Trong bài viết ngày hôm nay, Khoa Cử chúng tôi muốn đem đến cho các bạn một dạng toán rất hay trong chương trình toán lớp 11 đó chính là về xét tính đơn điệu của hàm số lượng giác rất đầy đủ và chi tiết cho các bạn tham khảo. Với những thông tin được Khoa cử chúng tôi chia sẽ về xét tính đồng biến nghịch biến của hàm số lượng giác lớp 12 cũng như các dạng bài tập cách xét tính đơn điệu của hàm số lượng giác bên dưới đây hy vọng sẽ hỗ trợ cho bạn học tốt môn Toán Đại lớp 11 nhé!
I. LÝ THUYẾT
Để có thể làm được các hết các dạng bài tập về xét tính đồng biến nghịch biến của hàm số lượng giác trên khoảng lớp 11 một cách dễ dàng nhất thì chúng ta cần phải nắm vững và thật chắc các công thức cũng như tính chất của dạng này như sau:
TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
1. Hàm số $y=\sin x:$
- Đồng biến trên các khoảng $\left( -\frac{\pi }{2}+k2\pi ;\,\,\frac{\pi }{2}+k2\pi \right),\,k\in \mathbb{Z}.$
- Nghịch biến trên các khoảng $\left( \frac{\pi }{2}+k2\pi ;\,\,\frac{3\pi }{2}+k2\pi \right),\,k\in \mathbb{Z}.$
2. Hàm số $y=\cos x:$
- Đồng biến trên các khoảng $\left( -\pi +k2\pi ;\,\,k2\pi \right),\,k\in \mathbb{Z}.$
- Nghịch biến trên các khoảng $\left( k2\pi ;\,\,\pi +k2\pi \right),\,k\in \mathbb{Z}.$
3. Hàm số $y=\tan x$ đồng biến trên các khoảng $\left( -\frac{\pi }{2}+k\pi ;\,\,\frac{\pi }{2}+k\pi \right),\,k\in \mathbb{Z}.$
4. Hàm số $y=\cot x$ nghịch biến trên các khoảng $\left( k\pi ;\,\,\pi +k\pi \right),\,k\in \mathbb{Z}.$
II. BÀI TẬP MẪU
Khi đã nắm chắc được các lý thuyết liên quan đến các dạng đến xét tính đồng biến nghịch biến của hàm số lượng giác trên khoảng thì chúng ta cần phải làm thêm một số bài tập xét tính đơn điệu của hàm số lượng giác lớp 11 để có thể hiểu rõ hơn chương hàm số lượng giác này ngay bên dưới đây:
Bài tập 1:
Khảo sát sự biến thiên của các hàm số sau
a) $y=\operatorname{sinx}$trên $\left( -\frac{\pi }{4};\,\,\,\frac{\pi }{3} \right)$ b) $y=\cos x$ trên $\left( \frac{\pi }{3};\,\,\,\frac{3\pi }{2} \right)$
c) $y=\cot \left( x-\frac{\pi }{6} \right)$ trên $\left( -\frac{3\pi }{4};\,\,\,-\frac{\pi }{2} \right)$ d) $y=\tan \left( x+\frac{\pi }{3} \right)$ trên $\left( -\frac{\pi }{4};\,\,\,\frac{\pi }{2} \right)$
Bài giải
a) $y$ đồng biến trên $\left( -\frac{\pi }{4};\frac{\pi }{3} \right)$ .
b) $y$ nghịch biến trên $\left( \frac{\pi }{3};\pi \right)$ , đồng biến trên $\left( \pi ;\frac{3\pi }{2} \right)$.
c) $x\in \left( -\frac{3\pi }{4};-\frac{\pi }{2} \right)\Rightarrow x-\frac{\pi }{6}\in \left( -\frac{11\pi }{12};-\frac{2\pi }{3} \right)$ . Suy ra $y$ nghịch biến trên $\left( -\frac{3\pi }{4};-\frac{\pi }{2} \right)$.
d) $x\in \left( -\frac{\pi }{4};\frac{\pi }{2} \right)\Rightarrow x+\frac{\pi }{3}\in \left( \frac{\pi }{12};\frac{5\pi }{6} \right)$.
$y$ đồng biến trên $\left( -\frac{\pi }{4};\frac{\pi }{6} \right)$ , nghịch biến trên $\left( \frac{\pi }{6};\frac{\pi }{2} \right)$ và không xác định tại $x=\frac{\pi }{6}$.
Bài tập 2:
Hãy suy nghĩ và chọn ra mệnh đề nào sau đây đúng?
A. Hàm số $y=\sin x$ tuần hoàn với chu kỳ $T=\pi $.
B. Hàm số $y=\sin x$ đồng biến trên $\left( 0;\frac{\pi }{2} \right)$.
C. Hàm số $y=\sin x$ là hàm số chẵn.
D. Đồ thị hàm số $y=\sin x$ có tiệm cận ngang.
Lời giải
Mệnh đề A sai vì hàm số $y=\sin x$ tuần hoàn với chu kỳ $T=2\pi $.
Mệnh đề C sai vì hàm số $y=\sin x$ là hàm số lẻ.
Mệnh đề D sai vì hàm số $y=\sin x$ không có tiệm cận ngang.
Mệnh đề B đúng vì hàm số $y=\sin x$đồng biến trên khoảng $\left( \frac{-\pi }{2}+k2\pi ;\frac{\pi }{2}+k2\pi \right)$.
Do đó, đáp án chính xác ở câu này ta chọn được chính là B.
Bài tập 3:
Xét sự biến thiên của hàm số $y=\tan 2x$ trên một chu kì tuần hoàn. Trong các kết luận sau, kết luận nào đúng?
A. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng $\left( 0;\,\frac{\pi }{4} \right)$ và$\left( \frac{\pi }{4};\,\frac{\pi }{2} \right).$
B. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng $\left( 0;\,\frac{\pi }{4} \right)$và nghịch biến trên khoảng$\left( \frac{\pi }{4};\,\frac{\pi }{2} \right).$
C. Hàm số đã cho luôn đồng biến trên khoảng$\,\,\left( 0;\,\frac{\pi }{2} \right).$
D. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng $\left( 0;\,\frac{\pi }{4} \right)$và đồng biến trên khoảng$\left( \frac{\pi }{4};\,\frac{\pi }{2} \right).$
Lời giải
Tập xác định của hàm số đã cho là $D=\mathbb{R}\backslash \left\{ \frac{\pi }{4}+k\frac{\pi }{2}|\,k\in \mathbb{Z} \right\}.$
Hàm số $y=\tan 2x$ tuần hoàn với chu kì $\frac{\pi }{2},$ dựa vào các phương án A; B; C; D thì ta sẽ xét tính đơn điệu của hàm số trên $\left( 0;\,\frac{\pi }{2} \right)\backslash \left\{ \frac{\pi }{4} \right\}.$
Dựa theo kết quả khảo sát sự biến thiên của hàm số $y=\tan x$ ở phần lý thuyết ta có thể suy ra với hàm số $y=\tan 2x$ đồng biến trên khoảng $\left( 0;\,\frac{\pi }{4} \right)$ và$\left( \frac{\pi }{4};\,\frac{\pi }{2} \right).$
Do đó, đáp án chính xác ở câu này ta chọn được chính là A.
Bài tập 4:
Xét sự biến thiên của hàm số $y=1-\sin x$ trên một chu kì tuần hoàn của nó. Trong các kết luận sau, kết luận nào sai?
A. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng $\left( -\frac{\pi }{2};\,0 \right).$
B. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng $\left( 0;\,\frac{\pi }{2} \right).$
C. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng$\,\,\left( \frac{\pi }{2};\,\pi \right).$
D. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng $\left( \frac{\pi }{2};\,\frac{3\pi }{2} \right).$
Lời giải
Hàm số đã cho tuần hoàn với chu kỳ $2\pi $ và kết hợp với các phương án đề bài thì ta sẽ xét sự biến thiên của hàm số trên $\left[ -\frac{\pi }{2};\,\frac{3\pi }{2} \right].$
Ta có hàm số $y=\sin x:$
* Đồng biến trên khoảng $\left( -\frac{\pi }{2};\,\,\frac{\pi }{2} \right).$
* Nghịch biến trên khoảng $\left( \frac{\pi }{2};\,\,\frac{3\pi }{2} \right).$
Từ đây suy ra hàm số $y=1-\sin x:$
* Nghịch biến trên khoảng $\left( -\frac{\pi }{2};\,\,\frac{\pi }{2} \right).$
* Đồng biến trên khoảng $\left( \frac{\pi }{2};\,\,\frac{3\pi }{2} \right).$
Do đó, đáp án chính xác ở câu này ta chọn được chính là D.
Dưới đây là đồ thị của hàm số $y=1-\sin x$ và hàm số $y=\sin x$trên $\mathbb{R}.$
Bài tập 5:
Cho hàm số $y=4\sin \left( x+\frac{\pi }{6} \right)\cos \left( x-\frac{\pi }{6} \right)-\sin 2x$. Kết luận nào sau đây là đúng về sự biến thiên của hàm số đã cho?
A. Hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng $\left( 0;\frac{\pi }{4} \right)$ và $\left( \frac{3\pi }{4};\pi \right)$.
B. Hàm số đã cho đồng biến trên $\left( 0;\pi \right)$.
C. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng $\left( 0;\frac{3\pi }{4} \right)$.
D. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng $\left( 0;\frac{\pi }{4} \right)$ và nghịch biến trên khoảng$\left( \frac{\pi }{4};\pi \right)$.
Lời giải
Ta có $y=4\sin \left( x+\frac{\pi }{6} \right)\cos \left( x-\frac{\pi }{6} \right)-\sin 2x$ =$2\left( \sin 2x+\sin \frac{\pi }{3} \right)-\sin 2x=\sin 2x+\sqrt{3}$. Xét sự biến thiên của hàm số $y=\sin 2x+\sqrt{3}$,
Xét: Hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng $\left( 0;\frac{\pi }{4} \right)$ và $\left( \frac{3\pi }{4};\pi \right)$, đúng $\Rightarrow $ chọn
Vì: $x\in \left( 0;\frac{\pi }{4} \right)\Rightarrow 2x\in \left( 0;\frac{\pi }{2} \right);x\in \left( \frac{3\pi }{4};\pi \right)\Rightarrow 2x\in \left( \frac{3\pi }{2};2\pi \right)$ nên hàm số$y=\sin x+\sqrt{3}$ đồng biến
Xét: Hàm số đã cho đồng biến trên $\left( 0;\pi \right)$, sai $\Rightarrow $ loại
Vì: $x\in \left( 0;\pi \right)\Rightarrow 2x\in \left( 0;2\pi \right)$ hàm số không thảo mãn luôn đồng biến
Xét: Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng $\left( 0;\frac{3\pi }{4} \right)$,sai $\Rightarrow $ loại
Vì: $x\in \left( 0;\frac{3\pi }{4} \right)\Rightarrow 2x\in \left( 0;\frac{3\pi }{2} \right)$không thảo mãn hàm số luôn nghịch biến
Xét: Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng $\left( 0;\frac{\pi }{4} \right)$, đúng
Và hàm số nghịch biến trên khoảng$\left( \frac{\pi }{4};\pi \right)$, sai
Nên mệnh đề trên sai $\Rightarrow $ loại
Vì: $x\in \left( \frac{\pi }{4};\pi \right)\Rightarrow 2x\in \left( \pi ;2\pi \right)$ không thỏa mãn hàm số luôn nghịch biến
Do đó, đáp án chính xác ở câu này ta chọn được chính là A.
Bài tập 6:
Xét sự biến thiên của hàm số $y=\sin x-\cos x.$ Trong các kết luận sau, kết luận nào đúng?
A. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng $\left( -\frac{\pi }{4};\,\frac{3\pi }{4} \right).$
B. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng $\left( \frac{3\pi }{4};\,\frac{7\pi }{4} \right).$
C. Hàm số đã cho có tập giá trị là$\left[ -1;\,\,1 \right].$
D. Hàm số đã cho luôn nghịch biến trên khoảng $\left( -\frac{\pi }{4};\,\frac{7\pi }{4} \right).$
Lời giải
Ta có $y=\sin x-\cos x=\sqrt{2}sin\left( x-\frac{\pi }{4} \right).$
Từ đây ta có thể loại đáp án C, do tập giá trị của hàm số là $\left[ -\sqrt{2};\,\sqrt{2} \right].$
Hàm số đã cho tuần hoàn với chu kỳ $2\pi $ do vậy ta xét sự biến thiên của hàm số trên đoạn
$\left[ -\frac{\pi }{4};\,\frac{7\pi }{4} \right].$
Ta có:
- Hàm số đồng biến trên khoảng $\left( -\frac{\pi }{4};\,\,\frac{3\pi }{4} \right).$
- Hàm số nghịch biến trên khoảng $\left( \frac{3\pi }{4};\,\,\frac{7\pi }{4} \right).$
Do đó, đáp án chính xác ở câu này ta chọn được chính là A.
Bài tập 7:
Với $x\in \left( 0;\frac{\pi }{4} \right)$, mệnh đề nào sau đây là đúng?
- Cả hai hàm số $y=-\sin 2x$ và $y=-1+\cos 2x$đều nghịch biến.
- Cả hai hàm số $y=-\sin 2x$và $y=-1+\cos 2x$ đều đồng biến.
- Hàm số $y=-\sin 2x$nghịch biến, hàm số $y=-1+\cos 2x$đồng biến.
- Hàm số $y=-\sin 2x$đồng biến, hàm số $y=-1+\cos 2x$nghịch biến.
Lời giải
Ta có $x\in \left( 0;\frac{\pi }{4} \right)\to 2x\in \left( 0;\frac{\pi }{2} \right)$ thuộc góc phần tư thứ I. Do đó
Hàm số $y=\sin 2x$ đồng biến $\xrightarrow{{}}y=-\sin 2x$ nghịch biến.
Hàm số $y=\cos 2x$ nghịch biến $\xrightarrow{{}}y=-1+\cos 2x$ nghịch biến.
Vậy: Cả hai hàm số $y=-\sin 2x$ và $y=-1+\cos 2x$đều nghịch biến. (Đúng).
$\Rightarrow $ Do đó, đáp án chính xác ở câu này ta chọn được chính là A.
Bài tập 8:
Chúng ta hãy cùng nhau xét hai mệnh đề sau:
(I) $\forall x\in \left( \pi ;\frac{3\pi }{2} \right)$: Hàm số $y=\frac{1}{\operatorname{s}\text{inx}}$ giảm.
(II) $\forall x\in \left( \pi ;\frac{3\pi }{2} \right)$: Hàm số $y=\frac{1}{\cos x}$ giảm.
Vậy mệnh đề đúng trong hai mệnh đề trên là:
A. Chỉ (I) đúng. B. Chỉ (II) đúng. C. Cả 2 sai. D. Cả 2 đúng.
Lời giải
Chọn B.
Như bài toán xét xem hàm số tăng hay giảm. Ta lấy ${{x}_{1}}<{{x}_{2}}\in \left( \pi ;\frac{3\pi }{2} \right)$
Lúc này ta có $f\left( {{x}_{2}} \right)-f\left( {{x}_{1}} \right)={{\frac{1}{\operatorname{s}\text{inx}}}_{2}}-\frac{1}{\operatorname{s}\text{in}{{\text{x}}_{\grave{\ }}}}$ $\frac{\operatorname{s}\text{in}{{\text{x}}_{1}}-\operatorname{s}\text{in}{{\text{x}}_{2}}}{\operatorname{s}\text{in}{{\text{x}}_{1}}\operatorname{s}\text{in}{{\text{x}}_{2}}}$
Ta thấy ${{x}_{1}}<{{x}_{2}}\in \left( \pi ;\frac{3\pi }{2} \right)$ thì $\operatorname{s}\text{in}{{\text{x}}_{1}}>\operatorname{s}\text{in}{{\text{x}}_{2}}$ $\Rightarrow \operatorname{s}\text{in}{{\text{x}}_{1}}-\operatorname{s}\text{in}{{\text{x}}_{2}}>0$
$0>\operatorname{s}\text{in}{{\text{x}}_{1}}>\operatorname{s}\text{in}{{\text{x}}_{2}}$ $\Rightarrow \frac{\operatorname{s}\text{in}{{\text{x}}_{1}}-\operatorname{s}\text{in}{{\text{x}}_{2}}}{\operatorname{s}\text{in}{{\text{x}}_{1}}.\operatorname{s}\text{in}{{\text{x}}_{2}}}>0$ $\Rightarrow f\left( {{x}_{1}} \right)<f\left( {{x}_{2}} \right)$. Vậy $y=\frac{1}{\operatorname{s}\text{inx}}$ là hàm tăng.
Tương tự ta có $y=\frac{1}{\cos x}$ là hàm giảm. Vậy I sai, II đúng.
$\Rightarrow $ Như vậy, đáp án chính xác ở câu này ta chọn được chính là B.
Như vậy bên trên là tất cả những thông tin cần thiết về lý thuyết cũng như bài bài tập về xét tính đồng biến nghịch biến của hàm số lượng giác trên khoảng mà các bạn không nên bỏ qua. Nếu như bạn có thắc mắc hay cần hỗ trợ thì đừng ngần ngại mà không liên hệ ngay với chúng tôi để nhận được sự trợ giúp sớm nhất nhé!