ta có ${{u}_{1}}=\frac{-1}{3};$ ${{u}_{2}}=\frac{1}{9};$ ${{u}_{3}}=\frac{-1}{27}$. Vậy $\left( {{u}_{n}} \right)$là dãy số không tăng không giảm.
Bài tập 3:
Trong các dãy số $\left( {{u}_{n}} \right)$ cho bởi số hạng tổng quát ${{u}_{n}}$ sau, dãy số nào là dãy số giảm?
A. ${{u}_{n}}=\sin n.$ B. ${{u}_{n}}=\frac{{{n}^{2}}+1}{n}.$
C. ${{u}_{n}}=\sqrt{n}-\sqrt{n-1}\,.$ D. ${{u}_{n}}={{\left( -1 \right)}^{n}}.\left( {{2}^{n}}+1 \right).$
Lời giải
A. ${{u}_{n}}=\sin n\Rightarrow {{u}_{n+1}}-{{u}_{n}}=2\cos \left( n+\frac{1}{2} \right)\sin \frac{1}{2}$ có thể dương hoặc âm phụ thuộc $n$ nên đáp án A sai. Hoặc dễ thấy $\sin n$ có dấu thay đổi trên ${{\mathbb{N}}^{*}}$ nên dãy $\sin n$ không tăng, không giảm.
B. ${{u}_{n}}=\frac{{{n}^{2}}+1}{n}=n+\frac{1}{n}\Rightarrow {{u}_{n+1}}-{{u}_{n}}=1+\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n}=\frac{{{n}^{2}}+n-1}{n\left( n+1 \right)}>0$ nên dãy đã cho tăng nên B sai.
C. ${{u}_{n}}=\sqrt{n}-\sqrt{n-1}=\frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}},$ dãy $\sqrt{n}+\sqrt{n-1}>0$ là dãy tăng nên suy ra ${{u}_{n}}$ giảm.
Chọn C.
D. ${{u}_{n}}={{\left( -1 \right)}^{n}}\left( {{2}^{n}}+1 \right)$ là dãy thay dấu nên không tăng không giảm.
Cách trắc nghiệm.
A. ${{u}_{n}}=\sin n$ có dấu thay đổi trên ${{\mathbb{N}}^{*}}$ nên dãy này không tăng không giảm.
B. ${{u}_{n}}=\frac{{{n}^{2}}+1}{n}$, ta có $\left\{ \begin{align} & n=1\to {{u}_{1}}=2 \\ & n=2\to {{u}_{2}}=\frac{5}{2} \\\end{align} \right.\xrightarrow{{}}{{u}_{1}}<{{u}_{2}}\xrightarrow{{}}{{u}_{n}}=\frac{{{n}^{2}}+1}{n}$ không giảm.
C. ${{u}_{n}}=\sqrt{n}-\sqrt{n-1}$, ta có $\left\{ \begin{align} & n=1\to {{u}_{1}}=1 \\ & n=2\to {{u}_{2}}=\sqrt{2}-1 \\\end{align} \right.\xrightarrow{{}}{{u}_{1}}>{{u}_{2}}$ nên dự đoán dãy này giảm.
D. ${{u}_{n}}={{\left( -1 \right)}^{n}}\left( {{2}^{n}}+1 \right)$ là dãy thay dấu nên không tăng không giảm.
Cách CASIO.
= Các dãy $\sin n;\,\,{{\left( -1 \right)}^{n}}\left( {{2}^{n}}+1 \right)$ có dấu thay đổi trên ${{\mathbb{N}}^{*}}$ nên các dãy này không tăng không giảm nên loại các đáp án A, D.
= Còn lại các đáp án B, C ta chỉ cần kiểm tra một đáp án bằng chức năng TABLE.
Chẳng hạn kiểm tra đáp án B, ta vào chức năng TABLE nhập $F\left( X \right)=\frac{{{X}^{2}}+1}{X}$ với thiết lập $\text{Start}=1,\text{ End}=10,\text{ Step}=1.$
Nếu thấy cột $F\left( X \right)$ các giá trị tăng thì loại B và chọn C, nếu ngược lại nếu thấy cột $F\left( X \right)$ các giá trị giảm dần thị chọn B và loại C.
Bài tập 4:
Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. Dãy số ${{u}_{n}}=\frac{1}{n}-2$ là dãy tăng. B. Dãy số ${{u}_{n}}={{\left( -1 \right)}^{n}}\left( {{2}^{n}}+1 \right)$ là dãy giảm.
C. Dãy số ${{u}_{n}}=\frac{n-1}{n+1}$ là dãy giảm. D. Dãy số ${{u}_{n}}=2n+\cos \frac{1}{n}$ là dãy tăng.
Lời giải
Xét đáp án A: ${{u}_{n}}=\frac{1}{n}-2\xrightarrow{{}}{{u}_{n+1}}-{{u}_{n}}=\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n}<0\xrightarrow{{}}$loại A.
Xét đáp án B: ${{u}_{n}}={{\left( -1 \right)}^{n}}\left( {{2}^{n}}+1 \right)$ là dãy có dấu thay đổi nên không giảm nên loại B.
Xét đáp án C: ${{u}_{n}}=\frac{n-1}{n+1}=1-\frac{2}{n+1}\xrightarrow{{}}{{u}_{n+1}}-{{u}_{n}}=2\left( \frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2} \right)>0\xrightarrow[{}]{}$loại C.
Xét đáp án D: ${{u}_{n}}=2n+\cos \frac{1}{n}\xrightarrow[{}]{}{{u}_{n+1}}-{{u}_{n}}=\left( 2-\cos \frac{1}{n+1} \right)+\cos \frac{1}{n+2}>0$ nên Chọn D.
Bài tập 5:
Mệnh đề nào sau đây sai?
A. Dãy số ${{u}_{n}}=\frac{1-n}{\sqrt{n}}$là dãy giảm. B. Dãy số ${{u}_{n}}=2{{n}^{2}}-5$là dãy tăng.
C. Dãy số ${{u}_{n}}={{\left( 1+\frac{1}{n} \right)}^{n}}$là dãy giảm. D. Dãy số ${{u}_{n}}=n+{{\sin }^{2}}n$là dãy tăng.
Lời giải
Xét A: ${{u}_{n}}=\frac{1-n}{\sqrt{n}}=\frac{1}{\sqrt{n}}-\sqrt{n}\xrightarrow{{}}{{u}_{n+1}}-{{u}_{n}}=\frac{1}{\sqrt{n+1}}-\frac{1}{\sqrt{n}}+\sqrt{n}-\sqrt{n+1}<0$ nên dãy $\left( {{u}_{n}} \right)$ là dãy giảm nên C đúng.
Xét đáp án B: ${{u}_{n}}=2{{n}^{2}}-5$ là dãy tăng vì ${{n}^{2}}$ là dãy tăng nên B đúng. Hoặc
${{u}_{n+1}}-{{u}_{n}}=2\left( 2n+1 \right)>0$ nên $\left( {{u}_{n}} \right)$ là dãy tăng.
Xét đáp án C: ${{u}_{n}}={{\left( 1+\frac{1}{n} \right)}^{n}}={{\left( \frac{n+1}{n} \right)}^{n}}>0\xrightarrow[{}]{}\frac{{{u}_{n+1}}}{{{u}_{n}}}=\frac{n+2}{n+1}.{{\left( \frac{n+2}{n} \right)}^{n}}>1\xrightarrow{{}}\left( {{u}_{n}} \right)$ là dãy tăng nên Chọn C.
Xét đáp án D: ${{u}_{n}}=n+{{\sin }^{2}}n\xrightarrow{{}}{{u}_{n+1}}-{{u}_{n}}=\left( 1-{{\sin }^{2}}\left( n+1 \right) \right)+{{\sin }^{2}}n>0$ nên D đúng.
Bài tập 6:
Cho dãy số $({{u}_{n}})$biết$({{u}_{n}}):\left\{ \begin{align}& {{u}_{1}}=2 \\& {{u}_{n}}=\frac{3{{u}_{n-1}}+1}{4}\text{ }\forall n\ge 2 \\\end{align} \right.$. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. Dãy số tăng B. Dãy số giảm
C. Dãy số không tăng, không giảm D. Cả A, B đều đúng
Lời giải
Chọn B
(Dãy số này cho bởi công thức truy hồi nên ta làm theo cách 3)
Ta dự đoán dãy số giảm sau đó ta sẽ chứng minh nó giảm
Ta có ${{u}_{n}}-{{u}_{n-1}}=\frac{3{{u}_{n-1}}+1}{4}-{{u}_{n-1}}=\frac{1-{{u}_{n-1}}}{4}$
Do đó, để chứng minh dãy $({{u}_{n}})$giảm ta chứng minh ${{u}_{n}}>1\text{ }\forall n\ge 1$ bằng phương pháp quy nạp toán học. Thật vậy
Với $n=1\Rightarrow {{u}_{1}}=2>1$
Giả sử ${{u}_{k}}>1\Rightarrow {{u}_{k+1}}=\frac{3{{u}_{k}}+1}{4}>\frac{3+1}{4}=1$
Theo nguyên lí quy nạp ta có ${{u}_{n}}>1\text{ }\forall n\ge 1$
Suy ra ${{u}_{n}}-{{u}_{n-1}}<0\Leftrightarrow {{u}_{n}}<{{u}_{n-1}}\text{ }\forall n\ge 2$ hay dãy $({{u}_{n}})$ giảm
Giải nhanh: Dãy $({{u}_{n}})$có dạng ${{u}_{n+1}}=a{{u}_{n}}+b$
Ở đây $a=\frac{3}{4}>0$và ${{u}_{2}}-{{u}_{1}}=\frac{7}{4}-2=-\frac{1}{4}<0$ Suy ra dãy số giảm
Tổng quát ta có thể chứng minh dãy số $({{u}_{n}}):\left\{ \begin{align} & {{u}_{1}}=c>1 \\& {{u}_{n}}=\frac{a{{u}_{n-1}}+b}{a+b}\text{,}\left( \text{a}\text{,b0} \right)\text{ }\forall n\ge 2 \\\end{align} \right.$giảm tương tự như trên.
Bài tập 7:
Trong các dãy số $\left( {{u}_{n}} \right)$ cho bởi số hạng tổng quát ${{u}_{n}}$ sau, dãy số nào tăng?
A. ${{u}_{n}}=\frac{\sin n}{n}.$ B. ${{u}_{n}}=\frac{\sqrt{{{n}^{2}}+1}}{2n+1}.$ C. ${{u}_{n}}=\frac{{{3}^{n}}}{{{n}^{2}}}.$ D. ${{u}_{n}}=4{{n}^{3}}-3{{n}^{2}}+1.$
Lời giải
Chọn D
* Với $n\in \left( k2\pi ;\,\pi +k2\pi \right),\,k\in \mathbb{N}\Rightarrow \sin n>0\Rightarrow \frac{\sin n}{n}>0$
và $n\in \left( \pi +k2\pi ;\,2\pi +k2\pi \right),\,k\in \mathbb{N}\Rightarrow \sin n<0\Rightarrow \frac{\sin n}{n}<0$. Suy ra dãy số trong đáp án A không tăng, không giảm $\to $ loại A
* Ta có ${{{u}_{n}}=\frac{\sqrt{{{n}^{2}}+1}}{2n+1}=\sqrt{\frac{{{n}^{2}}+1}{{{\left( 2n+1 \right)}^{2}}}}}$. Xét dãy $\left( {{v}_{n}} \right)$ với ${{v}_{n}}=\frac{{{n}^{2}}+1}{{{\left( 2n+1 \right)}^{2}}}$
${{v}_{n+1}}-{{v}_{n}}=\frac{{{n}^{2}}+2n+2}{4{{n}^{2}}+12n+9}-\frac{{{n}^{2}}+1}{4{{n}^{2}}+4n+1}=\frac{4{{n}^{2}}-2n-7}{{{\left( 2n+3 \right)}^{2}}{{\left( 2n+1 \right)}^{2}}}$
Do ${{v}_{n+1}}-{{v}_{n}}$ vừa nhận giá trị âm lẫn dương nên dãy số $\left( {{v}_{n}} \right)$không tăng, không giảm$\to $loại B
* ${{u}_{n+1}}-{{u}_{n}}=\frac{{{3.3}^{n}}}{{{\left( n+1 \right)}^{2}}}-\frac{{{3}^{n}}}{{{n}^{2}}}=\frac{{{3}^{n}}\left( 2{{n}^{2}}-2n-1 \right)}{{{\left( n+1 \right)}^{2}}{{n}^{2}}}$. Do ${{u}_{n+1}}-{{u}_{n}}$ nhận giá trị âm lẫn dương nên dãy đã cho không tăng, không giảm $\to $ loại C
* Theo phương pháp loại trừ ta chọn D
Bài tập 8:
Cho dãy số tăng $\left( {{u}_{n}} \right)$với ${{u}_{n}}=\frac{an+3}{bn+1}$, với $a,$ $b$ là hai số thực dương. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. $3b-a<0$. B. $a<3b$. C. $a+3b>0$. D. $a-3b+6>0$.
Lời giải:
Chọn A.
Ta có: ${{u}_{n+1}}-{{u}_{n}}=\frac{a\left( n+1 \right)+3}{b\left( n+1 \right)+1}-\frac{an+3}{bn+1}=\frac{\left( an+a+3 \right)\left( bn+1 \right)-\left( an+3 \right)\left( bn+b+1 \right)}{\left( bn+b+1 \right)\left( bn+1 \right)}$
$=\frac{ab{{n}^{2}}+an+abn+3bn+a+3-\left( ab{{n}^{2}}+abn+an+3bn+3b+3 \right)}{\left( bn+b+1 \right)\left( bn+1 \right)}$
=$\frac{a-3b}{\left( bn+b+1 \right)(bn+1)}$.
Do đó dãy $\left( {{u}_{n}} \right)$ tăng khi $a-3b>0.$ $\Leftrightarrow 3b-a<0$