Tính đơn điệu của hàm số là một phần quan trọng trong chương trình toán học. Để củng cố kiến thức trên lớp về hàm số đơn điệu là gì và giải bài tập để các em tự luyện ở nhà, mời các em tham khảo bài viết về hàm số đồng biến nghịch biến dưới đây!
I. LÝ THUYẾT
- Định nghĩa: Cho hàm số $y=f(x)$ xác định trên $K$ với $K$ là một khoảng.
- Hàm số $y=f(x)$ được gọi là đồng biến trên $K$ nếu $\forall {{x}_{1}},\text{ }{{x}_{2}}\in K,\text{ }{{x}_{1}}<{{x}_{2}}\Rightarrow f({{x}_{1}})<f({{x}_{2}}).$
- Hàm số $y=f(x)$ được gọi là nghịch biến trên $K$ nếu $\forall {{x}_{1}},\text{ }{{x}_{2}}\in K,\text{ }{{x}_{1}}<{{x}_{2}}\Rightarrow f({{x}_{1}})>f({{x}_{2}}).$
- Hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên $K$ được gọi chung là đơn điệu trên $K.$
- Định lý: Cho hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm trên khoảng $K.$
- Nếu ${f}'(x)\ge 0,\text{ }\forall x\in K$ và ${f}'(x)=0$ xảy ra tại một số hữu hạn điểm trên $K$ thì hàm số $y=f(x)$ đồng biến trên khoảng $K$.
- Nếu ${f}'(x)\le 0,\text{ }\forall x\in K$ và ${f}'(x)=0$ xảy ra tại một số hữu hạn điểm trên $K$ thì hàm số $y=f(x)$ nghịch biến trên khoảng $K$.
- Lưu ý:
- Nếu hàm số $y=f(x)$ liên tục trên đoạn $[a;b]$ và $f'(x)>0,\text{ }\forall x\in (a;b)$ thì ta nói hàm số đồng biến trên đoạn $[a;b].$
- Nếu hàm số $y=f(x)$ liên tục trên đoạn $[a;b]$ và $f'(x)<0,\text{ }\forall x\in (a;b)$ thì ta nói hàm số nghịch biến trên đoạn $[a;b].$
- Tương tự với các khái niệm hàm số đồng biến, nghịch biến trên các nửa khoảng.
PHƯƠNG PHÁP XÉT TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ
Xét tính đơn điệu của hàm số $y=f(x)$ trên tập xác định
- Bước 1: Tìm tập xác định $D$.
- Bước 2: Tính đạo hàm ${y}’={f}'(x)$.
- Bước 3: Tìm nghiệm của ${f}'(x)$ hoặc những giá trị x làm cho ${f}'(x)$ không xác định.
- Bước 4: Lập bảng biến thiên.
- Bước 5: Kết luận.
Chú ý: Đối với bài toán trắc nghiệm, ta có thể sử dụng Phương pháp sử dụng MTCT.
- Cách 1: Sử dụng chức năng lập bảng giá trị MODE 7 của máy tính Casio. Quan sát bảng kết quả nhận được về tính tăng, giảm giá trị của f(x) và dự đoán.
- Cách 2: Tính đạo hàm, thiết lập bất phương trình đạo hàm. Sử dụng tính năng giải bất phương trình INEQ của máy tính Casio (đối với bất phương trình bậc hai, bậc ba).
II. BÀI TẬP MẪU
Câu 1: Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số $y={{x}^{4}}-2{{x}^{2}}$.
Lời giải
Tập xác định: $D=\mathbb{R}$.
Bảng biến thiên:
Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng $\left( -1;\,0 \right)$ và $\left( 1;\,+\infty \right)$, nghịch biến trên các khoảng $\left( -\infty ;\,-1 \right)$ và $\left( 0;\,\,1 \right)$.
Câu 2: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ có bảng biến thiên
Tìm các khoảng nghịch biến của hàm số$y=f\left( -2x+6 \right)$.
Lời giải
Đặt $g\left( x \right)=f\left( -2x+6 \right)$.
${g}’\left( x \right)=-2.{f}’\left( -2x+6 \right)$.
Bảng biến thiên
Vậy hàm số $y=f\left( -2x+6 \right)$ nghịch biến trên khoảng $\left( -\infty ;3 \right)$.
Câu 3: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ có đạo hàm liên tục trên $\mathbb{R}.$ Đồ thị hàm số $y={f}’\left( x \right)$ như hình bên dưới
Hàm số $g\left( x \right)=f\left( x-2 \right)+\frac{{{x}^{3}}}{3}-\frac{7}{2}{{x}^{2}}+12x+1$ có ít nhất bao nhiêu khoảng nghịch biến?
Lời giải
Cách 1: ${g}’\left( x \right)={f}’\left( x-2 \right)+{{x}^{2}}-7x+12$.
Từ đồ thị hàm số $y={f}’\left( x \right)\], ta có:
Lập bảng xét dấu
Vậy hàm số có ít nhất một khoảng nghịch biến.
Cách 2: ${g}’\left( x \right)={f}’\left( x-2 \right)+{{x}^{2}}-7x+12$.
${g}’\left( x \right)<0\Leftrightarrow {f}’\left( x-2 \right)+{{x}^{2}}-7x+12<0\Leftrightarrow {f}’\left( x-2 \right)<-{{x}^{2}}+7x-12$.
Ta vẽ đồ thị của các hàm số $y={f}’\left( x-2 \right)$ và $y=h\left( x \right)=-{{x}^{2}}+7x-12$ trên cùng một mặt phẳng tọa độ như sau
Nhận thấy ${f}’\left( x-2 \right)<-{{x}^{2}}+7x-12$, $\forall x\in \left( 3\,;\,4 \right)$. Hay ${g}’\left( x \right)<0$, $\forall x\in \left( 3\,;\,4 \right)$.
Do đó hàm số$y=g\left( x \right)$ luôn nghịch biến trên khoảng $\left( 3\,;\,4 \right)$.
Vậy hàm số có ít nhất một khoảng nghịch biến.
Câu 4: Tìm các giá trị của tham số ${m}$ để hàm số đồng biến trên ${\mathbb{R}}$.
1)${y={{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+mx+m}$ 2) ${y=m{{x}^{3}}-\left( 2m+1 \right){{x}^{2}}+\left( m+2 \right)x-2}$
Lời giải
1) TXĐ: $D=\mathbb{R}$.
Ta có ${y}’=3{{x}^{2}}+6x+m$.
Hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$$\Leftrightarrow {y}’\ge 0,\forall x\in \mathbb{R}$
$\Leftrightarrow {\Delta }’\le 0$ (vì $a=3>0$)
$\Leftrightarrow 9-3m\le 0\Leftrightarrow m\ge 3.$
Vậy $m\ge 3$ thì hàm số luôn đồng biến trên $\mathbb{R}$.
2) Tập xác định: $D=\mathbb{R}$.
+) Với $m=0$, hàm số trở thành $y=-{{x}^{2}}+2x-2$. Suy ra hàm số đồng biến trên khoảng $\left( -\infty ;1 \right)$.
Vậy $m=0$ không thỏa mãn.
+) Với $m\ne 0$, ta có: $y’=3m{{x}^{2}}-2(2m+1)x+m+2$.
Vậy $m=1$.
Câu 5: Xét tính đơn điệu của hàm số $y={{x}^{2}}-6x+6\sqrt{2x+1}-1$.
Lời giải
TXĐ: $\left[ -\frac{1}{2};+\infty \right)$. Đặt $t=\sqrt{2x+1}$$\left( t\in \left[ 0;+\infty \right) \right)$$\Rightarrow x=\frac{{{t}^{2}}-1}{2}$.
Xét hàm số $y={{\left( \frac{{{t}^{2}}-1}{2} \right)}^{2}}-6\left( \frac{{{t}^{2}}-1}{2} \right)+6t-1=\frac{1}{4}\left( {{t}^{4}}-14{{t}^{2}}+24t+9 \right)$.
Với $t=1\Rightarrow x=0$ ; Với $t=2\Rightarrow x=\frac{3}{2}$.
Ta có bảng dấu của ${y}’$
Dễ thấy hàm số $y=\sqrt{2x+1}$ đồng biến trên khoảng $\left( -\frac{1}{2};+\infty \right)$.
Vậy hàm số $y={{x}^{2}}-6x+6\sqrt{2x+1}-1$ đồng biến trên các khoảng $\left( -\frac{1}{2};\,0 \right)$, $\left( \frac{3}{2};\,+\infty \right)$ và nghịch biến trên khoảng $\left( 0;\,\frac{3}{2} \right)$.
Câu 6: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ có đạo hàm liên tục trên $\mathbb{R}$. Hàm số $y={f}’\left( x \right)$có đồ thị như hình vẽ sau:
Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số $g\left( x \right)=f\left( x \right)+x+1$.
Lời giải
Ta có: ${g}’\left( x \right)={f}’\left( x \right)+1$.
Dựa vào đồ thị $y={f}’\left( x \right)$ ta có:
Vậy hàm số $g\left( x \right)=f\left( x \right)+x+1$ đồng biến trên các khoảng $\left( 1\,;3 \right)$ và $\left( 5\,;+\infty \right)$, nghịch biến trên các khoảng $\left( -\infty \,;1 \right)$ và $\left( 3\,;5 \right)$.
Câu 7: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ có đạo hàm liên tục trên $\mathbb{R}$ và có đồ thị hàm số $y={f}’\left( x \right)$như hình vẽ.
Tìm các khoảng đồng biến của hàm số $y=g\left( x \right)=f\left( -2x+1 \right)+\left( x+1 \right)\left( -2x+4 \right)$.
Lời giải
+) $g\left( x \right)=f\left( -2x+1 \right)+\left( x+1 \right)\left( -2x+4 \right)$$=f\left( -2x+1 \right)+\left( -2{{x}^{2}}+2x+4 \right)$.
$\Rightarrow {g}’\left( x \right)=-2{f}’\left( -2x+1 \right)-4x+2$$=-2\left[ {f}’\left( -2x+1 \right)+2x-1 \right]$.
+) ${g}’\left( x \right)>0\Leftrightarrow {f}’\left( -2x+1 \right)+2x-1<0$$\Leftrightarrow {f}’\left( -2x+1 \right)<-2x+1\quad \left( 1 \right)$.
Đặt $t=-2x+1$thì $\left( 1 \right)$ trở thành ${f}’\left( t \right)<t$.
Quan sát đồ thị hàm số $y={f}’\left( t \right)$ và $y=t$ trên cùng một hệ trục tọa độ như hình vẽ, ta thấy với $t\in \left( -\infty \,;-3 \right)$ và $t\in \left( 2\,;5 \right)$ thì đồ thị hàm số$y={f}’\left( t \right)$ luôn nằm phía dưới đường thẳng $y=t$.
Vậy hàm số $y=g\left( x \right)=f\left( -2x+1 \right)+\left( x+1 \right)\left( -2x+4 \right)$ đồng biến trên các khoảng $\left( 2\,;+\infty \right)$ và $\left( -2\,;-\frac{1}{2} \right)$.
Phần trên đây là tóm tắt lý thuyết và các bài tập mẫu tính đơn điệu của hàm hàm số. Đây đều là những lời giải chi tiết nhất về sự động biến ngịch biến của hàm số lớp 12, xét tính đơn điệu của hàm số lượng giác, bám sát chương trình học nhằm giúp học sinh nắm được nội dung trên lớp và có thể tự học ở nhà. Chúc các bạn học tốt và đạt điểm cao trong chuyên đề này!
Xem Thêm:
Các dạng bài tập tính đơn điệu của hàm số
Cách giải và bài tập mẫu tìm tham số m để hàm số thỏa mãn điều kiện