Cách giải và bài tập mẫu ứng dụng tích phân tính thể tích khối tròn xoay

Bài viết sau đây giới thiệu đến các bạn cách giải bài tập mẫu ứng dụng tích phân tính thể tích khối tròn xoay, ứng dụng tích phân tính thể tích. Khoa Cử hy vọng với những chia sẻ này sẽ hỗ trợ bạn đọc học tốt môn Toán lớp 12!

I. CÁCH GIẢI DẠNG BÀI ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TÍNH THỂ TÍCH

1. Thể tích vật thể

Gọi $B$ là phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục $Ox$ tại các điểm $a$ và $b,$ $S(x)$ là diện tích thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục $Ox$ tại điểm $x,$ $(a\le x\le b).$ Giả sử $S(x)$ là hàm số liên tục trên đoạn $\text{ }\!\![\!\!\text{ }a;b\text{ }\!\!]\!\!\text{ }\text{.}$ Khi đó, thể tích của vật thể $B$ được xác định: $.$

ứng dụng tích phân tính thể tích

2. Thể tích khối tròn xoay

a) Thể tích khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường $y=f(x),$ trục hoành và hai đường thẳng $x=a,\text{ }x=b$ quanh trục $Ox:$

ứng dụng tích phân tính thể tích khối tròn xoay

b) Thể tích khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường $x=g(y),$ trục hoành và hai đường thẳng $y=c,$ $y=d$ quanh trục $Oy:$

ứng dụng tích phân tính thể tích

c) Thể tích khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường $y=f(x),$ $y=g(x)$

ứng dụng tích phân tính thể tích khối tròn xoay

Xem thêm: Cách giải và bài tập mẫu ứng dụng tích phân tính diện tích

II. BÀI TẬP MẪU DẠNG BÀI ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TÍNH THỂ TÍCH

Câu 1: Tìm mệnh đề đúng khi tính thể tích của khối tròn xoay hình thang cong

Gọi $V$ là thể tích của khối tròn xoay thu được khi quay hình thang cong, giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=\sin x$, trục Ox, trục Oy và đường thẳng $x=\frac{\pi }{2}$, xung quanh trục Ox. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. $V=\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{{{\sin }^{2}}xdx}$                    B. $V=\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{\sin xdx}$                   C. $V=\pi \int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{{{\sin }^{2}}xdx}$                   D. $V=\pi \int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{\sin xdx}$

Lời giải

Công thức tính: $V=\pi \int\limits_{a}^{b}{{{f}^{2}}\left( x \right)dx}$

Câu 2: Tính thể tích vật thể T

Cho vật thể $\left( T \right)$ giới hạn bởi hai mặt phẳng $x=0\,;\,x=2$. Cắt vật thể $\left( T \right)$ bởi mặt phẳng vuông góc với trục $Ox$ tại $x\left( 0\le x\le 2 \right)$ ta thu được thiết diện là một hình vuông có cạnh bằng $\left( x+1 \right){{e}^{x}}$. Thể tích vật thể $\left( T \right)$ bằng

A. $\frac{\pi \left( 13{{e}^{4}}-1 \right)}{4}$.                        B. $\frac{13{{e}^{4}}-1}{4}$.                       C. $2{{e}^{2}}$.                       D. $2\pi {{e}^{2}}$.

Lời giải

Diện tích thiết diện là $S\left( x \right)={{\left( x+1 \right)}^{2}}{{e}^{2x}}$.

Thể tích của vật thể $\left( T \right)$ là $V=\int\limits_{0}^{2}{S\left( x \right)}dx=\int\limits_{0}^{2}{{{\left( x+1 \right)}^{2}}{{e}^{2x}}}dx$.

$V=\left. \frac{1}{2}{{\left( x+1 \right)}^{2}}{{e}^{2x}} \right|_{0}^{2}-\int\limits_{0}^{2}{\left( x+1 \right){{e}^{2x}}}dx=\frac{9{{e}^{4}}-1}{2}-\left( \left. \frac{x+1}{2}{{e}^{2x}} \right|_{0}^{2}-\frac{1}{2}\int\limits_{0}^{2}{{{e}^{2x}}dx} \right)$

$=\frac{9{{e}^{4}}-1}{2}-\frac{3{{e}^{4}}-1}{2}+\left. \frac{1}{4}{{e}^{2x}} \right|_{0}^{2}=3{{e}^{4}}+\frac{1}{4}{{e}^{4}}-\frac{1}{4}=\frac{13{{e}^{4}}-1}{4}$.

Câu 3: Tính thể tích khối tròn xoay 

Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường $y=\sqrt{x}-2$, $y=0$ và $x=9$ quay xung quanh trục $Ox$. Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành.

A. $V=\frac{7}{6}$.                      B. $V=\frac{5\pi }{6}$.                    C. $V=\frac{7\pi }{11}$.                     D. $V=\frac{11\pi }{6}$.

Lời giải

Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số $y=\sqrt{x}-2$ và trục hoành: $\sqrt{x}-2=0$$\Leftrightarrow \sqrt{x}=2$$\Leftrightarrow x=4$.

Thể tích của khối tròn xoay tạo thành là:

$V=\pi \int\limits_{4}^{9}{{{\left( \sqrt{x}-2 \right)}^{2}}\text{d}x}$$=\pi \int\limits_{4}^{9}{\left( x-4\sqrt{x}+4 \right)}\text{d}x$$=\pi \left. \left( \frac{{{x}^{2}}}{2}-\frac{8x\sqrt{x}}{3}+4x \right) \right|_{4}^{9}$$=\pi \left( \frac{81}{2}-72+36 \right)-\pi \left( \frac{16}{2}-\frac{64}{3}+16 \right)=\frac{11\pi }{6}$.

Câu 4: Tính thể tích khối tròn xoay 

Cho hình phẳng $\left( H \right)$giới hạn bởi các đường $y={{x}^{2}}-2x$, trục hoành và đường thẳng $x=1$. Tính thể tích $V$ hình tròn xoay sinh ra bởi $\left( H \right)$ khi quay $\left( H \right)$quanh trục $Ox$.

A. $V=\frac{4\pi }{3}$.                       B. $V=\frac{16\pi }{15}$.                        C. $V=\frac{7\pi }{8}$.                        D. $V=\frac{15\pi }{8}$.

Lời giải

Chọn B

Theo đề, ta có hình vẽ sau:

ứng dụng tích phân tính thể tích

Nhận xét: Khi nhìn vào hình vẽ. Đường thẳng $x=1$chia hình phẳng giới hạn bởi đường $y={{x}^{2}}-2x$ và trục hoành làm 2 phần. Dễ thấy lúc này hình phẳng $\left( H \right)$không thể xác định vì phần hình giới hạn bởi$x=0$đến$x=1$và$x=1$đến$x=2$ chưa rõ ràng.

Nếu xét phần tròn xoay khi xoay hình phẳng quanh trục $Ox$ khi$x=0$đến$x=2$thì không có đáp án trong bài, đồng thời đề cho thêm đường thẳng $x=1$ là không cần thiết.

Do đó để bài toán có đáp án và rõ ràng hơn ta điều chỉnh đề như sau:

Cho hình phẳng $\left( H \right)$giới hạn bởi đường $y={{x}^{2}}-2x$, trục hoành. Tính thể tích V hình tròn xoay sinh ra bởi $\left( H \right)$ khi quay $\left( H \right)$quanh trục $Ox$.

Câu 5: Tìm giá trị m để V<1000pi

Cho hình phẳng $(H)$ được giới hạn bởi đường cong $y=\sqrt{{{m}^{2}}-{{x}^{2}}}$ ($m$ là tham số khác $0$) và trục hoành. Khi $(H)$quay xung quanh trục hoành được khối tròn xoay có thể tích $V$. Có bao nhiêu giá trị nguyên của $m$ để $V<1000\pi $.

A. 18.                           B. 20.                         C. 19.                            D. 21.

Lời giải

Phương trình hoành độ giao điểm của đường cong và trục hoành là: $\sqrt{{{m}^{2}}-{{x}^{2}}}=0\Leftrightarrow x=\pm m$

Thể tích vật thể tròn xoay cần tính là: $V=\pi \int\limits_{-\left| m \right|}^{\left| m \right|}{({{m}^{2}}-{{x}^{2}})dx}=\pi ({{m}^{2}}x-\frac{1}{3}{{x}^{3}})\mathop{|}_{-\left| m \right|}^{\left| m \right|}=\frac{4\pi {{m}^{2}}\left| m \right|}{3}$

Ta có: $V<1000\pi$$\Leftrightarrow \frac{4\pi {{m}^{2}}\left| m \right|}{3}<1000\pi$$\Leftrightarrow {{\left| m \right|}^{3}}<750$$\Leftrightarrow -\sqrt[3]{750}<m<\sqrt[3]{750}$.

Ta có $\sqrt[3]{750}\simeq 9,08$ và $m\ne 0$. Vậy có 18 giá trị nguyên của m.

Câu 6: Tìm giá trị của 24p khi biết thể tích V

Cho hình phẳng $\left( D \right)$ giới hạn bởi các đường $y=x-\pi $, $y=\sin x$ và $x=0$. Gọi $V$ là thể tích khối tròn xoay tạo thành do $\left( D \right)$ quay quanh trục hoành và $V=p{{\pi }^{4}},\,\,\left( p\in \mathbb{Q} \right)$. Giá trị của $24p$ bằng

A. $8$                      B. $4$.                      C. $24$.                        D. $12$.

Lời giải

Xét phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số $y=x-\pi $ và $y=\sin x$:

$x-\pi =\sin x$ $\Leftrightarrow x-\pi -\sin x=0\,\,\left( 1 \right)$. Ta thấy $x=\pi $ là một nghiệm của phương trình $\left( 1 \right)$.

Xét hàm số $f\left( x \right)=x-\pi -\sin x\Rightarrow {f}’\left( x \right)=1-c\text{os}x\ge 0,\,\forall x\in \mathbb{R}$.

$\Rightarrow f\left( x \right)$ đồng biến trên $\mathbb{R}$ nên $x=\pi $ là nghiệm duy nhất của phương trình $f\left( x \right)=0$.

ứng dụng tích phân tính thể tích khối tròn xoay

Cách 1:

Xét hàm số $g\left( x \right)=\pi -x-\sin x,\,\,x\in \left( 0;\,\pi  \right)$.

${g}’\left( x \right)=-1-c\text{os}x<0,\,\,\forall x\in \left( 0;\,\pi  \right)$, suy ra hàm số $g\left( x \right)=\pi -x-\sin x$ nghịch biến trên $\left( 0;\,\pi  \right)$.

$\forall x\in \left( 0;\pi  \right):g\left( x \right)>g\left( \pi  \right)\Rightarrow \pi -x-\sin x>\pi -\pi -\sin \pi =0$$\Rightarrow \pi -x>\sin x\,\,\,\left( 2 \right)$.

Do đó thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay $\left( D \right)$ quanh trục hoành là thể tích của khối nón khi quay tam giác vuông $OAB$ quanh trục hoành.

$V=\frac{1}{3}.\pi .O{{B}^{2}}.OA=\frac{1}{3}\pi .{{\pi }^{2}}.\pi =\frac{1}{3}{{\pi }^{4}}$ $\Rightarrow p=\frac{1}{3}$. Vậy $24p=24.\frac{1}{3}=8$.

Cách 2: Từ $\left( 2 \right)$ ta có $V=\pi \int\limits_{0}^{\pi }{{{\left( x-\pi  \right)}^{2}}}\text{d}x=\pi \int\limits_{0}^{\pi }{{{\left( x-\pi  \right)}^{2}}}\text{d}\left( x-\pi  \right)$

$=\left. \pi .\frac{{{\left( x-\pi  \right)}^{3}}}{3} \right|_{0}^{\pi }=\frac{{{\pi }^{4}}}{3}$ $\Rightarrow p=\frac{1}{3}$.

Vậy $24p=24.\frac{1}{3}=8$.

Câu 7: Tính thể tích khối tròn xoay

Cho hình thang $ABCD$ có $AB$ song song $CD$ và $AB=AD=BC=a,\,\,CD=2a$. Tính thể tích khối tròn xoay khi quay hình thang $ABCD$ quanh trục là đường thẳng $AB$.

A. $\frac{5}{4}\pi {{a}^{3}}$                         B. $\frac{5}{2}\pi {{a}^{3}}$.                         C. $\frac{3-2\sqrt{2}}{3}\pi {{a}^{3}}$.                         D. $\pi {{a}^{3}}$.

Lời giải

ứng dụng tích phân tính thể tích

Dễ thấy $ABCE$ là hình bình hành nên $AE=BC=a$. Vậy $ADE$ là tam giác đều.

Có $AH=\frac{a\sqrt{3}}{2}$.

Xét hệ trục tọa độ $Oxy$ như hình vẽ. Có phương trình $CD:y=-\frac{a\sqrt{3}}{2}$; ${{x}_{D}}=0,{{x}_{C}}=2a$; $A\left( \frac{a}{2};0 \right)$.

Phương trình $AD:y=\sqrt{3}x-\frac{a\sqrt{3}}{2}$.

Vậy $V=\pi \int\limits_{0}^{2a}{{{\left( \frac{a\sqrt{3}}{2} \right)}^{2}}}-2\pi \int\limits_{0}^{\frac{a}{2}}{{{\left( \sqrt{3}x-\frac{a\sqrt{3}}{2} \right)}^{2}}}=\frac{3\pi {{a}^{2}}}{4}.2a-2\pi \int\limits_{0}^{\frac{a}{2}}{\left( 3{{x}^{2}}-3ax+\frac{3{{a}^{2}}}{4} \right)}$

$\frac{3\pi {{a}^{3}}}{2}-2\pi \left. \left( {{x}^{3}}-\frac{3a}{2}{{x}^{2}}+\frac{3{{a}^{2}}}{4}x \right) \right|_{0}^{\frac{a}{2}}=\frac{3\pi {{a}^{3}}}{2}-2\pi .\frac{{{a}^{3}}}{8}=\frac{5}{4}\pi {{a}^{3}}$.

Cách 2: Thể tích khối tròn xoay được tạo ra theo đề bài là thể tích khối trụ có chiều cao $2a$ bán kính đáy bằng $\frac{a\sqrt{3}}{2}$ trừ đi thể tích hai khối nón cùng có chiều cao $\frac{a}{2}$ bán kính đáy $\frac{a\sqrt{3}}{2}$. Vậy $V=\pi .{{\left( \frac{a\sqrt{3}}{2} \right)}^{2}}2a-2.\frac{1}{3}\pi {{\left( \frac{a\sqrt{3}}{2} \right)}^{2}}.\frac{a}{2}=\frac{5}{4}\pi {{a}^{3}}$

Câu 8: Tính diện tích S phần hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C) và đường thẳng OM

Cho đồ thị $\left( C \right):y=f\left( x \right)=\sqrt{x}$. Gọi $\left( H \right)$ là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị $\left( C \right)$, đường thẳng $x=9$ và trục $Ox$. Cho điểm $M$ thuộc đồ thị $\left( C \right)$ và điểm $A\left( 9;\,0 \right)$. Gọi ${{V}_{1}}$ là thể tích khối tròn xoay khi cho $\left( H \right)$ quay quanh trục $Ox$, ${{V}_{2}}$ là thể tích khối tròn xoay khi cho tam giác $AOM$ quay quanh trục $Ox$. Biết rằng ${{V}_{1}}=2{{V}_{2}}$. Tính diện tích $S$ phần hình phẳng giới hạn bởi đồ thị $\left( C \right)$ và đường thẳng $OM$.

ứng dụng tích phân tính thể tích khối tròn xoay

A. $S=3$.                         B. $S=\frac{27\sqrt{3}}{16}$.                        C. $S=\frac{3\sqrt{3}}{2}$.                         D. $S=\frac{4}{3}$.

Lời giải

Ta có ${{V}_{1}}=\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }\int\limits_{0}^{9}{{{\left( \sqrt{x} \right)}^{2}}\text{d}x}$$=$$\frac{81\pi }{2}$.

Gọi $H$ là hình chiếu của $M$ lên trục $Ox$, đặt $OH=m$ , ta có $M\left( m;\,\sqrt{m} \right)$, $MH=\sqrt{m}$ và $AH=9-m$.

Suy ra ${{V}_{2}}=\frac{1}{3}\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }.M{{H}^{2}}.OH+\frac{1}{3}\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }.M{{H}^{2}}.AH$$=\frac{1}{3}\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }.M{{H}^{2}}.OA$$=$$3m\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }$.

Theo giả thiết, ta có ${{V}_{1}}=2{{V}_{2}}$ nên $\frac{81\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{2}=6m\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }$$\Leftrightarrow $$m=\frac{27}{4}$. Do đó $M\left( \frac{27}{4};\,\frac{3\sqrt{3}}{2} \right)$.

Từ đó ta có phương trình đường thẳng $OM$ là $y=\frac{2\sqrt{3}}{9}x$.

Diện tích $S$ phần hình phẳng giới hạn bởi đồ thị $\left( C \right)$ và đường thẳng $OM$ là

$S=\int\limits_{0}^{\frac{27}{4}}{\left( \sqrt{x}-\frac{2\sqrt{3}}{9}x \right)\text{d}x}$$=\left. \left( \frac{2}{3}x\sqrt{x}-\frac{\sqrt{3}}{9}{{x}^{2}} \right) \right|_{0}^{\frac{27}{4}}$$=$$\frac{27\sqrt{3}}{16}$.

Xem thêm:

Cách giải và bài tập mẫu tích phân từng phần

Cách giải và bài tập mẫu ứng dụng tích phân tính diện tích

Lý thuyết và bài tập mẫu nguyên hàm