Cách giải và bài tập mẫu viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm

Trong bài viết ngày hôm nay, Khoa Cử chúng tôi muốn đem đến cho các bạn một dạng bài rất hay trong chương trình toán lớp 12 đó chính là dạng viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm rất đầy đủ và chi tiết cho các bạn tham khảo. Với những thông tin được Khoa cử chúng tôi chia sẽ giải đáp cho các bạn về cách viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm như thế nào? Trong bài dưới đây hy vọng sẽ hỗ trợ cho bạn học tốt môn Toán Hình lớp 12 nhé!

I. CÁCH GIẢI PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG ĐI QUA HAI ĐIỂM

Dạng 1. Viết phương trình đường thẳng $d$ dạng tham số và dạng chính tắc , biết $d$đi qua điểm $M({{x}_{\circ }};{{y}_{\circ }};{{z}_{\circ }})$ và có véctơ chỉ phương ${{\vec{u}}_{d}}=({{a}_{1}};{{a}_{2}};{{a}_{3}}).$

Phương pháp.

Ta có: $d:\left\{ \begin{align}& \centerdot \text{  }Qua\text{ }M({{x}_{\circ }};{{y}_{\circ }};{{z}_{\circ }}) \\  & \centerdot \text{  }VTCP:{{{\vec{u}}}_{d}}=({{a}_{1}};{{a}_{2}};{{a}_{3}}) \\ \end{align} \right.$

Phương trình đường thẳng $d$ dạng tham sốViết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm

.Phương trình đường thẳng $d$ dạng chính tắcViết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm

Dạng 2. Viết phương trình tham số và chính tắc  của đường thẳng $d$ đi qua $A$ và $B.$

Phương pháp. Đường thẳng $d:\left\{ \begin{align} & \centerdot \text{ }Qua\text{ }A\text{ }(hay\text{ }B) \\  & \centerdot \text{ }VTCP:{{{\vec{u}}}_{d}}=\overrightarrow{AB} \\ \end{align} \right.$

Viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm

Dạng 3. Viết phương trình đường thẳng $d$ dạng tham số và chính tắc , biết $d$ đi qua điểm $M$ và song song với đường thẳng $\Delta .$

Phương pháp. Ta có $d:\left\{ \begin{align}  & \centerdot \text{  Qua }M({{x}_{\circ }};{{y}_{\circ }};{{z}_{\circ }}) \\  & \centerdot \text{  }VTCP:\overrightarrow{{{u}_{d}}}=\overrightarrow{{{u}_{\Delta }}} \\ \end{align} \right.$

Viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm

Dạng 4. Viết phương trình đường thẳng $d$ dạng tham số và chính tắc , biết $d$ đi qua điểm $M$ và vuông góc với mặt phẳng $(P):ax+by+cz+d=0.$

Phương pháp.

Ta có $d:\left\{ \begin{align}  & \centerdot \text{  }Qua\text{ }M \\  & \centerdot \text{  }VTCP:{{{\vec{u}}}_{d}}={{{\vec{n}}}_{(P)}}=(a;b;c) \\ \end{align} \right.$

Viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm

Dạng 5. Viết phương trình đường thẳng $d$ qua $M$ và song song với hai mặt phẳng $(P),\text{ }(Q).$

Phương pháp.

Ta có $d:\left\{ \begin{align}  & \centerdot \text{  }Qua\text{ }M \\  & \centerdot \text{  }VTCP:{{{\vec{u}}}_{d}}=[{{{\vec{n}}}_{P}},{{{\vec{n}}}_{Q}}] \\ \end{align} \right.$

Xem thêm: Lý thuyết và bài tập mẫu hệ tọa độ trong không gian

II. BÀI TẬP MẪU PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG ĐI QUA HAI ĐIỂM

Bài tập 1: Viết Phương trình đường thẳng qua hai điểm $M$, $N$

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho hai điểm $M\left( 1;\ -2;\ 1 \right)$, $N\left( 0;\ 1;\ 3 \right)$. Phương trình đường thẳng qua hai điểm $M$, $N$ là

A. $\frac{x+1}{-1}=\frac{y-2}{3}=\frac{z+1}{2}$.                             B. $\frac{x+1}{1}=\frac{y-3}{-2}=\frac{z-2}{1}$.

C. $\frac{x}{-1}=\frac{y-1}{3}=\frac{z-3}{2}$.                             D. $\frac{x}{1}=\frac{y-1}{-2}=\frac{z-3}{1}$.

Lời giải

$\overrightarrow{MN}=\left( -1;\ 3;\ 2 \right)$.

Đường thẳng $MN$ qua $N$ nhận $\overrightarrow{MN}=\left( -1;\ 3;\ 2 \right)$ làm vectơ chỉ phương có phương trình

$\frac{x}{-1}=\frac{y-1}{3}=\frac{z-3}{2}$.

Bài tập 2: Viết Phương trình đường thẳng ${EF}$

 Trong không gian ${Oxyz}$, cho ${E(-1;0;2)}$và ${F(2;1;-5)}$. Phương trình đường thẳng ${EF}$ là

A. $\frac{x-1}{3}=\frac{y}{1}=\frac{z+2}{-7}$                             B. $\frac{x+1}{3}=\frac{y}{1}=\frac{z-2}{-7}$

C. $\frac{x-1}{1}=\frac{y}{1}=\frac{z+2}{-3}$                            D. $\frac{x+1}{1}=\frac{y}{1}=\frac{z-2}{3}$

Lời giải

Chọn B

Ta có: $\overrightarrow{EF}=(3;1;-7)$. Đường thẳng $EF$ đi qua điểm $E(-1;0;2)$ và có VTCP $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{EF}=(3;1;-7)$ có phương trình: $\frac{x+1}{3}=\frac{y}{1}=\frac{z-2}{-7}$.

Bài tập 3: viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm $P\left( 1;1;-1 \right)$ và $Q\left( 2;3;2 \right)$

Trong không gian $Oxyz$, viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm $P\left( 1;1;-1 \right)$ và $Q\left( 2;3;2 \right)$

A. $\frac{x-1}{2}=\frac{y-1}{3}=\frac{z+1}{2}$.                            B. $\frac{x-1}{1}=\frac{y-1}{2}=\frac{z+1}{3}$.

C. $\frac{x-1}{1}=\frac{y-2}{1}=\frac{z-3}{-1}$.                            D. $\frac{x+2}{1}=\frac{y+3}{2}=\frac{z+2}{3}$.

Lời giải

Ta có $\overrightarrow{PQ}=\left( 1;2;3 \right)$. Gọi $d$ là đường thẳng đi qua hai điểm $P,Q$

Khi đó $d$ có một vec tơ chỉ phương là ${{\overrightarrow{u}}_{d}}=\overrightarrow{PQ}=\left( 1;2;3 \right)$

Phương trình đường thẳng $d$ đi qua điểm $P\left( 1;1;-1 \right)$ là $d:\frac{x-1}{1}=\frac{y-1}{2}=\frac{z+1}{3}$.

Bài tập 4: Tìm phương trình đường thẳng đi qua hai điểm $A\left( 1\,;\,2\,;\,3 \right)$ và $B\left( 5\,;\,4\,;\,-1 \right)$

Trong không gian $Oxyz$, phương trình đường thẳng đi qua hai điểm $A\left( 1\,;\,2\,;\,3 \right)$ và $B\left( 5\,;\,4\,;\,-1 \right)$ là

A. $\frac{x-5}{2}=\frac{y-4}{1}=\frac{z+1}{2}$.                            B. $\frac{x+1}{4}=\frac{y+2}{2}=\frac{z+3}{-4}$.

C. $\frac{x-1}{4}=\frac{y-2}{2}=\frac{z-3}{4}$.                             D. $\frac{x-3}{-2}=\frac{y-3}{-1}=\frac{z-1}{2}$.

Lời giải

Ta có $\overrightarrow{AB}\left( 4;2;-4 \right)$. Suy ra $\overrightarrow{AB}$ cùng phương với $\overrightarrow{u}\left( -2;-1;2 \right)$.

Phương trình đường thẳng $AB$ đi qua $B\left( 5\,;\,4\,;\,-1 \right)$ nhận $\overrightarrow{u}\left( -2;-1;2 \right)$ làm vectơ chỉ phương là: $\frac{x-5}{-2}=\frac{y-4}{-1}=\frac{z+1}{2},\left( 1 \right)$. Do đó loại A,    C.

Có tọa độ $C\left( -1;-2;-3 \right)$ không thỏa mãn phương trình $\left( 1 \right)$ nên phương án       B.

Lại có tọa độ $D\left( 3;3;1 \right)$ thỏa mãn phương trình $\left( 1 \right)$ nên phương trình đường thẳng $AB$ cũng được viết là: $\frac{x-3}{-2}=\frac{y-3}{-1}=\frac{z-1}{2}$.

Bài tập 5: Viết Phương trình đường thẳng $EF$

 Trong không gian $Oxyz$, cho $E\left( -1;0;2 \right)$ và $F\left( 2;1;-5 \right)$. Phương trình đường thẳng $EF$ là

A. $\frac{x-1}{3}=\frac{y}{1}=\frac{z+2}{-7}$.                            B. $\frac{x+1}{3}=\frac{y}{1}=\frac{z-2}{-7}$.                            C. $\frac{x-1}{1}=\frac{y}{1}=\frac{z+2}{-3}$.                   D. $\frac{x+1}{1}=\frac{y}{1}=\frac{z-2}{3}$.

Lời giải

Chọn B

Đường thẳng $EF$ có véctơ chỉ phương là $\overrightarrow{EF}=\left( 3;\,1;\,-7 \right)$ và đi qua $E\left( -1;0;2 \right)$ nên có phương trình: $\frac{x+1}{3}=\frac{y}{1}=\frac{z-2}{-7}$.

Như vậy, bên trên là tất cả những thông tin cần thiết về cách giải cũng như bài tập mẫu về dạng viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm mà các bạn không nên bỏ qua. Nếu như bạn có thắc mắc hay cần hỗ trợ thì đừng ngần ngại mà không liên hệ ngay với chúng tôi để nhận được sự trợ giúp sớm nhất nhé!

Xem thêm:

Lý thuyết và bài tập mẫu hệ tọa độ trong không gian