Sau đây Khoa Cử xin giới thiệu đến các em học sinh lớp 12 bài viết về cách giải và bài tập mẫu tìm tham số m để hàm số thỏa mãn điều kiện, tìm các khoảng đơn điệu của hàm số cũng như tìm khoảng đơn điệu của hàm số lượng giác nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 12!
1. Tìm m để hàm số đơn điệu trên các khoảng xác định của nó
Xét hàm số bậc ba $y=f(x)=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d.$
– Bước 1. Tập xác định: $D=\mathbb{R}.$
– Bước 2. Tính đạo hàm ${y}’={f}'(x)=3a{{x}^{2}}+2bx+c.$
Lưu ý: Dấu của tam thức bậc hai $f(x)=a{{x}^{2}}+bx+c.$
Câu 1: Cho hàm số $y=-\frac{1}{3}{{x}^{3}}+m{{x}^{2}}+\left( 3m+2 \right)x+1$. Tìm tất cả giá trị của $m$ để hàm số nghịch biến trên $\mathbb{R}$.
Lời giải
Chọn B
TXĐ: $D=\mathbb{R}$, ${y}’=-{{x}^{2}}+2mx+3m+2$.
Hàm số nghịch biến trên $\mathbb{R}$ khi và chỉ khi ${y}’\le 0$, $\forall x\in \mathbb{R}$
Câu 2: Tìm $m$ để hàm số $y={{x}^{3}}-3m{{x}^{2}}+3\left( 2m-1 \right)+1$ đồng biến trên $\mathbb{R}$.
A. Không có giá trị $m$ thỏa mãn. B. $m\ne 1$. C. $m=1$ D. Luôn thỏa mãn với mọi $m$.
Lời giải
Chọn C
${y}’=3{{x}^{2}}-6mx+3\left( 2m-1 \right)$
Ta có: ${\Delta }’={{\left( -3m \right)}^{2}}-3.3.\left( 2m-1 \right)$. Để hàm số luôn đồng biến trên $\mathbb{R}$ thì ${\Delta }’\le 0$
$\Leftrightarrow 9{{m}^{2}}-18m+9<0\Leftrightarrow 9\left( {{m}^{2}}-2m+1 \right)\le 0\Leftrightarrow 9{{\left( m-1 \right)}^{2}}\le 0$$\Leftrightarrow m=1$.
Câu 3: Giá trị của $m$ để hàm số $y=\frac{1}{3}{{x}^{3}}2m{{x}^{2}}+\left( m+3 \right)x5+m$ đồng biến trên $\mathbb{R}$ là.
A. $-\frac{3}{4}\le m\le 1$ B. $m\le -\frac{3}{4}$. C. $-\frac{3}{4}<m<1$. D. $m\ge 1$.
Lời giải
Chọn A
Ta có tập xác định $D=\mathbb{R}$.
${y}’={{x}^{2}}4mx+\left( m+3 \right)$.
${y}’=0\Leftrightarrow {{x}^{2}}4mx+\left( m+3 \right)=0$.
Hàm số đã cho đồng biến trên $\mathbb{R}$ khi và chỉ khi ${y}’\ge 0,\forall x\in \mathbb{R}$, đẳng thức chỉ xảy ra tại hữu hạn điểm$\Leftrightarrow {\Delta }’\le 0\Leftrightarrow {{\left( -2m \right)}^{2}}-1.\left( m+3 \right)\le 0\Leftrightarrow 4{{m}^{2}}-m-3\le 0\Leftrightarrow -\frac{3}{4}\le m\le 1$.
Vậy $-\frac{3}{4}\le m\le 1$.
2. Tìm điều kiện của tham số m để hàm số đơn điệu trên một khoảng cho trước
Câu 4: Cho hàm số $y=\frac{mx-2m+3}{x+m}$ với $m$ là tham số. Gọi $S$ là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của $m$ để hàm số nghịch biến trên khoảng $\left( 2\,;\,+\infty \right)$. Tìm số phần tử của $S$.
A. $5$. B. $3$. C. $4$. D. $1$.
Lời giải
Chọn C
Điều kiện xác định:$x\ne -m$.
Ta có: ${y}’=\frac{{{m}^{2}}+2m-3}{{{\left( x+m \right)}^{2}}}$.
Để hàm số nghịch biến trên khoảng $\left( 2\,;\,+\infty \right)$ thì:
Vậy giá trị nguyên của $m$ là $S=\left\{ -2\,;\,-1\,;\,0 \right\}$.
Câu 5: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m\in \left( -2020;2020 \right)$ sao cho hàm số $y=\frac{3x+18}{x-m}$ nghịch biến trên khoảng $\left( -\infty ;-3 \right)$?
A. $2020$. B. $2026$. C. $2018$. D. $2023$.
Lời giải
Chọn D
Điều kiện: $x\ne m$ nên $m\notin \left( -\infty ;-3 \right)$
$y=\frac{3x+18}{x-m}\Rightarrow y’=\frac{-3m-18}{{{\left( x-m \right)}^{2}}}$
Để hàm số $y=\frac{3x+18}{x-m}$ nghịch biến trên khoảng $\left( -\infty ;-3 \right)$ thì $-3m-18<0\Leftrightarrow m>-6$
Vì $m\in \left( -2020;2020 \right)$ và $m\notin \left( -\infty ;-3 \right)$ nên $m\in \left[ -2;2020 \right]$
Vậy có 2023 giá trị $m$ nguyên thoả mãn.
3. Tìm m để hàm số bậc 3 đơn điệu trên khoảng cho trước
Câu 6: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ sao cho hàm số$y=f(x)=\frac{m{{x}^{3}}}{3}+7m{{x}^{2}}+14x-m+2$ giảm trên nửa khoảng $\text{ }\!\![\!\!\text{ }1;+\infty )$?
A. $\left( -\infty ;-\frac{14}{15} \right]$. B. $\left[ -2;-\frac{14}{15} \right]$. C. $\left[ -\frac{14}{15};+\infty \right)$. D. $\left( -\infty ;-\frac{14}{15} \right)$.
Lời giải
Chọn A
Tập xác định $D=\mathbb{R}$, yêu cầu của bài toán đưa đến giải bất phương trình
$m{{x}^{2}}+14mx+14\le 0,\forall x\ge 1$, tương đương với $g(x)=\frac{-14}{{{x}^{2}}+14x}\ge m$
Dễ dàng có được $g(x)$ là hàm tăng $\forall x\in \left[ 1;+\infty \right)$, suy ra $\underset{x\ge 1}{\mathop{\min }}\,g(x)=g(1)=-\frac{14}{15}$
Kết luận: $\Leftrightarrow \underset{x\ge 1}{\mathop{\min }}\,g(x)\ge m\Leftrightarrow -\frac{14}{15}\ge m$
Câu 7: Xác định các giá trị của tham số m để hàm số $y={{x}^{3}}-3m{{x}^{2}}-m$ nghịch biến trên khoảng$\left( 0;1 \right)?$
A. $m\ge 0$. B. $m<\frac{1}{2}$. C. $m\le 0$. D. $m\ge \frac{1}{2}$.
Lời giải
Chọn D
Hàm số $y={{x}^{3}}-3m{{x}^{2}}-m$ nghịch biến trên khoảng$\left( 0;1 \right)\Leftrightarrow 2m\ge 1\Leftrightarrow m\ge \frac{1}{2}$
4. Tìm m để hàm số khác đơn điệu trên khoảng cho trước
Câu 8: Gọi $S$ là tập hợp tất cả các giá trị của tham số $m$ để hàm số $f\left( x \right)=\frac{1}{5}{{m}^{2}}{{x}^{5}}-\frac{1}{3}m{{x}^{3}}+10{{x}^{2}}-\left( {{m}^{2}}-m-20 \right)x$ đồng biến trên $\mathbb{R}$. Tổng giá trị của tất cả các phần tử thuộc $S$ bằng
A. $\frac{5}{2}$. B. $-2$. C. $\frac{1}{2}$. D. $\frac{3}{2}$.
Lời giải
Ta có ${f}’\left( x \right)={{m}^{2}}{{x}^{4}}-m{{x}^{2}}+20x-\left( {{m}^{2}}-m-20 \right)={{m}^{2}}\left( {{x}^{4}}-1 \right)-m\left( {{x}^{2}}-1 \right)+20\left( x+1 \right)$
$={{m}^{2}}\left( x-1 \right)\left( x+1 \right)\left( {{x}^{2}}+1 \right)-m\left( x-1 \right)\left( x+1 \right)+20\left( x+1 \right)$
$=\left( x+1 \right)\left[ {{m}^{2}}\left( x-1 \right)\left( {{x}^{2}}+1 \right)-m\left( x-1 \right)+20 \right]$
Ta có ${f}’\left( x \right)=0$ có một nghiệm đơn là $x=-1$, do đó nếu $\left( * \right)$ không nhận $x=-1$ là nghiệm thì ${f}’\left( x \right)$ đổi dấu qua $x=-1$. Do đó để $f\left( x \right)$ đồng biến trên $\mathbb{R}$ thì ${f}’\left( x \right)\ge 0,\forall x\in \mathbb{R}$ hay $\left( * \right)$ nhận $x=-1$ làm nghiệm .
Suy ra ${{m}^{2}}\left( -1-1 \right)\left( 1+1 \right)-m\left( -1-1 \right)+20=0\Leftrightarrow -4{{m}^{2}}+2m+20=0$.
Tổng các giá trị của $m$ là $\frac{1}{2}$.
Câu 9: Có bao nhiêu số nguyên $m$ để hàm số $f\left( x \right)=m\left( 2020+x-2\cos x \right)+\sin x-x$ nghịch biến trên $\mathbb{R}$?
A. Vô số. B. $2$. C. $1$. D. $0$.
Lời giải
Chọn C
Ta có $f\left( x \right)=\sin x-2m\cos x+\left( m-1 \right)x+2020m$ có đạo hàm liên tục trên $\mathbb{R}$.
Cần tìm $m$ nguyên để ${{f}^{/}}\left( x \right)=\cos x+2m\sin x+m-1\le 0,\forall x$
$\Leftrightarrow \underset{x\in \mathbb{R}}{\mathop{max}}\,\left[ \cos x+2m\sin x+m-1 \right]\le 0\Leftrightarrow \sqrt{1+4{{m}^{2}}}+m-1\le 0\Leftrightarrow \sqrt{1+4{{m}^{2}}}\le 1-m$
Câu 10: Tìm tập hợp tất cả các giá trị của $m$ để hàm số $y=\frac{m-\sin x}{{{\cos }^{2}}x}$ nghịch biến trên $\left( 0;\frac{\pi }{6} \right)$.
A. $m\ge 1$. B. $m\le 2$. C. $m\le \frac{5}{4}$. D. $m\le 0$.
Lời giải
Chọn C
Ta có ${y}’=\frac{-{{\cos }^{2}}x+2m\sin x-2{{\sin }^{2}}x}{{{\cos }^{3}}x}=\frac{-1+2m\sin x-{{\sin }^{2}}x}{{{\cos }^{3}}x}$
Để hàm số nghịch biến trên $\left( 0;\frac{\pi }{6} \right)$ thì
${y}’\le 0,\forall x\in \left( 0;\frac{\pi }{6} \right)\,$$\Leftrightarrow $$-{{\sin }^{2}}x+2m\sin x-1\le 0$,$\forall x\in \left( 0;\frac{\pi }{6} \right)$, vì ${{\cos }^{3}}x>0,\forall x\in \left( 0;\frac{\pi }{6} \right)$ $\left( 1 \right)$
Đặt $\sin x=t,t\in \left( 0;\frac{1}{2} \right)$.
Khi đó $\left( 1 \right)\Leftrightarrow $$-{{t}^{2}}+2mt-1\le 0,\forall t\in \left( 0;\frac{1}{2} \right)$$\Leftrightarrow m\le \frac{{{t}^{2}}+1}{2t},\forall t\in \left( 0;\frac{1}{2} \right)\,$$\left( 2 \right)$
Ta xét hàm $f\left( t \right)=\frac{{{t}^{2}}+1}{2t},\forall t\in \left( 0;\frac{1}{2} \right)$
Ta có ${f}’\left( t \right)=\frac{2\left( {{t}^{2}}-1 \right)}{4{{t}^{2}}}<0,\forall t\in \left( 0;\frac{1}{2} \right)$.
Bảng biến thiên
Từ bảng biến thiên suy ra $\left( 2 \right)\Leftrightarrow m\le \frac{5}{4}$.
Câu 11: Gọi $T$ là tập hợp tất cả các giá trị nguyên dương của tham số $m$để hàm số $y={{x}^{4}}-2m{{x}^{2}}+1$ đồng biến trên khoảng $\left( 3;+\infty \right)$. Tổng giá trị các phần tử của $T$ bằng
A. $9$. B. $45$. C. $55$. D. $36$.
Lời giải
Chọn B
+ Tập xác định: $D=\mathbb{R}$.
+ Ta có ${y}’=4{{x}^{3}}-4mx=4x\left( {{x}^{2}}-m \right)$
Theo đề $m>0$ nên ${y}’=0$ có 3 nghiệm phân biệt $x=-\sqrt{m},x=0,x=\sqrt{m}$.
Để hàm số đồng biến trên khoảng $\left( 3;+\infty \right)$ thì ${y}’\ge 0,\forall x\in \left( 3;+\infty \right)\Leftrightarrow \sqrt{m}\le 3\Leftrightarrow m\le 9$
Vì $m$ nguyên dương nên $m=1,\text{ }2,\text{ }3,\text{ }4,\text{ }5,\text{ }6,\text{ }7,\text{ }8,\text{ }9$
Vậy Tổng giá trị các phần tử của $T$ bằng $\frac{9}{2}\left( 1+9 \right)=45$.
Xem Thêm: