Trong bài viết ngày hôm nay, Khoa Cử chúng tôi muốn đem đến cho các bạn cách tính diện tích tam giác trong hệ tọa độ oxyz trong chương trình toán lớp 12 rất đầy đủ và chi tiết cho các bạn tham khảo. Với những thông tin được Khoa cử chúng tôi chia sẽ về diện tích tam giác trong oxyz trong không gian lớp 12 cũng như bài tập không gian bên dưới đây hy vọng sẽ hỗ trợ cho bạn học tốt môn Toán Hình lớp 12 nhé!
I. LÝ THUYẾT TÍNH DIỆN TÍCH TAM GIÁC TRONG HỆ TỌA ĐỘ OXYZ
Để có thể làm được bài tập về tính diện tích tam giác trong hệ tọa độ oxyz trong không gian một cách dễ dàng nhất thì chúng ta cần phải nắm vững và thật chắc các công thức cũng như tính chất của dạng này như sau:
|
|
1. Hệ trục tọa độ Oxyz: | |||||||||
| § Hệ trục gồm ba trục $Ox,\,\,\,Oy,\,\,\,Oz$ đôi một vuông góc nhau.
§ Trục $Ox:$ trục hoành, có vectơ đơn vị $\overrightarrow{i}=(1;0;0)$. § Trục $Oy$: trục tung, có vectơ đơn vị $\overrightarrow{j}=(0;1;0)$. § Trục $Oz:$ trục cao, có vectơ đơn vị $\overrightarrow{k}=(0;0;1).$ § Điểm $O(0;0;0)$ là gốc tọa độ.
|
||||||||||
| 2. Tọa độ vectơ: Vectơ $$.
Cho $\overrightarrow{a}=({{a}_{1}};{{a}_{2}};{{a}_{3}}),\,\,\,\overrightarrow{b}=({{b}_{1}};{{b}_{2}};{{b}_{3}})$. Ta có:
|
||||||||||
| § $\vec{a}\pm \vec{b}\,=\,\,({{a}_{1}}\pm {{b}_{1}};\,\,{{a}_{2}}\pm {{b}_{2}};\,\,{{a}_{3}}\pm {{b}_{3}})$ | § $\overrightarrow{a}$ cùng phương $\overrightarrow{b}$$\Leftrightarrow \,\overrightarrow{a}=k\overrightarrow{b}\,\,\,(k\in R)$$\Leftrightarrow \,\,\left\{ \begin{align}§ & {{a}_{1}}=k{{b}_{1}} \\§ & {{a}_{2}}=k{{b}_{2}} \\§ & {{a}_{3}}=k{{b}_{3}} \\§ \end{align} \right.\,\,\Leftrightarrow \,\,\frac{{{a}_{1}}}{{{b}_{1}}}=\frac{{{a}_{2}}}{{{b}_{2}}}=\frac{{{a}_{3}}}{{{b}_{3}}},\,\,\,\,({{b}_{1}},\,\,{{b}_{2}},\,\,{{b}_{3}}\ne 0).$ | |||||||||
| § $k\vec{a}\,\,=\,\,(k{{a}_{1}};\,\,k{{a}_{2}};\,\,k{{a}_{3}})$ | ||||||||||
| $\overrightarrow{a}=\overrightarrow{b}\,\,\Leftrightarrow \,\,\left\{ \begin{align}& {{a}_{1}}={{b}_{1}} \\& {{a}_{2}}={{b}_{2}} \\& {{a}_{3}}={{b}_{3}} \\\end{align} \right.$ | ||||||||||
| § $\vec{a}.\vec{b}={{a}_{1}}.{{b}_{1}}+{{a}_{2}}.{{b}_{2}}+{{a}_{3}}.{{b}_{3}}$ | § $\left| {\vec{a}} \right|=\,\,\sqrt{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{2}^{2}}$ | § ${{\vec{a}}^{2}}={{\left| \overrightarrow{a} \right|}^{2}}=a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}$ | ||||||||
| § $\overrightarrow{a}\bot \overrightarrow{b}\Leftrightarrow \overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=0\Leftrightarrow {{a}_{1}}{{b}_{1}}+{{a}_{2}}{{b}_{2}}+{{a}_{3}}{{b}_{3}}=0$ | § $\cos (\vec{a},\,\,\vec{b})\,\,=\,\frac{\vec{a}.\vec{b}}{\left| {\vec{a}} \right|.\left| {\vec{b}} \right|}\,\,=\,\,\frac{{{a}_{1}}{{b}_{1}}+{{a}_{2}}{{b}_{2}}+{{a}_{3}}{{b}_{3}}}{\sqrt{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}}.\sqrt{b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+b_{3}^{2}}}$ | |||||||||
| 3. Tọa độ điểm: $$. Cho$A({{x}_{A}};\,\,{{y}_{A}};\,\,{{z}_{A}})\,\,,\,\,\,B({{x}_{B}};\,\,{{y}_{B}};\,\,{{z}_{B}})\,\,,\,\,\,C({{x}_{C}};{{y}_{C}};{{z}_{C}})$, ta có: | ||||||||||
| § $\overrightarrow{AB}=({{x}_{B}}-{{x}_{A}};{{y}_{B}}-{{y}_{A}};{{z}_{B}}-{{z}_{A}})$ | § $AB\,\,=\,\,\sqrt{{{({{x}_{B}}-{{x}_{A}})}^{2}}+{{({{y}_{B}}-{{y}_{A}})}^{2}}+{{({{z}_{B}}-{{z}_{A}})}^{2}}}$ | |||||||||
| § Toạ độ trung điểm M của đoạn thẳng AB: $M\left( \frac{{{x}_{A}}+{{x}_{B}}}{2};\frac{{{y}_{A}}+{{y}_{B}}}{2};\frac{{{z}_{A}}+{{z}_{B}}}{2} \right).$ | § Toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC: $G\left( \frac{{{x}_{A}}+{{x}_{B}}+{{x}_{C}}}{3};\frac{{{y}_{A}}+{{y}_{B}}+{{y}_{C}}}{3};\frac{{{z}_{A}}+{{z}_{B}}+{{z}_{C}}}{3} \right).$
|
|||||||||
| QUY TẮC CHIẾU ĐẶC BIỆT | ||||||||||
| Chiếu điểm trên trục tọa độ | Chiếu điểm trên mặt phẳng tọa độ | |||||||||
| § Điểm $M({{x}_{M}};{{y}_{M}};{{z}_{M}})\xrightarrow[(Gi\ddot{o}\tilde{o}\,\,\,nguye\hat{a}n\,\,x)]{Chie\acute{a}u\,\,\,vao\,\,\,Ox}{{M}_{1}}({{x}_{M}};0;0)$
§ Điểm $M({{x}_{M}};{{y}_{M}};{{z}_{M}})\xrightarrow[(Gi\ddot{o}\tilde{o}\,\,\,nguye\hat{a}n\,\,y)]{Chie\acute{a}u\,\,\,vao\,\,\,Oy}{{M}_{2}}(0;{{y}_{M}};0)$ § Điểm $M({{x}_{M}};{{y}_{M}};{{z}_{M}})\xrightarrow[(Gi\ddot{o}\tilde{o}\,\,\,nguye\hat{a}n\,\,z)]{Chie\acute{a}u\,\,\,vao\,\,\,Oz}{{M}_{3}}(0;0;{{z}_{M}})$ |
§ Điểm $M({{x}_{M}};{{y}_{M}};{{z}_{M}})\xrightarrow[(Gi\ddot{o}\tilde{o}\,\,\,nguye\hat{a}n\,\,x,\,\,y)]{Chie\acute{a}u\,\,\,vao\,\,\,Oxy}{{M}_{1}}({{x}_{M}};{{y}_{M}};0)$
§ Điểm $M({{x}_{M}};{{y}_{M}};{{z}_{M}})\xrightarrow[(Gi\ddot{o}\tilde{o}\,\,\,nguye\hat{a}n\,\,y,\,\,z)]{Chie\acute{a}u\,\,\,vao\,\,\,Oyz}{{M}_{2}}(0;{{y}_{M}};{{z}_{M}})$ § Điểm $M({{x}_{M}};{{y}_{M}};{{z}_{M}})\xrightarrow[(Gi\ddot{o}\tilde{o}\,\,\,nguye\hat{a}n\,x,\,\,\,z)]{Chie\acute{a}u\,\,\,vao\,\,\,Oxz}{{M}_{3}}({{x}_{M}};0;{{z}_{M}})$ |
|||||||||
| Đối xứng điểm qua trục tọa độ | Đối xứng điểm qua mặt phẳng tọa độ | |||||||||
| § $M({{x}_{M}};{{y}_{M}};{{z}_{M}})\xrightarrow[(Gi\ddot{o}\tilde{o}\,\,\,nguye\hat{a}n\,\,x;\,\,\,\tilde{n}oi\,\,\,da\acute{a}u\,\,\,y,\,\,z)]{\tilde{N}o\acute{a}i\,\,\,x\ddot{o}\grave{u}ng\,\,\,qua\,\,\,Ox}{{M}_{1}}({{x}_{M}};-{{y}_{M}};-{{z}_{M}})$
§ $M({{x}_{M}};{{y}_{M}};{{z}_{M}})\xrightarrow[(Gi\ddot{o}\tilde{o}\,\,\,nguye\hat{a}n\,\,y;\,\,\,\tilde{n}oi\,\,\,da\acute{a}u\,\,\,x,\,\,z)]{\tilde{N}o\acute{a}i\,\,\,x\ddot{o}\grave{u}ng\,\,\,qua\,\,\,Oy}{{M}_{2}}(-{{x}_{M}};{{y}_{M}};-{{z}_{M}})$ § $M({{x}_{M}};{{y}_{M}};{{z}_{M}})\xrightarrow[(Gi\ddot{o}\tilde{o}\,\,\,nguye\hat{a}n\,\,z;\,\,\,\tilde{n}oi\,\,\,da\acute{a}u\,\,\,x,\,\,y)]{\tilde{N}o\acute{a}i\,\,\,x\ddot{o}\grave{u}ng\,\,\,qua\,\,\,Oz}{{M}_{3}}(-{{x}_{M}};-{{y}_{M}};{{z}_{M}})$ |
§ $M({{x}_{M}};{{y}_{M}};{{z}_{M}})\xrightarrow[(Gi\ddot{o}\tilde{o}\,\,\,nguye\hat{a}n\,\,x,\,\,y;\,\,\,\tilde{n}oi\,\,\,da\acute{a}u\,\,\,z)]{\tilde{N}o\acute{a}i\,\,\,x\ddot{o}\grave{u}ng\,\,\,qua\,\,\,Oxy}{{M}_{1}}({{x}_{M}};{{y}_{M}};-{{z}_{M}})$
§ $M({{x}_{M}};{{y}_{M}};{{z}_{M}})\xrightarrow[(Gi\ddot{o}\tilde{o}\,\,\,nguye\hat{a}n\,\,x,\,\,z;\,\,\,\tilde{n}oi\,\,\,da\acute{a}u\,\,\,y)]{\tilde{N}o\acute{a}i\,\,\,x\ddot{o}\grave{u}ng\,\,\,qua\,\,\,Oxz}{{M}_{2}}({{x}_{M}};-{{y}_{M}};{{z}_{M}})$ § $M({{x}_{M}};{{y}_{M}};{{z}_{M}})\xrightarrow[(Gi\ddot{o}\tilde{o}\,\,\,nguye\hat{a}n\,\,y,\,\,z;\,\,\,\tilde{n}oi\,\,\,da\acute{a}u\,\,\,x)]{\tilde{N}o\acute{a}i\,\,\,x\ddot{o}\grave{u}ng\,\,\,qua\,\,\,Oyz}{{M}_{3}}(-{{x}_{M}};{{y}_{M}};{{z}_{M}})$ |
|||||||||
| 4. Tích có hướng của hai vectơ: | ||||||||||
| F Định nghĩa: Cho $\overrightarrow{a}=({{a}_{1}},\,\,{{a}_{2}},\,\,{{a}_{3}})$, $\overrightarrow{b}=({{b}_{1}},\,\,{{b}_{2}},\,\,{{b}_{3}})$, tích có hướng của $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ là:
$\,\left[ \vec{a},\vec{b} \right]\,\,=\,\,\left( \left| \begin{matrix}{{a}_{2}} & {{a}_{3}} \\{{b}_{2}} & {{b}_{3}} \\\end{matrix} \right|\,\,;\,\,\left| \begin{matrix}{{a}_{3}} & {{a}_{1}} \\{{b}_{3}} & {{b}_{1}} \\\end{matrix} \right|\,\,;\,\,\left| \begin{matrix}{{a}_{1}} & {{a}_{2}} \\{{b}_{1}} & {{b}_{2}} \\\end{matrix} \right| \right)=\left( {{a}_{2}}{{b}_{3}}-{{a}_{3}}{{b}_{2}};{{a}_{3}}{{b}_{1}}-{{a}_{1}}{{b}_{3}};{{a}_{1}}{{b}_{2}}-{{a}_{2}}{{b}_{1}} \right)$. |
||||||||||
| F Tính chất: | $[\overrightarrow{a},\,\,\overrightarrow{b}]\,\,\bot \,\,\overrightarrow{a}$ | $[\overrightarrow{a},\,\,\overrightarrow{b}]\,\,\bot \,\,\overrightarrow{b}$ | $\left| [\overrightarrow{a},\,\overrightarrow{b}] \right|\,\,=\,\left| {\vec{a}} \right|.\left| {\vec{b}} \right|.\sin \left( \vec{a},\vec{b} \right)$ | |||||||
| Điều kiện cùng phương của hai vectơ $\overrightarrow{a}\And \overrightarrow{b}$ là $\left[ \overrightarrow{a},\overrightarrow{b} \right]=\overrightarrow{0}$ với $\overrightarrow{0}=(0;0;0).$ | Điều kiện đồng phẳng của ba vectơ $\overrightarrow{a},\,\,\overrightarrow{b}$ và $\overrightarrow{c}$ là $[\overrightarrow{a},\,\,\overrightarrow{b}]\,.\overrightarrow{c}=0.$ | |||||||||
| Diện tích hình bình hành ABCD:${{S}_{ABCD}}=\left| \left[ \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD} \right] \right|.$ | Diện tích tam giác ABC: ${{S}_{\Delta ABC}}=\frac{1}{2}\left| \left[ \overrightarrow{AB},\,\,\overrightarrow{AC} \right] \right|.$ | |||||||||
| Thể tích khối hộp: : ${{V}_{ABCD.A’B’C’D’}}\,\,=\,\,\left| [\overrightarrow{AB},\,\,\overrightarrow{AD}].\overrightarrow{AA}’ \right|.$ | Thể tích tứ diện: ${{V}_{ABCD}}=\frac{1}{6}\left| \left[ \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} \right].\overrightarrow{AD} \right|$. | |||||||||
Chú ý:
– Tích vô hướng của hai vectơ thường sử dụng để chứng minh hai đường thẳng vuông góc, tính góc giữa hai đường thẳng.
– Tích có hướng của hai vectơ thường sử dụng để tính diện tích tam giác; tính thể tích khối tứ diện, thể tích hình hộp; chứng minh các vectơ đồng phẳng – không đồng phẳng, chứng minh các vectơ cùng phương.
Xem thêm: Cách giải và bài tập mẫu khoảng cách giữa hai mặt phẳng
II. BÀI TẬP MẪU TÍNH DIỆN TÍCH TAM GIÁC TRONG HỆ TỌA ĐỘ OXYZ
Khi đã nắm chắc được các lý thuyết liên quan đến các dạng phương trình đường thẳng trong không gian thì chúng ta cần phải làm thêm một số bài tập tính diện tích tam giác trong hệ tọa độ oxyz để có thể hiểu rõ hơn chương hình học không gian này ngay bên dưới đây:
Bài tập 1: Tìm tọa độ điểm và tọa độ tâm
Trong không gian với hệ toạ độ $Oxyz$, cho ba điểm $A\left( 1;2;4 \right),B\left( 2;-1;0 \right),D\left( -2;3;-1 \right)$.
1/ Tìm tọa độ điểm $D$ để tứ giác $ABCD$ là hình bình hành.
2/ Tìm tọa độ tâm I của hình bình hành $ABCD$.
Lời giải
1/ Tứ giác $ABCD$ là hình bình hành $\Leftrightarrow \overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& {{x}_{D}}={{x}_{C}}-{{x}_{B}}+{{x}_{A}}=-3 \\& {{y}_{D}}={{y}_{C}}-{{y}_{B}}+{{y}_{A}}=6 \\& {{z}_{D}}={{z}_{C}}-{{z}_{B}}+{{z}_{A}}=3 \\\end{align} \right.\Rightarrow D\left( -3;6;3 \right)$
2/ Điểm I là tâm hình bình hành $ABCD$
$\Rightarrow $I là trung điểm của AC $\Rightarrow \left\{ \begin{align}& {{x}_{I}}=\frac{{{x}_{A}}+{{x}_{C}}}{2} \\& {{y}_{I}}=\frac{{{y}_{A}}+{{y}_{C}}}{2} \\& {{z}_{I}}=\frac{{{z}_{A}}+{{z}_{C}}}{2} \\\end{align} \right.\Rightarrow I\left( -\frac{1}{2};\frac{5}{2};\frac{3}{2} \right)$.
Bài tập 2: Tìm tọa độ điểm M thuộc mặt phẳng (Oxy) và cách đều các điểm A, B, C
Trong không gian với hệ toạ độ $Oxyz$, cho ba điểm $A\left( 1;-1;5 \right),\,B\left( 3;4;4 \right),\,C\left( 4;6;1 \right)$. Tìm tọa độ điểm M thuộc mặt phẳng (Oxy) và cách đều các điểm A, B, C ?
Lời giải
Gọi $M\left( x;y;0 \right)\,\in \left( Oxy \right)\,,\left( x,y\in \mathbb{R};{{x}^{2}}+{{y}^{2}}\ne 0 \right)$là điểm cần tìm. Vì M cách đều A, B, C nên ta có: $MA=MB=MC\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& A{{M}^{2}}=B{{M}^{2}} \\& A{{M}^{2}}=C{{M}^{2}} \\\end{align} \right.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& {{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y+1 \right)}^{2}}+{{\left( 0-5 \right)}^{2}}={{\left( x-3 \right)}^{2}}+{{\left( y-4 \right)}^{2}}+{{\left( 0-4 \right)}^{2}} \\& {{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y+1 \right)}^{2}}+{{\left( 0-5 \right)}^{2}}={{\left( x-4 \right)}^{2}}+{{\left( y-6 \right)}^{2}}+{{\left( 0-1 \right)}^{2}} \\\end{align} \right.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& 4x+10y-14=0 \\& 2x+4y-12=0 \\\end{align} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& 2x+5y=7 \\& x+2y=6 \\\end{align} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& x=16 \\& y=-5 \\\end{align} \right.$.
Vậy $M\left( 16;-5;0 \right)$.
Bài tập 3: iết phương trình mặt cầu (S) có tâm I là giao điểm của (P) và $\Delta $ sao cho (Q) cắt (S) theo một hình tròn có diện tích là $20\pi $
Cho hai mặt phẳng $\left( P \right)\text{: }5x-4y+z-6=0,\text{ }\left( Q \right):\text{ }2x-y+z+7=0$ và đường thẳng $\Delta :\frac{x-1}{7}=\frac{y}{3}=\frac{z-1}{-2}$. Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I là giao điểm của (P) và $\Delta $ sao cho (Q) cắt (S) theo một hình tròn có diện tích là $20\pi $.
Lời giải:
Ta có $\Delta :\left\{ \begin{align}& x=1+7t \\& y=3t \\& z=1-2t \\\end{align} \right.$ . Tọa độ I là nghiệm của hệ phương trình: $\left\{ \begin{align}& x=1+7t\text{ (1)} \\& y=3t\text{ (2)} \\& z=1-2t\text{ (3)} \\& 5x-4y+z-6=0\text{ (4)} \\\end{align} \right.$
Thay (1), (2), (3) vào (4) ta có: $5\left( 1+7t \right)-4\left( 3t \right)+\left( 1-2t \right)-6=0\Leftrightarrow t=0\Rightarrow I\left( 1;0;1 \right)$.
Ta có : $d\left( I,\left( Q \right) \right)=\frac{5\sqrt{6}}{3}$.
Gọi r là bán kính đường tròn giao tuyến của (S) và mặt phẳng (Q). Ta có: $20\pi =\pi {{r}^{2}}\Leftrightarrow r=2\sqrt{5}.$
R là bán kính mặt cầu (S) cần tìm.
Theo giả thiết: $R=\sqrt{{{\left[ d\left( I,\left( Q \right) \right) \right]}^{2}}+{{r}^{2}}}=\frac{\sqrt{330}}{3}.$ Vậy (S) : ${{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}+{{\left( z-1 \right)}^{2}}=\frac{110}{3}$.
Bài tập 4: Tính diện tích tam giác ABC
Trong không gian với hệ toạ độ $Oxyz$, cho tam giác ABC biết $A\left( 1;2;3 \right)$, B đối xứng với A qua mặt phẳng ($Oxy$), C đối xứng với B qua gốc tọa độ O. Tính diện tích tam giác ABC ?
Lời giải
Theo đề bài: B đối xứng với A qua mặt phẳng ($Oxy$)$\Rightarrow B(1;2;-3)$
C đối xứng với B qua gốc tọa độ O $\Rightarrow C(-1;-2;3)$
$\Rightarrow \overrightarrow{AB}=(0;0;-6);\overrightarrow{AC}=(-2;-4;0)\Rightarrow {{S}_{\Delta ABC}}=\frac{1}{2}\left| \left[ \overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC} \right] \right|=6\sqrt{5}$.
Bài tập 5: Tính diện tích $S$ của tam giác $ABC$
Trong không gian $Oxyz$, tính diện tích $S$ của tam giác $ABC$, biết $A\,\left( 2\,;\,0\,;\,0 \right)\,,\,\,B\left( 0\,;\,3\,;\,0 \right)$ và $C\,\left( 0\,;\,0\,;\,4 \right)$.
A. $S\,=\,\frac{\sqrt{61}}{3}$. B. $S\,=\,\frac{\sqrt{61}}{2}$. C. $S\,=\,2\,\sqrt{61}$. D. $S\,=\,\sqrt{61}$.
Lời giải
$\overrightarrow{AB}\,=\,\left( -2\,;\,3\,;\,0 \right)$, $\overrightarrow{AC}\,=\,\left( -2\,;\,0\,;\,4 \right)$, $\left[ \overrightarrow{AB}\,,\,\overrightarrow{AC} \right]\,=\,\left( 12\,;\,8\,;\,6 \right)$.
Ta có $\left| \left[ \overrightarrow{AB}\,,\,\overrightarrow{AC} \right] \right|\,=\,\left| \overrightarrow{AB} \right|.\left| \overrightarrow{AC} \right|.\sin \left( \overrightarrow{AB}\,,\,\overrightarrow{AC} \right)\,=\,2\,S$.
Diện tích tam giác $ABC$ là $S\,=\,\frac{1}{2}\,.\,\left| \left[ \overrightarrow{AB}\,,\,\overrightarrow{AC} \right] \right|\,=\frac{1}{2}\,\sqrt{{{12}^{2}}+\,\,\,{{8}^{2}}\,\,+\,\,{{6}^{2}}}\,\,=\,\,\sqrt{61}$.
Do đó, đáp án chính xác nhất ở bài này là D.
Bài tập 6: Tìm tất cả các điểm $D$ sao cho $ABCD$ là hình thang có đáy $AD$ và diện tích tứ giác $ABCD$ bằng 3 lần diện tích tam giác$ABC$
Trong không gian với hệ toạ độ $Oxyz$, cho ba điểm $A\left( -2;\,3;\,1 \right)$, $B\left( 2;\,1;\,0 \right)$, $C\left( -3;\,-1;\,1 \right)$. Tìm tất cả các điểm $D$ sao cho $ABCD$ là hình thang có đáy $AD$ và diện tích tứ giác $ABCD$ bằng 3 lần diện tích tam giác$ABC$.
A. $D\left( -12;\,-1;\,3 \right)$. B. $\left[ \begin{align}& D\left( -8;\,-7;\,1 \right) \\ & D\left( 12;\,1;\,-3 \right) \\ \end{align} \right.$. C. $D\left( 8;\,7;\,-1 \right)$. D. $\left[ \begin{align}& D\left( 8;\,7;-\,1 \right) \\ & D\left( -12;-\,1;\,3 \right) \\ \end{align} \right.$.
Lời giải
Ta có: ${{S}_{ABCD}}=\frac{1}{2}\left( AD+BC \right).d\left( A,BC \right)$ $\Leftrightarrow {{S}_{ABCD}}=\frac{1}{2}\left( AD+BC \right).\frac{2{{S}_{\Delta ABC}}}{BC}$.
$\Leftrightarrow 3{{S}_{\Delta ABC}}=\frac{\left( AD+BC \right).{{S}_{\Delta ABC}}}{BC}$ $\Leftrightarrow 3BC=AD+BC$$\Leftrightarrow AD=2BC$.
Mà $ABCD$ là hình thang có đáy $AD$ nên $\overrightarrow{AD}=2\overrightarrow{BC}$ $\left( 1 \right)$.
$\overrightarrow{BC}=\left( -5;\,-2;\,1 \right)$, $\overrightarrow{AD}=\left( {{x}_{D}}+2;\,{{y}_{D}}-3;\,{{z}_{D}}-1 \right)$.
$\left( 1 \right)$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& {{x}_{D}}+2=-10 \\& {{y}_{D}}-3=-4 \\& {{z}_{D}}-1=2 \\\end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& {{x}_{D}}=-12 \\& {{y}_{D}}=-1 \\& {{z}_{D}}=3 \\\end{align} \right.$.
Vậy $D\left( -12;\,-1;\,3 \right)$.
Do đó, đáp án chính xác nhất ở bài này là A.
Bài tập 7: Tìm mệnh đề đúng
Trong không gian với hệ trục tọa độ ${Oxyz}$ cho hình thang ${ABCD}$ vuông tại ${A}$ và ${B}$. Ba đỉnh ${A(1;\,2;\,1)}$, ${B(2;\,0;\,-1)}$, ${C(6;\,1;\,0)}$ Hình thang có diện tích bằng ${6\sqrt{2}}$. Giả sử đỉnh ${D(a;b;c)}$, tìm mệnh đề đúng?
A. ${a+b+c=6}$. B. ${a+b+c=5}$. C. ${a+b+c=8}$. D. ${a+b+c=7}$.
Lời giải
Ta có $\overrightarrow{AB}=\left( 1;-2;-2 \right)$$\Rightarrow \left| \overrightarrow{AB} \right|=3$; $\overrightarrow{BC}=\left( 4;1;1 \right)$$\Rightarrow \left| \overrightarrow{BC} \right|=3\sqrt{2}$.
Theo giả thiết ${ABCD}$ là hình thang vuông tại ${A}$ và ${B}$ và có diện tích bằng ${6\sqrt{2}}$ nên $\frac{1}{2}AB\left( AD+BC \right)=6\sqrt{2}$$\Leftrightarrow \frac{1}{2}.3.\left( AD+3\sqrt{2} \right)=6\sqrt{2}$$\Rightarrow AD=\sqrt{2}$$\Rightarrow AD=\frac{1}{3}BC$.
Do ${ABCD}$ là hình thang vuông tại ${A}$ và ${B}$ nên $\overrightarrow{AD}=\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}$.
Giả sử ${D(a;b;c)}$ khi đó ta có $\left\{ \begin{align}& a-1=\frac{4}{3} \\& b-2=\frac{1}{3} \\& c-1=\frac{1}{3} \\\end{align} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& a=\frac{7}{3} \\& b=\frac{7}{3} \\& c=\frac{4}{3} \\\end{align} \right.$$\Rightarrow a+b+c=6$.
Do đó, đáp án chính xác nhất ở bài này là A.
Bài tập 8: Diện tích hình bình hành $ABCD$
Trong không gian với hệ trục tọa độ, cho hình bình hành $ABCD$. Biết $A\left( 2\,;\,1;\,-3 \right)$, $B\left( 0\,;\,-2\,;\,5 \right)$ và $C\left( 1\,;\,1\,;\,3 \right)$. Diện tích hình bình hành $ABCD$ là
A. $2\sqrt{87}$. B. $\frac{\sqrt{349}}{2}$. C. $\sqrt{349}$. D. $\sqrt{87}$.
Lời giải
Ta có: $\overrightarrow{AB}=\left( -2\,;\,-3\,;\,8 \right)$ và $\overrightarrow{AC}=\left( -1\,;\,0\,;\,6 \right)$$\Rightarrow \left[ \overrightarrow{AB}\,,\,\overrightarrow{AC} \right]=\left( -18\,;\,4\,;\,-3 \right)$.
Vậy: ${{S}_{ABCD}}=\left| \left[ \overrightarrow{AB}\,,\,\overrightarrow{AC} \right] \right|=\sqrt{{{\left( -18 \right)}^{2}}+{{4}^{2}}+{{\left( -3 \right)}^{2}}}=\sqrt{349}$.
Như vậy bên trên là tất cả những thông tin cần thiết về các tính diện tích tam giác trong hệ tọa độ oxyz mà các bạn không nên bỏ qua. Nếu như bạn có thắc mắc hay cần hỗ trợ thì đừng ngần ngại mà không liên hệ ngay với chúng tôi để nhận được sự trợ giúp sớm nhất nhé!
Xem thêm:
