Trong bài viết ngày hôm nay, Khoa Cử chúng tôi muốn đem đến cho các bạn một dạng toán rất hay trong chương trình toán lớp 11 đó chính là về lý thuyết bài tập của vecto trong không gian lớp 11 rất đầy đủ và chi tiết cho các bạn tham khảo. Với những thông tin được Khoa cử chúng tôi chia sẽ về chuyên đề vectơ trong không gian cũng như các dạng bài tập vecto trong không gian lớp 11 có lời giải bên dưới đây hy vọng sẽ hỗ trợ cho bạn học tốt môn Toán Hình Học lớp 11 đạt được kết quả cao trong học tập nhé!
I. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM VỀ VECTO TRONG KHÔNG GIAN
Để có thể làm được các dạng bài tập vecto trong không gian lớp 11 một cách dễ dàng nhất thì chúng ta cần phải nắm vững và thật chắc các công thức cũng như tính chất của này như sau:
Phép cộng vectơ:
Quy tắc ba điểm: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC},\forall A,B,C$.
Quy tắc hình bình hành: Nếu tứ giác $ABCD$ là hình bình hành thì: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}$.
Qui tắc hình hộp: Nếu $ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}’$ là hình hộp thì: $\overrightarrow{AC’}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{A{A}’}$
Phép nhân một số $k$ với một vectơ $\overrightarrow{a}$:
Ta có $k\overrightarrow{a}$ là một vectơ được xác định như sau:
– cùng hướng với $\overrightarrow{a}$ nếu $k\ge 0$.
– ngược hướng với $\overrightarrow{a}$ nếu $k<0$.
– có độ dài $\left| k\overrightarrow{a} \right|=\left| k \right|.\left| \overrightarrow{a} \right|$.
Một số tính chất
a) $I$ là trung điểm của $AB$ $\Leftrightarrow \overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}=\overrightarrow{0}$ $\Leftrightarrow \overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=2\overrightarrow{MI}$ ($M$ là một điểm bất kì trong không gian).
b) Nếu $I$ là trung điểm của $AB$, $J$ là trung điểm của $CD$ thì ta có
$\overrightarrow{IJ}=\frac{1}{2}\left( \overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BC} \right)=\frac{1}{2}\left( \overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD} \right)$
c)$G$ là trọng tâm của tam giác $ABC$ $\Leftrightarrow \overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}$ $\Leftrightarrow \overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=3\overrightarrow{MG}$ ($M$ là một điểm bất kì trong không gian).
d) $G$ là trọng tâm của tứ diện $ABCD$ $\Leftrightarrow \overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GD}=\overrightarrow{0}$ $\Leftrightarrow \overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MD}=4\overrightarrow{MG}$ ($M$ là một điểm bất kì trong không gian).
e) Nếu $\overrightarrow{AB}=k\overrightarrow{AC}\left( k\ne 1 \right)$ thì với mọi điểm $M$ trong không gian ta có $\overrightarrow{MA}=\frac{1}{1-k}\overrightarrow{MB}-\frac{k}{1-k}\overrightarrow{MC}$
Điều kiện cùng phương của hai vectơ:
$\overrightarrow{a}$ cùng phương với $\overrightarrow{b}\left( \overrightarrow{b}\ne \overrightarrow{0} \right)$ $\Leftrightarrow \exists k\in \mathbb{R}:\overrightarrow{a}=k.\overrightarrow{b}$.
Hệ quả: $A,B,C$ thẳng hàng $\Leftrightarrow \exists k\in \mathbb{R}:\overrightarrow{AB}=k.\overrightarrow{AC}$$\Leftrightarrow \exists l\in \mathbb{R}:l.\overrightarrow{MA}+\left( 1-l \right).\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{MC}$
Chú ý: $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$ cùng hướng $\Rightarrow \overrightarrow{b}=\frac{\left| \overrightarrow{b} \right|}{\left| \overrightarrow{a} \right|}\overrightarrow{a}$; $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$ ngược hướng $\Rightarrow \overrightarrow{b}=-\frac{\left| \overrightarrow{b} \right|}{\left| \overrightarrow{a} \right|}\overrightarrow{a}$.
Tích vô hướng của hai vectơ
a) Định nghĩa: $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=\left| \overrightarrow{a} \right|.\left| \overrightarrow{b} \right|.\cos \left( \overrightarrow{a},\overrightarrow{b} \right)$.
b) Tính chất:
$\left| \overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} \right|\le \left| \overrightarrow{a} \right|.\left| \overrightarrow{b} \right|$. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ cùng phương.
${{\left| \overrightarrow{a} \right|}^{2}}={{\left( \overrightarrow{a} \right)}^{2}}$.
$\overrightarrow{a}\bot \overrightarrow{b}\Leftrightarrow \overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=0$.
$\overrightarrow{a}\left( \overrightarrow{b}+\overrightarrow{c} \right)=\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}+\overrightarrow{a}.\overrightarrow{c};\overrightarrow{a}\left( \overrightarrow{b}-\overrightarrow{c} \right)=\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}.\overrightarrow{c}$.
$\left( \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b} \right)\left( \overrightarrow{a}-\overrightarrow{b} \right)={{\overrightarrow{a}}^{2}}-{{\overrightarrow{b}}^{2}}$.
${{\left( \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b} \right)}^{2}}={{\overrightarrow{a}}^{2}}+2\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}+{{\overrightarrow{b}}^{2}}$
2. SỰ ĐỒNG PHẲNG CỦA CÁC VECTƠ:
Định nghĩa: Ba vectơ được gọi là đồng phẳng nếu giá của chúng cùng song song với một mặt phẳng.
Điều kiện để ba vectơ đồng phẳng
Định lí 1: Cho ba vectơ $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}$ trong đó $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$ là hai vectơ không cùng phương. Khi đó:
Điều kiện cần và đủ để ba vectơ $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}$ đồng phẳng là có các số thực $m,n$ sao cho $\overrightarrow{c}=m.\overrightarrow{a}+n.\overrightarrow{b}$. Hơn nữa các số $m,n$ là duy nhất.
Hệ quả: Cho ba vectơ $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}$ không đồng phẳng. Nếu $m,n,p$ là ba số thực mà $m\overrightarrow{a}+n\overrightarrow{b}+p\overrightarrow{c}=\overrightarrow{0}$ thì $m=n=p=0$.
Phân tích một vectơ theo ba vectơ không đồng phẳng.
Định lí 2: Nếu $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}$ là ba vectơ không đồng phẳng thì với vectơ $\overrightarrow{v}$ bất kì, ta đều tìm được các số $m,n,p$ sao cho $\overrightarrow{v}=m\overrightarrow{a}+n\overrightarrow{b}+p\overrightarrow{c}$. Hơn nữa các số $m,n,p$ là duy nhất.
DẠNG 1. QUY TẮC VÉC TƠ:
– Quy tắc vectơ đối:
Với mọi hai điểm $A,\,\,B$ cho trước ta luôn có: $\overrightarrow{AB}=-\overrightarrow{BA}\Leftrightarrow \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{0}$.
– Quy tắc cộng vectơ:
Cho trước hai điểm $A,\,\,B$. Với mọi các điểm ${{M}_{1}},\,{{M}_{2}},\,…,\,{{M}_{n}}$ ta luôn có hệ thức sau:
$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{A{{M}_{1}}}+\overrightarrow{{{M}_{1}}{{M}_{2}}}+\overrightarrow{{{M}_{2}}{{M}_{3}}}+…+\overrightarrow{{{M}_{n}}B}$.
– Quy tắc trừ vectơ:
Cho trước hai điểm $A,\,\,B$. Với mọi điểm $M$ ta luôn có $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MA}$.
– Quy tắc hình bình hành:
Cho hình bình hành $ABCD$, khi đó $\left\langle \begin{align}& \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC} \\& \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC} \\\end{align} \right.$.
– Quy tắc trung điểm:
Cho hai điểm $A,\,\,B$. Nếu $M$ là trung điểm của $AB$thì ta có hệ thức $\left[ \begin{align}& \overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{0} \\& \overrightarrow{AM}+\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{0} \\\end{align} \right.$.
– Quy tắc trung tuyến:
Cho tam giác $ABC$, gọi $M$ và $N$ theo thứ tự là trung điểm của $BC$ và $AC$. Khi đó $\left\langle \begin{align}& \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AM} \\& \overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}=2\overrightarrow{BN} \\\end{align} \right.$
– Quy tắc trọng tâm:
Cho tam giác $ABC$ có trọng tâm $G$ như hình vẽ. Khi đó, ta có: $\left\{ \begin{align}&\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0} \\& \overrightarrow{AG}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AM}=2\overrightarrow{GM} \\\end{align} \right.$.
Nhận xét:
– Với mọi điểm $I$ thì ta luôn có $\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IC}=3\overrightarrow{IG}$.
– Điểm $G$ được gọi là trọng tâm tứ diện $ABCD$ khi $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GD}=\overrightarrow{0}$.
DẠNG 2. PHÉP PHÂN TÍCH, CHỨNG MINH CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN VECTƠ:
+ Ba vectơ đồng phẳng:
Cho ba vectơ đồng phẳng ${\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}.}$ Khi đó, tồn tại duy nhất một phép phân tích ${\overrightarrow{c}=m\overrightarrow{a}+n\overrightarrow{b}.}$
+ Ba vectơ không đồng phẳng:
Cho ba vectơ đồng phẳng ${\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}.}$ Khi đó, với mỗi vectơ ${\overrightarrow{d}}$ thì tồn tại duy nhất một phép phân tích ${\overrightarrow{d}=m\overrightarrow{a}+n\overrightarrow{b}+p\overrightarrow{c}.}$
Xem thêm: Các dạng bài tập hai đường thẳng vuông góc
II. BÀI TẬP MẪU VỀ VECTO TRONG KHÔNG GIAN
Khi đã nắm chắc được các lý thuyết liên quan đến các dạng của chuyên đề vectơ trong không gian của một hình không gian lớp 11 thì chúng ta cần phải làm thêm một số giải bài tập vectơ trong không gian rất dễ hiểu để có thể hiểu rõ hơn chương này ngay bên dưới đây:
DẠNG 1. QUY TẮC VÉC TƠ:
Bài tập 1: Cho tứ diện ${ABCD}$. Xác định các điểm ${M,\,\,N}$ thỏa mãn:
a) $\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}$.
b) $\overrightarrow{AN}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AD}$.
Lời giải
a) $\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}$
– Gọi $I$ là trung điểm $BC$, khi đó $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AI}$.
-Gọi $J$ là điểm đối xứng của $A$ qua $I$, khi đó ta có: $2\overrightarrow{AI}=\overrightarrow{AJ}$ suy ra $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AJ}$.
Từ đó $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AJ}+\overrightarrow{AD}=2\overrightarrow{AE}$. Vậy $M$ là điểm đối xứng của $A$ qua $E$.
b) $\overrightarrow{AN}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AD}$
– Theo a), ta có $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AI}=\overrightarrow{AJ}$.
-Gọi $J$ là điểm đối xứng của $A$ qua $I$, khi đó ta có $\overrightarrow{AN}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AJ}-\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{DJ}$.
Vậy trong tam giác $ADJ$ ta tạo ra hình bình hành $ADJN$ thì điểm $N$ thỏa mẫn yêu cầu này chính là điểm cần tìm.
Bài tập 2: Cho tứ diện $ABCD.$ Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của $AB$ và$CD,$ $G$ là trung điểm của $MN$ và ${{G}_{1}}$ là trọng tâm của tam giác $BCD.$ Chứng minh các hệ thức sau:
a. $\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BC}$
b. $\overrightarrow{MN}=\frac{1}{2}\left( \overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD} \right)=\frac{1}{2}\left( \overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BC} \right)$
c. $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GD}=\overrightarrow{0}$
d.$\overrightarrow{NA}+\overrightarrow{NB}+\overrightarrow{NC}+\overrightarrow{ND}=4\overrightarrow{NG},\forall N.$
e. $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}=3\overrightarrow{A{{G}_{1}}}$
Lời giải
a. $\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BC}$
Sử dụng quy tắc cộng vectơ ta có:
$\left\{ \begin{align}& \overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DC} \\& \overrightarrow{BD}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD} \\\end{align} \right.\to \overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BC}+\left( \overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DC} \right)=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BC}$.
b. $\overrightarrow{MN}=\frac{1}{2}\left( \overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD} \right)=\frac{1}{2}\left( \overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BC} \right)$
Chứng minh $2\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}$
$\left\{ \begin{align}& \overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{MN}+\overrightarrow{NC} \\& \overrightarrow{BD}=\overrightarrow{BM}+\overrightarrow{MN}+\overrightarrow{ND} \\\end{align} \right.$$\to \overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}=2\overrightarrow{MN}+\left( \overrightarrow{AM}+\overrightarrow{BM} \right)+\left( \overrightarrow{NC}+\overrightarrow{ND} \right)=2\overrightarrow{MN}$
Vì $\left( \overrightarrow{AM}+\overrightarrow{BM} \right)=\overrightarrow{0};\left( \overrightarrow{NC}+\overrightarrow{ND} \right)=\overrightarrow{0}.$
Chứng minh $2\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BC}$
Chứng minh tương tự hoặc sử dụng kết quả câu a.
c. $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GD}=\overrightarrow{0}$
Theo quy tắc trung điểm trong $\Delta GAB;\Delta GCD$ ta có: $\left\{ \begin{align}& \overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}=2\overrightarrow{GM} \\& \overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GD}=2\overrightarrow{GN} \\\end{align} \right.$$\to\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GD}=2\left( \overrightarrow{GM}+\overrightarrow{GN} \right)=\overrightarrow{0}.$
d.$\overrightarrow{NA}+\overrightarrow{NB}+\overrightarrow{NC}+\overrightarrow{ND}=4\overrightarrow{NG},\forall N.$
Ta có: $\left\{ \begin{align}& \overrightarrow{NA}=\overrightarrow{NG}+\overrightarrow{GA} \\&\overrightarrow{NB}=\overrightarrow{NG}+\overrightarrow{GA} \\& \overrightarrow{NC}=\overrightarrow{NG}+\overrightarrow{GC} \\& \overrightarrow{ND}=\overrightarrow{NG}+\overrightarrow{GD} \\\end{align}\right.$$\to\overrightarrow{NA}+\overrightarrow{NB}+\overrightarrow{NC}+\overrightarrow{ND}=4\overrightarrow{NG}+\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GD}=4\overrightarrow{NG}.$
Vì $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GD}=\overrightarrow{0}$.
e. $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}=3\overrightarrow{A{{G}_{1}}}$
Sử dụng quy tắc trung điểm cho $\Delta ACD$ ta được $\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}=2\overrightarrow{AN}$
Gọi $I$ là điểm đối xứng của $A$ qua $N$, khi đó $2\overrightarrow{AN}=\overrightarrow{AI}\to \overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AI}$
$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AI}=2\overrightarrow{AE},$với $E$ là trung điểm của $BI.$
Xét trong tam giác $ABI$ có $BN$ và $AE$ là các đường trung tuyến, giả sử $BN\cap AE={G}’$ thì ${G}’$ là trọng tâm tam giác $ABI.$
Khi đó, $B{G}’=\frac{2}{3}BN=B{{G}_{1}}\to {G}’\equiv {{G}_{1}}.$
Mà $\overrightarrow{A{{G}_{1}}}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AE}=\frac{2\overrightarrow{AE}}{3}=\frac{\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}}{3}\to \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}=3\overrightarrow{A{{G}_{1}}}.$
Bài tập 3: Cho hình hộp $ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}’$.Chứng minh rằng
a)$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{A{A}’}=\overrightarrow{A{C}’}$.
b)$\overrightarrow{{A}'{B}’}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{{D}’D}=\overrightarrow{{A}’C}$.
c) Gọi $O$ là tâm hình hộp. Chứng minh rằng $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}+\overrightarrow{O{A}’}+\overrightarrow{O{B}’}+\overrightarrow{O{C}’}+\overrightarrow{O{D}’}=\overrightarrow{0}$
Lời giải
a) Do $ABCD$ là hình chữ nhật nên ta có: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}$.
Lại có $A{A}'{C}’C$ là hình chữ nhật nên: $\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{A{A}’}=\overrightarrow{A{C}’}$$\Rightarrow \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{A{A}’}=\overrightarrow{A{C}’}$.
b) Ta có: $VT=\overrightarrow{{A}’B}+\overrightarrow{B{B}’}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{{D}’D}=\left( \overrightarrow{{A}’B}+\overrightarrow{BC} \right)+\left( \overrightarrow{B{B}’}+\overrightarrow{{D}’D} \right)=\overrightarrow{{{A}’}}C=VP$.
c) Gọi $I$ và ${I}’$ lần lượt là tâm của hình chữ nhật $ABCD$ và ${A}'{B}'{C}'{D}’$.
Ta có: $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}=\left( \overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC} \right)+\left( \overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OD} \right)=4\overrightarrow{OI}$.
$\overrightarrow{O{A}’}+\overrightarrow{O{B}’}+\overrightarrow{O{C}’}+\overrightarrow{O{D}’}=\left( \overrightarrow{O{A}’}+\overrightarrow{O{C}’} \right)+\left( \overrightarrow{O{B}’}+\overrightarrow{O{D}’} \right)=4\overrightarrow{O{I}’}$
Mặt khác: $\overrightarrow{OI}+\overrightarrow{O{I}’}=\overrightarrow{0}$ nên $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}+\overrightarrow{O{A}’}+\overrightarrow{O{B}’}+\overrightarrow{O{C}’}+\overrightarrow{O{D}’}=\overrightarrow{0}$
Bài tập 4: Cho hình hộp $ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}’$.
a. Chứng minh rằng có một điểm $O$ sao cho $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}+\overrightarrow{O{A}’}+\overrightarrow{O{B}’}+\overrightarrow{O{C}’}+\overrightarrow{O{D}’}=\overrightarrow{0}$.
b. Chứng minh rằng với mọi điểm $M$ trong không gian ta đều có $\overrightarrow{MO}=\frac{1}{8}\left( \overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{M{A}’}+\overrightarrow{M{B}’}+\overrightarrow{M{C}’}+\overrightarrow{M{D}’} \right)$. Suy ra điểm $O$ nói trên là duy nhất.
Lời giải
a. Tồn tại điểm $O$ sao cho $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}+\overrightarrow{O{A}’}+\overrightarrow{O{B}’}+\overrightarrow{O{C}’}+\overrightarrow{O{D}’}=\overrightarrow{0}$ (1).
Đặt $\overrightarrow{v}=\left( \overrightarrow{OA}+\overrightarrow{O{C}’} \right)+\left( \overrightarrow{OB}+\overrightarrow{O{D}’} \right)+\left( \overrightarrow{OC}+\overrightarrow{O{A}’} \right)+\left( \overrightarrow{OD}+\overrightarrow{O{B}’} \right)$.
Ta có thể chọn $O$ là tâm của hình hộp, tức là trung điểm của các đường chéo $A{C}’,B{D}’,C{A}’$ và $D{B}’$. Ta có $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{O{C}’}=\overrightarrow{0};\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{O{D}’}=\overrightarrow{0};\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{O{A}’}=\overrightarrow{0};\overrightarrow{OD}+\overrightarrow{O{B}’}=\overrightarrow{0}$.
Do đó $\overrightarrow{v}=\overrightarrow{0}$.
b. Chứng minh $\overrightarrow{MO}=\frac{1}{8}\left( \overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{M{A}’}+\overrightarrow{M{B}’}+\overrightarrow{M{C}’}+\overrightarrow{M{D}’} \right)$ (2)
$\begin{align}& =\frac{1}{8}\left[ \left( \overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OA} \right)+\left( \overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OB} \right)+\left( \overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OC} \right)+\left( \overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OD} \right) \right. \\& +\left. \left( \overrightarrow{MO}+\overrightarrow{O{A}’} \right)+\left( \overrightarrow{MO}+\overrightarrow{O{B}’} \right)+\left( \overrightarrow{MO}+\overrightarrow{O{C}’} \right)+\left( \overrightarrow{MO}+\overrightarrow{O{D}’} \right) \right] \\& =\frac{1}{8}\left[ 8\overrightarrow{MO}\left(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}+\overrightarrow{O{A}’}+\overrightarrow{O{B}’}+\overrightarrow{O{C}’}+\overrightarrow{O{D}’} \right) \right]=\overrightarrow{MO}. \\\end{align}$
Chứng minh $O$ là điểm duy nhất thỏa mãn (1). Vì (2) đúng với mọi điểm $M$ nên khi (1) đúng với điểm ${O}’$ thì (2) cho ta:
$\overrightarrow{O{O}’}=\frac{1}{8}\left( \overrightarrow{{O}’A}+\overrightarrow{{O}’B}+\overrightarrow{{O}’C}+\overrightarrow{{O}’D}+\overrightarrow{{O}'{A}’}+\overrightarrow{{O}'{B}’}+\overrightarrow{{O}'{C}’}+\overrightarrow{{O}'{D}’} \right)$.
DẠNG 2. PHÉP PHÂN TÍCH, CHỨNG MINH CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN VECTƠ:
Bài tập 1: Cho hình chóp $S.ABC$. Gọi $G$ là trọng tâm của tam giác $ABC$.
a. Phân tích vectơ $\overrightarrow{SG}$ theo các vectơ $\overrightarrow{SA},\overrightarrow{SB},\overrightarrow{SC}$.
b. Gọi $D$ là trọng tâm của của hình chóp $S.ABC$. Phân tích vectơ $\overrightarrow{SD}$ theo ba vectơ $\overrightarrow{SA},\overrightarrow{SB},\overrightarrow{SC}$.
Lời giải
a) Ta có:
$\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}\Rightarrow \left( \overrightarrow{GS}+\overrightarrow{SA} \right)+\left( \overrightarrow{GS}+\overrightarrow{SB} \right)+\left( \overrightarrow{GS}+\overrightarrow{SC} \right)=\overrightarrow{0}\Rightarrow \overrightarrow{SG}=\frac{1}{3}\left( \overrightarrow{SA}+\overrightarrow{SB}+\overrightarrow{SC} \right)\left( 1 \right)$.
b) Ta có: $\overrightarrow{DS}+\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{0}\Rightarrow \overrightarrow{DS}+\left( \overrightarrow{DS}+\overrightarrow{SA} \right)+\left( \overrightarrow{DS}+\overrightarrow{SB} \right)+\left( \overrightarrow{DS}+\overrightarrow{SC} \right)=\overrightarrow{0}$.
$\Rightarrow \overrightarrow{SA}+\overrightarrow{SB}+\overrightarrow{SC}=4\overrightarrow{SD}\Rightarrow \overrightarrow{SD}=\left( 1 \right)\Rightarrow \overrightarrow{SD}=\frac{1}{4}\left( \overrightarrow{SA}+\overrightarrow{SB}+\overrightarrow{SC} \right)$.
Bài tập 2: Cho hình lăng trụ tam giác $ABC.{{A}^{\prime }}{{B}^{\prime }}{{C}^{\prime }}$có $\overrightarrow{A{{A}^{\prime }}}=\overrightarrow{a},\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{b},\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{c}$.
a. Phân tích các vectơ $\overrightarrow{{{B}^{\prime }}C},\overrightarrow{B{{C}^{\prime }}}$ theo các vectơ $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}$.
b. Gọi ${{G}^{\prime }}$ là trọng tâm tam giác ${{A}^{\prime }}{{B}^{\prime }}{{C}^{\prime }}$. Phân tích vectơ $\overrightarrow{A{{G}^{\prime }}}$ theo ba vectơ $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}$.
Lời giải
a) $\overrightarrow{{{B}^{\prime }}C}=\overrightarrow{{{B}^{\prime }}B}+\overrightarrow{{{B}^{\prime }}{{C}^{\prime }}}=\overrightarrow{{{B}^{\prime }}B}+\overrightarrow{{{B}^{\prime }}{{A}^{\prime }}}+\overrightarrow{{{A}^{\prime }}{{C}^{\prime }}}=-\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}$.
$\overrightarrow{B{{C}^{\prime }}}=\overrightarrow{B{{B}^{\prime }}}+\overrightarrow{{{B}^{\prime }}{{C}^{\prime }}}=\overrightarrow{B{{B}^{\prime }}}+\overrightarrow{{{B}^{\prime }}{{A}^{\prime }}}+\overrightarrow{{{A}^{\prime }}{{C}^{\prime }}}=\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}$.
b) $\overrightarrow{A{{G}^{\prime }}}=\frac{1}{3}\left( \overrightarrow{A{{A}^{\prime }}}+\overrightarrow{A{{B}^{\prime }}}+\overrightarrow{A{{C}^{\prime }}} \right)=\frac{1}{3}\left( \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c} \right)$.
Bài tập 3: Cho bốn điểm phân biệt $A,B,C,D$. Hai điểm $M,N$ lần lượt chia đoạn $AC$ và $BD$ theo cùng tỉ số $\lambda $. Chứng minh rằng ba vectơ $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{CD},\overrightarrow{MN}$ đồng phẳng. Hãy biểu thị vectơ $\overrightarrow{MN}$ theo $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{CD}$.
Lời giải
Theo giả thiết ta có $\overrightarrow{MA}=\lambda \overrightarrow{MC};\overrightarrow{NB}=\lambda \overrightarrow{ND}$.
Vậy$\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BN};\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DN}$.
Hay: $\begin{align}& \overrightarrow{MN}-\lambda \overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BN}-\lambda \overrightarrow{MC}-\lambda \overrightarrow{CD}-\lambda \overrightarrow{DN} \\& =\left( \overrightarrow{MA}-\lambda \overrightarrow{MC} \right)+\left( \overrightarrow{AB}-\lambda \overrightarrow{CD} \right)-\left( \overrightarrow{NB}-\lambda \overrightarrow{ND} \right) \\& \Leftrightarrow \left( 1-\lambda \right)\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{AB}-\lambda \overrightarrow{CD}\Leftrightarrow \overrightarrow{MN}=\frac{1}{1-\lambda }\overrightarrow{AB}-\frac{\lambda }{1-\lambda }\overrightarrow{CD} \\\end{align}$
Điều này chứng tỏ ba vectơ $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{CD},\overrightarrow{MN}$ đồng phẳng.
Bài tập 4: Cho tứ diện $ABCD$. Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của $AB,CD$;$P,Q$ lần lượt là các điểm chia đoạn $AC$ và $BD$ theo tỉ số $k\ne 1$. Chứng minh bốn điểm $M,N,P,Q$ đồng phẳng.
Lời giải
Ta sẽ chứng minh tồn tại hai số thực $h,k$ sao cho $\overrightarrow{MN}=h\overrightarrow{MP}+k\overrightarrow{MQ}$.
Đặt: $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{a},\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{b},\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{c}$.
Ta có $\overrightarrow{MN}=\frac{1}{2}\left( \overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MD} \right)=\frac{1}{2}\left( \overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AD} \right)=\overrightarrow{MA}+\frac{1}{2}\left( \overrightarrow{b}+\overrightarrow{c} \right)=\frac{1}{2}\left( -\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c} \right)$(1).
Từ giả thiết $P$ chia đoạn thẳng $AC$ theo tỉ số $k$ ta có: $\overrightarrow{PA}=k\overrightarrow{PC}=k\left( \overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AP} \right)\Rightarrow \overrightarrow{AP}=\frac{k}{k-1}\overrightarrow{b}.$
Tương tự $Q$ chia đoạn $BD$ theo tỉ số $k$ nên $\overrightarrow{BQ}=\frac{k}{k-1}\overrightarrow{BD}=\frac{k}{k-1}\left( \overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB} \right)=\frac{k}{k-1}\left( \overrightarrow{c}-\overrightarrow{a} \right)$.
Từ đó ta có
$\begin{align}& \overrightarrow{MP}=\overrightarrow{AP}-\overrightarrow{AM}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{a}+\frac{k}{k-1}\overrightarrow{b} \\& \overrightarrow{MQ}=\overrightarrow{BQ}-\overrightarrow{BM}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{a}+\frac{k}{k-1}\left( \overrightarrow{c}-\overrightarrow{a} \right) \\\end{align}$
Suy ra $\overrightarrow{MP}+\overrightarrow{MQ}=\frac{k}{k-1}\left( -\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c} \right)$ (2)
Từ (1) và (2) cho ta $\overrightarrow{MN}=\frac{k}{2\left( k-1 \right)}\left( \overrightarrow{MP}+\overrightarrow{MQ} \right)$. Hệ thức này chứng tỏ $\overrightarrow{MN},\overrightarrow{MP},\overrightarrow{MQ}$ đồng phẳng nên bốn điểm $M,N,P,Q$ đồng phẳng.
Như vậy bên trên là tất cả những thông tin cần thiết về lý thuyết cũng như bài tập về chuyên đề vectơ trong không gian của một hình không gian lớp 11 có lời giải mà các bạn không nên bỏ qua. Nếu như bạn có thắc mắc hay cần hỗ trợ về giải bài tập vectơ trong không gian thì đừng ngần ngại mà không liên hệ ngay với chúng tôi để nhận được sự trợ giúp sớm nhất có thể nhé!
Xem thêm:
