Trong bài viết ngày hôm nay, Khoa Cử chúng tôi muốn đem đến cho các bạn tổng hợp các bài tập phương trình lượng giác ôn thi đại học rất đầy đủ và chi tiết cho các bạn tham khảo. Với những thông tin được Khoa cử chúng tôi chia sẽ về bài tập phương trình lượng giác bên dưới đây hy vọng sẽ hỗ trợ cho bạn học tốt môn Toán lớp 11 nhé!
Bài tập 1:
Giải phương trình $cot\left( 3x-1 \right)=-\sqrt{3}.$
A. $x=\frac{1}{3}+\frac{5\pi }{18}+k\frac{\pi }{3}\left( k\in Z \right).$ B. $x=\frac{1}{3}+\frac{\pi }{18}+k\frac{\pi }{3}\left( k\in Z \right).$
C. $x=\frac{5\pi }{18}+k\frac{\pi }{3}\left( k\in Z \right).$ D. $x=\frac{1}{3}-\frac{\pi }{6}+k\pi \left( k\in Z \right).$
Lời giải.
Chọn A
Ta có $cot\left( 3x-1 \right)=-\sqrt{3}\Leftrightarrow cot\left( 3x-1 \right)=cot\left( -\frac{\pi }{6} \right)$.
$\Leftrightarrow 3x-1=\frac{-\pi }{6}+k\pi \Leftrightarrow x=\frac{1}{3}-\frac{\pi }{18}+k\frac{\pi }{3}\xrightarrow{k=1}x=\frac{1}{3}+\frac{\pi }{18}.$
Bài tập 2:
Nghiệm của phương trình $\tan 3x=\tan x$ là
A. $x=\frac{k\pi }{2},\,\,k\in \mathbb{Z}.$ B. $x=k\pi ,\,\,k\in \mathbb{Z}$. C. $x=k2\pi ,\,\,k\in \mathbb{Z}.$ D. $x=\frac{k\pi }{6},\,\,k\in \mathbb{Z}.$
Lời giải
Ta có $\tan 3x=\tan x\Leftrightarrow 3x=x+k\pi \Leftrightarrow x=\frac{k\pi }{2},\,\,k\in \mathbb{Z}.$
Trình bày lại
ĐK: $\left\{ \begin{align} & \text{cos3x}\ne \text{0} \\ & \text{cosx}\ne \text{0} \\\end{align} \right.$$\Leftrightarrow \Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & x\ne \frac{\pi }{6}+\frac{k\pi }{3} \\ & x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi \\\end{align} \right.$$\left( * \right)$
Ta có $\tan 3x=\tan x\Leftrightarrow 3x=x+k\pi \Leftrightarrow x=\frac{k\pi }{2},\,\,k\in \mathbb{Z}.$Kết hợp điều kiện $\left( * \right)$suy ra $x=k\pi ,\,\,k\in \mathbb{Z}$
Bài tập 3:
Giải phương trình $cot\left( 3x-1 \right)=-\sqrt{3}.$
A. $x=\frac{1}{3}+\frac{5\pi }{18}+k\frac{\pi }{3}\left( k\in Z \right).$ B. $x=\frac{1}{3}+\frac{\pi }{18}+k\frac{\pi }{3}\left( k\in Z \right).$
C. $x=\frac{5\pi }{18}+k\frac{\pi }{3}\left( k\in Z \right).$ D. $x=\frac{1}{3}-\frac{\pi }{6}+k\pi \left( k\in Z \right).$
Lời Giải.
Chọn A
Ta có $cot\left( 3x-1 \right)=-\sqrt{3}\Leftrightarrow cot\left( 3x-1 \right)=cot\left( -\frac{\pi }{6} \right)$.
$\Leftrightarrow 3x-1=\frac{-\pi }{6}+k\pi \Leftrightarrow x=\frac{1}{3}-\frac{\pi }{18}+k\frac{\pi }{3}\xrightarrow{k=1}x=\frac{1}{3}+\frac{\pi }{18}.$
Bài tập 4:
Trên đoạn $\left[ \frac{\pi }{2};\frac{3\pi }{2} \right]$, phương trình $\sin x+\sin 2x+\sin 3x=0$ có nghiệm dạng $\frac{a\pi }{2},\,a\in \mathbb{Z}$. Tính tổng $S$ các giá trị $a$ tìm được)
A. $S=4$. B. $S=1$. C. $S=2$. D. $S=6$.
Lời giải
Chọn A
$\sin x+\sin 2x+\sin 3x=0\Leftrightarrow 2\sin 2x\cos x+\sin 2x=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & \sin 2x=0 \\ & \cos x=-\frac{1}{2} \\\end{align} \right.$$\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=\frac{k\pi }{2} \\ & x=\pm \frac{2\pi }{3}+k2\pi \\\end{align} \right.,\,k\in \mathbb{Z}$
Vì $x\in \left[ \frac{\pi }{2};\frac{3\pi }{2} \right]\Rightarrow x\in \left\{ \frac{\pi }{2};\frac{3\pi }{2};\frac{2\pi }{3};\frac{4\pi }{3} \right\}\Rightarrow \left[ \begin{align} & a=1 \\ & a=3 \\\end{align} \right.\Rightarrow S=4$.
Bài tập 5:
Cho phương trình $\sin \left( 2x-\frac{\pi }{4} \right)=\sin \left( x+\frac{3\pi }{4} \right)$. Tính tổng các nghiệm thuộc khoảng$\left( 0;\pi \right)$ của phương trình trên.
A. $\frac{7\pi }{2}$. B. $\pi $. C. $\frac{3\pi }{2}$. D. $\frac{\pi }{4}$.
Lời giải
Chọn B
Ta có: $\sin \left( 2x-\frac{\pi }{4} \right)=\sin \left( x+\frac{3\pi }{4} \right)\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & 2x-\frac{\pi }{4}=x+\frac{3\pi }{4}+k2\pi \\ & 2x-\frac{\pi }{4}=\pi -x-\frac{3\pi }{4}+k2\pi \\\end{align} \right.$$\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=\pi +k2\pi \\ & x=\frac{\pi }{6}+k\frac{2\pi }{3} \\\end{align} \right.$ $\left( k\in \mathbb{Z} \right)$.
+ Xét $x=\pi +k2\pi $$\left( k\in \mathbb{Z} \right)$.
Do $0<x<\pi \Leftrightarrow 0<\pi +k2\pi <\pi \Leftrightarrow -\frac{1}{2}<k<0$. Vì $k\in \mathbb{Z}$ nên không có giá trị $k$.
+ Xét $x=\frac{\pi }{6}+k\frac{2\pi }{3}$$\left( k\in \mathbb{Z} \right)$.
Do $0<x<\pi \Leftrightarrow 0<\frac{\pi }{6}+k\frac{2\pi }{3}<\pi \Leftrightarrow -\frac{1}{4}<k<\frac{5}{4}$. Vì $k\in \mathbb{Z}$ nên có hai giá trị $k$ là: $k=0;k=1$.
$\bullet $ Với $k=0\Rightarrow x=\frac{\pi }{6}$.
$\bullet $ Với $k=1\Rightarrow x=\frac{5\pi }{6}$.
Do đó trên khoảng $\left( 0;\pi \right)$ phương trình đã cho có hai nghiệm $x=\frac{\pi }{6}$ và $x=\frac{5\pi }{6}$.
Vậy tổng các nghiệm của phương trình đã cho trong khoảng $\left( 0;\pi \right)$ là: $\frac{\pi }{6}+\frac{5\pi }{6}=\pi $.
Bài tập 6:
Phương trình $\sin \left( 3x+\frac{\pi }{3} \right)=-\frac{\sqrt{3}}{2}$ có bao nhiêu nghiệm thuộc khoảng $\left( 0;\frac{\pi }{2} \right)$?
A. $3$. B. $4$. C. $1$. D. $2$.
Lời giải
Ta có $\sin \left( 3x+\frac{\pi }{3} \right)=-\frac{\sqrt{3}}{2}\Leftrightarrow \sin \left( 3x+\frac{\pi }{3} \right)=\sin \left( -\frac{\pi }{3} \right)\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & 3x+\frac{\pi }{3}=-\frac{\pi }{3}+k2\pi \\ & 3x+\frac{\pi }{3}=\pi +\frac{\pi }{3}+k2\pi \\\end{align} \right.\left( k\in \mathbb{Z} \right)$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=-\frac{2\pi }{9}+k\frac{2\pi }{3} \\ & x=\frac{\pi }{3}+k\frac{2\pi }{3} \\\end{align} \right.\left( k\in \mathbb{Z} \right)$.
+) TH1: $x=-\frac{2\pi }{9}+k\frac{2\pi }{3}\in \left( 0;\frac{\pi }{2} \right)\Leftrightarrow 0<-\frac{2\pi }{9}+k\frac{2\pi }{3}<\frac{\pi }{2}\Leftrightarrow \frac{1}{3}<k<\frac{13}{12}$. Do $k\in \mathbb{Z}\Rightarrow k=1$. Suy ra trường hợp này có nghiệm $x=\frac{4\pi }{9}$ thỏa mãn.
+) TH2: $x=\frac{\pi }{3}+k\frac{2\pi }{3}\in \left( 0;\frac{\pi }{2} \right)\Leftrightarrow 0<\frac{\pi }{3}+k\frac{2\pi }{3}<\frac{\pi }{2}\Leftrightarrow -\frac{1}{2}<k<\frac{1}{4}$. Do $k\in \mathbb{Z}\Rightarrow k=0$. Suy ra trường hợp này có nghiệm $x=\frac{\pi }{3}$ thỏa mãn.
Vậy phương trình chỉ có $2$ nghiệm thuộc khoảng $\left( 0;\frac{\pi }{2} \right)$.
Bài tập 7:
Phương trình $\sin 5x-\sin x=0$ có bao nhiêu nghiệm thuộc đoạn $\left[ -2018\pi ;2018\pi \right]$?
A. $20179$. B. $20181$. C. $16144$. D. $16145$.
Lời giải
Ta có
$\sin 5x-\sin x=0$$\Leftrightarrow \sin 5x=\sin x$$\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & 5x=x+k2\pi \\ & 5x=\pi -x+k2\pi \\\end{align} \right.$$\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=k\frac{\pi }{2} \\ & x=\frac{\pi }{6}+k\frac{\pi }{3} \\\end{align} \right.$$\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=k\frac{\pi }{2}\left( k\in \mathbb{Z} \right) \\ & x=\frac{5\pi }{6}+m\pi \left( m\in \mathbb{Z} \right) \\ & x=\frac{\pi }{6}+n\pi \left( n\in \mathbb{Z} \right) \\\end{align} \right.$.
Vì $x\in \left[ -2018\pi ;2018\pi \right]$ nên $\left\{ \begin{align} & -2018\pi \le k\frac{\pi }{2}\le 2018\pi \\ & -2018\pi \le \frac{5\pi }{6}+m\pi \le 2018\pi \\ & -2018\pi \le \frac{\pi }{6}+n\pi \le 2018\pi \\\end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & -4036\le k\le 4036 \\ & -\frac{12113}{6}\le m\le \frac{12103}{6} \\ & -\frac{12109}{6}\le n\le \frac{12107}{6} \\\end{align} \right.$.
Do đó có $8073$ giá trị $k$, $4036$ giá trị $m$, $4036$ giá trị $n$, suy ra số nghiêm cần tìm là $16145$. nghiệm.
Bài tập 8:
Số nghiệm thực của phương trình $2\sin x+1=0$ trên đoạn $\left[ -\frac{3\pi }{2};\,10\pi \right]$ là:
A. $12$. B. $11$. C. $20$. D. $21$.
Lời giải
Chọn A
Phương trình tương đương: $\sin x=-\frac{1}{2}$$\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=\frac{-\pi }{6}+k2\pi \\ & x=\frac{7\pi }{6}+k2\pi \\\end{align} \right.$, ($k\in \mathbb{Z}$)
+ Với $x=-\frac{\pi }{6}+k2\pi $, $k\in \mathbb{Z}$ ta có $-\frac{3\pi }{2}\le -\frac{\pi }{6}+k2\pi \le 10\pi $, $k\in \mathbb{Z}$$\Leftrightarrow \frac{-2}{3}\le k\le \frac{61}{12}$, $k\in \mathbb{Z}$
$\Rightarrow 0\le k\le 5$, $k\in \mathbb{Z}$. Do đó phương trình có $6$ nghiệm.
+ Với $x=\frac{7\pi }{6}+k2\pi $, $k\in \mathbb{Z}$ ta có $-\frac{3\pi }{2}\le \frac{7\pi }{6}+k2\pi \le 10\pi $,$k\in \mathbb{Z}$$\Leftrightarrow \frac{-4}{3}\le k\le \frac{53}{12}$, $k\in \mathbb{Z}$
$\Rightarrow -1\le k\le 4$, $k\in \mathbb{Z}$. Do đó, phương trình có $6$ nghiệm.
+ Rõ ràng các nghiệm này khác nhau từng đôi một, vì nếu
$-\frac{\pi }{6}+k2\pi =\frac{7\pi }{6}+{k}’2\pi \Leftrightarrow k-{k}’=\frac{2}{3}$.
Vậy phương trình có $12$ nghiệm trên đoạn $\left[ -\frac{3\pi }{2};\,10\pi \right]$.
Bài tập 9:
Nghiệm lớn nhất của phương trình $2\cos 2x-1=0$ trong đoạn $\left[ 0;\pi \right]$ là:
A. $x=\pi $. B. $x=\frac{11\pi }{12}$. C. $x=\frac{2\pi }{3}$. D. $x=\frac{5\pi }{6}$.
Lời giải
Phương trình $2\cos 2x-1=0$$\Leftrightarrow \cos 2x=\frac{1}{2}$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & 2x=\frac{\pi }{3}+k2\pi \\ & 2x=-\frac{\pi }{3}+k2\pi \\\end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=\frac{\pi }{6}+k\pi \\ & x=-\frac{\pi }{6}+k\pi \\\end{align} \right.$.
Xét $x\in \left[ 0;\pi \right]$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & 0\le \frac{\pi }{6}+k\pi \le \pi \\ & 0\le -\frac{\pi }{6}+k\pi \le \pi \\\end{align} \right.$$\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & \frac{-1}{6}\le k\le \frac{5}{6} \\ & \frac{1}{6}\le k\le \frac{7}{6} \\\end{align} \right.$ mà $k\in \mathbb{Z}$ suy ra $\left[ \begin{align} & k=0 \\ & k=1 \\\end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=\frac{\pi }{6} \\ & x=\frac{5\pi }{6} \\\end{align} \right.$.
Vậy nghiệm lớn nhất của phương trình $2\cos 2x-1=0$ trong đoạn $\left[ 0;\pi \right]$ là $x=\frac{5\pi }{6}$.
Bài tập 10:
Tính tổng các nghiệm trong đoạn $\left[ 0;30 \right]$của phương trình: $\tan x=\tan 3x$
A. $55\pi .$ B. $\frac{171\pi }{2}.$ C. $45\pi .$ D. $\frac{190\pi }{2}.$
Lời giải
Chọn C
Điều kiện để phương trình có nghĩa $\left\{ \begin{matrix} \cos x\ne 0 \\ \cos 3x\ne 0 \\\end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi \\ x\ne \frac{\pi }{6}+\frac{k\pi }{3} \\\end{matrix} \right.\left( * \right)$
Khi đó, phương trình $3x=x+k\pi \Leftrightarrow x=\frac{k\pi }{2}$ so sánh với đk
$\left[ \begin{align} & x=k2\pi \\ & x=\pi +k2\pi \\\end{align} \right.\,,\,x=\in \left[ 0;30 \right]\Rightarrow k=\left\{ 0;…;4 \right\}\Rightarrow x\in \left\{ 0;\pi ;2\pi ;….;9\pi \right\}$
Vậy, tổng các nghiệm trong đoạn $\left[ 0;30 \right]$của phương trình là: $45\pi $.
Bài tập 11:
Số nghiệm của phương trình $\sin \left( 2x-{{40}^{0}} \right)=\frac{\sqrt{3}}{2}$ với $-{{180}^{0}}\le x\le {{180}^{0}}$ là ?
A. $2$. B. $4$. C. $6$. D. $7$.
Lời giải
Ta có : $ \sin \left( 2x-{{40}^{0}} \right)=\frac{\sqrt{3}}{2}\Leftrightarrow \sin \left( 2x-{{40}^{0}} \right)=\sin {{60}^{0}} $$ \Leftrightarrow \left[ \begin{align}& 2x-{{40}^{0}}={{60}^{0}}+k{{360}^{0}} \\& 2x-{{40}^{0}}={{180}^{0}}-{{60}^{0}}+k{{360}^{0}} \\\end{align} \right.$$\Leftrightarrow \left[ \begin{align}& 2x={{100}^{0}}+k{{360}^{0}} \\& 2x={{160}^{0}}+k{{360}^{0}} \\\end{align} \right.$$\Leftrightarrow x={{50}^{0}}+k{{180}^{0}} \\ x={{80}^{0}}+k{{180}^{0}} $
Xét nghiệm $x={{50}^{0}}+k{{180}^{0}}$.
Ta có : $-{{180}^{0}}\le x\le {{180}^{0}}\Leftrightarrow -{{180}^{0}}\le {{50}^{0}}+k{{180}^{0}}\le {{180}^{0}}\Leftrightarrow -\frac{23}{18}\le k\le \frac{13}{18}$.
Vì $k\in \mathbb{Z}$ nên $\left[ \begin{align}& k=-1\Rightarrow x=-{{130}^{0}} \\& k=0\Rightarrow x={{50}^{0}} \\\end{align} \right.$.
Xét nghiệm $x={{80}^{0}}+k{{180}^{0}}$.
Ta có : $-{{180}^{0}}\le x\le {{180}^{0}}\Leftrightarrow -{{180}^{0}}\le {{80}^{0}}+k{{180}^{0}}\le {{180}^{0}}\Leftrightarrow -\frac{13}{9}\le k\le \frac{5}{9}$.
Vì $k\in \mathbb{Z}$ nên $\left[ \begin{align}& k=-1\Rightarrow x=-{{100}^{0}} \\& k=0\Rightarrow x={{80}^{0}} \\\end{align} \right.$.
Vậy có tất cả 4 nghiệm thỏa mãn bài toán. Chọn B
Cách 2 $\left( CASIO \right)$.
Ta có : $-{{180}^{0}}\le x\le {{180}^{0}}\Leftrightarrow -{{360}^{0}}\le x\le {{360}^{0}}$.
Chuyển máy về chế độ $DEG$, dùng chức năng $TABLE$ nhập hàm $f\left( X \right)=\sin \left( 2X-40 \right)-\frac{\sqrt{3}}{2}$với các thiết lập $Start=-360$, $END=360$, $STEP=40$. Quan sát bảng giá trị của $f\left( X \right)$ ta suy ra phương trình đã cho có 4 nghiệm.
Bài tập 12:
Khẳng định nào sau đây là đúng về phương trình $\sin \left( \frac{x}{{{x}^{2}}+6} \right)+\cos \left( \frac{\pi }{2}+\frac{80}{{{x}^{2}}+32x+332} \right)=0$?
A. Số nghiệm của phương trình là $8$. B. Tổng các nghiệm của phương trình là $8$.
C. Tổng các nghiệm của phương trình là $48$. D. Phương trình có vô số nghiệm thuộc $\mathbb{R}$.
Lời giải
Phương trình đã cho tương đương với $\sin \left( \frac{x}{{{x}^{2}}+6} \right)=sin\left( \frac{80}{{{x}^{2}}+32x+332} \right)\quad \left( * \right)$.
Ta biết rằng hàm số $y=\sin x$ đồng biến trên khoảng $\left( -\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2} \right)$. Ta chỉ ra rằng các hàm số $f\left( x \right)=\frac{x}{{{x}^{2}}+6}$ và $g\left( x \right)=\frac{80}{{{x}^{2}}+32x+332}$ nhận giá trị trong khoảng này.
Thật vậy, ta có $\left| \frac{x}{{{x}^{2}}+6} \right|\le \left| \frac{x}{2\sqrt{6{{x}^{2}}}} \right|=\frac{1}{2\sqrt{6}}$
và $0<\frac{80}{{{x}^{2}}+32x+332}=\frac{80}{{{\left( x+16 \right)}^{2}}+76}\le \frac{80}{76}<\frac{\pi }{2}$.
Từ các đánh giá trên, $\left( * \right)$ xảy ra khi và chỉ khi
$\frac{x}{{{x}^{2}}+6}=\frac{80}{{{x}^{2}}+32x+332}$ $\Leftrightarrow {{x}^{3}}-48{{x}^{2}}+332x-480=0$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=2 \\ & x=6 \\ & x=40 \\\end{align} \right.$.
Tổng các nghiệm của phương trình đã cho là $2+6+40=48$.