Trong bài viết ngày hôm nay, Khoa Cử chúng tôi muốn đem đến cho các bạn tổng hợp bài tập bài tập cấp số cộng lớp 11 rất đầy đủ và chi tiết cho các bạn tham khảo. Với những thông tin được Khoa cử chúng tôi chia sẽ về cách giải bài tập cấp số cộng có lời giải cũng như các bài tập cấp số cộng nâng cao bên dưới đây hy vọng sẽ hỗ trợ cho bạn học tốt môn Toán Đại lớp 11 nhé!
DẠNG 1: CHỨNG MINH MỘT DÃY SỐ LÀ CẤP SỐ CỘNG.
Để chứng minh dãy số ${\left( {{u}_{n}} \right)}$ là một cấp số cộng, ta xét ${A={{u}_{n+1}}-{{u}_{n}}}$
${\bullet }$ Nếu $A$ là hằng số thì ${\left( {{u}_{n}} \right)}$ là một cấp số cộng với công sai ${d=A}$.
${\bullet }$ Nếu $A$ phụ thuộc vào $n$ thì ${\left( {{u}_{n}} \right)}$ không là cấp số cộng.
Bài tập 1:
Trong các dãy số sau, có bao nhiêu dãy số là cấp số cộng?
a) Dãy số $\left( {{u}_{n}} \right)$ với ${{u}_{n}}=4n$.
b) Dãy số $\left( {{v}_{n}} \right)$ với ${{v}_{n}}=2{{n}^{2}}+1$.
b) Dãy số $\left( {{w}_{n}} \right)$ với ${{w}_{n}}=\frac{n}{3}-7$.
d) Dãy số $\left( {{t}_{n}} \right)$ với ${{t}_{n}}=\sqrt[{}]{5}-5n$.
A. $4$. B. $2$. C. $1$. D. $3$.
Lời giải
Chọn D
Dãy số $\left( {{u}_{n}} \right)$ với ${{u}_{n}}=4n$ có ${{u}_{n+1}}=4\left( n+1 \right)=4n+4$$\Rightarrow {{u}_{n+1}}={{u}_{n}}+4$, $\forall n\in {{\mathbb{N}}^{*}}$$\Rightarrow $dãy số $\left( {{u}_{n}} \right)$ là cấp số cộng với công sai $d=4$.
Dãy số $\left( {{v}_{n}} \right)$ với ${{v}_{n}}=2{{n}^{2}}+1$ có ${{v}_{1}}=3$, ${{v}_{2}}=9$, ${{v}_{3}}=19$ nên dãy số $\left( {{v}_{n}} \right)$ không là cấp số cộng.
Dãy số $\left( {{w}_{n}} \right)$ với ${{w}_{n}}=\frac{n}{3}-7$ có ${{w}_{n+1}}=\frac{n+1}{3}-7$$=\frac{n}{3}-7+\frac{1}{3}$$\Rightarrow {{u}_{n+1}}={{u}_{n}}+\frac{1}{3}$, $\forall n\in {{\mathbb{N}}^{*}}$$\Rightarrow $dãy số $\left( {{w}_{n}} \right)$ là cấp số cộng với công sai $d=\frac{1}{3}$.
Dãy số $\left( {{t}_{n}} \right)$ với ${{t}_{n}}=\sqrt[{}]{5}-5n$ có ${{t}_{n+1}}=\sqrt[{}]{5}-5n-5$$\Rightarrow {{u}_{n+1}}={{u}_{n}}-5$, $\forall n\in {{\mathbb{N}}^{*}}$$\Rightarrow $dãy số $\left( {{w}_{n}} \right)$ là cấp số cộng với công sai $d=-5$.
Vậy có $3$ dãy số là cấp số cộng.
Bài tập 2:
Dãy số nào dưới đây là cấp số cộng?
A. ${{u}_{n}}=n+{{2}^{n}},\,\left( n\in {{\mathbb{N}}^{*}} \right).$ B. ${{u}_{n}}=3n+1,\,\left( n\in {{\mathbb{N}}^{*}} \right).$
C. ${{u}_{n}}={{3}^{n}},\,\left( n\in {{\mathbb{N}}^{*}} \right).$ D. ${{u}_{n}}=\frac{3n+1}{n+2},\,\left( n\in {{\mathbb{N}}^{*}} \right).$
Lời giải
Chọn B
Với dãy số ${{u}_{n}}=n+{{2}^{n}},\,\left( n\in {{\mathbb{N}}^{*}} \right)$, xét hiệu: ${{u}_{n+1}}-{{u}_{n}}=n+1+{{2}^{n+1}}-n-{{2}^{n}}={{2}^{n}}+1,\,\left( n\in {{\mathbb{N}}^{*}} \right)$ thay đổi theo $n$ nên ${{u}_{n}}=n+{{2}^{n}},\,\left( n\in {{\mathbb{N}}^{*}} \right)$ không là cấp số cộng. (A loại)
Với dãy số ${{u}_{n}}=3n+1,\,\left( n\in {{\mathbb{N}}^{*}} \right)$, xét hiệu: ${{u}_{n+1}}-{{u}_{n}}=3\left( n+1 \right)+1-3n-1=3,\,\left( n\in {{\mathbb{N}}^{*}} \right)$ là hằng số nên ${{u}_{n}}=3n+1,\,\left( n\in {{\mathbb{N}}^{*}} \right)$ là cấp số cộng. (B đúng)
Với dãy số ${{u}_{n}}={{3}^{n}},\,\left( n\in {{\mathbb{N}}^{*}} \right)$, xét hiệu: ${{u}_{n+1}}-{{u}_{n}}={{3}^{n+1}}-{{3}^{n}}={{2.3}^{n}},\,\left( n\in {{\mathbb{N}}^{*}} \right)$ thay đổi theo $n$ nên ${{u}_{n}}={{3}^{n}},\,\left( n\in {{\mathbb{N}}^{*}} \right)$ không là cấp số cộng. (C loại)
Với dãy số ${{u}_{n}}=\frac{3n+1}{n+2},\,\left( n\in {{\mathbb{N}}^{*}} \right)$, xét hiệu: ${{u}_{n+1}}-{{u}_{n}}=\frac{3\left( n+1 \right)+1}{n+1+2}-\frac{3n+1}{n+2}=\frac{5}{\left( n+2 \right)\left( n+3 \right)},\,\left( n\in {{\mathbb{N}}^{*}} \right)$ thay đổi theo $n$ nên ${{u}_{n}}=\frac{3n+1}{n+2},\,\left( n\in {{\mathbb{N}}^{*}} \right)$ không là cấp số cộng. (D loại)
Bài tập 3:
Cho tam giác ABC, có ba cạnh$a,b,c$ theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng. Tính giá trị biểu thức $P=\cot \frac{A}{2}.\cot \frac{C}{2}.$
A. $P=1.$ B. $P=2.$ C. $P=3.$ D. $P=4.$
Lời giải
Chọn C
Nếu ba cạnh $a,b,c$ lập thành cấp số cộng thì ta có: $a+c=2b.$
$\Leftrightarrow \sin A+\sin C=2\sin B\Leftrightarrow 2\sin \frac{A+C}{2}c\text{os}\frac{\text{A-C}}{\text{2}}=4\sin \frac{B}{2}c\text{os}\frac{\text{B}}{\text{2}}$(1)
Vì: $A+C={{180}^{0}}-B\Rightarrow \frac{A+C}{2}={{90}^{0}}-\frac{B}{2}\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & \sin \frac{A+C}{2}=\sin \left( {{90}^{0}}-\frac{B}{2} \right)=c\text{os}\frac{\text{B}}{\text{2}} \\ & c\text{os}\frac{A+C}{2}=c\text{os}\left( {{90}^{0}}-\frac{B}{2} \right)=\sin \frac{B}{2} \\\end{align} \right.\left( * \right)$
Do đó (1) trở thành:
$\Leftrightarrow \sin \frac{A+C}{2}c\text{os}\frac{\text{A-C}}{\text{2}}=2\sin \frac{A+C}{2}c\text{os}\frac{\text{A+C}}{\text{2}}\Leftrightarrow c\text{os}\frac{\text{A-C}}{\text{2}}=2\sin \frac{B}{2}\Leftrightarrow c\text{os}\frac{\text{A-C}}{\text{2}}=2c\text{os}\frac{\text{A+C}}{\text{2}}$
$\Leftrightarrow c\text{os}\frac{\text{A}}{\text{2}}c\text{os}\frac{\text{C}}{\text{2}}+\sin \frac{A}{2}\sin \frac{C}{2}=2\cos \frac{A}{2}c\text{os}\frac{\text{C}}{\text{2}}-2\sin \frac{A}{2}\sin \frac{C}{2}\Leftrightarrow c\text{os}\frac{\text{A}}{\text{2}}c\text{os}\frac{\text{C}}{\text{2}}=3\sin \frac{A}{2}\sin \frac{C}{2}$
$\Rightarrow \cot \frac{A}{2}\cot \frac{C}{2}=3.$
DẠNG 2: TÌM SỐ HẠNG ĐẦU TIÊN, CÔNG SAI CỦA CẤP SỐ CỘNG, TÌM SỐ HẠNG THỨ K CỦA CẤP SỐ CỘNG, TÍNH TỔNG K SỐ HẠNG ĐẦU TIÊN.
Ta thiết lập một hệ phương trình gồm hai ẩn ${{{u}_{1}}}$ và d. Sau đó giải hệ phương trình này tìm được ${{{u}_{1}}}$ và $d$.
Muốn tìm số hạng thứ $k$, trước tiên ta phải tìm ${{{u}_{1}}}$ và $d$. Sau đó áp dụng công thức: ${{{u}_{k}}={{u}_{1}}+\left( k-1 \right)d}$.
Muốn tính tổng của k số hạng đầu tiên, ta phải tìm ${{{u}_{1}}}$ và $d$. Sau đó áp dụng công thức: ${{{S}_{k}}=\frac{k\left( {{u}_{1}}+{{u}_{k}} \right)}{2}=\frac{k\left[ 2{{u}_{1}}+(k-1)d \right]}{2}}$
Bài tập 1:
Cho hai cấp số cộng hữu hạn$\left( {{a}_{n}} \right):2;5;8;11;…;{{a}_{1000}}.$ và $\left( {{b}_{n}} \right):-1;6;13;20;…;{{b}_{1000}}.$Có bao nhiêu số hạng có mặt ở cả hai dãy số trên?
A. $213.$ B. $400.$ C. $142.$ D. $138.$
Lời giải
Chọn C
Ta thấy cấp số cộng $\left( {{a}_{n}} \right)$ có số hạng đầu ${{u}_{1}}=2$ và công sai ${{d}_{1}}=3$. Khi đó số hạng thứ $m$của cấp số cộng này là: ${{a}_{m}}=2+\left( m-1 \right).3$
Cấp số cộng $\left( {{b}_{n}} \right)$ có số hạng đầu ${{u}_{1}}=-1$ và công sai ${{d}_{2}}=7$. Khi đó số hạng thứ $n$của cấp số cộng này là: ${{b}_{n}}=-1+\left( n-1 \right).7$
Xét ${{a}_{m}}={{b}_{n}}\Leftrightarrow 2+\left( m-1 \right)3=-1+\left( n-1 \right).7\Leftrightarrow 3m=7\left( n-1 \right)\Rightarrow m\vdots 7\Rightarrow m=7k$ $\left( k\in {{\mathbb{N}}^{*}} \right)$
Mà $1\le m\le 1000\Leftrightarrow 1\le 7k\le 1000\Leftrightarrow k\in \left[ \frac{1}{7};\frac{1000}{7} \right],k\in {{\mathbb{N}}^{*}}\Rightarrow k\in \left\{ 1;2;3;…;142 \right\}$. Vậy có $142$ giá trị $k$tương ứng với $142$số hạng có mặt ở cả hai dãy số trên.
Bài tập 2:
Chu vi một đa giác là $158cm$, số đo các cạnh của nó lập thành một cấp số cộng với công sai $d=3cm$. Biết cạnh lớn nhất là $44cm$. Số cạnh của đa giác đó là?
A. $3$. B. $4$. C. $5$. D. $6$.
Lời giải
Chọn B
Giả sử đã giác đã cho có $n$ cạnh thì chu vi của đa giác là:${{S}_{n}}=\frac{\left( {{u}_{1}}+{{u}_{n}} \right)n}{2}$với ${{u}_{1}}$ là cạnh nhỏ nhất. Suy ra: $158=\frac{\left( {{u}_{1}}+44 \right)n}{2}$$\Leftrightarrow 316=\left( {{u}_{1}}+44 \right)n$$\Leftrightarrow {{2}^{2}}.79=\left( {{u}_{1}}+44 \right)n$
Do đó ${{u}_{1}}+44$là ước nguyên dương của $316={{2}^{2}}.79$và đa giác có ít nhất ba cạnh nên
$\frac{316}{3}>{{u}_{1}}+44>44$. Suyra:${{u}_{1}}+44=79\Leftrightarrow {{u}_{1}}=35$.
Số cạnh của đa giác đã cho là: $\frac{44-35}{3}+1=4$( cạnh ).
Bài tập 3:
Cho hai cấp số cộng $\left( {{x}_{n}} \right):4$, $7$, $10$,… và $\left( {{y}_{n}} \right)$: $1$, $6$, $11$,…. Hỏi trong $2018$ số hạng đầu tiên của mỗi cấp số có bao nhiêu số hạng chung?
A. $404$. B. $673$. C. $403$. D. $672$.
Lời giải
Chọn C
Số hạng tổng quát của cấp số cộng $\left( {{x}_{n}} \right)$là: ${{x}_{n}}=4+\left( n-1 \right).3$$=3n+1$.
Số hạng tổng quát của cấp số cộng $\left( {{y}_{n}} \right)$là: ${{y}_{m}}=1+\left( m-1 \right).5$$=5m-4$.
Giả sử $k$ là $1$ số hạng chung của hai cấp số cộng trong $2018$ số hạng đầu tiên của mỗi cấp số.
Vì $k$ là $1$ số hạng của cấp số cộng $\left( {{x}_{n}} \right)$ nên $k=3i+1$ với $1\le i\le 2018$ và $i\in {{\mathbb{N}}^{*}}$.
Vì $k$ là $1$ số hạng của cấp số cộng $\left( {{y}_{n}} \right)$ nên $k=5j-4$ với $1\le j\le 2018$ và $j\in {{\mathbb{N}}^{*}}$.
Do đó $3i+1=5j-4$$\Rightarrow 3i=5j-5$ $\Rightarrow i\vdots 5$$\Rightarrow i\in \left\{ 5\,;\,10\,;\,15;…;2015 \right\}$$\Rightarrow $ có $403$ số hạng chung.
DẠNG 3. MỘT SỐ BÀI TOÁN THỰC TẾ LIÊN QUAN ĐẾN CẤP SỐ CỘNG
Bài tập 1:
Sinh nhật bạn của An vào ngày $01$ tháng năm. An muốn mua một món quà sinh nhật cho bạn nên quyết định bỏ ống heo $100$ đồng vào ngày $01$ tháng $01$ năm $2016$, sau đó cứ liên tục ngày sau hơn ngày trước $100$ đồng. Hỏi đến ngày sinh nhật của bạn, An đã tích lũy được bao nhiêu tiền? (thời gian bỏ ống heo tính từ ngày $01$ tháng $01$ năm $2016$ đến ngày $30$ tháng $4$ năm $2016$).
A. $738.100$ đồng. B. $726.000$ đồng. C. $714.000$ đồng. D. $750.300$ đồng.
Lời giải
Số ngày bạn An để dành tiền (thời gian bỏ ống heo tính từ ngày $01$ tháng $01$ năm $2016$ đến ngày $30$ tháng $4$ năm $2016$) là $31+29+31+30=121$ ngày.
Số tiền bỏ ống heo ngày đầu tiên là: ${{u}_{1}}=100$.
Số tiền bỏ ống heo ngày thứ hai là: ${{u}_{2}}=100+1.100$.
Số tiền bỏ ống heo ngày thứ ba là: ${{u}_{3}}=100+2.100$.
…
Số tiền bỏ ống heo ngày thứ $n$ là: ${{u}_{n}}={{u}_{1}}+\left( n-1 \right)d$$=100+\left( n-1 \right)100$$=100n$.
Số tiền bỏ ống heo ngày thứ $121$ là: ${{u}_{121}}=100.121$$=12100$.
Sau $121$ ngày thì số tiền An tích lũy được là tổng của $121$ số hạng đầu của cấp số cộng có số hạng đầu ${{u}_{1}}=100$, công sai $d=100$.
Vậy số tiền An tích lũy được là ${{S}_{121}}=\frac{121}{2}\left( {{u}_{1}}+{{u}_{121}} \right)$$=\frac{121}{2}\left( 100+12100 \right)$$=738100$ đồng.
Bài tập 2:
Người ta trồng $3003$ cây theo dạng một hình tam giác như sau: hàng thứ nhất trồng $1$ cây, hàng thứ hai trồng $2$ cây, hàng thứ ba trồng $3$ cây, …, cứ tiếp tục trồng như thế cho đến khi hết số cây. Số hàng cây được trồng là
A. $77$. B. $79$. C. $76$. D. $78$.
Lời giải
Chọn A
Gọi số cây ở hàng thứ $n$ là ${{u}_{n}}$.
Ta có: ${{u}_{1}}=1$, ${{u}_{2}}=2$, ${{u}_{3}}=3$, … và $S={{u}_{1}}+{{u}_{2}}+{{u}_{3}}+…+{{u}_{n}}=3003$.
Nhận xét dãy số $\left( {{u}_{n}} \right)$ là cấp số cộng có ${{u}_{1}}=1$, công sai $d=1$.
Khi đó $S=\frac{n\left[ 2{{u}_{1}}+\left( n-1 \right)d \right]}{2}$$=3003$.
Suy ra $\frac{n\left[ 2.1+\left( n-1 \right)1 \right]}{2}=3003$$\Leftrightarrow n\left( n+1 \right)=6006$$\Leftrightarrow {{n}^{2}}+n-6006=0$$\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & n=77 \\ & n=-78 \\\end{align} \right.$$\Leftrightarrow n=77$ (vì $n\in \mathbb{N}$).$
Vậy số hàng cây được trồng là $77$.
Bài tập 3:
Sinh nhật lần thứ $17$ của An vào ngày $01$ tháng $5$ năm $2018$. Bạn An muốn mua một chiếc máy ảnh giá $3850000$ đồng để làm quà sinh nhật cho chính mình nên An quyết định bỏ ống heo $1000$ đồng vào ngày $01$ tháng $02$ năm $2018$. Trong các ngày tiếp theo, ngày sau bỏ ống nhiều hơn ngày trước $1000$ đồng. Hỏi đến ngày sinh nhật của mình, An có bao nhiêu tiền (tính đến ngày $30$ tháng $4$ năm $2018$)?
A. $4095000$ đồng. B. $89000$ đồng. C. $4005000$ đồng. D. $3960000$ đồng.
Lời giải
Chọn C
* Số tiền bỏ heo của An mỗi ngày tạo thành một cấp số cộng có số hạng đầu ${{u}_{1}}=1000$ công sai $d=1000$.
* Tổng số tiền bỏ heo tính đến ngày thứ n là:
${{S}_{n}}={{u}_{1}}+{{u}_{2}}+…+{{u}_{n}}=\frac{n\left( {{u}_{1}}+{{u}_{n}} \right)}{2}=\frac{n\left[ 2{{u}_{1}}+\left( n-1 \right)d \right]}{2}$
* Tính đến ngày $30$ tháng $4$ năm $2018$ (tính đến ngày thứ $89$) tổng số tiền bỏ heo là:
${{S}_{89}}=\frac{89\left[ 2.1000+\left( 89-1 \right).1000 \right]}{2}=45.89.1000=4005000$ đồng.