Trong bài viết ngày hôm nay, Khoa Cử chúng tôi muốn đem đến cho các bạn một dạng toán rất hay trong chương trình toán lớp 11 đó chính là về cách tính xác suất rất đầy đủ và chi tiết cho các bạn tham khảo. Với những thông tin được Khoa cử chúng tôi chia sẽ về các công thức tính xác suất cũng như cách làm bài toán xác suất bên dưới đây hy vọng sẽ hỗ trợ cho bạn học tốt môn Toán Đại lớp 11 nhé!
I. LÝ THUYẾT
1. Quy tắc cộng xác suất
a) Biến cố hợp:
Cho 2 biến cố A và Biến cố “A hoặc B xảy ra” gọi là hợp của 2 biến cố
Kí hiệu là $\text{A}\cup \text{B}$
Tập hợp các kết quả thuận lợi cho A được gọi là: ${{\Omega }_{\text{A}}}$
Tập hợp các kết quả thuận lợi cho B được kí hiệu là: ${{\Omega }_{B}}$
Tập hợp các kết quả thuận lợi cho biến cố $\text{A}\cup \text{B}$ là: ${{\Omega }_{\text{A}}}\cup {{\Omega }_{B}}$
VD: A = “ chiều nay em đi học toán”, B = “ chiều nay em đi học văn”, C = “ chiều nay em đi học”
VD: A = “ học sinh giỏi toán”, B = “học sinh giỏi văn ”, C = “ học sinh giỏi văn hoặc giỏi toán”
b) Biến cố xung khắc:
Cho 2 biến cố A và Hai biến cố gọi là xung khắc nếu biến cố này xảy ra thì biến cố kia không xảy ra và ngược lại. $\text{A}\cap \text{B=}\varnothing $
c) Quy tắc cộng xác suất:
Cho A và B là hai biến cố xung khắc, thì xác suất để A hoặc B xảy ra là: $\text{P}\left( \text{A}\cup B \right)=\text{P}\left( \text{A} \right)+\text{P}\left( B \right)$
d) Biến cố đối:
Cho biến cố A, biến cố “ không xảy ra biến cố A” là biến cố đối của biến cố A và kí hiệu là $\overline{\text{A}}$
Công thức xác suất: $\text{P}\left( \overline{\text{A}} \right)=1-\text{P}\left( \text{A} \right)$
Chú ý: ${{\Omega }_{\text{A}}}\cup {{\Omega }_{\overline{\text{A}}}}=\Omega \text{ }{{\Omega }_{\text{A}}}\cap {{\Omega }_{\overline{\text{A}}}}=\varnothing \text{ }$
( Học sinh suy nghĩ mối quan hệ giữa biến cố đối và biến cố xung khắc ) – Trả lời trong tiết luyện tập.
2. Quy tắc nhân xác suất.
a, Biến cố giao:
Cho $2$ biến cố $A$ và $B$. Biến cố “ cả $A$ và $B$ đều xảy ra” kí hiệu là $AB$ gọi là giao của hai biến cố $A$ và $B$.
Tập hợp các kết quả thuận lợi cho $A$ được kí hiệu là: ${{\Omega }_{A}}$.
Tập hợp các kết quả thuận lợi cho $B$ được kí hiệu là: ${{\Omega }_{B}}$.
Tập hợp các kết quả thuận lợi cho $AB$ được kí hiệu là: ${{\Omega }_{A}}\cap {{\Omega }_{B}}$.
Ví dụ: Biến cố $A=$ “Từ $3-4$h em đi học toán” $B=$ “ Từ $4-5$h em đi học văn”
Biến cố $C=$“Chiều nay em đi học toán và văn”
Ví dụ: $A=$ “ A là học sinh giỏi toán” $B=$ “ A là học sinh giỏi văn”
Biến cố $C=$“ A giỏi cả toán và văn”
Tổng quát: Cho $k$ biến cố ${{A}_{1}},{{A}_{2}},…,{{A}_{k}}$. Biến cố “ tất cả các biến cố ${{A}_{1}},{{A}_{2}},…,{{A}_{k}}$ xảy ra gọi là giao của $k$ biến cố. Kí hiệu là ${{A}_{1}}\cap {{A}_{2}}\cap …\cap {{A}_{k}}$.
b, Biến cố độc lập:
Hai biến cố gọi là độc lập nếu việc xảy ra hay không xảy ra của biến cố này không ảnh hưởng tới xác suất xảy ra biến cố kia.
Ví dụ: Gieo $1$ đồng xu $2$ lần liên tiếp, hai biến cố $A=$ “ Lần $1$ gieo được mặt sấp” và $B=$ “ Lần $2$ gieo được mặt ngửa” là độc lập.
Nhận xét: Nếu $A$ và $B$là các biến cố độc lập thì $A$ và $\overline{B}$,$B$ và $\overline{A}$, $\overline{B}$ và $\overline{A}$cũng là các biến cố độc lập.
c, Qui tắc nhân xác suất:
Nếu $A$ và $B$là hai biến cố độc lập thì $P\left( AB \right)=P\left( A \right).P\left( B \right)$
Chú ý: Nếu $P\left( AB \right)\ne P\left( A \right).P\left( B \right)$thì $A$ và $B$không phải hai biến cố độc lập.
II. BÀI TẬP MẪU
Bài tập 1:
Một hộp gồm 10 viên bi trắng, 8 viên bi đỏ, 7 viên bi xanh. Chọn ngẫu nhiên 3 viên bi.
a, Tính xác suất để thu được 3 viên bi cùng màu.
b, Tính xác suất để thu được 3 viên bi khác màu.
c, Tính xác suất để có ít nhất 1 bi xanh.
Bài giải:
a, A = “Lấy 3 bi trắng” $\Rightarrow P\left( A \right)=\frac{C_{10}^{3}}{C_{25}^{3}}$
B = “Lấy 3 bi đỏ” $\Rightarrow P\left( B \right)=\frac{C_{8}^{3}}{C_{25}^{3}}$
C= “Lấy 3 bi xanh” $\Rightarrow P\left( C \right)=\frac{C_{7}^{3}}{C_{25}^{3}}$
Gọi D = “Lấy được 3 viên cùng màu”
$\Rightarrow A\vee B\vee C\Rightarrow P\left( D \right)=P\left( A \right)+P\left( B \right)+P\left( C \right)=\frac{C_{10}^{3}}{C_{25}^{3}}+\frac{C_{8}^{3}}{C_{25}^{3}}+\frac{C_{7}^{3}}{C_{25}^{3}}$
b, Gọi F = “Có ít nhất 1 viên bi xanh”, $\overline{F}$= “không có viên bi xanh nào” $\Rightarrow P\left( \overline{F} \right)=\frac{C_{18}^{3}}{C_{25}^{3}}$
Vậy $P\left( F \right)=1-P\left( \overline{F} \right)=1-\frac{C_{18}^{3}}{C_{25}^{3}}$
Bài tập 2:
Gieo một con súc sắc đồng chất 2 lần.
a, Tính xác suất để tổng 2 mặt thu được của 2 lần gieo là số lẻ.
b, Tính xác suất để tổng 2 mặt thu được của 2 lần gieo là số chẵn.
Bài giải:
a, Gọi A = “Tổng 2 mặt của 2 lần giao là lẻ”
Vì với mỗi số chẵn ở lần tung đầu tiên tương ứng với một số lẻ ở lần tung thứ 2 và ngược lại thì ta được tổng 2 lần tung là 1 số lẻ.
Như vậy với 3 số chẵn lần đầu ứng với 3 số lẻ lần sau $\Rightarrow $có $3.3=9$ cách gieo.
Và với 3 số lẻ lần đầu ứng với 3 số chẵn lần sau có $3.3=9$ cách gieo.
$\Rightarrow P\left( A \right)=\frac{18}{36}=0.5$
b, Gọi B = “Tổng 2 mặt của 2 lần gieo là chẵn” $\Rightarrow P\left( B \right)=1-P\left( A \right)=0.5$
Bài tập 3:
Một lớp 20 học sinh trong đó có 12 bạn nam và 8 bạn nữ. Cô giáo chủ nhiệm chọn ngẫu nhiên ra 3 bạn vào đội cờ đỏ.
a, Tính xác suất để cả 3 bạn đó đều là nam.
b, Tính xác suất để có ít nhất 1 bạn nữ.
Bài giải:
a, Gọi A = “Cả 3 đều là nam”
$P\left( A \right)=\frac{C_{12}^{3}}{C_{20}^{3}}$
b, Gọi B = “Có ít nhất một bạn nữ”
$\overline{B}=$”Không có bạn nữ nào” $\Rightarrow P\left( \overline{B} \right)=P\left( A \right)$
Vậy $\Rightarrow P\left( B \right)=1-P\left( \overline{B} \right)=1-P\left( A \right)=1-\frac{C_{12}^{3}}{C_{20}^{3}}$
Bài tập 4:
Một bó hoa gồm 40 bông gồm 10 bông hoa hồng, 15 bông hoa huệ, 8 bông hoa lan, còn lại là hoa ly. Chọn ngẫu nhiên 6 bông hoa từ 40 bó hoa đó.
a, Tính xác suất để lấy được 6 bông cùng màu.
b, Tính xác suất để có lấy được 6 bông trong đó có đủ cả 4 loại và có 2 bông hồng.
Bài giải:
a, A = “Lấy 6 bông hồng” $\Rightarrow P\left( A \right)=\frac{C_{10}^{6}}{C_{40}^{6}}$ B = “Lấy 6 bông huệ” $\Rightarrow P\left( B \right)=\frac{C_{15}^{6}}{C_{40}^{6}}$
C = “Lấy 6 bông lan” $\Rightarrow P\left( C \right)=\frac{C_{8}^{6}}{C_{40}^{6}}$ D = “Lấy 6 bông ly” $\Rightarrow P\left( D \right)=\frac{C_{7}^{6}}{C_{40}^{6}}$
E = “Lấy được 6 bông cùng màu” $\Rightarrow P\left( E \right)=P\left( A \right)+P\left( B \right)+P\left( C \right)+P\left( D \right)=\frac{C_{10}^{6}}{C_{40}^{6}}+\frac{C_{15}^{6}}{C_{40}^{6}}+\frac{C_{8}^{6}}{C_{40}^{6}}+\frac{C_{7}^{6}}{C_{40}^{6}}$
b, B = “Lấy 6 bông có đủ 4 loại và có 2 bông hồng”
Như vậy có các trường hợp sau:
TH1: Lấy 2 bông hồng, 1 bông huệ, 1 bông lan, 2 bông ly
TH2: Lấy 2 bông hồng, 1 bông huệ, 2 bông lan, 1 bông ly
TH3: Lấy 2 bông hồng, 2 bông huệ, 1 bông lan, 1 bông ly
Bài tập 5:
Một chiếc máy bay có $2$ động cơ $I,II$. Xác suất để động cơ $I$ hoạt động bình thường là $0,95$. Xác suất để động cơ $II$ bị hỏng là $0,1$. Tính xác suất để
a) Hai động cơ điều hoạt động bình thương.
b) Hai động cơ điều bị hỏng.
c) Ít nhất một động cơ hoạt động.
Lời giải
a) $A$ = “Động cơ $I$ hoạt động bình thường” $\Rightarrow P\left( \overline{A} \right)=1-P\left( A \right)=1-0,95=0,05$
$B$ = “Động cơ $II$ hoạt động bình thường” $\Rightarrow P\left( B \right)=1-P\left( \overline{B} \right)=1-0,1=0,9$
Như vậy xác suất để hai động cơ hoạt động bình thường là: $0,9.0,95=0,855$
b) Xác suất để hai động cơ đều hỏng là: $0,1.0,05=0,005$
c) Ta có ba trường hợp
- Xác suất để động cơ $I$ hoạt động, động cơ $II$ hỏng:$0,95.0,1=0,095$.
- Xác suất để động cơ $II$ hoạt động, động cơ $I$ hỏng:$0,05.0,9=0,045$.
- Xác suất để hai động cơ đều hoạt động là: $0,9.0,95=0,855$
Suy ra xác suất để ít nhất một động cơ hoạt động là: $0,095+0,045+0,855=0,995$.
d) Cách 2: $C$ = “Ít nhất một động cơ hoạt động” suy ra $\overline{C}$ = “không có động cơ nào hoạt động” $\Rightarrow P\left( C \right)=1-P\left( \overline{C} \right)=1-0,005=0,995.$
Bài tập 6:
Gieo đồng xu đồng chất $3$ lần liên tiếp.
a) Tính xác suất để cả $3$ lần đều được mặt sấp.
b) Tính xác suất để chỉ có $1$ lần được mặt sấp.
Lời giải
a, ${{A}_{1}}$ = “Gieo lần đầu mặt sấp” $\Rightarrow \overline{{{A}_{1}}}$ = “Gieo lần đầu mặt ngửa”
${{A}_{2}}$ = “Gieo lần 2 mặt sấp” $\Rightarrow \overline{{{A}_{2}}}$ = “Gieo lần 2 mặt ngửa”
${{A}_{3}}$ = “Gieo lần 3 mặt sấp” $\Rightarrow \overline{{{A}_{3}}}$ = “Gieo lần 3 mặt ngửa”
$\Rightarrow P\left( {{A}_{1}} \right)=P\left( {{A}_{2}} \right)=P\left( {{A}_{3}} \right)=P\left( \overline{{{A}_{1}}} \right)=P\left( \overline{{{A}_{2}}} \right)=P\left( \overline{{{A}_{3}}} \right)=0,5$.
Xác suất để cả 3 lần gieo là sấp $0,5.0,5.0,5=0,125$.
b, Xác suất đề thu được 1 lần sấp là $0,5.0,5.0,5.3=0,375$.
Bài tập 7:
Một bài kiểm tra trắc nghiệm gồm $4$ câu. Mỗi câu gồm $4$ đáp án trong đó chỉ có $1$ đáp án đúng. Một học sinh làm bài ngẫu nhiên. Tính xác suất để học sinh đó
a) Đúng cả $4$câu.
b) Không đúng câu nào
c) Đúng $1$câu.
d) Đúng ít nhất $1$câu.
Lời giải
a, Gọi $A$là biến cố “chọn được đáp án đúng cho mỗi câu hỏi”.
Ta có $P\left( A \right)=\frac{1}{4}$. Khi đó $P\left( \overline{A} \right)=1-P\left( A \right)=1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$.
Suy ra xác suất để học sinh chọn đúng cả bốn câu là ${{\left( \frac{1}{4} \right)}^{4}}=0,00390625$.
b, Xác suất để học sinh chọn không đúng câu nào là ${{\left( \frac{3}{4} \right)}^{4}}=0,31640625$.
c, Xác suất để học sinh chọn đúng một câu là $C_{4}^{1}.\frac{1}{4}.{{\left( \frac{3}{4} \right)}^{3}}=0,421875$.
d, Xác suất để học sinh chọn đúng ít nhất một câu là $1-{{\left( \frac{3}{4} \right)}^{4}}=0,68359375$.
Bài tập 8:
Xác suất để một bóng điện sáng bình thường là $0,9$. Một phòng hội thảo có tất cả $4$ bóng đèn. Phòng hội thảo đó đủ ánh sáng nếu có ít nhất $2$ bóng sáng. Tính xác suất để phòng hội thảo đủ ánh sáng.
Lời giải
Gọi $A=$”bóng điện sáng bình thường” $\Rightarrow P\left( A \right)=0,9$
Xác suất để bóng đèn không sáng $P\left( \overline{A} \right)=1-P\left( A \right)=0,1$
Ta có xác suất để 2 bóng đèn sáng là:$C_{4}^{2}.0,9.0,9.0,1.0,1=0,0486$
Xác suất để 3 bóng đèn sáng là:$C_{4}^{3}.0,9.0,9.0,9.0,1=0,2916$
Xác suất để 4 bóng đèn sáng là:${{0,9}^{4}}=0,6561$
Xác suất để phòng hội thảo đủ ánh sáng là:$0,0486+0,2916+0,6561=0,9963$