Tìm m để hàm số đồng biến trên R là một trong những dạng toán thường gặp về tính đơn điệu của hàm số. Đối với dạng toán này các em cần nắm được điều kiện để hàm số đồng biến trên khoảng R. Đồng thời các em cần nhớ một số trường hợp đặc biệt để giải nhanh các dạng toán tìm giá trị nhỏ nhất của m để hàm số đồng biến trên R. Cùng theo dõi cách giải và một số bài tập mẫu dưới đây nhé!
1. Cách giải tìm m để hàm số đồng biến trên R
Xét hàm số bậc ba $y=f(x)=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d.$
– Bước 1. Tập xác định: $D=\mathbb{R}.$
– Bước 2. Tính đạo hàm ${y}’={f}'(x)=3a{{x}^{2}}+2bx+c.$
Lưu ý: Dấu của tam thức bậc hai $f(x)=a{{x}^{2}}+bx+c.$
2. Bài tập mẫu tìm m để hàm số đồng biến trên R
Câu 1: Tìm $m$ để hàm số $y={{x}^{3}}-3m{{x}^{2}}+3\left( 2m-1 \right)+1$ đồng biến trên $\mathbb{R}$.
A. Không có giá trị $m$ thỏa mãn. B. $m\ne 1$. C. $m=1$ D. Luôn thỏa mãn với mọi $m$.
Lời giải
Chọn C
${y}’=3{{x}^{2}}-6mx+3\left( 2m-1 \right)$
Ta có: ${\Delta }’={{\left( -3m \right)}^{2}}-3.3.\left( 2m-1 \right)$. Để hàm số luôn đồng biến trên $\mathbb{R}$ thì ${\Delta }’\le 0$
$\Leftrightarrow 9{{m}^{2}}-18m+9<0\Leftrightarrow 9\left( {{m}^{2}}-2m+1 \right)\le 0\Leftrightarrow 9{{\left( m-1 \right)}^{2}}\le 0$$\Leftrightarrow m=1$.
Câu 2: Tìm điều kiện của tham số thực $m$ để hàm số $y={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+3\left( m+1 \right)x+2$ đồng biến trên $\mathbb{R}$.
A. $m\ge 2$. B. $m<2$. C. $m<0$. D. $m\ge 0$.
Lời giải
Chọn D
Tập xác định: $D=\mathbb{R}$.
Ta có: ${y}’=3{{x}^{2}}-6x+3\left( m+1 \right)$
$YCBT\Leftrightarrow {y}’\ge 0,\,\forall x\in \mathbb{R}\Leftrightarrow {\Delta }’=-9m\le 0\Leftrightarrow m\ge 0$.
Câu 3: Giá trị của $m$ để hàm số $y=\frac{1}{3}{{x}^{3}}2m{{x}^{2}}+\left( m+3 \right)x5+m$ đồng biến trên $\mathbb{R}$ là.
A. $-\frac{3}{4}\le m\le 1$ B. $m\le -\frac{3}{4}$. C. $-\frac{3}{4}<m<1$. D. $m\ge 1$.
Lời giải
Chọn A
Ta có tập xác định $D=\mathbb{R}$.
${y}’={{x}^{2}}4mx+\left( m+3 \right)$.
${y}’=0\Leftrightarrow {{x}^{2}}4mx+\left( m+3 \right)=0$.
Hàm số đã cho đồng biến trên $\mathbb{R}$ khi và chỉ khi ${y}’\ge 0,\forall x\in \mathbb{R}$, đẳng thức chỉ xảy ra tại hữu hạn điểm$\Leftrightarrow {\Delta }’\le 0\Leftrightarrow {{\left( -2m \right)}^{2}}-1.\left( m+3 \right)\le 0\Leftrightarrow 4{{m}^{2}}-m-3\le 0\Leftrightarrow -\frac{3}{4}\le m\le 1$.
Vậy $-\frac{3}{4}\le m\le 1$.
Câu 4: Tập hợp tất cả các giá trị của tham số $m$ để hàm số $y={{x}^{3}}+\left( m+1 \right){{x}^{2}}+3x+2$ đồng biến trên $\mathbb{R}$ là
A. $\left[ -4;2 \right]$ B. $\left( -4;2 \right)$. C. $\left( -\infty ;-4 \right]\cup \left[ 2;+\infty \right)$. D. $\left( -\infty ;-4 \right)\cup \left( 2;+\infty \right)$.
Lời giải
Chọn A
Tập xác định: $D=\mathbb{R}$.
Ta có: ${y}’=3{{x}^{2}}+2\left( m+1 \right)x+3$.
Hàm số $y={{x}^{3}}+\left( m+1 \right){{x}^{2}}+3x+2$ đồng biến trên $\mathbb{R}$ khi và chỉ khi ${y}’\ge 0,\forall x\in \mathbb{R}$.
$\Leftrightarrow {\Delta }’={{\left( m+1 \right)}^{2}}-9\le 0\Leftrightarrow {{m}^{2}}+2m-8\le 0\Leftrightarrow -4\le m\le 2.$
Vậy $m\in \left[ -4;2 \right]$.
Câu 5: Tìm tất cả các giá trị của tham số thực $m$ để hàm số $y=m{{x}^{3}}+m{{x}^{2}}+m\left( m-1 \right)x+2$ đồng biến trên $\mathbb{R}$.
A. $m\le \frac{4}{3}$và $m\ne 0$. B. $m=0$ hoặc $m\ge \frac{4}{3}$. C. $m\ge \frac{4}{3}$ D. $m\le \frac{4}{3}$.
Lời giải
Chọn C
TH1: $m=0\Rightarrow y=2$ là hàm hằng nên loại $m=0$.
TH2: $m\ne 0$. Ta có: ${y}’=3m{{x}^{2}}+2mx+m\left( m-1 \right)$.
Hàm số đồng biến trên$\mathbb{R}\Leftrightarrow $$f'(x)\ge 0\text{ }\forall x\in \mathbb{R}$$\Leftrightarrow $
Câu 6: Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để hàm số $y=\frac{m}{3}{{x}^{3}}-2m{{x}^{2}}+\left( 3m+5 \right)x$ đồng biến trên $\mathbb{R}$.
A. $4$. B. $2$. C. $5$. D. $6$.
Lời giải
Chọn D
Ta có ${y}’=m{{x}^{2}}-4mx+3m+5$.
Với $a=0\Leftrightarrow m=0$$\Rightarrow {y}’=5>0$. Vậy hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$.
Với $a\ne 0\Leftrightarrow m\ne 0$. Hàm số đã cho đồng biến trên $\mathbb{R}$ khi và chỉ khi
Vì $m\in \mathbb{Z}\Rightarrow m\in \left\{ 0;1;2;3;4;5 \right\}$.
Câu 7: Tìm tất cả các giá trị của $m$ để hàm số $y=\left( m-1 \right){{x}^{3}}-3\left( m-1 \right){{x}^{2}}+3x+2$ đồng biến biến trên $\mathbb{R}$?
A. $1<m\le 2$. B. $1<m<2$. C. $1\le m\le 2$. D. $1\le m<2$
Lời giải
Chọn C
Ta có ${y}’=3\left( m-1 \right){{x}^{2}}-6\left( m-1 \right)x+3$.
Câu 8: Số giá trị nguyên của $m$ để hàm số $y=(4-{{m}^{2}}){{x}^{3}}+(m-2){{x}^{2}}+x+m-1$ $\left( 1 \right)$đồng biến trên $\mathbb{R}$ bằng.
A. $5$. B. $3$. C. $2$. D. $4$.
Lời giải
TH1: $4-{{m}^{2}}=0\Leftrightarrow m=\pm 2$.
$m=2$: $\left( 1 \right)\Leftrightarrow y=x+1$ $\Rightarrow $ hàm số luôn tăng trên $\mathbb{R}$ $\Rightarrow m=2$ .
$m=-2$: $\left( 1 \right)\Leftrightarrow y=-4{{x}^{2}}+x-3$ là hàm số bậc hai nên tăng trên khoảng $\left( -\infty ;\,\frac{1}{8} \right)$, giảm trên khoảng $\left( \frac{1}{8};\,+\infty \right)$$\Rightarrow m=-2$ .
TH2:$4-{{m}^{2}}\ne 0$.
${y}’=3\left( 4-{{m}^{2}} \right){{x}^{2}}+2\left( m-2 \right)x+1$. ${\Delta }’={{\left( m-2 \right)}^{2}}-3\left( 4-{{m}^{2}} \right)$$=4{{m}^{2}}-4m-8$.
hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$ $\Leftrightarrow {y}’\ge 0\,\forall x\in \mathbb{R}$.
Vậy có $\,4$ giá trị nguyên của $\,m$ thỏa yêu cầu bài toán.
Câu 9: Có bao nhiêu số nguyên $m$ để hàm số $f\left( x \right)=m\left( 2020+x-2\cos x \right)+\sin x-x$ nghịch biến trên $\mathbb{R}$?
A. Vô số. B. $2$. C. $1$. D. $0$.
Lời giải
Chọn C
Ta có $f\left( x \right)=\sin x-2m\cos x+\left( m-1 \right)x+2020m$ có đạo hàm liên tục trên $\mathbb{R}$.
Cần tìm $m$ nguyên để ${{f}^{/}}\left( x \right)=\cos x+2m\sin x+m-1\le 0,\forall x$
$\Leftrightarrow \underset{x\in \mathbb{R}}{\mathop{max}}\,\left[ \cos x+2m\sin x+m-1 \right]\le 0\Leftrightarrow \sqrt{1+4{{m}^{2}}}+m-1\le 0\Leftrightarrow \sqrt{1+4{{m}^{2}}}\le 1-m$
Xem Thêm:
Lý thuyết và bài tập mẫu tính đơn điệu của hàm số
Cách giải và bài tập mẫu tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng