Trong bài viết ngày hôm nay, Khoa Cử chúng tôi muốn đem đến cho các bạn một phần rất hay trong chương trình toán lớp 11 đó chính là về Tổ Hợp – Xác Suất rất đầy đủ và chi tiết cho các bạn tham khảo. Với những thông tin được Khoa cử chúng tôi chia sẽ về chuyên đề tổ hợp xác suất lớp 11 cũng như bài tập toán tổ hợp xác suất bên dưới đây hy vọng sẽ hỗ trợ cho bạn học tốt môn Toán Đại lớp 11 nhé!
I. LÝ THUYẾT
1. QUY TẮC ĐẾM
a, Quy tắc cộng
Định nghĩa: Giả sử một công việc có thể thực hiện theo một trong $k$ phương án khác nhau
$\left. \begin{align} & {{A}_{1}}…………….{{n}_{1}} \\ & {{A}_{2}}…………….{{n}_{2}} \\ & …………………… \\ & {{A}_{k}}…………….{{n}_{k}} \\ \end{align} \right\}\Rightarrow$ có ${{n}_{1}}+{{n}_{2}}+…+{{n}_{k}}=\sum\limits_{i=1}^{k}{{{n}_{i}}.}$
b, Quy tắc nhân
Định nghĩa: Giả sử một công việc phải thực hiện theo $k$ công đoạn liên tiếp nhau, trong đó
$\left. \begin{align} & {{A}_{1}}………….{{n}_{1}} \\ & {{A}_{2}}………….{{n}_{2}} \\ & ……………….. \\ & {{A}_{k}}………….{{n}_{k}} \\ \end{align} \right\}\Rightarrow$ có ${{n}_{1}}.{{n}_{2}}…{{n}_{k}}=\prod\limits_{i=1}^{k}{{{n}_{i}}.}$
2. HOÁN VỊ – CHỈNH HỢP – TỔ HỢP
a, Hoán vị
Giai thừa: $n!=n.(n-1)(n-2)……1$
Quy ước: $0!=1$, $1!=1$
Ví dụ:
– 3 chữ số lập được bao nhiêu số có 3 chữ số khác nhau.
– 3 bạn A, B, C xếp thành một hàng, hỏi có bao nhiêu cách.
Khái niệm và công thức:
Cho tập hợp A gồm n (n ≥ 1) phần tử $(n\ge 1)$. Mỗi cách sắp xếp n phần tử này theo 1 thứ tự (quy luật) nào đó ta được 1 hoán vị của n phần tử. Số hoán vị của n phần tử là:
${{P}_{n}}=n!(n-1)(n-2)……1$
Đặc điểm: có thứ tự, số phân tử trong nhóm bằng n.
b, Chỉnh hợp
Cho tập hợp A gồm $n$ phần tử ($n\ge 1$). Mỗi cách sắp xếp $k(1\le k\le n)$ phần tử nào đó của A theo một thứ tự nhất định (quy luật) cho ta được một chỉnh hợp chập $k$của $n$ phần tử (gọi tắt là chỉnh hợp chập $k$của A).
Số chỉnh hợp chập $k$của A: $A_{n}^{k}=n(n-1)(n-2)…(n-k+1)=\frac{n!}{\left( n-k \right)!}$
Đặc điểm: có thứ tự, sô phân tử trong nhóm bằng $k:1\le k\le n$
c, Tổ hợp
Cho tập hợp $A$ gồm $n$ phần tử ($n\ge 1$). Mỗi tập hợp con của $A$ gồm $k$ phần tử$\left( 1\le k\le n \right)$ gọi là tổ hợp chập $k$ của $n$ phần tử trong $A$.
Số tổ hợp chập $k$ của $n$: $C_{n}^{k}=\frac{n!}{k!\left( n-k \right)!}$
Dấu hiệu: Số phần tử trong nhóm: $k\,\,\,\,\left( 1\le k\le n \right)$.
Không có thứ tự.
Các tính chất của tổ hợp:
$C_{n}^{0}=C_{n}^{n}=1;\,\,C_{n}^{k}=C_{n}^{n-k};\,\,C_{n+1}^{k}=C_{n}^{k}+C_{n}^{k-1}$
3. NHỊ THỨC NEWTON
Nhắc lại các hằng đẳng thức
$\begin{align} & {{\left( a+b \right)}^{0}}=1 \\ & {{\left( a+b \right)}^{1}}=a+b \\ & {{\left( a+b \right)}^{2}}={{a}^{2}}+2ab+{{b}^{2}} \\ & {{\left( a+b \right)}^{3}}={{a}^{3}}+3{{a}^{2}}b+3a{{b}^{2}}+{{b}^{3}} \\ & ……… \\\end{align}$
Định nghĩa
${{\left( a+b \right)}^{n}}=C_{n}^{0}{{a}^{n}}+C_{n}^{1}{{a}^{n-1}}b+…+C_{n}^{n-1}a{{b}^{n-1}}+C_{n}^{n}{{b}^{n}}=\sum\limits_{k=0}^{n}{C_{n}^{k}{{a}^{n-k}}{{b}^{k}}}$
Tính chất của Nhị thức Newton
1. Số các số hạng của công thức là $n+1$
2.Tổng số mũ của a và b trong mỗi số hạng luôn luôn bằng số mũ của nhị thức: $\left( n-k \right)+k=n$
3. Số hạng tổng quát của nhị thức là: ${{T}_{k+1}}=C_{n}^{k}{{a}^{n-k}}{{b}^{k}}$
(Đó là số hạng thứ k+1 trong khai triển ${{\left( a+b \right)}^{n}}$)
Tam giác pascal trong khai triển nhị thức
| ${{\left( a+b \right)}^{0}}$ | 1 | |||||
| ${{\left( a+b \right)}^{1}}$ | 1 | 1 | ||||
| ${{\left( a+b \right)}^{2}}$ | 1 | 2 | 1 | |||
| ${{\left( a+b \right)}^{3}}$ | 1 | 3 | 3 | 1 | ||
| ${{\left( a+b \right)}^{4}}$ | 1 | 4 | 6 | 4 | 1 | |
| ${{\left( a+b \right)}^{5}}$ | 1 | 5 | 10 | 10 | 5 | 1. |
4. PHÉP THỬ VÀ BIẾN CỐ
a, Phép thử ngẫu nhiên
Là 1 phép thử hay 1 hành động hay 1 thí nghiệm.
Kết quả không đoán trước được.
Có thể xác định được tập hợp các kết quả xảy ra của phép thử đó.
Phép thử ký hiệu là $T$.
Không gian mẫu là tập hợp tất cả các kết quả của phép thử, ký hiệu là: $\Omega $
Số phần tử trong không gian mẫu ký hiệu là: $\left| \Omega \right|$
b, Biến cố
Biến cố liên quan tới phép thử $T$ là biến cố mà việc xảy ra hay không xảy ra $A$ phụ thuộc vào kết quả của phép thử $T$.
Mỗi kết quả của phép thử $T$ làm cho $A$ xảy ra thì gọi là một kết quả thuận lợi cho A.
Tập hợp các kết quả thuận lợi cho A được ký hiệu là: $\Omega _{A}^{{}}$
Số phần tử trong $\Omega _{A}^{{}}$ ký hiệu là: $\left| \Omega _{A}^{{}} \right|$
(Biến cố chắc chắn là biến cố chắc chắn xảy ra khi thực hiện phép thử $T$, là không gian mẫu. Biến cố không thể là biến cố không thể xảy ra khi thực hiện phép thử $T$, là biến cố rỗng.)
5. QUY TẮC TÍNH XÁC SUẤT
A. Quy tắc cộng xác suất
a) Biến cố hợp:
Cho 2 biến cố A và Biến cố “A hoặc B xảy ra” gọi là hợp của 2 biến cố
Kí hiệu là $\text{A}\cup \text{B}$
Tập hợp các kết quả thuận lợi cho A được gọi là: ${{\Omega }_{\text{A}}}$
Tập hợp các kết quả thuận lợi cho B được kí hiệu là: ${{\Omega }_{B}}$
Tập hợp các kết quả thuận lợi cho biến cố $\text{A}\cup \text{B}$ là: ${{\Omega }_{\text{A}}}\cup {{\Omega }_{B}}$
VD: A = “ chiều nay em đi học toán”, B = “ chiều nay em đi học văn”, C = “ chiều nay em đi học”
VD: A = “ học sinh giỏi toán”, B = “học sinh giỏi văn ”, C = “ học sinh giỏi văn hoặc giỏi toán”
b) Biến cố xung khắc:
Cho 2 biến cố A và Hai biến cố gọi là xung khắc nếu biến cố này xảy ra thì biến cố kia không xảy ra và ngược lại. $\text{A}\cap \text{B=}\varnothing $
c) Quy tắc cộng xác suất:
Cho A và B là hai biến cố xung khắc, thì xác suất để A hoặc B xảy ra là: $\text{P}\left( \text{A}\cup B \right)=\text{P}\left( \text{A} \right)+\text{P}\left( B \right)$
d) Biến cố đối:
Cho biến cố A, biến cố “ không xảy ra biến cố A” là biến cố đối của biến cố A và kí hiệu là $\overline{\text{A}}$
Công thức xác suất: $\text{P}\left( \overline{\text{A}} \right)=1-\text{P}\left( \text{A} \right)$
Chú ý: ${{\Omega }_{\text{A}}}\cup {{\Omega }_{\overline{\text{A}}}}=\Omega \text{ }{{\Omega }_{\text{A}}}\cap {{\Omega }_{\overline{\text{A}}}}=\varnothing \text{ }$
( Học sinh suy nghĩ mối quan hệ giữa biến cố đối và biến cố xung khắc ) – Trả lời trong tiết luyện tập.
B. Quy tắc nhân xác suất.
a, Biến cố giao:
Cho $2$ biến cố $A$ và $B$. Biến cố “ cả $A$ và $B$ đều xảy ra” kí hiệu là $AB$ gọi là giao của hai biến cố $A$ và $B$.
Tập hợp các kết quả thuận lợi cho $A$ được kí hiệu là: ${{\Omega }_{A}}$.
Tập hợp các kết quả thuận lợi cho $B$ được kí hiệu là: ${{\Omega }_{B}}$.
Tập hợp các kết quả thuận lợi cho $AB$ được kí hiệu là: ${{\Omega }_{A}}\cap {{\Omega }_{B}}$.
Ví dụ: Biến cố $A=$ “Từ $3-4$h em đi học toán” $B=$ “ Từ $4-5$h em đi học văn”
Biến cố $C=$“Chiều nay em đi học toán và văn”
Ví dụ: $A=$ “ A là học sinh giỏi toán” $B=$ “ A là học sinh giỏi văn”
Biến cố $C=$“ A giỏi cả toán và văn”
Tổng quát: Cho $k$ biến cố ${{A}_{1}},{{A}_{2}},…,{{A}_{k}}$. Biến cố “ tất cả các biến cố ${{A}_{1}},{{A}_{2}},…,{{A}_{k}}$ xảy ra gọi là giao của $k$ biến cố. Kí hiệu là ${{A}_{1}}\cap {{A}_{2}}\cap …\cap {{A}_{k}}$.
b, Biến cố độc lập:
Hai biến cố gọi là độc lập nếu việc xảy ra hay không xảy ra của biến cố này không ảnh hưởng tới xác suất xảy ra biến cố kia.
Ví dụ: Gieo $1$ đồng xu $2$ lần liên tiếp, hai biến cố $A=$ “ Lần $1$ gieo được mặt sấp” và $B=$ “ Lần $2$ gieo được mặt ngửa” là độc lập.
Nhận xét: Nếu $A$ và $B$là các biến cố độc lập thì $A$ và $\overline{B}$,$B$ và $\overline{A}$, $\overline{B}$ và $\overline{A}$cũng là các biến cố độc lập.
c, Qui tắc nhân xác suất:
Nếu $A$ và $B$là hai biến cố độc lập thì $P\left( AB \right)=P\left( A \right).P\left( B \right)$
Chú ý: Nếu $P\left( AB \right)\ne P\left( A \right).P\left( B \right)$thì $A$ và $B$không phải hai biến cố độc lập.
II. BÀI TẬP MẪU
Bài tập 1:
Cho các số tự nhiên $0,\text{ }2,\text{ }3,\text{ }5,\text{ }6,\text{ }9$.
a, Hỏi lập được bao nhiêu số chẵn có 3 chữ số khác nhau?
b, Hỏi lập được bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số chia hết cho 3?
c, Hỏi lập được bao nhiêu số tự nhiên lớn hơn 601?
Lời giải.
a, Ta phân các số trên thành 2 nhóm:
Nhóm 1 gồm các số $\{2;5\}$.
Nhóm 2 gồm các số $\{0;3;6;9\}$.
b, Gọi số cần lập là $\overline{abc}$ thỏa mãn $\overline{abc}\vdots 3\Leftrightarrow (a+b+c)\vdots 3$ $a;\text{ }b;\text{ }c$ sẽ không đồng thời thuộc cả hai
Số các số tự nhiên có 3 chữ số chia hết cho 3 được thành lập từ nhóm 1 là:
Cả 3 chữ số giống nhau: 222, 555
Có 1 chữ số 2 và 2 chữ số 5: 255, 552, 525 (có 3 cách chọn vị trí để chữ số 5 có 1 cách chọn để vị trí 2 chữ số 2, suy ra có 3 số).
Có 1 chữ số 5 và 2 chữ số 2: 522, 225, 252
Vậy từ nhóm 1 ta thành lập được 2 + 3 + 3 = 8 số chia hết cho 3.
Số các số chia hết cho 3 lập được từ nhóm thứ 2 là:
- Có 3 cách chọn chữ số $a$.
- Có 4 cách chọn chữ số $b$.
- Có 4 cách chọn chữ số $c$.
Vậy có tất cả $3.4.4=48$ số có 3 chữ số được thành lập từ nhóm 2 chia hết cho 3.
Vậy số các số có 3 chữ số chia hết cho 3 được thành lập từ các chữ số đã cho là $48+8=56$ số.
c, Gọi số cần lập là $\overline{abc}$ thỏa mãn $\overline{abc}>600$
Vì $\overline{abc}>600$nên a chỉ có 2 cách chọn. ($a=6$ hoặc $a=9$).
Chữ số $b$ có 6 cách chọn, chữ số $c$ có 6 cách chọn.
$\Rightarrow $ có $6.6.2=72$ số có 3 chữ số lớn hơn 600.
Trong 72 số trên có 1 số là: $600<601$.
Vậy có tất cả 71 số lớn hơn 601 được thành lập từ các số trên.
Bài tập 2:
Có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số được lập từ các số $0,1,2,3,4,5,6,7,8$. Trong đó chữ số 3 có mặt đúng 2 lần. Các chữ số khác có mặt 1 lần?
Lời giải
– Xét TH 1 số $3$ đứng đầu, khi đó số $3$ thứ $2$ có $4$ cách chọn và ba vị trí còn lại có $A_{8}^{3}$ cách chọn
Nếu 1 số 3 đứng đầu thì có: $4A_{8}^{3}$ cách
– Xét TH 2 không có số $3$ đứng đầu tiên, khi đó
+ Có $C_{4}^{2}$ cách chọn $2$ số $3$ vào hai vị trí trong$4$ vị trí còn lại.
+ Có $7$ cách chọn vào vị trí đầu tiên
+ Có $A_{7}^{2}$ (Chọn $2$ số khác vị trí đầu và số $3$) cách chọn vào $2$ vị trí còn lại
Nếu không có số $3$ đứng đầu thì có $7.A_{4}^{2}.A_{7}^{2}$.
Vì thế nên ta sẽ có $4A_{8}^{3}+7C_{4}^{2}.A_{7}^{2}$ cách chọn.
Bài tập 3:
Chứng minh: $C_{n}^{1}+2C_{n}^{2}+3C_{n}^{3}+…+\left( n-1 \right)C_{n}^{n-1}+nC_{n}^{n}=n{{.2}^{n-1}}$.
Lời giải
Đặt $S=C_{n}^{1}+2C_{n}^{2}+3C_{n}^{3}+…+\left( n-1 \right)C_{n}^{n-1}+nC_{n}^{n}$. (1)
Áp dụng công thức$C_{n}^{k}=C_{n}^{n-k}\left( 0\le k\le n,k\in \mathbb{N},n\in {{\mathbb{N}}^{*}} \right)$, ta có:
$\begin{align} & C_{n}^{1}=C_{n}^{n-1} \\ & 2C_{n}^{2}=2C_{n}^{n-2} \\ & 3C_{n}^{3}=3C_{n}^{n-3} \\ & ……………. \\ & \left( n-1 \right)C_{n}^{n-1}=\left( n-1 \right)C_{n}^{1} \\ & nC_{n}^{n}=nC_{n}^{0} \\\end{align}$
Cộng vế với vế ta được: $S=C_{n}^{n-1}+2C_{n}^{n-2}+3C_{n}^{n-3}+…+\left( n-1 \right)C_{n}^{1}+nC_{n}^{0}$ (2)
Từ (1) và (2) ta có $2\text{S}=n\left( C_{n}^{0}+C_{n}^{1}+C_{n}^{2}+C_{n}^{3}+…+C_{n}^{n-1}+C_{n}^{n} \right)$.
Xét khai triển ${{\left( 1+x \right)}^{n}}=C_{n}^{0}+C_{n}^{1}x+C_{n}^{2}{{x}^{2}}+…+C_{n}^{n-1}{{x}^{n-1}}+C_{n}^{n}{{x}^{n}}\left( n\in {{\mathbb{N}}^{*}} \right)$.
Thay $x=1$ ta được ${{2}^{n}}=C_{n}^{0}+C_{n}^{1}x+C_{n}^{2}{{x}^{2}}+…+C_{n}^{n-1}{{x}^{n-1}}+C_{n}^{n}{{x}^{n}}$.
Do đó $2\text{S}=n{{2}^{n}}.$ Hay $S=C_{n}^{1}+2C_{n}^{2}+3C_{n}^{3}+…+\left( n-1 \right)C_{n}^{n-1}+nC_{n}^{n}=n{{2}^{n-1}}.$
Bài tập 4:
Cho các số $0,1,2,3,4,5,6,7,8,9.$ Gọi X là tập hợp các số tự nhiên có $5$chữ số khác nhau. Lấy ngẫu nhiên ra $1$số. Tính xác suất để số đó là:
a. Số lẻ b. Số đó chia hết cho 10 c. Số đó lớn hơn D. $59.000$
Bài giải:
Số các số tự nhiên lẻ có $5$ chữ số là: $9.9.8.7.6=27216$
a. $A=$ “số lẻ có $5$chữ số”
Để là số lẻ thì chữ số cuối cùng phải là các số $1,3,5,7,9.$Như vậy có $5$cách chọn chữ số cuối cùng.
Số các số là số lẻ khác nhau có $5$chữ số:$8.8.7.6.5=13440.$
$\Rightarrow P\left( A \right)=\frac{13440}{27216}=\frac{40}{81}$
b. $B=$”Số có $5$chữ số khác nhau chia hết cho 10”
$\Rightarrow n\left( B \right)=9.8.7.6=3024$
$\Rightarrow P\left( B \right)=\frac{9.8.7.6}{9.9.8.7.6}=\frac{1}{9}$
c. $C=$ “Số có $5$chữ số khác nhau lớn hơn $59000$”
gọi số có $5$ chữ số khác nhau lớn hơn $59000$ là:$\overline{abcde}$ khi đó
nếu $a=5$thì $b=9$còn $c$có $8$ cách chọn,$d$ có $7$cách chọn,$e$ có $6$cách chọn
$\Rightarrow $ có $8.7.6=366$ cách chọn
Nếu $a>5\Rightarrow a$có $4$ cách chọn, $b$có $9$cách chọn, $c$có$8$cách chọn,$d$ có$7$cách chọn, $e$có $6$cách chọn $\Rightarrow $có $4.9.8.7.6=12096$cách chọn.
Vậy số các số có $5$chữ số khác nhau lớn hơn $59000$là:$12432$
$\Rightarrow P\left( C \right)=\frac{12432}{27216}=\frac{37}{81}$
Do đó, đáp án đúng ở đây ta chọn chính là D.
Bài tập 5:
Một bài kiểm tra trắc nghiệm gồm $4$ câu. Mỗi câu gồm $4$ đáp án trong đó chỉ có $1$ đáp án đúng. Một học sinh làm bài ngẫu nhiên. Tính xác suất để học sinh đó
a) Đúng cả $4$câu.
b) Không đúng câu nào
c) Đúng $1$câu.
d) Đúng ít nhất $1$câu.
Lời giải
a, Gọi $A$là biến cố “chọn được đáp án đúng cho mỗi câu hỏi”.
Ta có $P\left( A \right)=\frac{1}{4}$. Khi đó $P\left( \overline{A} \right)=1-P\left( A \right)=1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$.
Suy ra xác suất để học sinh chọn đúng cả bốn câu là ${{\left( \frac{1}{4} \right)}^{4}}=0,00390625$.
b, Xác suất để học sinh chọn không đúng câu nào là ${{\left( \frac{3}{4} \right)}^{4}}=0,31640625$.
c, Xác suất để học sinh chọn đúng một câu là $C_{4}^{1}.\frac{1}{4}.{{\left( \frac{3}{4} \right)}^{3}}=0,421875$.
d, Xác suất để học sinh chọn đúng ít nhất một câu là $1-{{\left( \frac{3}{4} \right)}^{4}}=0,68359375$.