Trong bài viết ngày hôm nay, Khoa Cử chúng tôi muốn đem đến cho các bạn một dạng toán rất hay trong chương trình toán lớp 11 đó chính là về lý thuyết bài tập của vi phân lớp 11 rất đầy đủ và chi tiết cho các bạn tham khảo. Với những thông tin được Khoa cử chúng tôi chia sẽ về các bài tập vi phân lớp 11 có lời giải bên dưới đây hy vọng sẽ hỗ trợ cho bạn học tốt môn Toán Đại lớp 11 sao cho đạt được kết quả cao nhất nhé!
I. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM
Để có thể làm được làm được các dạng bài tập của vi phân lớp 11 có lời giải một cách dễ dàng nhất thì chúng ta cần phải nắm vững và thật chắc các công thức cũng như tính chất của dạng này như sau:
1. VI PHÂN CÙA HÀM SỐ TẠI 1 điểm
Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ có đạo hàm tại điểm ${{x}_{0}}$. Khi đó ta có: ${f}’\left( {{x}_{0}} \right)=\underset{\Delta x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\Delta y}{\Delta x}$
Nếu $\left| \Delta x \right|$ khá nhỏ thì $\frac{\Delta y}{\Delta x}\approx {f}’\left( {{x}_{0}} \right)\to \Delta y={f}’\left( {{x}_{0}} \right)\Delta x$
Tích số ${f}’\left( {{x}_{0}} \right)\Delta x$ được gọi là vi phân của hàm số $y=f\left( x \right)$ tại điểm ${{x}_{0}}$ và được kí hiệu là $\text{d}f\left( {{x}_{0}} \right)$, tức là: $\text{d}f\left( {{x}_{0}} \right)={f}’\left( {{x}_{0}} \right)\Delta x$
2. ỨNG DỤNG CỦA VI PHÂN (TÍNH GẦN ĐÚNG)
$f\left( {{x}_{0}}+\Delta x \right)=f\left( {{x}_{0}} \right)+{f}’\left( {{x}_{0}} \right)\Delta x$
3. VI PHÂN CỦA HÀM SỐ
Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ có đạo hàm ${y}’={f}’\left( x \right)$. Vi phân của hàm số kí hiệu:
$\text{d}f\left( {{x}_{0}} \right)={f}’\left( {{x}_{0}} \right)\text{d}x\Rightarrow \text{d}y={y}’\text{d}x$
II. BÀI TẬP MẪU
Khi đã nắm chắc được các lý thuyết liên quan đến các dạng của chuyên đề đạo hàm của vi phân lớp 11 thì chúng ta cần phải làm thêm một số bài tập vi phân lớp 11 có lời giải để có thể hiểu rõ hơn chương này ngay bên dưới đây:
Bài Tập 1:
Tính vi phân của các hàm số sau:
a. $y=\frac{\sqrt{x-1}}{x+2}$
b. $y={{\tan }^{3}}3x$
c. $y=\sqrt{x.\sin \,x+\cos \,x}$
d. $y=\frac{x-\tan \,x}{1-\cot x}$
Lời giải
a. ${y}’=\frac{\frac{1}{2\sqrt{x-1}}\left( x+2 \right)-\sqrt{x-1}}{{{\left( x+2 \right)}^{2}}}$
$\text{d}y={y}’\text{d}x=\frac{\frac{1}{2\sqrt{x-1}}\left( x+2 \right)-\sqrt{x-1}}{{{\left( x+2 \right)}^{2}}}\text{d}x$
b. ${y}’=3.3\frac{1}{{{\cos }^{2}}\,3x}{{\tan }^{2}}3x=\frac{9{{\sin }^{2}}\,3x}{{{\cos }^{4}}\,3x}$ $\Rightarrow \text{d}y={y}’\text{d}x=\frac{9{{\sin }^{2}}\,3x}{{{\cos }^{4}}\,3x}\text{d}x$
c. ${y}’=\frac{\sin \,x+x\cos \,x-\sin \,x}{2\sqrt{x\sin \,x+\cos \,x}}=\frac{x\cos \,x}{2\sqrt{x\sin \,x+\cos \,x}}$ $\Rightarrow \text{d}y={y}’\text{d}x=\frac{x\cos \,x}{2\sqrt{x\sin \,x+\cos \,x}}\text{d}x$
d. ${y}’=\frac{\left( 1-\frac{1}{{{\cos }^{2}}\,x} \right)\left( 1-\cot x \right)-\frac{1}{{{\sin }^{2}}\,x}\left( x-\tan x \right)}{{{\left( 1-\cot x \right)}^{2}}}$
$\text{d}y={y}’\text{d}x=\frac{\left( 1-\frac{1}{{{\cos }^{2}}\,x} \right)\left( 1-\cot x \right)-\frac{1}{{{\sin }^{2}}\,x}\left( x-\tan x \right)}{{{\left( 1-\cot x \right)}^{2}}}\text{d}x$.
Bài Tập 2:
Tìm vi phân của các hàm số sau:
a.$y=\frac{{{\sin }^{2}}3x-{{\cos }^{2}}4x}{\tan 3x}.$
b.$y=\sqrt[3]{{{\tan }^{2}}4x-{{\sin }^{3}}2x}.$
Lời giải
a.${y}’=\frac{{{\left( {{\sin }^{2}}3x-{{\cos }^{2}}4x \right)}^{\prime }}\tan 3x-\left( {{\sin }^{2}}3x-{{\cos }^{2}}4x \right)\operatorname{ta}{n}’3x}{{{\tan }^{2}}3x}$
$=\frac{\left( 2.3.\cos 3x.\sin 3x+2.4.\sin 4x\cos 4x \right)\tan 3x-\left( {{\sin }^{2}}3x-{{\cos }^{2}}4x \right)\frac{3}{{{\cos }^{2}}3x}}{{{\tan }^{2}}3x}$
$=\frac{\left( 3\sin 6x+2\sin 8x \right)\tan 3x-\left( {{\sin }^{2}}3x-{{\cos }^{2}}4x \right)\frac{3}{{{\cos }^{2}}3x}}{{{\tan }^{2}}3x}.$
$\Rightarrow \text{d}y={y}’\text{d}x=\frac{\left( 3\sin 6x+2\sin 8x \right)\tan 3x-\left( {{\sin }^{2}}3x-{{\cos }^{2}}4x \right)\frac{3}{{{\cos }^{2}}3x}}{{{\tan }^{2}}3x}\text{d}x.$
b.${y}’=\frac{1}{3}\frac{{{\left( {{\tan }^{2}}4x-{{\sin }^{3}}2x \right)}^{\prime }}}{\sqrt[3]{{{\left( {{\tan }^{2}}4x-{{\sin }^{3}}2x \right)}^{2}}}}=\frac{1}{3}\frac{\left( \frac{8\tan 4x}{{{\cos }^{2}}4x}+6\cos x{{\sin }^{2}}2x \right)}{\sqrt[3]{{{\left( {{\tan }^{2}}4x-{{\sin }^{3}}2x \right)}^{2}}}}.$
$\Rightarrow \text{d}y={y}’dx=\frac{1}{3}\frac{\left( \frac{8\tan 4x}{{{\cos }^{2}}4x}+6\cos x{{\sin }^{2}}2x \right)}{\sqrt[3]{{{\left( {{\tan }^{2}}4x-{{\sin }^{3}}2x \right)}^{2}}}}\text{d}x.$
Bài Tập 3:
Tính gần đúng:
a. $\sqrt{0,9994}$
b. $\cos {{30}^{0}}30’$
Lời giải
a. Xét hàm số $f\left( x \right)=\sqrt{x}\Rightarrow {f}’\left( x \right)=\frac{1}{2\sqrt{x}}$
$x=0,9994=1+\left( -0,0006 \right)$
$f\left( 0,9994 \right)=\sqrt{1+\left( -0,0006 \right)}=f\left( 1 \right)+{f}’\left( 1 \right).\left( -0,0006 \right)=1+\frac{1}{2}\left( -0,0006 \right)=0,9996$.
b. $\cos {{30}^{0}}30’=\cos {{30,5}^{0}}=\cos \,\left( \frac{\pi }{6}+\frac{\pi }{360} \right)$
Xét hàm số $f\left( x \right)=\cos \,x\Rightarrow {f}’\left( x \right)=-\sin \,x$
$x=\frac{\pi }{6}+\frac{\pi }{360}$
$f\left( \frac{\pi }{6}+\frac{\pi }{360} \right)=\cos \left( \frac{\pi }{6}+\frac{\pi }{360} \right)=f\left( \frac{\pi }{6} \right)+{f}’\left( \frac{\pi }{6} \right)\left( \frac{\pi }{360} \right)=\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}.\frac{\pi }{360}$.
Bài Tập 4:
Tính giá trị gần đúng của
a) $\sqrt{3,99}$. b) $\sqrt{0,996}$.
c) $\sin 30{}^\circ 30’$ (lấy 4 chữ số thập phân trong kết quả).
d) $\cos 45{}^\circ 30’$ (làm tròn kết quả đến hàng phần nghìn).
e) $\frac{1}{0,9995}$ (làm tròn kết quả đến hàng phần nghìn).
Lời giải
a) Đặt $f\left( x \right)=\sqrt{x}$, ta có ${f}’\left( x \right)=\frac{1}{2\sqrt{x}}.$
Ta có $3,99=4-0,01$. Theo công thức tính gần đúng, với ${{x}_{0}}=4,\,\,\Delta x=-0,01$ ta có $f\left( 3,99 \right)=f\left( 4-0,01 \right)\approx f\left( 4 \right)+{f}’\left( 4 \right).\left( -0,01 \right),$ tức là $\sqrt{3,99}\approx \sqrt{4}+\frac{1}{2\sqrt{4}}.\left( -0,01 \right)=1,9975.$
b) Đặt $f\left( x \right)=\sqrt{x}$, ta có ${f}’\left( x \right)=\frac{1}{2\sqrt{x}}.$
Ta có $0,996=1-0,004$. Theo công thức tính gần đúng, với ${{x}_{0}}=1,\,\,\Delta x=-0,004$ ta có $f\left( 0,996 \right)=f\left( 1-0,004 \right)\approx f\left( 1 \right)+{f}’\left( 1 \right).\left( -0,004 \right),$ tức là $\sqrt{0,996}\approx \sqrt{1}+\frac{1}{2\sqrt{1}}.\left( -0,004 \right)=0,998.$
c) Đặt $f\left( x \right)=\sin x$, ta có ${f}’\left( x \right)=\cos x.$
Ta có $30{}^\circ 30’=\frac{\pi }{6}+\frac{\pi }{360}$. Theo công thức tính gần đúng, với ${{x}_{0}}=\frac{\pi }{6},\,\,\Delta x=\frac{\pi }{360}$ ta có $f\left( \frac{\pi }{6}+\frac{\pi }{360} \right)\approx f\left( \frac{\pi }{6} \right)+{f}’\left( \frac{\pi }{6} \right).\left( \frac{\pi }{360} \right),$ tức là $\sin \left( \frac{\pi }{6}+\frac{\pi }{360} \right)\approx \sin \left( \frac{\pi }{6} \right)+\cos \left( \frac{\pi }{6} \right).\frac{\pi }{360}\approx 0,5076.$
d) Đặt $f\left( x \right)=\cos x,$ ta có ${f}’\left( x \right)=-\sin x.$
Ta có $45{}^\circ 30’=\frac{\pi }{4}+\frac{\pi }{360}$. Theo công thức tính gần đúng, với ${{x}_{0}}=\frac{\pi }{4},\,\,\Delta x=\frac{\pi }{360}$ ta có $f\left( \frac{\pi }{4}+\frac{\pi }{360} \right)\approx f\left( \frac{\pi }{4} \right)+{f}’\left( \frac{\pi }{4} \right).\left( \frac{\pi }{360} \right),$ tức là $\cos \left( \frac{\pi }{4}+\frac{\pi }{360} \right)\approx \cos \left( \frac{\pi }{4} \right)-\sin \left( \frac{\pi }{6} \right).\frac{\pi }{360}\approx 0,7009.$
e) Đặt $f\left( x \right)=\frac{1}{x},$ ta có ${f}’\left( x \right)=-\frac{1}{{{x}^{2}}}.$
Ta có $0,9995=1-0,0005$. Theo công thức tính gần đúng, với ${{x}_{0}}=1,\,\,\Delta x=-0,0005$ ta có $f\left( 1-0,0005 \right)\approx f\left( 1 \right)+{f}’\left( 1 \right).\left( -0,0005 \right),$ tức là $\frac{1}{0,9995}\approx 1-1.\left( -0,0005 \right)\approx 1,0005.$
Bài Tập 5:
Tính vi phân của các hàm số sau:
a. $y={{x}^{3}}+\sqrt{x}-1$ tại $x=2$
b. $y=\frac{1-\tan x}{1+\cot x}$ tại $x=\frac{\pi }{6}$
Lời giải
a. ${y}’=3{{x}^{2}}+\frac{1}{2\sqrt{x}}\Rightarrow {y}’\left( 2 \right)=12+\frac{1}{2\sqrt{2}}$
$\text{d}{{y}_{\left( 2 \right)}}={{{y}’}_{\left( 2 \right)}}\Delta x=\left( 12+\frac{1}{2\sqrt{2}} \right)\Delta x$
b. ${y}’=\frac{\left( -\frac{1}{{{\cos }^{2}}\,x} \right)\left( 1+\cot x \right)-\left( -\frac{1}{{{\sin }^{2}}\,x} \right)\left( 1-\tan x \right)}{{{\left( 1+\cot x \right)}^{2}}}=\frac{\left( -\frac{1+\cot x}{{{\cos }^{2}}\,x} \right)+\frac{1-\tan x}{{{\sin }^{2}}\,x}}{{{\left( 1+\cot x \right)}^{2}}}$
${{{y}’}_{\left( \frac{\pi }{6} \right)}}=\frac{8-5\sqrt{3}}{3\left( 4+2\sqrt{3} \right)}$
$\text{d}{{y}_{\left( \frac{\pi }{6} \right)}}={{{y}’}_{_{\left( \frac{\pi }{6} \right)}}}\Delta x=\frac{8-5\sqrt{3}}{3\left( 4+2\sqrt{3} \right)}\Delta x$.
Bài Tập 6:
Tính vi phân của hàm số $y={{\cos }^{2}}\left( \frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1} \right).$
A. $\text{d}y=\frac{1}{\sqrt{x}{{\left( \sqrt{x}-1 \right)}^{2}}}.\sin \left( \frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1} \right)\text{d}x.$
B. $\text{d}y=\frac{1}{\sqrt{x}{{\left( \sqrt{x}-1 \right)}^{2}}}.cos\left[ 2\left( \frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1} \right) \right].$
C. $\text{d}y=-\frac{1}{2\sqrt{x}{{\left( \sqrt{x}-1 \right)}^{2}}}.\sin \left( \frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1} \right)\text{d}x.$
D. $\text{d}y=\frac{1}{\sqrt{x}{{\left( \sqrt{x}-1 \right)}^{2}}}.\sin \left[ 2\left( \frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1} \right) \right]\text{d}x.$
Lời giải
Dùng công thức hạ bậc, ta có $y={{\cos }^{2}}\left( \frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1} \right)=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\cos \left[ 2\left( \frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1} \right) \right].$
Khi đó ${y}’=-\frac{1}{2}.{{\left[ 2\left( \frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1} \right) \right]}^{\prime }}.sin\left[ 2\left( \frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1} \right) \right]=\frac{1}{\sqrt{x}{{\left( \sqrt{x}-1 \right)}^{2}}}.\sin \left[ 2\left( \frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1} \right) \right].$
Cách 2. Áp dụng công thức ${{\left( {{\cos }^{\alpha }}u \right)}^{\prime }}=\alpha .{{\left( \cos u \right)}^{\prime }}.{{\cos }^{\alpha -1}}u=\alpha .{u}’.\left( -\,\sin u \right).{{\cos }^{\alpha -1}}u.$
Ta có $y={{\cos }^{2}}\left( \frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1} \right)\,\,\xrightarrow{{}}\,\,{y}’=2.{{\left( \frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1} \right)}^{\prime }}.\left[ -\,\sin \left( \frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1} \right) \right].\cos \left( \frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1} \right).$
Mà ${{\left( \frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1} \right)}^{\prime }}={{\left( 1+\frac{2}{\sqrt{x}-1} \right)}^{\prime }}=-\frac{1}{\sqrt{x}{{\left( \sqrt{x}-1 \right)}^{2}}}$ suy ra ${y}’=\frac{1}{\sqrt{x}{{\left( \sqrt{x}-1 \right)}^{2}}}.\sin \left[ 2\left( \frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1} \right) \right].$
Vậy $\text{d}y=\text{d}\left( {{\cos }^{2}}\left( \frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1} \right) \right)={y}’\text{d}x=\frac{1}{\sqrt{x}{{\left( \sqrt{x}-1 \right)}^{2}}}.\sin \left[ 2\left( \frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1} \right) \right]\text{d}x.$
Do đó, đáp án đúng nhất mà ta chọn được chính là D.
Bài Tập 7:
Tính vi phân của hàm số $y=\frac{\tan \sqrt{x}}{\sqrt{x}}.$
A. $\text{d}y=\frac{2\sqrt{x}}{4x\sqrt{x}{{\cos }^{2}}\sqrt{x}}\text{d}x.$
B. $\text{d}y=\frac{\sin \left( 2\sqrt{x} \right)}{4x\sqrt{x}{{\cos }^{2}}\sqrt{x}}\text{d}x.$
C. $\text{d}y=\frac{2\sqrt{x}-\sin \left( 2\sqrt{x} \right)}{4x\sqrt{x}{{\cos }^{2}}\sqrt{x}}\text{d}x.$
D. $\text{d}y=-\frac{2\sqrt{x}-\sin \left( 2\sqrt{x} \right)}{4x\sqrt{x}{{\cos }^{2}}\sqrt{x}}\text{d}x.$
Lời giải
Ta có ${y}’=\frac{{{\left( \tan \sqrt{x} \right)}^{\prime }}.\sqrt{x}-{{\left( \sqrt{x} \right)}^{\prime }}.\tan \sqrt{x}}{x}=\frac{\frac{\sqrt{x}}{2\sqrt{x}.{{\cos }^{2}}\sqrt{x}}-\frac{\tan \sqrt{x}}{2\sqrt{x}}}{x}.$
$=\frac{\frac{1}{2{{\cos }^{2}}\sqrt{x}}-\frac{\sin \sqrt{x}}{2\sqrt{x}.cos\sqrt{x}}}{x}=\frac{\sqrt{x}-\sin \sqrt{x}.\cos \sqrt{x}}{2x\sqrt{x}.{{\cos }^{2}}\sqrt{x}}=\frac{2\sqrt{x}-\sin \left( 2\sqrt{x} \right)}{4x\sqrt{x}{{\cos }^{2}}\sqrt{x}}.$
Vậy $\text{d}y=\text{d}\left( \frac{\tan \sqrt{x}}{\sqrt{x}} \right)={y}’\text{d}x=\frac{2\sqrt{x}-\sin \left( 2\sqrt{x} \right)}{4x\sqrt{x}{{\cos }^{2}}\sqrt{x}}\text{d}x.$
Do đó, đáp án đúng nhất mà ta chọn được chính là C.
Bài Tập 8:
Tính vi phân của hàm số $y=\sqrt{\sin x+2x}.$
A. $\text{d}y=\frac{2-\cos x}{2\sqrt{\sin x+2x}}\text{d}x.$ B. $\text{d}y=\frac{\cos x+2}{2\sqrt{\sin x+2x}}\text{d}x.$
C. $\text{d}y=\frac{\cos x+1}{\sqrt{\sin x+2x}}\text{d}x.$ D. $\text{d}y=\frac{\cos x-1}{\sqrt{\sin x+2x}}\text{d}x.$
Lời giải
Ta có $y=\sqrt{\sin x+2x}\,\,\xrightarrow{{}}\,\,{y}’=\frac{{{\left( \sin x+2x \right)}^{\prime }}}{2\sqrt{\sin x+2x}}=\frac{\cos x+2}{2\sqrt{\sin x+2x}}.$
Vậy $\text{d}y=\text{d}\left( \sqrt{\sin x+2x} \right)={y}’\text{d}x=\frac{\cos x+2}{2\sqrt{\sin x+2x}}\text{d}x.$
Do đó, đáp án đúng nhất mà ta chọn được chính là B.
Như vậy bên trên là tất cả những thông tin cần thiết của các dạng toán về đạo hàm của vi phân lớp 11 có lời giải mà các bạn không nên bỏ qua. Nếu như bạn có thắc mắc hay cần hỗ trợ về chuyên đề đạo hàm của vi phân lớp 11 thì đừng ngần ngại mà không liên hệ ngay với chúng tôi để nhận được sự trợ giúp sớm nhất nhé!