Câu 1: Với giá trị nào của hàm số $m$để đồ thị hàm số $y=x-\sqrt{m{{x}^{2}}-3x+7}\,$có tiệm cạn ngang.
A. $m=1$ B. $m=-1$ C. $m=\pm 1$ D. Không có $m$
Lời giải
Chọn A
Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang
$\Rightarrow $Hàm số xác định trên một trong các miền $\left( -\infty ;a \right),\,\left( -\infty ;a \right],\,\left( a,+\infty \right)$hoặc $\left[ a;+\infty \right)$
$m\ge 0$
TH1: $m=0\Rightarrow y=x-\sqrt{-3x+7},\,\underset{x\to \pm \infty }{\mathop{\lim }}\,y=\pm \infty $ đồ thị không có tiệm cận ngang
TH2: $m>0,\,y\,=x-\sqrt{m{{x}^{2}}-3x+7}$
Khi $\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim y}}\,=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( x-x\sqrt{m-\frac{3}{x}+\frac{7}{{{x}^{2}}}} \right)=\frac{3}{2}$ đồ thị hàm số có tiệm cận ngang khi và chỉ khi $m=1$.
Vậy $m=1$
Cách trắc nghiệm:
Thay $m=1$$\Rightarrow y=x-\sqrt{{{x}^{2}}-3x+7}\,\Rightarrow \underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( x-\sqrt{{{x}^{2}}-3x+7} \right)=\frac{3}{2}$đồ thị hàm số có tiệm cận ngang
$\Rightarrow \underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( x-\sqrt{{{x}^{2}}-3x+7} \right)=-\infty $ không có tiệm cận ngang.
Thay $m=-1$$\Rightarrow y=x-\sqrt{-{{x}^{2}}-3x+7}\,\Rightarrow \underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( x-\sqrt{-{{x}^{2}}-3x+7} \right)\,$không xác định.
$\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( x-\sqrt{-{{x}^{2}}-3x+7} \right)$ không xác định.
Vậy $m=1$
Câu 2: Cho hàm số $y=f(x)$ thỏa mãn $\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,f(x)=2019m$,$\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,f(x)=2020{{m}^{4}}$ . Hỏi có tất cả bao nhiêu giá trị của $m$ để đồ thị của hàm số $y=f(x)$ có duy nhất một tiệm cận ngang?
A. 4. B. 2. C. 3. D. 1.
Lời giải
Chọn B
Đồ thị hàm số $y=f\left( x \right)$ có duy nhất một tiệm cận ngang
Vậy có 2 giá trị của $m$ thỏa bài toán
Câu 3: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số: $y=x+\sqrt{m{{x}^{2}}+1}$ có tiệm cận ngang.
A. $0<m<1.$ B. $m=1.$ C. $m=-1.$ D. $m>1.$
Lời giải
Chọn B
Điều kiện cần và đủ để đồ thị hàm số: $y=x+\sqrt{m{{x}^{2}}+1}$ có tiệm cận ngang là tồn tại số thực k sao cho:
Hiển nhiên nếu $m\le 0$ thì giới $\underset{x\to \pm \infty }{\mathop{\lim }}\,(x+\sqrt{m{{x}^{2}}+1})$ không hữu hạn
Nếu $m>0$ ta có
+$\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,(x+\sqrt{m{{x}^{2}}+1})=+\infty .$
+$\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,y=\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,(x+\sqrt{m{{x}^{2}}+1})=\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{2}}(1-m)-1}{x-\sqrt{m{{x}^{2}}+1}}=\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{x(1-m)-\frac{1}{x}}{1+\sqrt{m+\frac{1}{{{x}^{2}}}}}$
Để giới hạn trên hữu hạn khi và chỉ khi m=1.
Câu 4: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ thỏa mãn $\underset{x\to \,-\,\infty }{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=-1$ và $\underset{x\to \,+\,\infty }{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=m$. Có bao nhiêu giá trị thực của tham số $m$ để hàm số $y=\frac{1}{f\left( x \right)+2}$ có duy nhất một tiệm cận ngang.
A. $1$. B. $0$. C. $2$. D. Vô số.
Lời giải
Chọn C
Ta có $\underset{x\to \,-\infty }{\mathop{\lim }}\,y=\underset{x\to \,-\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{f\left( x \right)+2}=1\Rightarrow $ Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang $y=1$.
TH 1: Nếu $m=-1$ thì $\underset{x\to \,-\,\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{f\left( x \right)+2}=1$ và $\underset{x\to \,+\,\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{f\left( x \right)+2}=1$ thì đồ thị hàm số có một tiệm cận.
TH 2: Nếu $m\ne -1$
Để đồ thị hàm số có một tiệm cận ngang$\Leftrightarrow \underset{x\to \,+\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{f\left( x \right)+2}$ không có giá trị hữu hạn
$\Leftrightarrow m+2=0\Leftrightarrow m=-2$.
Vậy khi $m\in \left\{ -2;-1 \right\}$ thì đồ thị hàm số có duy nhất một tiệm cận ngang.
Câu 5: Tìm tham số m để đồ thì hàm số $y=\frac{(m+1)x-5m}{2x-m}$ có tiệm cận ngang là đường thẳng $y=1$.
Lời giải
Ta có:
Tiệm cận ngang của hàm số $y=\frac{(m+1)x-5m}{2x-m}$ là:
$y=$$\underset{x\to \pm \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{(m+1)x-5m}{2x-m}=\frac{m+1}{2}=1$$\Leftrightarrow $$m=1$.
Vậy $m=1$.
Câu 6: Tính tổng bình phương tất cả các giá trị của $m$ để đồ thị hàm số $y=\sqrt{2{{x}^{2}}-3x+5}+mx-6$ có tiệm cận ngang.
Lời giải
Có $\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,y=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\left[ \sqrt{2{{x}^{2}}-3x+5}-\sqrt{2}x+\left( m+\sqrt{2} \right)x-6 \right]$
$=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\left[ \frac{-3x+5}{\sqrt{2{{x}^{2}}-3x+5}+\sqrt{2}x}-6+\left( m+\sqrt{2} \right)x \right]$
Vậy đồ thị hàm số có tiệm cận ngang khi $x\to +\infty \Leftrightarrow m+\sqrt{2}=0\Leftrightarrow m=-\sqrt{2}$
(do $\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( \frac{-3x+5}{\sqrt{2{{x}^{2}}-3x+5}+\sqrt{2}x}-6 \right)=\frac{-3}{2\sqrt{2}}-6$ hữu hạn)
Có $\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,y=\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\left[ \sqrt{2{{x}^{2}}-3x+5}+\sqrt{2}x+\left( m-\sqrt{2} \right)x-6 \right]$
$=\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\left[ \frac{-3x+5}{\sqrt{2{{x}^{2}}-3x+5}-\sqrt{2}x}-6+\left( m-\sqrt{2} \right)x \right]$
Vậy đồ thị hàm số có tiệm cận ngang khi $x\to -\infty \Leftrightarrow m-\sqrt{2}=0\Leftrightarrow m=\sqrt{2}$
(do $\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( \frac{-3x+5}{\sqrt{2{{x}^{2}}-3x+5}-\sqrt{2}x}-6 \right)=\frac{3}{2\sqrt{2}}-6$ hữu hạn)
Vậy tổng bình phương tất cả các giá trị của $m$ thỏa mãn bằng ${{\left( -\sqrt{2} \right)}^{2}}+{{\left( \sqrt{2} \right)}^{2}}=4$.
Xem thêm: