Trong bài viết ngày hôm nay, Khoa Cử chúng tôi muốn đem đến cho các bạn một dạng bài rất hay trong chương trình toán lớp 12 đó chính là dạng vecto pháp tuyến của mặt phẳng oxyz rất đầy đủ và chi tiết cho các bạn tham khảo. Với những thông tin được Khoa cử chúng tôi chia sẽ giải đáp cho các bạn về vecto chỉ phương và vecto pháp tuyến trong không gian xác định như thế nào? Trong bài dưới đây hy vọng sẽ hỗ trợ cho bạn học tốt môn Toán Hình lớp 12 nhé!
I. CÁCH GIẢI
Vectơ $\overrightarrow{n}\ne \overrightarrow{0}$ là vectơ pháp tuyến (VTPT) nếu giá của $\overrightarrow{n}$ vuông góc với mặt phẳng $(\alpha )$
Chú ý:
- Nếu $\overrightarrow{n}$ là một VTPT của mặt phẳng $(\alpha )$ thì $k\overrightarrow{n}\,$$\,(k\ne 0)$ cũng là một VTPT của mặt phẳng$(\alpha )$.
- Một mặt phẳng được xác định duy nhất nếu biết một điểm nó đi qua và một VTPT của nó.
Nếu $\overrightarrow{u},\,\overrightarrow{v}$ có giá song song hoặc nằm trên mặt phẳng $(\alpha )$ thì $\overrightarrow{n}=\text{ }\!\![\!\!\text{ }\overrightarrow{u},\,\overrightarrow{v}\text{ }\!\!]\!\!\text{ }$ là một VTPT của $(\alpha )$.
Véctơ pháp tuyến $\vec{n}$ của mặt phẳng $(P)$ là véctơ có giá vuông góc với $(P).$ Nếu $\vec{n}$ là một véctơ pháp tuyến của $(P)$ thì $k.\vec{n}$ cũng là một véctơ pháp tuyến của $(P).$
$\centerdot $ Nếu mặt phẳng $(P)$ có cặp véctơ chỉ phương là ${{\vec{u}}_{1}},\text{ }{{\vec{u}}_{2}}$ thì $(P)$
có véctơ pháp tuyến là $\vec{n}=[{{\vec{u}}_{1}},{{\vec{u}}_{2}}].$
$\centerdot $ Mặt phẳng $(P):ax+by+cz+d=0$ có một véctơ pháp tuyến là $\vec{n}=(a;b;c).$
II. BÀI TẬP MẪU
Bài tập 1:
Cho mặt phẳng $\left( \alpha \right):2x-3y-4z+1=0$. Khi đó, một véc tơ pháp tuyến của $\left( \alpha \right)$
A. $\overrightarrow{n}=\left( 2;3;-4 \right)$. B. $\overrightarrow{n}=\left( 2;-3;4 \right)$. C. $\overrightarrow{n}=\left( -2;3;4 \right)$. D. $\overrightarrow{n}=\left( -2;3;1 \right)$.
Lời giải
Chọn C
Mặt phẳng $\left( \alpha \right):2x-3y-4z+1=0$ có một véc tơ pháp tuyến $\overrightarrow{{{n}_{0}}}=\left( 2;-3;-4 \right)$.
Nhận thấy $\overrightarrow{n}=\left( -2;3;4 \right)=-\overrightarrow{{{n}_{0}}}$, hay $\overrightarrow{n}$ cùng phương với $\overrightarrow{{{n}_{0}}}$.
Do đó véc tơ $\overrightarrow{n}=\left( -2;3;4 \right)$cũng là một véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng$\left( \alpha \right)$
Bài tập 2:
Trong không gian$Oxyz$, cho mặt phẳng$\left( P \right):3xz+2=0$. Vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của$\left( P \right)$?
A. $\overrightarrow{{{n}_{4}}}=(-1;0;-1)$ B. $\overrightarrow{{{n}_{1}}}=(3;-1;2)$ C. $\overrightarrow{{{n}_{3}}}=(3;-1;0)$ D. $\overrightarrow{{{n}_{2}}}=(3;0;-1)$
Lời giải
Chọn D
Bài tập 3:
Trong không gian $Oxyz$, véctơ nào dưới đây có giá vuông góc với mặt phẳng $\left( \alpha \right):2x-3y+1=0?$
A. $\overrightarrow{a}=\left( 2;\ -3;\ 1 \right)$ B. $\overrightarrow{b}=\left( 2;\ 1;\ -3 \right)$ C. $\overrightarrow{c}=\left( 2;\ -3;\ 0 \right)$ D. $\overrightarrow{d}=\left( 3;\ 2;\ 0 \right)$
Lời giải
Chọn C
Mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ có một VTPT là $\overrightarrow{n}=\left( 2;\ -3;\ 0 \right)=\overrightarrow{c}$.
Bài tập 4:
Trong không gian $Oxyz$, một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $\frac{x}{-2}+\frac{y}{-1}+\frac{z}{3}=1$ là
A. $\overrightarrow{n}=(3;6;-2)$ B. $\overrightarrow{n}=(2;-1;3)$ C. $\overrightarrow{n}=(-3;-6;-2)$ D. $\overrightarrow{n}=(-2;-1;3)$
Lời giải
Phương trình $\frac{x}{-2}+\frac{y}{-1}+\frac{z}{3}=1\Leftrightarrow -\frac{1}{2}x-y+\frac{1}{3}z-1=0.\Leftrightarrow 3x+6y-2z+6=0.$
Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $\overrightarrow{n}=(3;6;-2)$.
Bài tập 5:
Trong mặt phẳng tọa độ $Oxyz$, cho phương trình tổng quát của mặt phẳng $\left( P \right):2x-6y-8z+1=0$. Một véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left( P \right)$ có tọa độ là:
A. $\left( -\text{1; }-\text{3; 4} \right)$ B. $\left( \text{1; 3; 4} \right)$ C. $\left( \text{1;}\,-\text{3;}\,-\text{4} \right)$ D. $\left( \text{1;}\,-\text{3; 4} \right)$
Lời giải
Phương trình tổng quát của mặt phẳng $\left( P \right):2x-6y-8z+1=0$ nên một véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left( P \right)$ có tọa độ là $\left( 2;\,-6;\,-8 \right)$ hay $\left( \text{1;}\,-\text{3;}\,-\text{4} \right)$.
Bài tập 6:
Trong không gian $\text{Ox}yz$, vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left( P \right):2y-3z+1=0$?
A. $\overrightarrow{{{u}_{4}}}=\left( 2;\,0;\,-3 \right)$. B. $\overrightarrow{{{u}_{2}}}=\left( 0;\,2;\,-3 \right)$. C. $\overrightarrow{{{u}_{1}}}=\left( 2;\,-3;\,1 \right)$. D. $\overrightarrow{{{u}_{3}}}=\left( 2;\,-3;\,0 \right)$.
Lời giải
Ta có $\overrightarrow{{{u}_{2}}}=\left( 0;\,2;\,-3 \right)$là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left( P \right):2y-3z+1=0$.
Bài tập 7:
Cho mặt phẳng $\left( P \right):3x-y+2=0$. Véc tơ nào trong các véctơ dưới đây là một véctơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left( P \right)$?
A. $\left( 3;-1;2 \right)$. B. $\left( -1;0;-1 \right)$. C. $\left( 3;0;-1 \right)$. D. $\left( 3;-1;0 \right)$.
Lời giải
Một véctơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left( P \right):3x-y+2=0$ là $\left( 3;-1;0 \right)$.
Như vậy, bên trên là tất cả những thông tin cần thiết về cách giải cũng như bài tập mẫu về vecto pháp tuyến của mặt phẳng mà các bạn không nên bỏ qua. Nếu như bạn có thắc mắc hay cần hỗ trợ thì đừng ngần ngại mà không liên hệ ngay với chúng tôi để nhận được sự trợ giúp sớm nhất nhé!