Bài viết sau đây giới thiệu đến các cách xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp cùng với các bài tập mẫu để luyện tập. Khoa Cử hy vọng với những chia sẻ này sẽ hỗ trợ bạn đọc học tốt môn Toán lớp 12!
I. CÁCH GIẢI
|
MẶT CẦU |
Một số công thức: | Mặt cầu ngoại tiếp đa diện
Mặt cầu nội tiếp đa diện |
|
Hình thành: Quay đường tròn tâm $I$, bán kính $R=\frac{AB}{2}$ quanh trục $AB$, ta có mặt cầu như hình vẽ. |
|
Mặt cầu ngoại tiếp đa diện là mặt cầu đi qua tất cả đỉnh của đa diện đó. |
Mặt cầu nội tiếp đa diện là mặt cầu tiếp xúc với tất cả các mặt của đa diện đó. |
|
CÁCH TÌM BÁN KÍNH MẶT CẦU NGOẠI TIẾP HÌNH CHÓP THƯỜNG GẶP |
|||
| 1. Hình chóp có các đỉnh nhìn một cạnh dưới một góc vuông. | 2. Hình chóp đều. | ||
|
Xét hình chóp có $SA\bot (ABC)$ và $\widehat{ABC}={{90}^{0}}$. Ta có $\widehat{SAC}=\widehat{SBC}={{90}^{0}}$ nên mặt cầu ngoại tiếp hình chóp có tâm $I$ là trung điểm $SC$, bán kính |
Xét hình chóp có $SA\bot (ABCD)$ và $ABCD$ là hình chữ nhật hoặc hình vuông. Ta có: $\widehat{SAC}=\widehat{SBC}$$=\widehat{SDC}={{90}^{0}}$ Suy ra mặt cầu ngoại tiếp hình chóp có tâm $I$ là trung điểm $SC$, bán kính |
Xét hình chóp tam giác đều có cạnh bên bằng $b$ và đường cao $SH=h$. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp trên là |
Xét hình chóp tứ giác đều có cạnh bên bằng b và chiều cao $SO=h$. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp trên là |
| 3. Hình chóp có cạnh bên vuông góc với mặt phẳng đáy. |
4. Hình chóp có mặt bên vuông góc với mặt đáy. |
||
Xét hình chóp có $SA\bot $ và $SA=h$; bán kính đường tròn ngoại tiếp của đáy là ${{r}_{\tilde{n}}}$. |
Khi đó mặt cầu ngoại tiếp hình chóp có bán kính $$. Nếu đáy là tam giác đều cạnh $a$ thì ${{r}_{\tilde{n}}}=\frac{a\sqrt{3}}{3}$. Nếu đáy là hình vuông cạnh $a$ thì ${{r}_{\tilde{n}}}=\frac{a\sqrt{2}}{2}$. Nếu đáy là hình chữ nhật cạnh $a,\,\,b$ thì ${{r}_{\tilde{n}}}=\frac{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}}{2}$. |
Xét hình chóp có mặt bên $(SAB)\bot $, bán kính ngoại tiếp đáy là ${{r}_{\tilde{n}}}$, bán kính ngoại tiếp $\Delta SAB$ là ${{r}_{b}}$, $d=AB=(SAB)\cap $. Khi đó bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là $$. |
|
- Tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp: là điểm cách đều các đỉnh của hình chóp. Hay nói cách khác, nó chính là giao điểm I của trục đường tròn ngoại tiếp mặt phẳng đáy và mặt phẳng trung trực của một cạnh bên hình chóp.
- Bán kính: là khoảng cách từ I đến các đỉnh của hình chóp.
Cho hình chóp $S.{{A}_{1}}{{A}_{2}}…{{A}_{n}}$ (thoả mãn điều kiện tồn tại mặt cầu ngoại tiếp). Thông thường, để xác định mặt cầu ngoại tiếp hình chóp ta thực hiện theo hai bước:
Bước 1: Xác định tâm của đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy. Dựng $\Delta $: trục đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy.
Bước 2: Lập mặt phẳng trung trực $(\alpha )$ của một cạnh bên.
Lúc đó : – Tâm O của mặt cầu: $\Delta \cap \text{mp(}\alpha )=\left\{ O \right\}$
– Bán kính: $R=SA\left( =SO \right)$. Tuỳ vào từng trường hợp.
Lưu ý: Kỹ năng xác định trục đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy.
- Trục đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy: là đường thẳng đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp đáy và vuông góc với mặt phẳng đáy.
Tính chất: $\forall M\in \Delta :\text{ }MA=MB=MC\text{ }$
Suy ra: $MA=MB=MC\text{ }\Leftrightarrow \text{ }M\in \Delta \text{ }$
- Các bước xác định trục:
– Bước 1: Xác định tâm H của đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy.
– Bước 2: Qua H dựng $\Delta $ vuông góc với mặt phẳng đáy.
VD: Một số trường hợp đặc biệt
Lưu ý: Kỹ năng tam giác đồng dạng
$\Delta SMO$ đồng dạng với $\Delta SIA\Rightarrow \frac{SO}{SA}=\frac{SM}{SI}$.
Nhận xét quan trọng:
$\exists M,S:\,\,\left\{ \begin{align}& MA=MB=MC \\& SA=SB=SC \\\end{align} \right.\Rightarrow \text{SM}$ là trục đường tròn ngoại tiếp $\Delta ABC$.
II. BÀI TẬP MẪU
Bài tập 1:
Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình chữ nhật, $SA$ vuông góc với đáy, $SA=a,\ $ $AD=5a,\ AB=2a.$ Điểm $E$ thuộc cạnh $BC$ sao cho $CE=a$. Tính theo $a$ bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện $SAED$.
Lời giải
Ta có $A{{E}^{2}}=A{{B}^{2}}+B{{E}^{2}}=4{{a}^{2}}+{{\left( 4a \right)}^{2}}=20{{a}^{2}},$$D{{E}^{2}}=D{{C}^{2}}+C{{E}^{2}}=4{{a}^{2}}+{{a}^{2}}=5{{a}^{2}}.$
Do đó $A{{E}^{2}}+D{{E}^{2}}=A{{D}^{2}}=25{{a}^{2}}$, suy ra tam giác $AED$ suy ra tam giác $AED$ vuông ở
$E.$ Suy ra $ED\bot \left( SAE \right)\Rightarrow ED\bot SE$. Vậy $A$và $E$ đều nhìn $SD$ dưới một góc vuông. Do đó mặt cầu ngoại tiếp tứ diện $SAED$ có bán kính là $R=\frac{SD}{2}=\frac{1}{2}\sqrt{S{{A}^{2}}+A{{D}^{2}}}=\frac{a\sqrt{26}}{2}.$
Bài tập 2:
Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình thang vuông tại $A$, $B$. Biết $SA\bot \left( ABCD \right)$, $AB=BC=a$, $AD=2a$, $SA=a\sqrt{2}$. Gọi $E$ là trung điểm của $AD$. Tính bán kính mặt cầu đi qua các điểm $S$, $A$, $B$, $C$, $E$.
Lời giải
* Do $SA\bot \left( ABCD \right)$$\Rightarrow SA\bot AC$$\Rightarrow \widehat{SAC}=90{}^\circ $.
* Do $BC\bot \left( SAB \right)$$\Rightarrow BC\bot SC$$\Rightarrow \widehat{SBC}=90{}^\circ $.
* Do $CE\text{//}AB\Rightarrow CE\bot \left( SAD \right)$$\Rightarrow CE\bot SE$$\Rightarrow \widehat{SEC}=90{}^\circ $.
Suy ra các điểm $A$, $B$, $E$ cùng nhìn đoạn $SC$ dưới một góc vuông nên mặt cầu đi qua các điểm $S$, $A$, $B$, $C$, $E$ là mặt cầu đường kính $SC$.
Bán kính mặt cầu đi qua các điểm $S$, $A$, $B$, $C$, $E$ là: $R=\frac{SC}{2}$.
Xét tam giác $SAC$ vuông tại $A$ ta có: $AC=AB\sqrt{2}=a\sqrt{2}$ $\Rightarrow SC=AC\sqrt{2}=2a$
$\Rightarrow R=\frac{SC}{2}=a$.
Bài tập 3:
Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật với độ dài đường chéo bằng $\sqrt{2}a$, cạnh $SA$ có độ dài bằng $2a$ và vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABCD$.
Lời giải
Bài tập 4:
Bán kính mặt cầu là $=\frac{\frac{1}{2}S{{A}^{2}}}{\sqrt{S{{A}^{2}}-A{{H}^{2}}}}=\frac{1}{2}\frac{{{\left( a\sqrt{2} \right)}^{2}}}{\sqrt{{{\left( a\sqrt{2} \right)}^{2}}-{{\left( \frac{2}{3}\frac{a\sqrt{3}}{2} \right)}^{2}}}}=\frac{a\sqrt{15}}{5}$.
Bài tập 5:
Cho khối tứ diện $OABC$ với $OA$, $OB$, $OC$ từng đôi một vuông góc và $OA = OB = OC = 6$. Tính bán kính $R$của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện $OABC$.
Lời giải
Gọi $M$ là trung điểm của $BC$, do tam giác $OBC$ vuông tại $O$ nên $M$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $OBC$.
Qua $M$ dựng đường thẳng $d$ song song với $OA$ khi đó $d$ là trục đường tròn ngoại tiếp tam giác $OBC$. Gọi $\Delta$ là đường trung trực của cạnh $OA$ và $I$ là giao điểm của $\Delta$ và $d$. Khi đó $I$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện $OABC$.
Bài tập 6:
Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông cạnh $a$. Cạnh bên $SA=a\sqrt{6}$ và vuông góc với đáy $\left( ABCD \right)$. Tính theo $a$ diện tích mặt cầu ngoại tiếp khối chóp $S.ABCD$.
A. $8\pi {{a}^{2}}$. B. ${{a}^{2}}\sqrt{2}$. C. $2\pi {{a}^{2}}$. D. $2{{a}^{2}}$.
Lời giải
Gọi $O=AC\cap BD$, đường chéo $AC=a\sqrt{2}$.
Gọi $I$ là trung điểm của $SC$.
Suy ra $OI$ là đường trung bình của tam giác $SAC$. Suy ra $OI\,\text{//}\,SA$$\Rightarrow OI\bot \left( ABCD \right)$.
Hay $OI$ là trục đường tròn ngoại tiếp đáy $ABCD$.
Mà $IS=IC$$\Rightarrow $$IA=IB=IC=ID=IS$. Suy ra $I$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp chóp $S.ABCD$.
Bán kính mặt cầu ngoại tiếp chóp $S.ABCD$: $R=SI=\frac{SC}{2}=\frac{\sqrt{S{{A}^{2}}+A{{C}^{2}}}}{2}=a\sqrt{2}$.
Do đó, đáp án chính xác ở đây chúng ta chọn là A.
Bài tập 7:
Trong không gian, cho hình chóp $S.ABC$ có $SA,AB,BC$ đôi một vuông góc với nhau và $SA=a,AB=b,BC=c.$ Mặt cầu đi qua $S,A,B,C$ có bán kính bằng
A. $\frac{2(a+b+c)}{3}.$ B. $\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}.$ C. $2\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}.$ D. $\frac{1}{2}\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}.$
Lời giải
Ta có: $\left\{ \begin{align}& SA\bot AB \\& SA\bot BC \\\end{align} \right.\Rightarrow SA\bot \left( ABC \right)\Rightarrow SA\bot AC.$
Ta có: $\left\{ \begin{align}& BC\bot SA \\& BC\bot AB \\\end{align} \right.\Rightarrow BC\bot \left( SAB \right)\Rightarrow BC\bot SB.$
Gọi $O$ là trung điểm $SC$, ta có tam giác $SAC,SBC$ vuông lần lượt tại $A$ và $B$ nên:
$OA=OB=OC=OS=\frac{SC}{2}.$ Do đó mặt cầu đi qua $S,A,B,C$ có tâm $O$ và bán kính $R=\frac{SC}{2}.$
Ta có: $S{{C}^{2}}=S{{B}^{2}}+B{{C}^{2}}=S{{A}^{2}}+A{{B}^{2}}+B{{C}^{2}}={{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}.$ suy ra $R=\frac{1}{2}\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}.$
Do đó, đáp án chính xác ở đây chúng ta chọn là D.
Bài tập 8:
Cho hình chóp $S.ABC$có $\widehat{BAC}=60{}^\circ $, $BC=a$, $SA\bot \left( ABC \right)$. Gọi $M$,$N$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $A$ lên $SB$ và $SC$. Bán kính mặt cầu đi qua các điểm $A,B,C,M,N$ bằng
A. $\frac{a\sqrt{3}}{3}$ B. $\frac{2a\sqrt{3}}{3}$ C. $a$ D. $2a$
Lời giải
Gọi $I$ là tâm đường tròn ngoại tiếp $\Delta ABC$
$\Rightarrow IA=IB=IC\text{ }\left( 1 \right)$.
Kẻ $IH$ là trung trực của $AC$.
$\left. \begin{matrix}IH\bot AC \\IH\bot SA \\\end{matrix} \right\}\Leftrightarrow IH\bot \left( SAC \right)\Leftrightarrow IH\bot \left( ANC \right)$.
Mà $\Delta ANC$ vuông tại $N$có $AC$ là cạnh huyền và $H$ là trung điểm $AC$$\Rightarrow IH$ là trục của $\Delta ANC\Rightarrow IA=IC=IN\text{ }\left( 2 \right)$.
Tương tự kẻ $IK$ là trung trực của $AB\Rightarrow IK$ là trục của $\Delta AMB\Rightarrow IA=IB=IM\text{ }\left( 3 \right)$.
$\left( 1 \right),\left( 2 \right),\left( 3 \right)\Rightarrow IA=IB=IC=IM=IN\Rightarrow I$ là tâm đường tròn ngoại tiếp chóp $A.BCMN$.
Định lí hàm sin trong $\Delta ABC$: $IA=\frac{BC}{2\sin \widehat{BAC}}=\frac{a}{2\sin 60{}^\circ }=\frac{a\sqrt{3}}{3}$.
Do đó, đáp án chính xác ở đây chúng ta chọn là A.