Trong bài viết ngày hôm nay, Khoa Cử chúng tôi muốn đem đến cho các bạn một dạng toán rất hay trong chương trình toán lớp 11 đó chính là về xác suất của biến cố rất đầy đủ và chi tiết cho các bạn tham khảo. Với những thông tin được Khoa cử chúng tôi chia sẽ về biến cố và xác suất của biến cố cũng như bài tập xác suất của biến cố có lời giải bên dưới đây hy vọng sẽ hỗ trợ cho bạn học tốt môn Toán Đại lớp 11 nhé!
I. LÝ THUYẾT
Để có thể làm được bài tập xác suất của biến cố lớp 11 một cách dễ dàng nhất thì chúng ta cần phải nắm vững và thật chắc các công thức cũng như tính chất của dạng này như sau:
Xác suất của biến cố:
Công thức tính xác suất theo quan điểm cổ điển.
- Gọi $T$ là phép thử ngẫu nhiên có không gian mẫu: $\Omega $
- Gọi $A$ là biến cố liên quan tới phép thử $T$ và tập hợp các kết quả thuận lợi cho $A$ là $\Omega _{A}^{{}}$.
- Xác suất để xảy ra biến cố A ký hiệu là: $P_{A}^{{}}=\frac{\left| \Omega _{A}^{{}} \right|}{\left| \Omega \right|}$
- Các tính chất: $0\le P_{A}^{{}}\le 1,\ P_{\Omega }^{{}}=1,\ P_{\varnothing }^{{}}=0$
II. BÀI TẬP MẪU
Khi đã nắm chắc được các lý thuyết liên quan đến các dạng của bài giảng xác suất của biến cố thì chúng ta cần phải làm thêm một sốbài tập xác suất của biến cố có lời giải lớp 11 để có thể hiểu rõ hơn chương cấp tổ hợp, chỉnh hợp và xác suất này ngay bên dưới đây:
Bài tập 1:
Gọi $S$ là tập các số tự nhiên có $4$ chữ số khác nhau được tạo từ tập$E=\left\{ 1;2;3;4;5 \right\}$. Chọn ngẫu nhiên một số từ tập$S$. Tính xác suất để số được chọn là một số chẵn.
A. $\frac{3}{4}$. B. $\frac{2}{5}$. C. $BD$$\frac{3}{5}$. D. $\frac{1}{2}$.
Lời giải
Gọi $A$ là biến cố chọn ngẫu nhiên một số từ tập $S$ sao cho số đó là số chẵn.
Số phần tử không gian mẫu $n\left( \Omega \right)=A_{5}^{4}$
Gọi số có $4$ chữ số khác nhau là số chẵn có dạng $\overline{abcd}$
Chọn $d=\left\{ 2;4 \right\}$ có $2$ cách. Chọn ba số xếp vào ba vị trí $a,b,c$ có $A_{4}^{3}$
Vậy có $2.A_{4}^{3}=48$ số chẵn có $4$ chữ số khác nhau $\Rightarrow n(A)=48\Rightarrow P(A)=\frac{n(A)}{n(\Omega )}=\frac{48}{120}=\frac{2}{5}$.
Do đó, đáp án chính xác ở câu này ta chọn được chính là B.
Bài tập 2:
Cho tập hợp $A=\left\{ 1;2;3;4;5;6 \right\}$. Gọi $B$ là tập hợp các số tự nhiên gồm $4$ chữ số khác nhau được lập từ $A$. Chọn thứ tự $2$ số thuộc tập $B$. Tính xác suất để $2$ số được chọn có đúng một số có mặt chữ số $3$.
A. $\frac{156}{360}$. B. $\frac{160}{359}$. C. $\frac{80}{359}$. D. $\frac{161}{360}$.
Lời giải
Chọn $4$ số khác nhau và xếp có thứ tự từ tập hợp có $6$chữ số, có $A_{6}^{4}=360$số.
Vì vậy số phần tử của không gian mẫu $n\left( \Omega \right)=360.359=129240$.
Trong các số thuộc tập $B$ có $4!C_{5}^{3}=240$ số luôn có mặt chữ số $3$. Và trong tập $B$ có $120$ số không có mặt chữ số 3.
Chọn 2 số thuộc tập $B$ có thứ tự, trong đó có đúng một số có mặt chữ số 3 có
$2!C_{240}^{1}.C_{120}^{1}=57600$cách.
Do đó:$P=\frac{57600}{129240}=\frac{160}{359}$.
Do đó, đáp án chính xác ở câu này ta chọn được chính là B.
Bài tập 3:
Ba bạn A, B, C mỗi bạn viết ngẫu nhiên lên bảng một số tự nhiên thuộc đoạn $\left[ 1;16 \right]$. Xác suất để ba số được viết ra có tổng chia hết cho $3$ bằng.
A. $\frac{683}{2048}$ B. $\frac{1457}{4096}$ C. $\frac{19}{56}$ D. $\frac{77}{512}$
Lời giải
Gọi $3$ số cần viết ra là $a,b,c$. Ta có $n\left( \Omega \right)={{16}^{3}}$.
Phân đoạn $\left[ 1;16 \right]$ ra thành $3$ tập:
$X=\left\{ 3,6,9,12,15 \right\}$là những số chia hết cho $3$ dư $0$, có $5$ số.
$Y=\left\{ 1,4,7,10,13,16 \right\}$là những số chia hết cho $3$ dư $1$, có $6$ số.
$Z=\left\{ 2,5,8,11,14 \right\}$là những số chia hết cho $3$ dư $2$, có $5$ số.
Ta thấy $3$ số $a,b,c$ do A, B, C viết ra có tổng chia hết cho $3$ ứng với $2$ trường hợp sau:
TH1: cả $3$ số $a,b,c$ cùng thuộc một tập, số cách chọn là ${{6}^{3}}+{{5}^{3}}+{{6}^{3}}=466$.
TH2: cả $3$ số $a,b,c$ thuộc ba tập khác nhau, số cách chọn là $3!.5.5.6=900$.
Xác suất cần tìm $P\left( A \right)=\frac{466+900}{{{16}^{3}}}=\frac{683}{2048}$.
Do đó, đáp án chính xác ở câu này ta chọn được chính là A.
Bài tập 4:
Ba bạn $A$, $B$, $C$ mỗi bạn viết ngẫu nhiên lên bảng một số tự nhiên thuộc đoạn $\left[ 1;17 \right]$. Xác suất để ba số được viết ra có tổng chia hết cho 3 bằng
A. $\frac{1637}{4913}$ B. $\frac{1079}{4913}$ C. $\frac{23}{68}$ D. $\frac{1728}{4913}$
Hướng dẫn giải
Ta có $n\left( \Omega \right)={{17}^{3}}$.
Trong các số tự nhiên thuộc đoạn $\left[ 1;17 \right]$ có $5$ số chia hết cho $3$ là $\left\{ 3;6;9;12;15 \right\}$, có $6$ số chia cho $3$ dư $1$ là $\left\{ 1;4;7;10;13;16 \right\}$, có $6$ số chia cho $3$ dư $2$ là $\left\{ 2;5;8;11;14;17 \right\}$.
Để ba số được viết ra có tổng chia hết cho $3$ cần phải xảy ra các trường hợp sau:
TH1. Cả ba số viết ra đều chia hết cho$3$. Trong trường hợp này có: ${{5}^{3}}$ cách viết.
TH2. Cả ba số viết ra đều chia cho $3$ dư $1$. Trong trường hợp này có: ${{6}^{3}}$ cách viết.
TH3. Cả ba số viết ra đều chia cho $3$ dư $2$. Trong trường hợp này có: ${{6}^{3}}$ cách viết.
TH4. Trong ba số được viết ra có $1$ số chia hết cho $3$, có một số chia cho $3$ dư $1$, có một số chia cho $3$ dư $2$. Trong trường hợp này có: $5.6.6.3!$ cách viết.
Vậy xác suất cần tìm là:$p\left( A \right)=\frac{{{5}^{3}}+{{6}^{3}}+{{6}^{3}}+5.6.6.3!}{{{17}^{3}}}$$=\frac{1637}{4913}$.
Do đó, đáp án chính xác ở câu này ta chọn được chính là A.
Bài tập 5:
Cho tập $X=\left\{ 1;2;3;…….;8 \right\}$. Lập từ $X$ số tự nhiên có 8 chữ số đôi một khác nhau. Xác suất để lập được số chia hết cho 1111 là
A. $\frac{A_{8}^{2}A_{6}^{2}A_{4}^{2}}{8!}$. B. $\frac{4!4!}{8!}$.
C. $\frac{C_{8}^{2}C_{6}^{2}C_{4}^{2}}{8!}$. D. $\frac{384}{8!}$.
Lời giải
Không gian mẫu : $\left| \Omega \right|=8!$
Gọi số cần lập có dạng $A=\overline{{{a}_{1}}{{a}_{2}}{{a}_{3}}{{a}_{4}}{{a}_{5}}{{a}_{6}}{{a}_{7}}{{a}_{8}}}\text{ }\text{, }{{a}_{i}}\in X,{{a}_{i}}\ne {{a}_{j}}$ với $i\ne j$.
Nhận xét $X$ có 8 phần tử và tổng các phần tử là 36 nên $A$ chia hết cho 9, do $\left( 9,11 \right)=1$ nên $A$ chia hết cho 9999.
$A=\overline{{{a}_{1}}{{a}_{2}}{{a}_{3}}{{a}_{4}}}{{.10}^{4}}+\overline{{{a}_{5}}{{a}_{6}}{{a}_{7}}{{a}_{8}}}$=$\overline{{{a}_{1}}{{a}_{2}}{{a}_{3}}{{a}_{4}}}.\left( 9999+1 \right)+\overline{{{a}_{5}}{{a}_{6}}{{a}_{7}}{{a}_{8}}}$
$=\overline{{{a}_{1}}{{a}_{2}}{{a}_{3}}{{a}_{4}}}.9999+\overline{{{a}_{1}}{{a}_{2}}{{a}_{3}}{{a}_{4}}}+\overline{{{a}_{5}}{{a}_{6}}{{a}_{7}}{{a}_{8}}}$
Do $A$ chia hết cho 9999 nên $\overline{{{a}_{1}}{{a}_{2}}{{a}_{3}}{{a}_{4}}}+\overline{{{a}_{5}}{{a}_{6}}{{a}_{7}}{{a}_{8}}}$ chia hết cho 9999.
${{a}_{i}}\in X$ nên $\overline{{{a}_{1}}{{a}_{2}}{{a}_{3}}{{a}_{4}}}+\overline{{{a}_{5}}{{a}_{6}}{{a}_{7}}{{a}_{8}}}<2.9999$, từ đó $\overline{{{a}_{1}}{{a}_{2}}{{a}_{3}}{{a}_{4}}}+\overline{{{a}_{5}}{{a}_{6}}{{a}_{7}}{{a}_{8}}}=9999$
Với mỗi cách chọn ${{a}_{i}}$ sẽ có duy nhất cách chọn ${{a}_{i+4}}$ sao cho ${{a}_{i}}+{{a}_{i+4}}=9$ với $i\in \text{ }\!\!\{\!\!\text{ 1}\text{,2}\text{,3}\text{,4 }\!\!\}\!\!\text{ }$.
Chọn ${{a}_{1}}$ có 8 cách, chọn ${{a}_{2}}$ có 6 cách, chọn ${{a}_{3}}$ có 4 cách, chọn ${{a}_{4}}$ có 2 cách.
Do đó, đáp án chính xác ở câu này ta chọn được chính là D.
Bài tập 6:
Gọi $A$ là tập hợp các số tự nhiên có $5$ chữ số đôi một khác nhau. Chọn ngẫu nhiên một số tự nhiên thuộc tập $A$. Tính xác suất để chọn được một số thuộc $A$ và số đó chia hết cho $5$.
A. $P=\frac{11}{27}$. B. $P=\frac{53}{243}$. C. $P=\frac{2}{9}$. D. $P=\frac{17}{81}$.
Lời giải
$A$ là tập hợp các số tự nhiên có $5$ chữ số đôi một khác nhau $\Rightarrow n\left( A \right)=9.A_{9}^{4}=27216$
Chọn ngẫu nhiên một số thuộc tập $A$ có $27216$ cách chọn $\Rightarrow n\left( \Omega \right)=27216$
Gọi $B$ là biến cố “Chọn được một số thuộc $A$ và số đó chia hết cho $5$”
Gọi số chia hết cho $5$ thuộc tập $A$ là $\overline{{{a}_{1}}{{a}_{2}}{{a}_{3}}{{a}_{4}}{{a}_{5}}}$
Trường hợp 1: Chữ số tận cùng là $0$
Có $A_{9}^{4}$ cách chọn $4$ chữ số còn lại.
Trường hợp 2: Chữ số tận cùng là $5$
Chọn chữ số ${{a}_{1}}$ có $8$ cách
Chọn $P=\frac{n\left( B \right)}{n\left( \Omega \right)}=\frac{17}{81}$ chữ số còn lại có $A_{8}^{3}$
$\Rightarrow n\left( B \right)=A_{9}^{4}+8.A_{8}^{3}=5712$.
Vậy $P=\frac{n\left( B \right)}{n\left( \Omega \right)}=\frac{17}{81}$.
Vậy xác suất để lập được số chia hết cho 1111 là: $\frac{8.6.4.2}{8!}=\frac{384}{8!}$.
Do đó, đáp án chính xác ở câu này ta chọn được chính là D.
Bài tập 7:
Ba bạn $A,B,C$ viết ngẫu nhiên lên bảng một số tự nhiên thuộc đoạn $\left[ 1;14 \right]$. Xác suất để ba số được viết ra có tổng chia hết cho 3 bằng
A. $\frac{31}{91}$ B. $\frac{307}{1372}$ C. $\frac{207}{1372}$ D. $\frac{457}{1372}$
Lời giải
Số phần tử không gian mẫu: $n(\Omega )={{14}^{3}}$.
Vì trong 14 số tự nhiên thuộc đoạn $\left[ 1;14 \right]$ có: 5 số chia cho 3 dư 1; 5 số chia cho 3 dư 2; 4 số chia hết cho 3.Để tổng 3 số chia hết cho 3 ta có các trường hợp sau:
TH1: Cả 3 chữ số đều chia hết cho 3 có:${{4}^{3}}$ (cách)
TH2: Cả 3 số chia cho 3 dư 1 có: ${{5}^{3}}$ (cách)
TH3: Cả 3 số chia cho 3 dư 2 có: ${{5}^{3}}$(cách)
TH4: Trong 3 số có một số chia hết cho 3; một số chia cho 3 dư 1; một số chia 3 dư 2 được ba người viết lên bảng nên có: $4.5.5.3!$(cách)
Gọi biến cố E:” Tổng 3 số chia hết cho 3”
Ta có: $n(E)={{4}^{3}}+{{5}^{3}}+{{5}^{3}}+4.5.5.3!=914$.
Vậy xác suất cần tính: $P(E)=\frac{914}{{{14}^{3}}}=\frac{457}{1372}$.
Do đó, đáp án chính xác ở câu này ta chọn được chính là D.
Bài tập 8:
Có 100 tấm thẻ được đánh số từ $801$ đến $900$ (mỗi tấm thẻ được đánh một số khác nhau). Lấy ngẫu nhiên 3 tấm thẻ trong hộp. Tính xác suất để lấy được 3 tấm thẻ có tổng các số ghi trên thẻ là số chia hết cho 3.
A. $\frac{817}{2450}$. B. $\frac{248}{3675}$. C. $\frac{2203}{7350}$. D. $\frac{2179}{7350}$.
Lời giải
Số cách lấy ra 3 tấm thẻ trong 100 tấm thẻ là $C_{100}^{3}=161700$$\Rightarrow n\left( \Omega \right)=161700$.
Trong 100 tấm thẻ từ $801$ đến $900$, số các tấm thẻ chia hết cho 3, chia 3 dư 1, chia 3 dư 2 lần lượt là 34 tấm, 33 tấm, 33 tấm.
Gọi A là biến cố “Lấy được ba tấm thẻ có tổng các số ghi trên thẻ chia hết cho 3”.
Trường hợp 1: Cả ba tấm thẻ lấy ra đều chia hết cho 3.
Số cách lấy là: $C_{34}^{3}=5984$(cách).
Trường hợp 2: Cả ba tấm thẻ lấy ra đều chia 3 dư 1.
Số cách lấy là: $C_{33}^{3}=5456$(cách).
Trường hợp 3: Cả ba tấm thẻ lấy ra đều chia 3 dư 2.
Số cách lấy là: $C_{33}^{3}=5456$ (cách).
Trường hợp 4: Ba tấm thẻ lấy ra có 1 tấm chia hết cho 3; 1 tấm chia 3 dư 1 và 1 tấm chia 3 dư 2.
Số cách lấy là: $34.33.33=37026$ (cách).
Vậy số các trường hợp thuận lợi của biến cố A là: $n\left( A \right)=5984+5456+5456+37026=53922$ (cách).
Xác suất của biến cố A là: $P\left( A \right)=\frac{n\left( A \right)}{n\left( \Omega \right)}=\frac{53922}{161700}=\frac{817}{2450}$.
Do đó, đáp án chính xác ở câu này ta chọn được chính là A.
Như vậy bên trên là tất cả những thông tin cần thiết về các dạng bài tập xác suất của biến cố có lời giải mà các bạn không nên bỏ qua. Nếu như bạn có thắc mắc hay cần hỗ trợ về các dạng toán tổ hợp chỉnh hợp thì đừng ngần ngại mà không liên hệ ngay với chúng tôi để nhận được sự trợ giúp sớm nhất nhé!