Hôm nay, các bạn hãy cùng Khoa Cử chúng tôi đi đến với các ứng dụng tích phân trong hình học rất đầy đủ và chi tiết cho các bạn tham khảo. Với những thông tin được Khoa cử chúng tôi chia sẽ bên dưới đây hy vọng sẽ hỗ trợ cho bạn học tốt môn Toán lớp 12 nhằm đạt được kết quả cao trong học tập nhé!
I. LÝ THUYẾT
Để có thể làm được các dạng bài tập của dạng bài ứng dụng tích phân trong hình học một cách dễ dàng nhất thì chúng ta cần phải nắm vững và thật chắc các công thức trong ứng dụng tích phân của mỗi dạng như sau:
1. DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG
Định lý 1: Cho hàm số $y=f(x)$liên tục, không âm trên$\left[ a;b \right]$. Khi đó diện tích S của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=f(x)$, trục hoành và 2 đường thẳng $x=a,x=b$ là: $S=\int\limits_{a}^{b}{f(x)dx}$
Bài toán liên quan:
Bài toán 1: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=f(x)$ liên tục trên đoạn $\left[ a;b \right]$, trục hoành và hai đường thẳng $x=a$, $x=b$ được xác định: $S=\int\limits_{a}^{b}{\left| f(x) \right|dx}$
Bài toán 2: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=f(x)$, $y=g(x)$ liên tục trên đoạn $\left[ a;b \right]$ và hai đường thẳng $x=a$, $x=b$ được xác định: $S=\int\limits_{a}^{b}{\left| f(x)-g(x) \right|dx}$
Chú ý:
– Nếu trên đoạn $\text{ }\!\![\!\!\text{ }a;b\text{ }\!\!]\!\!\text{ }$, hàm số $f(x)$ không đổi dấu thì: $\int\limits_{a}^{b}{\left| f(x) \right|dx}=\left| \int\limits_{a}^{b}{f(x)dx} \right|$
– Nắm vững cách tính tích phân của hàm số có chứa giá trị tuyệt đối
Bài toán 3: Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường $x=g(y)$, $x=h(y)$ và hai đường thẳng $y=c$, $y=d$ được xác định: $S=\int\limits_{c}^{d}{\left| g(y)-h(y) \right|dy}$
Bài toán 4: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi 2 đồ thị $({{C}_{1}}):{{f}_{1}}(x)$,$({{C}_{2}}):{{f}_{2}}(x)$là: $S=\int\limits_{{{x}_{1}}}^{{{x}_{n}}}{\left| f(x)-g(x) \right|}dx$. Trong đó:${{x}_{1}},{{x}_{n}}$tương ứng là nghiệm nhỏ nhất của phương trình$f(x)=g(x)$
2. THỂ TÍCH CỦA KHỐI TRÒN XOAY
Thể tích vật thể: Gọi $B$ là phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại các điểm a và b; $S(x)$ là diện tích thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm $x$, $(a\le x\le b)$. Giả sử $S(x)$ là hàm số liên tục trên đoạn $\text{ }\!\![\!\!\text{ }a;b\text{ }\!\!]\!\!\text{ }$.
Thể tích khối tròn xoay
Bài toán 1: Thể tích khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường $y=f(x)$, trục hoành và hai đường thẳng $x=a$, $x=b$ quanh trục Ox:
Bài toán 2: Thể tích khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường $x=g(y)$, trục hoành và hai đường thẳng $y=c$, $y=d$ quanh trục Oy:
Bài toán 3: Thể tích khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường $y=f(x)$,$y=g(x)$ và hai đường thẳng $x=a$, $x=b$ quanh trục Ox: $V=\pi \int\limits_{a}^{b}{\left| {{f}^{2}}(x)-{{g}^{2}}(x) \right|dx}$
II. BÀI TẬP MẪU
Bài tập 1:
Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=1-\frac{1}{{{x}^{2}}}$, trục $Ox$ và hai đường thẳng $x=\frac{1}{2},x=2$có diện tích là
Lời giải
Diện tích hình phẳng cần tìm là:
$S=\int\limits_{\frac{1}{2}}^{2}{\left| 1-\frac{1}{{{x}^{2}}} \right|dx}=\int\limits_{\frac{1}{2}}^{2}{\frac{\left| {{x}^{2}}-1 \right|}{{{x}^{2}}}dx}=-\int\limits_{\frac{1}{2}}^{1}{\frac{{{x}^{2}}-1}{{{x}^{2}}}dx}+\int\limits_{1}^{2}{\frac{{{x}^{2}}-1}{{{x}^{2}}}dx}$
$=-\int\limits_{\frac{1}{2}}^{1}{\left( 1-\frac{1}{{{x}^{2}}} \right)dx}+\int\limits_{1}^{2}{\left( 1-\frac{1}{{{x}^{2}}} \right)dx}=-\left( x+\frac{1}{x} \right)\left| \begin{matrix}1\\\frac{1}{2} \\\end{matrix}+\left( x+\frac{1}{x} \right)\left| \begin{matrix}2\\1\\\end{matrix}=1 \right. \right.$
$\Rightarrow $ Chọn đáp án D
Giải theo phương pháp trắc nghiệm
Sử dụng máy tính Casio tính tích phân $S=\int\limits_{\frac{1}{2}}^{2}{\left| 1-\frac{1}{{{x}^{2}}} \right|dx}=1$
Bài tập 2:
Cho hàm số $y=f\left( x \right)=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d,\left( a,b,c\in \mathbb{R},a\ne 0 \right)$có đồ thị $\left( C \right)$. Biết rằng đồ thị $\left( C \right)$ tiếp xúc với đường thẳng $y=4$ tại điểm có hoành độ âm và đồ thị hàm số $y={f}’\left( x \right)$ cho bởi hình vẽ dưới đây:
Tính diện tích $S$ của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị $\left( C \right)$ và trục hoành.
Lời giải
Từ đồ thị suy ra ${f}’\left( x \right)=3{{x}^{2}}-3$.
$f\left( x \right)=\int{{f}’\left( x \right)dx=\int{\left( 3{{x}^{2}}-3 \right)dx={{x}^{3}}-3x+C}}$.
Do $\left( C \right)$ tiếp xúc với đường thẳng $y=4$ tại điểm có hoành độ ${{x}_{0}}$ âm nên ${f}’\left( {{x}_{0}} \right)=0\Leftrightarrow 3x_{0}^{2}-3=0\Leftrightarrow {{x}_{0}}=-1$.
Suy ra $f\left( -1 \right)=4\Leftrightarrow C=2$$\Rightarrow \left( C \right):y={{x}^{3}}-3x+2$
Xét phương trình:
Diện tích hình phẳng cần tìm là: $\int_{-2}^{1}{\left| {{x}^{3}}-3x+2 \right|dx}=\frac{27}{4}$.
Bài tập 3:
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=\frac{2x+1}{x-2}$ ; tiệm cận ngang và hai đường thẳng $x=3,x=e+2$ được tính bằng:
Lời giải
+ Tiệm cận ngang $y=2$
+ Đồ thị hàm số không cắt tiệm cận
$\Rightarrow S=\int\limits_{3}^{e+2}{\left| \frac{2x+1}{x-2}-2 \right|dx}=\int\limits_{3}^{e+2}{\left| \frac{5}{x-2} \right|dx}=\left. 5\ln \left| x-2 \right| \right|_{3}^{e+2}=5$
Bài tập 4:
Hình phẳng$\left( H \right)$giới hạn bởi các đường $y={{x}^{2}}$,$y=2x+3$ và hai đường $x=0,$ $x=2$. Công thức nào sau đây tính diện tích hình phẳng$\left( H \right)$?
Lời giải
Áp dụng lý thuyết: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị: $\left( {{C}_{1}} \right):y=f\left( x \right)$,$\left( {{C}_{2}} \right):y=g\left( x \right)$ và hai đường thẳng $x=a,x=b$ được xác định bởi công thức: $S=\int_{a}^{b}{\left| f\left( x \right)-g\left( x \right) \right|}dx$.
Khi đó diện tích hình phẳng H = $\int\limits_{0}^{2}{\left| {{x}^{2}}-2x-3 \right|}dx$
Bài tập 5:
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol $\left( P \right):y={{x}^{2}}-4x+5$ và hai tiếp tuyến của $\left( P \right)$ tại các điểm $A\left( 1;2 \right),\ \ B\left( 4;5 \right)$ là:
Lời giải
Phương trình tiếp tuyến với $\left( P \right)$ tại $A\left( 1;2 \right)$là $y=-2x+4$
Phương trình tiếp tuyến với $\left( P \right)$ tại $B\left( 4;5 \right)$ là $y=4×11$
Giao của hai tiếp tuyến có hoành độ $x=\frac{5}{2}$
Xét phương trình ${{x}^{2}}-4x+5=-2x+4\Rightarrow x=1$
Xét phương trình ${{x}^{2}}-4x+5=4x-11\Rightarrow x=4$
Do đó: $S=\int\limits_{1}^{\frac{5}{2}}{\left| {{x}^{2}}-4x+5+2x-4 \right|}dx+\int\limits_{\frac{5}{2}}^{4}{\left| {{x}^{2}}-4x+5-4x+11 \right|}dx=\frac{9}{4}$
Bài tập 6:
Gọi S là diện tích mặt phẳng giới hạn bởi parabol $y={{x}^{2}}+2x-3$ và đường thẳng $y=kx+1$ với k là tham số thực. Tìm k để S nhỏ nhất.
Lời giải
Ta có ${{x}^{2}}+2x-3=kx+1\Leftrightarrow {{x}^{2}}-\left( k-2 \right)x-4=0$
Do $ac=-4<0$ PT trên luôn có hai nghiệm phân biệt ${{x}_{1}},{{x}_{2}}$ thỏa mãn:
Giả sử ${{x}_{1}}<{{x}_{2}}\Rightarrow S=\left| \int\limits_{{{x}_{1}}}^{{{x}_{2}}}{\left( {{x}^{2}}-\left( k-2 \right)x-4 \right)dx} \right|=\left| \left( \frac{{{x}^{3}}}{3}-\frac{k-2}{2}{{x}^{2}}-4x \right)\left| \begin{matrix}{{x}_{2}}\\{{x}_{1}}\\\end{matrix} \right. \right|$
$=\left| \frac{1}{3}\left( x_{2}^{3}-x_{1}^{3} \right)-\frac{k-2}{2}\left( x_{2}^{2}-x_{1}^{2} \right)-4\left( {{x}_{2}}-{{x}_{1}} \right) \right|=\left| \left( {{x}_{2}}-{{x}_{1}} \right)\left| \frac{1}{3}\left[ x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+{{x}_{1}}.{{x}_{2}} \right] \right|-\frac{k-2}{2}\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)-4 \right|$
$=\sqrt{{{\left( {{x}_{2}}+{{x}_{1}} \right)}^{2}}-4{{x}_{1}}.{{x}_{2}}}\left| \frac{1}{3}\left[ {{\left( {{x}_{2}}+{{x}_{1}} \right)}^{2}}-{{x}_{1}}.{{x}_{2}} \right]-\frac{k-2}{2}\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)-4 \right|=\sqrt{{{\left( k-2 \right)}^{2}}+16}\left| \frac{{{\left( k-2 \right)}^{2}}}{6}+\frac{8}{3} \right|$
Vậy S nhỏ nhất khi ${k=2}$.
Bên trên là tất cả những thông tin như lý thuyết cũng như các bài tập mẫu có trong dạng ứng dụng tích phân trong hình học mà các bạn không nên bỏ qua. Nếu như có câu hỏi cần giải đáp thì đừng ngần ngại mà để lại câu hỏi cho Khoa Cử chúng tôi để có thể được chúng tôi giải đáp một cách nhanh nhất và sớm nhất nhé!
Xem thêm:
Cách giải và bài tập ứng dụng tích phân chi tiết
Cách giải và bài tập mẫu ứng dụng tích phân tính thể tích khối tròn xoay