Trong bài viết ngày hôm nay, Khoa Cử chúng tôi muốn đem đến cho các bạn một dạng bài rất hay trong chương trình toán lớp 12 đó chính là dạng viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm rất đầy đủ và chi tiết cho các bạn tham khảo. Với những thông tin được Khoa cử chúng tôi chia sẽ giải đáp cho các bạn về cách viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm như thế nào? Trong bài dưới đây hy vọng sẽ hỗ trợ cho bạn học tốt môn Toán Hình lớp 12 nhé!
I. CÁCH GIẢI
Dạng 1. Viết phương trình đường thẳng $d$ dạng tham số và dạng chính tắc , biết $d$đi qua điểm $M({{x}_{\circ }};{{y}_{\circ }};{{z}_{\circ }})$ và có véctơ chỉ phương ${{\vec{u}}_{d}}=({{a}_{1}};{{a}_{2}};{{a}_{3}}).$
Phương pháp.
Ta có: $d:\left\{ \begin{align}& \centerdot \text{ }Qua\text{ }M({{x}_{\circ }};{{y}_{\circ }};{{z}_{\circ }}) \\ & \centerdot \text{ }VTCP:{{{\vec{u}}}_{d}}=({{a}_{1}};{{a}_{2}};{{a}_{3}}) \\ \end{align} \right.$
Phương trình đường thẳng $d$ dạng tham số
.Phương trình đường thẳng $d$ dạng chính tắc
Dạng 2. Viết phương trình tham số và chính tắc của đường thẳng $d$ đi qua $A$ và $B.$
Phương pháp. Đường thẳng $d:\left\{ \begin{align} & \centerdot \text{ }Qua\text{ }A\text{ }(hay\text{ }B) \\ & \centerdot \text{ }VTCP:{{{\vec{u}}}_{d}}=\overrightarrow{AB} \\ \end{align} \right.$
Dạng 3. Viết phương trình đường thẳng $d$ dạng tham số và chính tắc , biết $d$ đi qua điểm $M$ và song song với đường thẳng $\Delta .$
Phương pháp. Ta có $d:\left\{ \begin{align} & \centerdot \text{ Qua }M({{x}_{\circ }};{{y}_{\circ }};{{z}_{\circ }}) \\ & \centerdot \text{ }VTCP:\overrightarrow{{{u}_{d}}}=\overrightarrow{{{u}_{\Delta }}} \\ \end{align} \right.$
Dạng 4. Viết phương trình đường thẳng $d$ dạng tham số và chính tắc , biết $d$ đi qua điểm $M$ và vuông góc với mặt phẳng $(P):ax+by+cz+d=0.$
Phương pháp.
Ta có $d:\left\{ \begin{align} & \centerdot \text{ }Qua\text{ }M \\ & \centerdot \text{ }VTCP:{{{\vec{u}}}_{d}}={{{\vec{n}}}_{(P)}}=(a;b;c) \\ \end{align} \right.$
Dạng 5. Viết phương trình đường thẳng $d$ qua $M$ và song song với hai mặt phẳng $(P),\text{ }(Q).$
Phương pháp.
Ta có $d:\left\{ \begin{align} & \centerdot \text{ }Qua\text{ }M \\ & \centerdot \text{ }VTCP:{{{\vec{u}}}_{d}}=[{{{\vec{n}}}_{P}},{{{\vec{n}}}_{Q}}] \\ \end{align} \right.$
II. BÀI TẬP MẪU
Bài tập 1:
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho hai điểm $M\left( 1;\ -2;\ 1 \right)$, $N\left( 0;\ 1;\ 3 \right)$. Phương trình đường thẳng qua hai điểm $M$, $N$ là
A. $\frac{x+1}{-1}=\frac{y-2}{3}=\frac{z+1}{2}$. B. $\frac{x+1}{1}=\frac{y-3}{-2}=\frac{z-2}{1}$.
C. $\frac{x}{-1}=\frac{y-1}{3}=\frac{z-3}{2}$. D. $\frac{x}{1}=\frac{y-1}{-2}=\frac{z-3}{1}$.
Lời giải
$\overrightarrow{MN}=\left( -1;\ 3;\ 2 \right)$.
Đường thẳng $MN$ qua $N$ nhận $\overrightarrow{MN}=\left( -1;\ 3;\ 2 \right)$ làm vectơ chỉ phương có phương trình
$\frac{x}{-1}=\frac{y-1}{3}=\frac{z-3}{2}$.
Bài tập 2:
Trong không gian ${Oxyz}$, cho ${E(-1;0;2)}$và ${F(2;1;-5)}$. Phương trình đường thẳng ${EF}$ là
A. $\frac{x-1}{3}=\frac{y}{1}=\frac{z+2}{-7}$ B. $\frac{x+1}{3}=\frac{y}{1}=\frac{z-2}{-7}$
C. $\frac{x-1}{1}=\frac{y}{1}=\frac{z+2}{-3}$ D. $\frac{x+1}{1}=\frac{y}{1}=\frac{z-2}{3}$
Lời giải
Chọn B
Ta có: $\overrightarrow{EF}=(3;1;-7)$. Đường thẳng $EF$ đi qua điểm $E(-1;0;2)$ và có VTCP $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{EF}=(3;1;-7)$ có phương trình: $\frac{x+1}{3}=\frac{y}{1}=\frac{z-2}{-7}$.
Bài tập 3:
Trong không gian $Oxyz$, viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm $P\left( 1;1;-1 \right)$ và $Q\left( 2;3;2 \right)$
A. $\frac{x-1}{2}=\frac{y-1}{3}=\frac{z+1}{2}$. B. $\frac{x-1}{1}=\frac{y-1}{2}=\frac{z+1}{3}$.
C. $\frac{x-1}{1}=\frac{y-2}{1}=\frac{z-3}{-1}$. D. $\frac{x+2}{1}=\frac{y+3}{2}=\frac{z+2}{3}$.
Lời giải
Ta có $\overrightarrow{PQ}=\left( 1;2;3 \right)$. Gọi $d$ là đường thẳng đi qua hai điểm $P,Q$
Khi đó $d$ có một vec tơ chỉ phương là ${{\overrightarrow{u}}_{d}}=\overrightarrow{PQ}=\left( 1;2;3 \right)$
Phương trình đường thẳng $d$ đi qua điểm $P\left( 1;1;-1 \right)$ là $d:\frac{x-1}{1}=\frac{y-1}{2}=\frac{z+1}{3}$.
Bài tập 4:
Trong không gian $Oxyz$, phương trình đường thẳng đi qua hai điểm $A\left( 1\,;\,2\,;\,3 \right)$ và $B\left( 5\,;\,4\,;\,-1 \right)$ là
A. $\frac{x-5}{2}=\frac{y-4}{1}=\frac{z+1}{2}$. B. $\frac{x+1}{4}=\frac{y+2}{2}=\frac{z+3}{-4}$.
C. $\frac{x-1}{4}=\frac{y-2}{2}=\frac{z-3}{4}$. D. $\frac{x-3}{-2}=\frac{y-3}{-1}=\frac{z-1}{2}$.
Lời giải
Ta có $\overrightarrow{AB}\left( 4;2;-4 \right)$. Suy ra $\overrightarrow{AB}$ cùng phương với $\overrightarrow{u}\left( -2;-1;2 \right)$.
Phương trình đường thẳng $AB$ đi qua $B\left( 5\,;\,4\,;\,-1 \right)$ nhận $\overrightarrow{u}\left( -2;-1;2 \right)$ làm vectơ chỉ phương là: $\frac{x-5}{-2}=\frac{y-4}{-1}=\frac{z+1}{2},\left( 1 \right)$. Do đó loại A, C.
Có tọa độ $C\left( -1;-2;-3 \right)$ không thỏa mãn phương trình $\left( 1 \right)$ nên phương án B.
Lại có tọa độ $D\left( 3;3;1 \right)$ thỏa mãn phương trình $\left( 1 \right)$ nên phương trình đường thẳng $AB$ cũng được viết là: $\frac{x-3}{-2}=\frac{y-3}{-1}=\frac{z-1}{2}$.
Bài tập 5:
Trong không gian $Oxyz$, cho $E\left( -1;0;2 \right)$ và $F\left( 2;1;-5 \right)$. Phương trình đường thẳng $EF$ là
A. $\frac{x-1}{3}=\frac{y}{1}=\frac{z+2}{-7}$. B. $\frac{x+1}{3}=\frac{y}{1}=\frac{z-2}{-7}$. C. $\frac{x-1}{1}=\frac{y}{1}=\frac{z+2}{-3}$. D. $\frac{x+1}{1}=\frac{y}{1}=\frac{z-2}{3}$.
Lời giải
Chọn B
Đường thẳng $EF$ có véctơ chỉ phương là $\overrightarrow{EF}=\left( 3;\,1;\,-7 \right)$ và đi qua $E\left( -1;0;2 \right)$ nên có phương trình: $\frac{x+1}{3}=\frac{y}{1}=\frac{z-2}{-7}$.
Như vậy, bên trên là tất cả những thông tin cần thiết về cách giải cũng như bài tập mẫu về dạng viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm mà các bạn không nên bỏ qua. Nếu như bạn có thắc mắc hay cần hỗ trợ thì đừng ngần ngại mà không liên hệ ngay với chúng tôi để nhận được sự trợ giúp sớm nhất nhé!