Trong bài viết ngày hôm nay, Khoa Cử chúng tôi muốn đem đến cho các bạn một dạng toán rất hay trong chương trình toán lớp 11 đó chính là về tìm tập xác định của hàm số lượng giác rất đầy đủ và chi tiết cho các bạn tham khảo. Với những thông tin được Khoa cử chúng tôi chia sẽ về cách tìm tập xác định của hàm số lượng giác lớp 11 cũng như bài tập tìm tập giá trị của hàm số lượng giác bên dưới đây hy vọng sẽ hỗ trợ cho bạn học tốt môn Toán Đại lớp 11 nhé!
I. LÝ THUYẾT
Để có thể làm được các bài tập về cách tìm tập giá trị của hàm số lượng giác một cách dễ dàng nhất thì chúng ta cần phải nắm vững và thật chắc các công thức cũng như tính chất của dạng này như sau:
Với hàm số $f\left( x \right)$ cho bởi biểu thức đại số thì ta có:
1. $f\left( x \right)=\frac{{{f}_{1}}\left( x \right)}{{{f}_{2}}\left( x \right)}$, điều kiện: * ${{f}_{1}}\left( x \right)$ có nghĩa
* ${{f}_{2}}\left( x \right)$ có nghĩa và ${{f}_{2}}\left( x \right)\ne 0$.
2. $f\left( x \right)=\sqrt[2m]{{{f}_{1}}\left( x \right)},\left( m\in \mathbb{N} \right)$, điều kiện: ${{f}_{1}}\left( x \right)$ có nghĩa và ${{f}_{1}}\left( x \right)\ge 0$.
3. $f\left( x \right)=\frac{{{f}_{1}}\left( x \right)}{\sqrt[2m]{{{f}_{2}}\left( x \right)}},\left( m\in \mathbb{N} \right)$, điều kiện: ${{f}_{1}}\left( x \right),{{f}_{2}}\left( x \right)$ có nghĩa và ${{f}_{2}}\left( x \right)>0$.
Hàm số $y=\sin x;y=\cos x$ xác định trên $\mathbb{R}$, như vậy
$y=\sin \left[ u\left( x \right) \right];y=\cos \left[ u\left( x \right) \right]$ xác định khi và chỉ khi $u\left( x \right)$ xác định.
* $y=\tan \left[ u\left( x \right) \right]$ có nghĩa khi và chỉ khi $u\left( x \right)$ xác định và $u\left( x \right)\ne \frac{\pi }{2}+k\pi ;k\in \mathbb{Z}$.
* $y=\cot \left[ u\left( x \right) \right]$ có nghĩa khi và chỉ khi $u\left( x \right)$ xác định và $u\left( x \right)\ne +k\pi ;k\in \mathbb{Z}$.
Chú ý: Ở phần này chúng ta chỉ cần nhớ kĩ điều kiện xác định của các hàm số cơ bản như sau:
- Hàm số $y=\sin x$ và $y=\cos x$ xác định trên $\mathbb{R}$.
- Hàm số $y=\tan x$ xác định trên $\mathbb{R}\backslash \left\{ \frac{\pi }{2}+k\pi \left| k\in \mathbb{Z} \right. \right\}$.
- Hàm số $y=\cot x$ xác định trên $\mathbb{R}\backslash \left\{ k\pi \left| k\in \mathbb{Z} \right. \right\}$.
- Dạng chứa tham số trong bài toán liên quan đến tập xác định của hàm sô lượng giác.
Với $S\subset {{D}_{f}}$ (là tập xác định của hàm số $f\left( x \right)$) thì
$*\text{ }f\left( x \right)\le m,\forall x\in S\Leftrightarrow \underset{S}{\mathop{\max }}\,f\left( x \right)\le m$. $*\text{ }f\left( x \right)\ge m,\forall x\in S\Leftrightarrow \underset{S}{\mathop{\min }}\,f\left( x \right)\ge m$.
$*\text{ }\exists {{x}_{0}}\in S,f\left( {{x}_{0}} \right)\le m\Leftrightarrow \underset{S}{\mathop{\min }}\,f\left( x \right)\le m$ $*\text{ }\exists {{x}_{0}}\in S,f\left( {{x}_{0}} \right)\ge m\Leftrightarrow \underset{S}{\mathop{\max }}\,f\left( x \right)\ge m$.
II. BÀI TẬP MẪU
Khi đã nắm chắc được các lý thuyết liên quan đến các dạng của tìm tập xác định của hàm số lượng giác thì chúng ta cần phải làm thêm một số bài tập tìm tập xác định của hàm số lượng giác chứa căn để có thể hiểu rõ hơn chương hàm số lượng giác này ngay bên dưới đây:
Bài tập 1:
Tìm tập xác định các hàm số sau:
a) $y=\frac{1-2{{x}^{2}}}{1-\cos 2x}$ b) $y=\cos \frac{3x}{\sqrt{{{x}^{2}}-1}}$ c) $y=\sqrt{2-2\sin x}$ d) $y=\sqrt{\sin x-1}$ e) $y=\sqrt{\frac{1-\text{cos}x}{1+\text{cos}x}}$. f) $y=\tan \left( x+\frac{\pi }{4} \right)$ g) $y=\cot \left( \frac{\pi }{4}-2x \right)-\frac{2}{1-\text{cos}x}$.
Lời giải
a) Hàm số xác định khi: $1-\cos 2x\ne 0\Leftrightarrow \cos 2x\ne 1\Leftrightarrow 2x\ne k2\pi \Leftrightarrow x\ne k\pi $
Vậy TXĐ: $\text{D}=\mathbb{R}\backslash \left\{ k\pi \,;k\in \mathbb{Z} \right\}$.
b) Hàm số xác định khi: ${{x}^{2}}-1>0\Leftrightarrow x>1\,\vee \,x<-1$
Vậy TXĐ:$\text{D}=\,\left( -\infty \,;-1 \right)\,\cup \left( 1\,;+\infty \right)$.
c) Hàm số xác định khi: $2-2\sin x\ge 0\Leftrightarrow \sin x\le 1$: luôn đúng $\forall x\in \mathbb{R}\Rightarrow \text{D}=\mathbb{R}$.
d) Hàm số xác định khi: $\sin x\ge 1$$\left( 1 \right)$. Mặt khác: $\sin x\le 1$ $\forall x\in \mathbb{R}$$\left( 2 \right)$
Từ $\left( 1 \right)$và $\left( 2 \right)$ suy ra:$\sin x=1\Leftrightarrow x=\frac{\pi }{2}+k2\pi $. Vậy TXĐ: $\text{D=}\left\{ \frac{\pi }{2}+k2\pi \,;\,k\in \mathbb{Z} \right\}$
e) $y=\sqrt{\frac{1-\text{cos}x}{1+\text{cos}x}}$: TXĐ: $\left\{ \begin{align}& \frac{1-\text{cos}x}{1+\text{cos}x}\ge 0 \\& 1+\text{cos}x\ne 0 \\\end{align} \right.\,\,\,\left( * \right)$
Ta có: $-1\le \text{cos}x\le 1,\,\,\forall x\in \mathbb{R}\Rightarrow \left\{ \begin{align}& 1-\text{cos}x\ge 0 \\& 1+\text{cos}x\ge 0 \\\end{align} \right.,\,\,\forall x\in \mathbb{R}$.
Do đó: $\left( * \right)\Leftrightarrow 1+\text{cos}x\ne 0\Leftrightarrow \text{cos}x\ne -1\Leftrightarrow x\ne \pi +k2\pi ,\,\,k\in \mathbb{Z}$
Do đó tập xác định của hàm số: $D=\mathbb{R}\backslash \left\{ \pi +k2\pi ,\,\,k\in \mathbb{Z} \right\}$.
f) $y=\tan \left( x+\frac{\pi }{4} \right)$
TXĐ:$\text{cos}\left( x+\frac{\pi }{4} \right)\ne 0\Leftrightarrow x+\frac{\pi }{4}\ne \frac{\pi }{2}+k\pi \Leftrightarrow x\ne \frac{\pi }{4}+k\pi ,\,\,k\in \mathbb{Z}$
Do đó tập xác định của hàm số: $D=\mathbb{R}\backslash \left\{ \frac{\pi }{4}+k\pi ,\,\,k\in \mathbb{Z} \right\}$.
g) $y=\cot \left( \frac{\pi }{4}-2x \right)-\frac{2}{1-\text{cos}x}$
TXĐ: $\left\{ \begin{align}& \sin \left( \frac{\pi }{4}-2x \right)\ne 0 \\& 1-\text{cos}x\ne 0 \\\end{align} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& \frac{\pi }{4}-2x\ne k\pi \\& \text{cos}x\ne 1 \\\end{align} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& x\ne \frac{\pi }{8}-k\frac{\pi }{2} \\& x\ne k2\pi \\\end{align} \right.$.
Do đó tập xác định của hàm số: $D=\mathbb{R}\backslash \left\{ \frac{\pi }{8}-k\frac{\pi }{2},\,k2\pi ,\,\,k\in \mathbb{Z} \right\}$.
Bài tập 2:
Tìm tập xác định của các hàm số sau
a) $y=\tan \left( 2x+\frac{\pi }{6} \right)$ b) $y=\cot \left( -2x-\frac{\pi }{3} \right)$
c) $y=\frac{2}{\sin 2x}$ d) $y=2\cos \sqrt{{{x}^{2}}-3x+2}$
Bài giải:
a) Xét $\cos \left( 2x+\frac{\pi }{6} \right)=0\Rightarrow 2x+\frac{\pi }{6}=\frac{\pi }{2}+k\pi \Leftrightarrow x=\frac{\pi }{6}+\frac{k\pi }{2},k\in \mathbb{Z}$.
Tập xác định $D=\mathbb{R}\backslash \left\{ \frac{\pi }{6}+\frac{k\pi }{2},k\in \mathbb{Z} \right\}$.
b) Xét $\sin \left( -2x-\frac{\pi }{3} \right)=0\Rightarrow -2x-\frac{\pi }{3}=k\pi \Leftrightarrow x=-\frac{\pi }{6}-\frac{k\pi }{2},k\in \mathbb{Z}$.
Tập xác định $D=\mathbb{R}\backslash \left\{ -\frac{\pi }{6}-\frac{k\pi }{2},k\in \mathbb{Z} \right\}$.
c) Xét $\sin 2x=0\Rightarrow 2x=k\pi \Leftrightarrow x=\frac{k\pi }{2},k\in \mathbb{Z}$.
Tập xác định $D=\mathbb{R}\backslash \left\{ \frac{k\pi }{2},k\in \mathbb{Z} \right\}$.
d) $y$ xác định khi ${{x}^{2}}-3x+2\ge 0\Leftrightarrow \left( x-1 \right)\left( x-2 \right)\ge 0\Leftrightarrow x\in \left( -\infty ,1 \right]\cup \left[ 2,\infty \right)$.
Tập xác định $D=\left( -\infty ,1 \right]\cup \left[ 2,\infty \right)$.
Bài tập 3:
Tìm tập xác định của các hàm số sau:
a) $y=\frac{1}{1-\sin 4x}$ b) $y=\tan \left( 3x-\frac{\pi }{4} \right)$;
c) $y=\frac{\sin x}{\sqrt{3}\sin x+\cos x}$ d) $y=\frac{\operatorname{tanx}+cotx}{{{\cot }^{2}}x-1}$.
Lời giải
a) Hàm số $y=\frac{1}{1-\sin 4x}$ xác định $\Leftrightarrow 1-\sin 4x\ne 0\Leftrightarrow \sin 4x\ne 1\Leftrightarrow 4x\ne \frac{\pi }{2}+k2\pi \Leftrightarrow x\ne \frac{\pi }{8}+k\frac{\pi }{2}$, $\left( k\in \mathbb{Z} \right)$.
b) Hàm số $y=\tan \left( 3x-\frac{\pi }{4} \right)$ xác định $\Leftrightarrow 3x-\frac{\pi }{4}\ne \frac{\pi }{2}+k\pi \Leftrightarrow x\ne \frac{\pi }{4}+k\frac{\pi }{3}$, $\left( k\in \mathbb{Z} \right)$.
c) Hàm số $y=\frac{\sin x}{\sqrt{3}\sin x+\cos x}$ xác định
$\Leftrightarrow \sqrt{3}\sin x+\cos x\ne 0\Leftrightarrow \sin \left( x+\frac{\pi }{6} \right)\ne 0\Leftrightarrow x\ne -\frac{\pi }{6}+k\pi $, $\left( k\in \mathbb{Z} \right)$.
d) Hàm số $y=\frac{\operatorname{tanx}+cotx}{{{\cot }^{2}}x-1}$ xác định $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& \operatorname{sinx}\ne 0 \\& \cos x\ne 0 \\& {{\cot }^{2}}x\ne 1 \\\end{align} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& x\ne k\pi \\& x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi \\& x\ne \frac{\pi }{4}+k\pi \\& x\ne -\frac{\pi }{4}+k\pi \\\end{align} \right.\Leftrightarrow x\ne \frac{k\pi }{4}$, $\left( k\in \mathbb{Z} \right)$
Bài tập 4:
Tìm $m$ để hàm số sau xác định trên .
a) $y=\sqrt{2m-3\cos x}$. b)$y=\frac{2}{\sqrt{{{\sin }^{2}}x-2\sin x+m-1}}$
Lời giải
a) Hàm số xác định trên $\mathbb{R}$ khi chỉ khi:
$2m-3\cos x\ge 0,\,\,\forall x\in \mathbb{R}\Leftrightarrow 3\cos x\le 2m,\,\,\forall x\in \mathbb{R}$ $\Leftrightarrow \cos x\le \frac{2m}{3}\,\,\,\,\forall x\in \mathbb{R}$.
$\Leftrightarrow \frac{2m}{3}\ge 1\Leftrightarrow m\ge \frac{3}{2}$.
b) Hàm số xác định trên $\mathbb{R}$ khi chỉ khi:
${{\sin }^{2}}x-2\sin x+m-1>0\,\,,\,\forall x\in \mathbb{R}$$\Leftrightarrow m>-{{\sin }^{2}}x+2\sin x+1=2-{{\left( \sin x-1 \right)}^{2}}\,,\,\forall x\in \mathbb{R}$
$\Leftrightarrow m>\underset{\left( -\infty \,;\,+\infty \right)}{\mathop{\max }}\,\left( -{{\sin }^{2}}x+2\sin x+1 \right)=2\Leftrightarrow m>2$.
Bài tập 5:
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để hàm số $y=\sqrt{5-m\sin x-\left( m+1 \right)\cos x}$ xác định trên $\mathbb{R}$.
Lời giải
Hàm số xác định trên $\mathbb{R}$ khi chỉ khi:$5-m\sin x-\left( m+1 \right)\cos x\ge 0\,,\,\forall x\in \mathbb{R}\Leftrightarrow m\sin x+\left( m+1 \right)\cos x\le 5\,,\,\forall x\in \mathbb{R}$.
$\Leftrightarrow \frac{m}{\sqrt{{{m}^{2}}+{{\left( m+1 \right)}^{2}}}}\sin x+\frac{m+1}{\sqrt{{{m}^{2}}+{{\left( m+1 \right)}^{2}}}}\cos x\le \frac{5}{\sqrt{{{m}^{2}}+{{\left( m+1 \right)}^{2}}}}\,,\,\forall x\in \mathbb{R}$.
$\Leftrightarrow \sin \left( x+\alpha \right)\le \frac{5}{\sqrt{{{m}^{2}}+{{\left( m+1 \right)}^{2}}}}\,,\,\forall x\in \mathbb{R}\Leftrightarrow \frac{5}{\sqrt{2{{m}^{2}}+2m+1}}\ge 1\Leftrightarrow \sqrt{2{{m}^{2}}+2m+1}\le 5.$
$\Leftrightarrow 2{{m}^{2}}+2m-24\le 0\Leftrightarrow -4\le m\le 3$. Mà $m\in \mathbb{Z}$$\Rightarrow m\in \left\{ -4;-3\,;\,-2;\,-1\,;\,0\,;\,1\,;\,2\,;\,3\, \right\}$.
Bài tập 6:
Tìm tập xác định $D$ của hàm số $y=\sqrt{5+2{{\cot }^{2}}x-\sin x}+\cot \left( \frac{\pi }{2}+x \right)$.
A. $D=\mathbb{R}\backslash \left\{ \frac{k\pi }{2},k\in \mathbb{Z} \right\}$. B. $D=\mathbb{R}\backslash \left\{ -\frac{k\pi }{2},k\in \mathbb{Z} \right\}$. C. $D=\mathbb{R}$. D. $D=\mathbb{R}\backslash \left\{ k\pi ,k\in \mathbb{Z} \right\}$.
Lời giải
Hàm số $y=\sqrt{5+2{{\cot }^{2}}x-\sin x}+\cot \left( \frac{\pi }{2}+x \right)$xác định khi và chỉ khi các điều kiện sau thỏa mãn đồng thời.
+ $5+2{{\cot }^{2}}x-\sin x\ge 0$, $\cot \left( \frac{\pi }{2}+x \right)$ xác định và $\cot x$ xác định.
Ta có $\left\{ \begin{align}& 5+2{{\cot }^{2}}x-\sin x\ge 0 \\& 1-\sin 2x\ge 0\Rightarrow 5-\sin x\ge 0 \\\end{align} \right.\Rightarrow 5+2{{\cot }^{2}}x-\sin x\ge 0,\forall x\in \mathbb{R}$.
+ $\cot \left( \frac{\pi }{2}+x \right)$xác định $\Leftrightarrow \sin \left( \frac{\pi }{2}+x \right)\ne 0\Leftrightarrow \frac{\pi }{2}+x\ne k\pi \Leftrightarrow x\ne -\frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$.$\cot x$ xác đinh $\Leftrightarrow \sin x\ne 0\Leftrightarrow x\ne k\pi ,k\in \mathbb{Z}$.
Do đó hàm số xác đinh $\left\{ \begin{align}& x\ne -\frac{\pi }{2}+k\pi \\& x\ne k\pi \\\end{align} \right.\Leftrightarrow x\ne \frac{k\pi }{2},k\in \mathbb{Z}$.
Vậy tập xác định $D=\mathbb{R}\backslash \left\{ \frac{k\pi }{2},k\in \mathbb{Z} \right\}$.
Do đó, đáp án chính xác ta chọn ở câu này là A.
Bài tập 7:
Tìm $m$ để hàm số $y=\frac{3x}{\sqrt{2{{\sin }^{2}}x-m\sin x+1}}$ xác định trên $\mathbb{R}$.
A. $m\in \left[ -2\sqrt{2};2\sqrt{2} \right]$. B. $m\in \left( -2\sqrt{2};2\sqrt{2} \right)$.
C. $m\in \left( -\infty ;-2\sqrt{2} \right)\cup \left( 2\sqrt{2};+\infty \right)$. D. $m\in \left\{ -2\sqrt{2};2\sqrt{2} \right\}$.
Lời giải:
Hàm số xác định trên $\mathbb{R}$ khi và chỉ khi $2{{\sin }^{2}}x-m\sin x+1>0,\forall x\in \mathbb{R}$.
Đặt $t=\sin x$$\Rightarrow t\in \left[ -1;1 \right]$
Lúc này ta đi tìm điều kiện của $m$ để $f\left( t \right)=2{{t}^{2}}-mt+1>0,\forall t\in \left[ -1;1 \right]$
Ta có ${{\Delta }_{t}}={{m}^{2}}-8$
TH 1: ${{\Delta }_{t}}<0\Leftrightarrow {{m}^{2}}-8<0$$\Leftrightarrow -2\sqrt{2}<m<2\sqrt{2}$. Khi đó $f\left( t \right)>0,\forall t$ (thỏa mãn).
TH 2: ${{\Delta }_{t}}=0\Leftrightarrow {{m}^{2}}-8=0$$\Leftrightarrow \left[ \begin{align}& m=-2\sqrt{2} \\& m=2\sqrt{2} \\\end{align} \right.$ (thử lại thì cả hai trường hợp đều không thỏa mãn).
TH 3: ${{\Delta }_{t}}>0\Leftrightarrow {{m}^{2}}-8>0$$\Leftrightarrow \left[ \begin{align}& m<-2\sqrt{2} \\& m>2\sqrt{2} \\\end{align} \right.$ khi đó tam thức $f\left( t \right)=2{{t}^{2}}-mt+1$ có hai nghiệm phân biệt ${{t}_{1}};{{t}_{2}}\left( {{t}_{1}}<{{t}_{2}} \right)$.
Để $f\left( t \right)>0,\forall t\in \left[ -1;1 \right]$ thì $\left[ \begin{align}& {{t}_{1}}\ge 1\Leftrightarrow \frac{m-\sqrt{{{m}^{2}}-8}}{4}\ge 1\Leftrightarrow \sqrt{{{m}^{2}}-8}\ge m-4\left( VN \right) \\& {{t}_{2}}\le -1\Leftrightarrow \frac{m+\sqrt{{{m}^{2}}-8}}{4}\le -1\Leftrightarrow \sqrt{{{m}^{2}}-8}\le -m-4\left( VN \right) \\\end{align} \right.$.
Vậy $m\in \left( -2\sqrt{2};2\sqrt{2} \right)$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Do đó, đáp án chính xác ta chọn ở câu này là B.
Bài tập 8:
Tập xác định của hàm số $y=\frac{\cos 3x}{\cos x.cos\left( x-\frac{\pi }{3} \right).cos\left( \frac{\pi }{3}+x \right)}$ là:
A. $R\backslash \left\{ \frac{\pi }{6}+\frac{k\pi }{3};\frac{5\pi }{6}+k\pi ;\frac{\pi }{6}+k\pi ,k\in Z \right\}$. B. $R\backslash \left\{ \frac{5\pi }{6}+k\pi ;\frac{\pi }{6}+k\pi ,k\in Z \right\}$. C. $R\backslash \left\{ \frac{\pi }{2}+k\pi ;\frac{5\pi }{6}+k\pi ;\frac{\pi }{6}+k\pi ,k\in Z \right\}$. D. $R\backslash \left\{ \frac{\pi }{2}+k\pi ;\frac{5\pi }{6}+\frac{k\pi }{2},k\in Z \right\}$.
Lời giải
Hàm số đã cho xác định khi $\cos 3x.\cos \left( x-\frac{\pi }{3} \right).\cos \left( x+\frac{\pi }{3} \right)\ne 0$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{align}& \cos 3x\ne 0\Leftrightarrow x\ne \frac{\pi }{6}+\frac{k\pi }{3} \\ & \cos \left( x-\frac{\pi }{3} \right)\ne 0\Leftrightarrow x-\frac{\pi }{3}\ne \frac{\pi }{2}+k\pi \\ & \cos \left( \frac{\pi }{3}+x \right)\ne 0\Leftrightarrow \frac{\pi }{3}+x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi \\ \end{align} \right.$$\Leftrightarrow \left[ \begin{align}& x\ne \frac{\pi }{6}+\frac{k\pi }{3} \\ & x\ne \frac{5\pi }{6}+k\pi ,k\in Z \\ & x\ne \frac{\pi }{6}+k\pi \\ \end{align} \right.$
Do đó, đáp án chính xác ta chọn ở câu này là A.
Như vậy bên trên là tất cả những thông tin cần thiết về lý thuyết cũng như bài bài tập về tìm tập xác định của hàm số lượng giác chứa căn hay bài tập tìm tập xác định của hàm số lượng giác lớp 11 mà các bạn không nên bỏ qua. Nếu như bạn có thắc mắc hay cần hỗ trợ thì đừng ngần ngại mà không liên hệ ngay với chúng tôi để nhận được sự trợ giúp sớm nhất nhé!