Trong bài viết ngày hôm nay, Khoa Cử chúng tôi muốn đem đến cho các bạn một dạng bài rất hay trong chương trình toán lớp 12 đó chính là dạng vị trí tương đối của 2 đường thẳng trong không gian rất đầy đủ và chi tiết cho các bạn tham khảo. Với những thông tin được Khoa cử chúng tôi chia sẽ giải đáp cho các bạn về xét vị trí tương đối của 2 đường thẳng, vị trí tương đối của 2 đường thẳng trong oxyz tính như thế nào? Trong bài dưới đây hy vọng sẽ hỗ trợ cho bạn học tốt môn Toán Hình lớp 12 nhé!
I. CÁCH GIẢI
Cho hai đường thẳng: $d:\left\{ \begin{align}& x={{x}_{\circ }}+{{a}_{1}}t \\ & y={{y}_{\circ }}+{{a}_{2}}t \\ & z={{z}_{\circ }}+{{a}_{3}}t \\ \end{align} \right.$ và ${d}’:\left\{ \begin{align}& x={{{{x}’}}_{\circ }}+{{{{a}’}}_{1}}{t}’ \\ & y={{y}_{\circ }}+{{{{a}’}}_{2}}{t}’ \\ & z={{z}_{\circ }}+{{{{a}’}}_{3}}{t}’ \\ \end{align} \right.$ lần lượt qua điểm hai điểm $M,\text{ }N$ và có véctơ chỉ phương lần lượt là ${{\vec{a}}_{d}},\text{ }{{\vec{a}}_{{{d}’}}}.$
$\centerdot \text{ }$$d$ song song ${d}’\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& {{{\vec{a}}}_{d}}=k{{{\vec{a}}}_{{{d}’}}} \\ & M\notin {d}’ \\ \end{align} \right..$ $\centerdot \text{ }$$d$ trùng ${d}’\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& {{{\vec{a}}}_{d}}=k{{{\vec{a}}}_{{{d}’}}} \\ & M\in {d}’ \\ \end{align} \right..$
$\centerdot \text{ }$$d$ cắt ${d}’\Leftrightarrow$$\left\{ \begin{align}& {{{\vec{a}}}_{d}}\,\,ko\uparrow \uparrow \text{ }\,{{{\vec{a}}}_{{{d}’}}} \\ & \left[ \vec{a},{\vec{a}}’ \right].\overrightarrow{MN}=0 \\ \end{align} \right.$ $\centerdot \text{ }$$d$ chéo ${d}’\Leftrightarrow \left[ {{{\vec{a}}}_{d}},{{{\vec{a}}}_{{{d}’}}} \right].\overrightarrow{MN}\ne 0.$
Lưu ý: Nếu $d$cắt ${d}’$ ta tìm tọa độ giao điểm bằng giải hệ phương trình: $\left\{ \begin{align}& {{x}_{\circ }}+{{a}_{1}}t={{{{x}’}}_{\circ }}+{{{{a}’}}_{1}}{t}’ \\ & {{y}_{\circ }}+{{a}_{2}}t={{{{y}’}}_{\circ }}+{{{{a}’}}_{2}}{t}’ \\ & {{z}_{\circ }}+{{a}_{3}}t={{{{z}’}}_{\circ }}+{{{{a}’}}_{3}}{t}’ \\ \end{align} \right.\,.$
II. BÀI TẬP MẪU
Bài tập 1:
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ cho hai đường thẳng ${{d}_{1}}:\frac{x-1}{2}=\frac{y}{1}=\frac{z+2}{-2}$, ${{d}_{2}}:\frac{x+2}{-2}=\frac{y-1}{-1}=\frac{z}{2}$. Xét vị trí tương đói của hai đường thẳng đã cho.
A. Chéo nhau B. Trùng nhau C. Song song D. Cắt nhau
Lời giải
Chọn C
${{d}_{1}}:\frac{x-1}{2}=\frac{y}{1}=\frac{z+2}{-2}$$\Rightarrow \overrightarrow{{{u}_{1}}}=\left( 2;1;-2 \right)$; ${{d}_{2}}:\frac{x+2}{-2}=\frac{y-1}{-1}=\frac{z}{2}$$\Rightarrow \overrightarrow{{{u}_{2}}}=\left( -2;-1;2 \right)$
$\overrightarrow{{{u}_{1}}}=-\overrightarrow{{{u}_{2}}}\Rightarrow {{d}_{1}}//{{d}_{2}}\vee {{d}_{1}}\equiv {{d}_{2}}$
Điểm $M\left( 1;0;-2 \right)\in {{\text{d}}_{1}}$; $M\notin {{d}_{2}}$ nên${{d}_{1}}//{{d}_{2}}$
Bài tập 2:
Trong không gian tọa độ $Oxyz$, xét vị trí tương đối của hai đường thẳng
${{\Delta }_{1}}:\frac{x-1}{2}=\frac{y+1}{2}=\frac{z}{3},\text{ }{{\Delta }_{2}}:\frac{x-3}{-1}=\frac{y-3}{-2}=\frac{z+2}{1}$
A. ${{\Delta }_{1}}$ song song với ${{\Delta }_{2}}$. B. ${{\Delta }_{1}}$ chéo với ${{\Delta }_{2}}$. C. ${{\Delta }_{1}}$ cắt ${{\Delta }_{2}}$. D. ${{\Delta }_{1}}$ trùng với ${{\Delta }_{2}}$.
Lời giải
Vì $\frac{2}{-1}\ne \frac{2}{-2}$ nên vectơ chỉ phương $\overrightarrow{{{u}_{1}}}=\left( 2;2;3 \right)$ của đường thẳng ${{\Delta }_{1}}$ không cùng phương với vectơ chỉ phương $\overrightarrow{{{u}_{2}}}=\left( -1;-2;1 \right)$ của ${{\Delta }_{2}}$. Tức là ${{\Delta }_{1}}$ chéo với ${{\Delta }_{2}}$ hoặc ${{\Delta }_{1}}$ cắt ${{\Delta }_{2}}$.
Lấy $M\left( 1;-1;0 \right)\in {{\Delta }_{1}}$, $N\left( 3;3;-2 \right)\in {{\Delta }_{2}}$. Ta có: $\overrightarrow{MN}=\left( 2;4;-2 \right)$.
Khi đó: $\left[ \overrightarrow{{{u}_{1}}};\overrightarrow{{{u}_{2}}} \right].\overrightarrow{MN}=0$. Suy ra $\overrightarrow{{{u}_{1}}},\overrightarrow{{{u}_{2}}},\overrightarrow{MN}$ đồng phẳng.
Vậy ${{\Delta }_{1}}$ cắt ${{\Delta }_{2}}$.
Bài tập 3:
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho hai đường thẳng ${{d}_{1}}:\frac{x-1}{2}=\frac{y}{1}=\frac{z}{3};\text{ }{{d}_{2}}:\left\{ \begin{align}& x=1+t \\& y=2+t \\& z=m \\\end{align} \right.$. Gọi $S$ là tập tất cả các số $m$ sao cho ${{d}_{1}}$ và ${{d}_{2}}$ chéo nhau và khoảng cách giữa chúng bằng $\frac{5}{\sqrt{19}}$. Tính tổng các phần tử của $S$.
A. $-11$. B. $12$. C. $-12$. D. $11$.
Lời giải
${{d}_{1}}$ đi qua điểm $M\left( 1;0;0 \right)$, có vectơ chỉ phương ${{\vec{u}}_{1}}=\left( 2;1;3 \right)$.
${{d}_{2}}$ đi qua điểm $N\left( 1;2;m \right)$, có vectơ chỉ phương ${{\vec{u}}_{2}}=\left( 1;1;0 \right)$.
$\left[ {{{\vec{u}}}_{1}},{{{\vec{u}}}_{2}} \right]=\left( -3;3;1 \right)$; $\overrightarrow{MN}=\left( 0;2;m \right)$.
${{d}_{1}}$ và ${{d}_{2}}$ chéo nhau khi và chỉ khi $\left[ {{{\vec{u}}}_{1}},{{{\vec{u}}}_{2}} \right].\overrightarrow{MN}\ne 0\Leftrightarrow m\ne -6$.
Mặt khác $d\left( {{d}_{1}},{{d}_{2}} \right)=\frac{5}{\sqrt{19}}$ $\Leftrightarrow \frac{\left| \left[ {{{\vec{u}}}_{1}},{{{\vec{u}}}_{2}} \right].\overrightarrow{MN} \right|}{\left| \left[ {{{\vec{u}}}_{1}},{{{\vec{u}}}_{2}} \right] \right|}=\frac{5}{\sqrt{19}}$ $\Leftrightarrow \frac{\left| m+6 \right|}{\sqrt{19}}=\frac{5}{\sqrt{19}}$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{align}& m=-1 \\ & m=-11 \\\end{align} \right.$.
Khi đó tổng các phần tử của $m$ là $-12$.
Bài tập 4:
Trong không gian $Oxyz$, cho bốn đường thẳng: $\left( {{d}_{1}} \right):\frac{x-3}{1}=\frac{y+1}{-2}=\frac{z+1}{1}$, $\left( {{d}_{2}} \right):\frac{x}{1}=\frac{y}{-2}=\frac{z-1}{1}$, $\left( {{d}_{3}} \right):\frac{x-1}{2}=\frac{y+1}{1}=\frac{z-1}{1}$, $\left( {{d}_{4}} \right):\frac{x}{1}=\frac{y-1}{-1}=\frac{z-1}{1}$. Số đường thẳng trong không gian cắt cả bốn đường thẳng trên là:
A. $0$. B. $2$. C. Vô số. D. $1$.
Lời giải
Đường thẳng ${{d}_{1}}$ đi qua điểm ${{M}_{1}}=\left( 3;-1;-1 \right)$ và có một véctơ chỉ phương là $\overrightarrow{{{u}_{1}}}=\left( 1;-2;1 \right)$.
Đường thẳng ${{d}_{2}}$ đi qua điểm ${{M}_{2}}=\left( 0;0;1 \right)$ và có một véctơ chỉ phương là $\overrightarrow{{{u}_{2}}}=\left( 1;-2;1 \right)$.
Do $\overrightarrow{{{u}_{1}}}={{\overrightarrow{u}}_{2}}$ và ${{M}_{1}}\notin {{d}_{1}}$ nên hai đường thẳng ${{d}_{1}}$ và ${{d}_{2}}$ song song với nhau.
Ta có $\overrightarrow{{{M}_{1}}{{M}_{2}}}=\left( -3;1;2 \right)$, $\left[ {{\overrightarrow{u}}_{1}},\overrightarrow{{{M}_{1}}{{M}_{2}}} \right]=\left( -5;-5;-5 \right)$$=-5\left( 1;1;1; \right)$
Gọi $\left( \alpha \right)$ là mặt phẳng chứa ${{d}_{1}}$ và ${{d}_{2}}$ khi đó $\left( \alpha \right)$ có một véctơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n}=\left( 1;1;1 \right)$. Phương trình mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ là $x+y+z-1=0$.
Gọi $A={{d}_{3}}\cap \left( \alpha \right)$ thì $A\left( 1;-1;1 \right)$. Gọi $B={{d}_{4}}\cap \left( \alpha \right)$ thì $B\left( -1;2;0 \right)$.
Do $\overrightarrow{AB}=\left( -2;3;-1 \right)$ không cùng phương với $\overrightarrow{{{u}_{1}}}=\left( 1;-2;1 \right)$ nên đường thẳng $AB$ cắt hai đường thẳng ${{d}_{1}}$ và ${{d}_{2}}$.
Như vậy, bên trên là tất cả những thông tin cần thiết về cách giải cũng như bài tập mẫu về vị trí tương đối của 2 đường thẳng mà các bạn không nên bỏ qua. Nếu như bạn có thắc mắc hay cần hỗ trợ thì đừng ngần ngại mà không liên hệ ngay với chúng tôi để nhận được sự trợ giúp sớm nhất nhé!