Trong bài viết ngày hôm nay, Khoa Cử chúng tôi muốn đem đến cho các bạn một dạng toán rất hay trong chương trình toán lớp 11 đó chính là về xét tính chẵn lẻ của hàm số lượng giác rất đầy đủ và chi tiết cho các bạn tham khảo. Với những thông tin được Khoa cử chúng tôi chia sẽ về xét tính chẵn lẻ của hàm số lượng giác 11 bên dưới đây hy vọng sẽ hỗ trợ cho bạn học tốt môn Toán Đại lớp 11 nhé!
I. LÝ THUYẾT
Để có thể làm được các bài tập về cách xét tính chẵn lẻ của hàm số lượng giác lớp 11 một cách dễ dàng nhất thì chúng ta cần phải nắm vững và thật chắc các công thức cũng như tính chất của dạng này như sau:
Bước 1: Tìm tập xác định $D$ của hàm số, khi đó
$*$ Nếu $D$ là tập đối xứng (tức $\forall x\in D\Rightarrow -x\in D$), thì ta thực hiện tiếp bước 2.
$*$ Nếu $D$ không phải tập đối xứng(tức là $\exists x\in D$ mà $-x\notin D$) thì ta kết luận hàm số không chẵn không lẻ.
Bước 2: Xác định $f\left( -x \right)$:
$*$ Nếu $f\left( -x \right)=f\left( x \right),\forall x\in D$ thì kết luận hàm số là hàm số chẵn.
$*$ Nếu $f\left( -x \right)=-f\left( x \right),\forall x\in D$ thì kết luận hàm số là hàm số lẻ.
$*$ Nếu không thỏa mãn một trong hai điều kiện trên thì kết luận hàm số không chẵn không lẻ.
Các kiến thức đã học về hàm lượng giác cơ bản:
1, Hàm số $y=\sin x$ là hàm số lẻ trên $D=\mathbb{R}$.
2, Hàm số $y=\cos x$ là hàm số chẵn trên $D=\mathbb{R}$.
3, Hàm số $y=\tan x$ là hàm số lẻ trên $D=\mathbb{R}\backslash \left\{ \frac{\pi }{2}+k\pi |k\in \mathbb{Z} \right\}$.
4, Hàm số $y=\cot x$ là hàm số lẻ trên $D=\mathbb{R}\backslash \left\{ k\pi |k\in \mathbb{Z} \right\}$.
II. BÀI TẬP MẪU
Khi đã nắm chắc được các lý thuyết liên quan đến dạng bài tập xét tính chẵn lẻ của hàm số lượng giác 11 thì chúng ta cần phải làm thêm một số bài tập tìm xét tính chẵn lẻ của hàm số lượng giác để có thể hiểu rõ hơn chương hàm số lượng giác này ngay bên dưới đây:
Bài tập 1:
Xét tính chẵn lẻ của các hàm số sau
a) $y=2\cos 3x$ b) $y=x+\operatorname{sinx}$
c) $y=x.\cot x+\cos x$ d) $y={{x}^{2}}+\tan |x|$
Bài giải:
a) Tập xác định $D=\mathbb{R}$.
$y\left( -x \right)=2\cos \left( -3x \right)=2\cos 3x=y\left( x \right)$. Suy ra $y$ là hàm số chẵn.
b) Tập xác định $D=\mathbb{R}$.
$y\left( -x \right)=-x+\sin \left( -x \right)=-\left( x+\sin x \right)=-y\left( x \right)$. Suy ra $y$ là hàm số lẻ.
c) Tập xác định $D=\mathbb{R}\backslash \left\{ k\pi ,k\in \mathbb{Z} \right\}$.
$y\left( -x \right)=-x.\cot \left( -x \right)+\cos \left( -x \right)=x.\cot x+\cos x=y\left( x \right)$. Suy ra $y$ là hàm số chẵn.
d) Tập xác định $D=\mathbb{R}$.
$y\left( -x \right)={{\left( -x \right)}^{2}}+\tan \left| -x \right|={{x}^{2}}+\tan \left| x \right|=y\left( x \right)$. Suy ra $y$ là hàm số chẵn.
Bài tập 2:
Xét tính chẵn lẻ của các hàm số sau
a) $y=2x\sin x.$ b) $y=\cos x+\sin 2x.$
c) $y=\frac{\cos 2x}{x}.$ d) $y={{\tan }^{7}}2x.\sin 5x.$
Lời giải:
a) Tập xác định: $D=\mathbb{R}$ là tập đối xứng do đó $\forall x\in D\Rightarrow -x\in D\,\,\,\left( 1 \right).$
Đặt $y=f\left( x \right)=2x\sin x.$
NX: $\forall x\in D$, $f\left( -x \right)=2\left( -x \right)\sin \left( -x \right)=2x\sin x=f\left( x \right)\,\,\,\left( 2 \right).$
Từ $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$ ta kết luận hàm số đã cho là hàm số chẵn.
b) Tập xác định: $D=\mathbb{R}$ là tập đối xứng do đó $\forall x\in D\Rightarrow -x\in D\,.$
Đặt $y=f\left( x \right)=\cos x+\sin 2x.$
Xét $x=\frac{\pi }{3}\in D\,\Rightarrow \,-x=-\frac{\pi }{3}\in D$.
$f\left( \frac{\pi }{3} \right)=c\text{os}\frac{\pi }{3}+\sin \frac{2\pi }{3}=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}$.
$f\left( -\frac{\pi }{3} \right)=c\text{os}\left( -\frac{\pi }{3} \right)+\sin \left( -\frac{2\pi }{3} \right)=\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}$.
Ta thấy $f\left( \frac{\pi }{3} \right)\ne f\left( -\frac{\pi }{3} \right)$ nên hàm số đã cho không là hàm số chẵn
Và $-f\left( \frac{\pi }{3} \right)\ne f\left( -\frac{\pi }{3} \right)$ nên hàm số đã cho không là hàm số lẻ.
c) Tập xác định: $D=\mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}$là tập đối xứng do đó$\forall x\in D\Rightarrow -x\in D\,.$
Đặt $y=f\left( x \right)=\frac{\cos 2x}{x}.$
Ta có $\forall x\in D$: $f\left( -x \right)=\frac{\text{cos}\left( -2x \right)}{-x}=-\frac{\text{cos}\left( 2x \right)}{x}=-f\left( x \right).$
Do đó hàm số đã cho là hàm số lẻ.
d) Tập xác định: $D=\mathbb{R}\backslash \left\{ \frac{\pi }{4}+\frac{k\pi }{2}|k\in \mathbb{Z} \right\}$là tập đối xứng do đó $\forall x\in D\Rightarrow -x\in D\,.$
Đặt $y=f\left( x \right)={{\tan }^{7}}2x.\sin 5x.$
Ta có $\forall x\in D$: $f\left( -x \right)={{\tan }^{7}}\left( -2x \right)\sin \left( -5x \right)={{\tan }^{7}}\left( 2x \right)\sin \left( 5x \right)=f\left( x \right).$
Do đó hàm số đã cho là hàm số chẵn.
Chú ý: Đôi khi người ta còn phát biểu bài toán dưới dạng:
Với câu a) Chứng minh đồ thị hàm số $y=2x\sin x$ nhận trục tung làm trục đối xứng.
Với câu c) Chứng minh đồ thị hàm số nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng
Bài tập 3:
Các hàm số sau chẵn hay lẻ, vì sao?
a) $y=\left| x \right|\sin x$ b)$y=\frac{\tan x-\sin x}{2+\cos x+{{\cot }^{2}}x}$
c)$y=\frac{\cos x+{{x}^{2}}-1}{{{\sin }^{4}}x}$ d)$y=\frac{{{\sin }^{4}}x+1}{2+{{\cos }^{6}}x}$
Lời giải:
a) $y=f\left( x \right)=\left| x \right|\sin x$
Tập xác định của hàm số là $D=\mathbb{R}$
Ta có:
+ $\forall x\in D\Rightarrow -x\in D$
+ $f\left( -x \right)=\left| -x \right|\sin \left( -x \right)=-\left| x \right|\sin x=-f\left( x \right),\forall x\in D$
Vậy hàm số đã cho là hàm số lẻ.
b)$y=f\left( x \right)=\frac{\tan x-\sin x}{2+\cos x+{{\cot }^{2}}x}$
Tập xác định của hàm số là $D=\mathbb{R}\backslash \left\{ k\frac{\pi }{2},k\in \mathbb{Z} \right\}$
+ $\forall x\in D\Rightarrow -x\in D$
+ $f\left( -x \right)=\frac{\tan \left( -x \right)-\sin \left( -x \right)}{2+\cos \left( -x \right)+{{\cot }^{2}}\left( -x \right)}=\frac{-\tan x+\sin x}{2+\cos x+{{\cot }^{2}}x}=-f\left( x \right),\forall x\in D$
Vậy hàm số đã cho là hàm số lẻ.
c)$y=f\left( x \right)=\frac{\cos x+{{x}^{2}}-1}{{{\sin }^{4}}x}$
Tập xác định của hàm số là $D=\mathbb{R}\backslash \left\{ k\pi ,k\in \mathbb{Z} \right\}$
+ $\forall x\in D\Rightarrow -x\in D$
+ $f\left( -x \right)=\frac{\cos \left( -x \right)+{{\left( -x \right)}^{2}}-1}{{{\sin }^{4}}\left( -x \right)}=\frac{\cos x+{{x}^{2}}-1}{{{\sin }^{4}}x}=f\left( x \right),\forall x\in D$
Vậy hàm số đã cho là hàm số chẵn.
d)$y=f\left( x \right)=\frac{{{\sin }^{4}}x+1}{2+{{\cos }^{6}}x}$
Tập xác định của hàm số là $D=\mathbb{R}$
+ $\forall x\in D\Rightarrow -x\in D$
+ $f\left( -x \right)=\frac{{{\sin }^{4}}\left( -x \right)+1}{2+{{\cos }^{6}}\left( -x \right)}=\frac{{{\sin }^{4}}x+1}{2+{{\cos }^{6}}x}=f\left( x \right),\forall x\in D$
Vậy hàm số đã cho là hàm số chẵn.
Bài tập 4:
Xét tính chẵn lẻ của các hàm số sau
a) $y=f\left( x \right)=\tan x+\cot x$ b) $y=f\left( x \right)=\sin \left( 2x+\frac{9\pi }{2} \right)$
c) $f\left( x \right)=\frac{{{\sin }^{2020n}}x+2020}{\cos x},\,n\in \mathbb{Z}$
Lời giải:
a) Tập xác định: $D=\mathbb{R}\backslash \left\{ \frac{k\pi }{2}|k\in \mathbb{Z} \right\}$là tập đối xứng do đó $\forall x\in D\Rightarrow -x\in D\,.$
Ta có $\forall x\in D$:
Do đó hàm số đã cho là hàm số lẻ.
b) Tập xác định: $D=\mathbb{R}$ là tập đối xứng do đó $\forall x\in D\Rightarrow -x\in D\,.$
NX: $f\left( x \right)=\sin \left( 2x+\frac{9\pi }{2} \right)=\sin \left( 2x+\frac{\pi }{2} \right)=c\text{os}\left( 2x \right).$
Ta có $\forall x\in D$: $f\left( -x \right)=c\text{os}\left( -2x \right)=\cos \left( 2x \right)=f\left( x \right).$
Do đó hàm số đã cho là hàm số chẵn.
c) Tập xác định: $D=\mathbb{R}\backslash \left\{ \frac{\pi }{2}+k\pi |k\in \mathbb{Z} \right\}$là tập đối xứng do đó $\forall x\in D\Rightarrow -x\in D\,.$
+ NX: ${{\sin }^{2020n}}\left( -x \right)={{\left( -\sin x \right)}^{2020n}}={{\sin }^{2020n}}\left( x \right),\,\,\forall n\in \mathbb{Z}\backslash \left\{ 0 \right\}$
Do đó $\forall x\in D$: $f\left( -x \right)=\frac{{{\sin }^{2020n}}\left( -x \right)+2020}{\cos \left( -x \right)}=\frac{{{\sin }^{2020n}}\left( x \right)+2020}{\cos \left( x \right)}=f\left( x \right).$
Suy ra hàm số là hàm số chẵn $\forall n\in \mathbb{Z}\backslash \left\{ 0 \right\}$.
+ Với $n=0$ thì ${{\sin }^{2020n}}\left( x \right)=1$. Do đó $\forall x\in D$: $f\left( -x \right)=\frac{2021}{\cos \left( -x \right)}=\frac{2021}{\cos \left( x \right)}=f\left( x \right).$
Suy ra hàm số là hàm số chẵn với $n=0$.
Bài tập 5:
Vậy hàm số đã cho là hàm số chẵn $\forall n\in \mathbb{Z}$.
Xác định tất cả các giá trị của tham số $m$ để hàm số $y=f\left( x \right)=3m\,\sin 4x+\cos 2x$ là hàm chẵn.
Lời giải:
– Tập xác định: $D=\mathbb{R}$ là tập đối xứng do đó $\forall x\in D\Rightarrow -x\in D\,.$
– Để hàm số đã cho là hàm số chẵn thì $f\left( -x \right)=f\left( x \right),\,\,\forall x\in D.$
$\Leftrightarrow 3m\,\sin \left( -4x \right)+\cos \left( -2x \right)=3m\,\sin 4x+\cos 2x,\,\,\forall x\in D$
$\Leftrightarrow -3m\,\sin \left( 4x \right)+\cos \left( 2x \right)=3m\,\sin 4x+\cos 2x,\,\,\forall x\in D$
$\Leftrightarrow 6m\,\sin \left( 4x \right)=0,\,\,\forall x\in D$
$\Leftrightarrow m\,=0.$
Bài tập 6:
Đồ thị hàm số nào sau đây không có trục đối xứng?
A. $y=f\left( x \right)=\left\{ \begin{align}& 1\text{ khi }x\le 0 \\ & \cos x\text{ khi }x>0 \\ \end{align} \right.$. B. $y=f\left( x \right)={{\tan }^{2}}3x$. C. $y=f\left( x \right)=\cos 3x$. D. $y=f\left( x \right)={{x}^{2}}+5x-2$.
Lời giải:
Các hàm số $y=f\left( x \right)={{\tan }^{2}}3x$; $y=f\left( x \right)=\cos 3x$ thỏa mãn điều kiện $f\left( -x \right)=f\left( x \right),\forall x\in \mathbb{R}$ nên nó là các hàm số chẵn trên các tập số thực. Do đó, đồ thị nhận trục tung làm trục đối xứng.
Hàm số $y=f\left( x \right)={{x}^{2}}+5x-2$ có trục đối xứng là $x=-\frac{5}{2}$.
Vậy đồ thị hàm số $y=f\left( x \right)=\left\{ \begin{align}& 1\text{ khi }x\le 0 \\& \cos x\text{ khi }x>0 \\\end{align} \right.$ không có trục đối xứng.
Do đó, đáp án chính xác ta chọn ở câu này là A.
Bài tập 7:
Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số chẵn?
A. $y=\sin 2x$. B. $y=x\cos x$. C. $y=\cos x.\cot x$. D. $y=\frac{\tan x}{\sin x}$
Lời giải:
Xét hàm số $y=f\left( x \right)=\sin 2x.$
TXĐ: $\text{D}=\mathbb{R}$. Do đó $\forall x\in \text{D}\Rightarrow -x\in \text{D}\text{.}$
Ta có $f\left( -x \right)=\sin \left( -2x \right)=-\sin 2x=-f\left( x \right)$$\xrightarrow{{}}f\left( x \right)$ là hàm số lẻ.
Xét hàm số $y=f\left( x \right)=x\cos x.$
TXĐ: $\text{D}=\mathbb{R}$. Do đó $\forall x\in \text{D}\Rightarrow -x\in \text{D}\text{.}$
Ta có $f\left( -x \right)=\left( -\,x \right).\cos \left( -\,x \right)=-\,x\cos x=-f\left( x \right)$$\xrightarrow{{}}f\left( x \right)$ là hàm số lẻ.
Xét hàm số $y=f\left( x \right)=\cos x\cot x.$
TXĐ: $\text{D}=\mathbb{R}\backslash \left\{ k\pi \text{ }\left( k\in \mathbb{Z} \right) \right\}.$ Do đó $\forall x\in \text{D}\Rightarrow -x\in \text{D}\text{.}$
Ta có $f\left( -x \right)=\cos \left( -\,x \right).\cot \left( -\,x \right)=-\,\cos x\cot x=-f\left( x \right)$$\xrightarrow{{}}f\left( x \right)$ là hàm số lẻ.
Xét hàm số $y=f\left( x \right)=\frac{\tan x}{\sin x}.$
TXĐ: $\text{D}=\mathbb{R}\backslash \left\{ k\frac{\pi }{2}\text{ }\left( k\in \mathbb{Z} \right) \right\}.$ Do đó $\forall x\in \text{D}\Rightarrow -x\in \text{D}\text{.}$
Ta có $f\left( -x \right)=\frac{\tan \left( -\,x \right)}{\sin \left( -\,x \right)}=\frac{-\tan x}{-\sin x}=\frac{\tan x}{\sin x}=f\left( x \right)$$\xrightarrow{{}}f\left( x \right)$ là hàm số chẵn $\Rightarrow $
Do đó, đáp án chính xác ta chọn ở câu này là D.
Bài tập 8:
Cho hai hàm số $f\left( x \right)=\frac{1}{x-3}+3{{\sin }^{2}}x$ và $g\left( x \right)=\sin \sqrt{1-x}$. Kết luận nào sau đây đúng về tính chẵn lẻ của hai hàm số này?
Hai hàm số $f\left( x \right);g\left( x \right)$ là hai hàm số lẻ.
- Hàm số $f\left( x \right)$ là hàm số chẵn; hàm số $f\left( x \right)$ là hàm số lẻ.
- Hàm số $f\left( x \right)$ là hàm số lẻ; hàm số $g\left( x \right)$ là hàm số không chẵn không lẻ.
- Cả hai hàm số $f\left( x \right);g\left( x \right)$ đều là hàm số không chẵn không lẻ.
Lời giải
a, Xét hàm số $f\left( x \right)=\frac{1}{x-3}+3{{\sin }^{2}}x$ có tập xác định là $D=\mathbb{R}\backslash \left\{ 3 \right\}$.
Ta có $x=-3\in D$ nhưng $-x=3\notin D$ nên $D$ không có tính đối xứng. Do đó ta có kết luận hàm số $f\left( x \right)$ không chẵn không lẻ.
b, Xét hàm số $g\left( x \right)=\sin \sqrt{1-x}$ có tập xác định là ${{D}_{2}}=\left[ 1;+\infty \right)$. Dễ thấy ${{D}_{2}}$ không phải là tập đối xứng nên ta kết luận hàm số $g\left( x \right)$ không chẵn không lẻ.
Do đó, đáp án chính xác ta chọn ở câu này là D.
Như vậy bên trên là tất cả những thông tin cần thiết về lý thuyết cũng như bài bài tập về xét tính chẵn lẻ của hàm số lượng giác mà các bạn không nên bỏ qua. Nếu như bạn có thắc mắc hay cần hỗ trợ thì đừng ngần ngại mà không liên hệ ngay với chúng tôi để nhận được sự trợ giúp sớm nhất nhé!