Bài viết giúp các bạn củng cố và nắm bắt lý thuyết về cách giải bài toán tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng. Giải dạng toán thường gặp “Tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng (a b)”!
1. Tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng xác định
Xét hàm số bậc ba $y=f(x)=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d.$
– Bước 1. Tập xác định: $D=\mathbb{R}.$
– Bước 2. Tính đạo hàm ${y}’={f}'(x)=3a{{x}^{2}}+2bx+c.$
Lưu ý: Dấu của tam thức bậc hai $f(x)=a{{x}^{2}}+bx+c.$
Câu 1: Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số thực $m$ để hàm số $y=\frac{1}{3}{{x}^{3}}+m{{x}^{2}}+4x-m$ đồng biến trên khoảng $\left( -\infty ;+\infty \right)$.
A. $\left[ -2;2 \right]$. $\left( -\infty ;2 \right)$. C. $\left( -\infty ;-2 \right]$. D. $\left[ 2;+\infty \right)$.
Lời giải
Chọn A
Ta có: ${y}’={{x}^{2}}+2mx+4$.
Hàm số đồng biến trên khoảng $\left( -\infty ;+\infty \right)$ khi và chỉ khi ${y}’\ge 0,\forall x\in \left( -\infty ;+\infty \right)$.
$\Leftrightarrow {\Delta }’={{m}^{2}}-4\le 0\Leftrightarrow -2\le m\le 2$.
Câu 2: Hỏi có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để hàm số hàm số $y=\frac{1}{3}\left( {{m}^{2}}-m \right){{x}^{3}}+2m{{x}^{2}}+3x-2$ đồng biến trên khoảng $\left( -\infty ;\,+\infty \right)$?
A. $4$. $5$. C. $3$. D. $0$.
Lời giải
Chọn A
${y}’=\left( {{m}^{2}}-m \right){{x}^{2}}+4mx+3$
Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng $\left( -\infty ;\,+\infty \right)$$\Leftrightarrow {y}’\ge 0$ với $\forall x\in \mathbb{R}$.
+ Với $m=0$ ta có ${y}’=3>0$ với $\forall x\in \mathbb{R}$$\Rightarrow $ Hàm số đồng biến trên khoảng $\left( -\infty ;\,+\infty \right)$.
+ Với $m=1$ ta có ${y}’=4x+3>0\Leftrightarrow x>-\frac{3}{4}$ $\Rightarrow $$m=1$ không thảo mãn.
Tổng hợp các trường hợp ta được $-3\le m\le 0$.
$m\in \mathbb{Z}\Rightarrow m\in \left\{ -3;\,-2;\,\,-1;\,0 \right\}$.
Vậy có $4$ giá trị nguyên của $m$ thỏa mãn bài ra.
2. Tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng cho trước
Câu 3: Tập hợp tất cả các giá trị của tham số $m$ để hàm số $y=\frac{mx-4}{x-m}$ đồng biến trên khoảng $\left( -1;+\infty \right)$ là
A. $\left( -2;1 \right]$. B. $\left( -2;2 \right)$. C. $\left( -2;-1 \right]$. D. $\left( -2;-1 \right)$.
Lời giải
Chọn C
Đạo hàm ${y}’=\frac{-{{m}^{2}}+4}{{{\left( x-m \right)}^{2}}}>0,\forall x\ne m$.
Do đó hàm số đồng biến trên $\left( -1;+\infty \right)$ khi
3. Tìm m để hàm số bậc 3 đồng biến trên khoảng cho trước
Câu 4: Cho hàm số $y={{x}^{3}}+3{{x}^{2}}-mx-4$. Tập hợp tất cả các giá trị của tham số $m$ để hàm số đồng biến trên khoảng $\left( -\infty ;\,0 \right)$ là
A. $\left( -1;5 \right)$. B. $\left( -\infty ;\,-3 \right]$. C. $\left( -\infty ;\,-4 \right]$. D. $\left( -1;\,+\infty \right)$.
Lời giải
Chọn B
Ta có ${y}’=3{{x}^{2}}+6x-m$.
Để hàm số đồng biến trên khoảng $\left( -\infty ;\,0 \right)$ thì ${y}’\ge 0,\,\,\forall x\in \left( -\infty ;\,0 \right)$
$\Leftrightarrow 3{{x}^{2}}+6x-m\ge 0,\,\forall x\in \left( -\infty ;\,0 \right)\,$
$\Leftrightarrow m\le 3{{x}^{2}}+6x,\,\forall x\in \left( -\infty ;\,0 \right)$.
Đặt $g\left( x \right)=3{{x}^{2}}+6x$, hàm số $g\left( x \right)$ có bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên ta có $\Leftrightarrow m\le 3{{x}^{2}}+6x,\,\forall x\in \left( -\infty ;\,0 \right)$$\Leftrightarrow m\le -3$.
Câu 5: Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để hàm số $y={{x}^{3}}+3{{x}^{2}}-mx+1$ đồng biến trên khoảng $\left( -\infty \,;\,0 \right)$.
A. $m\le 0$. B. $m\ge -2$. C. $m\le -3$. D. $m\le -1$.
Lời giải
Chọn C
Tập xác định: $D=\mathbb{R}$.
Đạo hàm: ${y}’=3{{x}^{2}}+6x-m$.
Hàm số đồng biến trên khoảng $\left( -\infty \,;\,0 \right)$ khi và chỉ khi ${y}’\ge 0$, $\forall x<0$
$\Leftrightarrow 3{{x}^{2}}+6x-m\ge 0$, $\forall x<0$.
Cách 1:
$3{{x}^{2}}+6x-m\ge 0$, $\forall x<0$$\Leftrightarrow 3{{x}^{2}}+6x\ge m$, $\forall x<0$.
Xét hàm số $f\left( x \right)=3{{x}^{2}}+6x$ trên khoảng $\left( -\infty \,;\,0 \right)$, ta có:
${f}’\left( x \right)=6x+6$. Xét ${f}’\left( x \right)=0$$\Leftrightarrow 6x+6=0$$\Leftrightarrow x=-1$. Ta có $f\left( -1 \right)=-3$.
Bảng biến thiên:
Dựa vào bảng biến thiên, ta có: $m\le -3$.
Cách 2:
Ta có ${\Delta }’=9+3m$.
Nếu ${\Delta }’\le 0\Leftrightarrow m\le -3$ thì ${y}’\ge 0$$\forall x\in \mathbb{R}$$\Rightarrow {y}’\ge 0$$\forall x<0$.
Nếu ${\Delta }’>0$ thì ${y}’$ có hai nghiệm phân biệt ${{x}_{1}},{{x}_{2}}$. Khi đó để ${y}’\ge 0$$\forall x<0$ thì ta phải có
$0\le {{x}_{1}}<{{x}_{2}}$. Điều này không thể xảy ra vì $S={{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-2<0$.
Vậy $m\le -3$.
Cách 3:
Phương án B: Với $m=-3$ ta có $y={{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+3x+1={{\left( x+1 \right)}^{3}}$. Khi đó ${y}’=3{{\left( x+1 \right)}^{2}}\ge 0$$\forall x$.
Suy ra hàm số đồng biến trên khoảng $\left( -\infty \,;\,0 \right)$. Vậy B là đáp án đúng.
Câu 6: Tập hợp tất cả các giá trị của tham số$m$ để hàm số $y={{x}^{3}}-m{{x}^{2}}-\left( m-6 \right)x+1$ đồng biến trên khoảng $\left( 0;4 \right)$ là:
A. $\left( -\infty ;3 \right)$. B. $\left( -\infty ;3 \right]$. C. $\left[ 3;6 \right]$. D. $\left( -\infty ;6 \right]$.
Lời giải
Chọn B
${y}’=3{{x}^{2}}-2mx-\left( m-6 \right)$. Để hàm số đồng biến trên khoảng $\left( 0;4 \right)$thì:${y}’\ge 0$,$\forall x\in \left( 0;4 \right)$.
tức là $3{{x}^{2}}-2mx-\left( m-6 \right)\ge 0\,\,\forall x\in \left( 0;4 \right)$$\Leftrightarrow \frac{3{{x}^{2}}+6}{2x+1}\ge m\,\forall x\in \left( 0;4 \right)$
Xét hàm số $g\left( x \right)=\frac{3{{x}^{2}}+6}{2x+1}$ trên $\left( 0;4 \right)$.
Ta có bảng biến thiên:
Vậy để $g\left( x \right)=\frac{3{{x}^{2}}+6}{2x+1}\ge m\,\,\forall x\in \left( 0;4 \right)$thì $m\le 3$.
4. Tìm m để hàm số khác đồng biến trên khoảng cho trước
Câu 7: Có bao nhiêu giá trị nguyên âm của tham số $m$ để hàm số $y=\frac{1}{4}{{x}^{4}}+mx-\frac{3}{2x}$ đồng biến trên khoảng $\left( 0;\,+\infty \right)$.
A. $2$. B. $1$. C. $3$. D. $0$.
Lời giải
Tập xác định : $D=\mathbb{R}.$ ${y}’={{x}^{3}}+m+\frac{3}{2{{x}^{2}}}$.
Ta có: hàm số đã cho đồng biến trên khoảng $\left( 0;\,+\infty \right)$ khi và chỉ khi ${y}’\ge 0$ với $\forall x\in \left( 0;\,+\infty \right)$
$\Leftrightarrow {{x}^{3}}+m+\frac{3}{2{{x}^{2}}}\ge 0,\,\forall x\in \left( 0;\,+\infty \right)$ $\Leftrightarrow {{x}^{3}}+\frac{3}{2{{x}^{2}}}\ge -m,\,\forall x\in \left( 0;\,+\infty \right)$
$\Leftrightarrow -m\le \,\underset{\left( 0;\,+\infty \right)}{\mathop{\text{Min}}}\,\,f\left( x \right)$,với $f\left( x \right)={{x}^{3}}+\frac{3}{2{{x}^{2}}}\left( 1 \right)$.
Cách 1:
Theo bất đẳng thức Cauchy ta có $f\left( x \right)={{x}^{3}}+\frac{3}{2{{x}^{2}}}=\frac{{{x}^{3}}}{2}+\frac{{{x}^{3}}}{2}+\frac{1}{2{{x}^{2}}}+\frac{1}{2{{x}^{2}}}+\frac{1}{2{{x}^{2}}}\ge 5\sqrt[5]{\frac{1}{{{2}^{5}}}}=\frac{5}{2}$.
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $x=1$. Do đó $\,\underset{\left( 0;\,+\infty \right)}{\mathop{\text{Min}}}\,\,f\left( x \right)=\frac{5}{2}\left( 2 \right)$.
Từ $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$ ta có $-m\le \frac{5}{2}\,\Leftrightarrow m\ge -\frac{5}{2}$. Do $m$ nguyên âm nên $m=-1$ hoặc $m=-2$.
Vậy có hai giá trị nguyên âm của tham số $m$ thỏa mãn điều kiện bài ra.
Cách 2:
Xét hàm số $f\left( x \right)={{x}^{3}}+\frac{3}{2{{x}^{2}}}\,,\,\forall x\in \left( 0;\,+\infty \right)$.
Ta có ${f}’\left( x \right)=3{{x}^{2}}-\frac{3}{{{x}^{3}}}\,,\,{f}’\left( x \right)=0\Leftrightarrow x=1$.
Bảng biến thiên
Từ bảng biến thiên ta có $-m\le \frac{5}{2}\,\Leftrightarrow m\ge -\frac{5}{2}$. Do $m$ nguyên âm nên $m=-1$ hoặc $m=-2$.
Vậy có hai giá trị nguyên âm của tham số $m$ thỏa mãn điều kiện bài ra.
Câu 8: Tìm $m$ để hàm số$y=\frac{\cos x-2}{\cos x-m}$ đồng biến trên khoảng $\left( 0;\,\frac{\pi }{2} \right)$
Lời giải
Chọn C
Ta có$y’=\frac{2-m}{{{\left( \cos x-m \right)}^{2}}}.\left( -\sin x \right),\,\sin x>0\,\forall x\in \left( 0;\,\frac{\pi }{2} \right)$.
Do đó: Hàm số nghịch biến trên khoảng $\left( 0;\,\frac{\pi }{2} \right)$ khi và chỉ khi
Câu 9: Có bao nhiêu giá trị nguyên âm của tham số $m$ để hàm số
$y=\frac{3}{4}{{x}^{4}}-\frac{9}{2}{{x}^{2}}+\left( 2m+15 \right)x-3m+1$ đồng biến trên khoảng $\left( 0;+\infty \right)$?
A. $2.$ B. $3.$ C. $5.$ D. $4.$
Lời giải
Yêu cầu bài toán $\Leftrightarrow {y}’=3{{x}^{3}}-9x+2m+15\ge 0\,\,\forall x\in \left( 0;+\infty \right)$ và dấu bằng xảy ra tại hữu hạn điểm thuộc $\left( 0;+\infty \right)$$\Leftrightarrow 3{{x}^{3}}-9x+15\ge -2m\,\,\forall x\in \left( 0;+\infty \right)$.
Xét hàm số: $g(x)=3{{x}^{3}}-9x+15$ trên $\left( 0;+\infty \right)$.
Ta có: ${g}'(x)=9{{x}^{2}}-9$
Bảng biến thiên:
Từ BBT ta có: $-2m\le 9\Leftrightarrow m\ge -\frac{9}{2}$
Vậy $m\in \text{ }\!\!\{\!\!\text{ }-4;\,-3;\,-2;\,-1\}$.
Xem Thêm:
Lý thuyết và bài tập mẫu tính đơn điệu của hàm số
Cách giải và bài tập mẫu tìm tham số m để hàm số thỏa mãn điều kiện