Tìm m để hàm số có cực trị thỏa mãn 1 điều kiện cho trước là một trong những dạng bài toán hay gặp trong phần khảo sát hàm số. Những bài toán trong khảo sát hàm số hết sức đa dạng và trong đó có tìm điều kiện để hàm số có cực trị, tìm m để hàm số có cực trị thỏa mãn điều kiện cho trước, tìm m để hàm số có cực trị trên khoảng,… là những dạng toán phổ biến nhất!
I. CÁCH GIẢI
Dạng 1. Tìm m để hàm số đạt cực trị tại $x={{x}_{0}}$
Bước 1. Tính $y’\left( {{x}_{0}} \right),y”\left( {{x}_{0}} \right)$
Bước 2. Giải phương trình $y’\left( {{x}_{0}} \right)=0\Rightarrow m?$
Dạng 2. Tìm m để hàm số có n cực trị
$\centerdot $ Hàm số có $n$ cực trị $\Leftrightarrow {y}’=0$ có $n$ nghiệm phân biệt.
$\centerdot $ Xét hàm số bậc ba $y=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d:$
$+$ Hàm số không có cực trị khi ${y}’=0$ vô nghiệm hoặc có nghiệm kép.
$\centerdot $ Xét hàm số bậc bốn trùng phương $y=a{{x}^{4}}+b{{x}^{2}}+c.$
$+$ Hàm số có ba cực trị khi $ab<0.$ $+$ Hàm số có $1$ cực trị khi $ab\ge 0.$
Dạng 3. Tìm m để hàm số bậc 3 có cực trị thỏa mãn điều kiện cho trước
« Bài toán tổng quát: cho hàm số $y=f(x;m)=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d.$ tìm tham số m để đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị ${{x}_{1}},\text{ }{{x}_{2}}$ thỏa mãn điều kiện k cho trước?
@ Phương pháp:
— Bước 1. Tập xác định $d=\mathbb{r}.$ tính đạo hàm: ${y}’=3a{{x}^{2}}+2bx+c.$
— Bước 2. Tìm m để hàm số có 2 cực trị có 2 nghiệm phân biệt
và giải hệ này sẽ tìm được $m\in {{d}_{1}}.$
— Bước 3. Gọi là 2 nghiệm của phương trình theo viét, ta có:
— Bước 4. Biến đổi điều kiện $k$ về dạng tổng s và tích p. Từ đó giải ra tìm được $m\in {{d}_{2}}.$
— Bước 5. Kết luận các giá trị m thỏa mãn: $m={{d}_{1}}\cap {{d}_{2}}.$
Dạng 4. Tìm m để hàm số trùng phương có cực trị thỏa mãn điều kiện cho trước
Cho hàm số: $y=a{{x}^{4}}+b{{x}^{2}}+c\,\,\left( a\ne 0 \right)$ có đồ thị là $\left( C \right)$.
+) Đồ thị $\left( C \right)$ có đúng một điểm cực trị khi${y}’=0$ có đúng một nghiệm$\Leftrightarrow ab\ge 0$.
+) Đồ thị $\left( C \right)$ có ba điểm cực trị khi ${y}’=0$ có 3 nghiệm phân biệt$\Leftrightarrow ab<0$.
Khi đó ba điểm cực trị là: $A\left( 0;c \right)\,\,,\,\,B\left( -\sqrt{-\frac{b}{2a}};-\frac{\Delta }{4a} \right)\,\,,\,\,C\left( \sqrt{-\frac{b}{2a}};-\frac{\Delta }{4a} \right)\,$ với $\,\Delta ={{b}^{2}}-4ac$
Độ dài các đoạn thẳng: $AB=AC=\sqrt{\frac{{{b}^{4}}}{16{{a}^{2}}}-\frac{b}{2a}}\,\,,\,\,BC=2\sqrt{-\frac{b}{2a}}$và tam giác $ABC$luôn là tam giác cân tại $A$.
II. BÀI TẬP MẪU
Câu 1:
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để hàm số $y=\frac{1}{3}{{x}^{3}}-m{{x}^{2}}+\left( m+1 \right)x-1$ đạt cực đại tại $x=-2$?
A. $m=2$. B. $m=3$. C. Không tồn tại $m$. D. $m=-1$.
Lời giải
Chọn D
Ta có ${y}’={{x}^{2}}-2mx+m+1$.
Giả sử $x=-2$ là điểm cực đại của hàm số đã cho, khi đó ${y}’\left( -2 \right)=0\Leftrightarrow {{\left( -2 \right)}^{2}}-2m\left( -2 \right)+m+1=0\Leftrightarrow 5m+5=0\Leftrightarrow m=-1$.
Với $m=-1$, ta có $y=\frac{1}{3}{{x}^{3}}+{{x}^{2}}-1$.
Ta có bảng biến thiên:
Dựa vào bảng biến thiên, ta kết luận $m=-1$ là giá trị cần tìm.
Câu 2:
Tìm tất cả tham số thực $m$ để hàm số $y=\left( m-1 \right){{x}^{4}}-\left( {{m}^{2}}-2 \right){{x}^{2}}+2019$ đạt cực tiểu tại $x=-1$.
A. $m=0$. B. $m=-2$. C. $m=1$. D. $m=2$.
Lời giải
Chọn D
Tập xác định: $D=\mathbb{R}$.
Đạo hàm: ${y}’=4\left( m-1 \right){{x}^{3}}-2\left( {{m}^{2}}-2 \right)x$.
Hàm số đạt cực tiểu tại $x=-1$$\Rightarrow {y}’\left( -1 \right)=0$$\Leftrightarrow -4\left( m-1 \right)+2\left( {{m}^{2}}-2 \right)=0$
Với $m=0$, hàm số trở thành $y=-{{x}^{4}}+2{{x}^{2}}+2019$. Dễ thấy hàm số đạt cực đại tại $x=-1$.
Với $m=2$, hàm số trở thành $y={{x}^{4}}-2{{x}^{2}}+2019$. Dễ thấy hàm số đạt cực tiểu tại $x=-1$.
Vậy $m=2$ thì hàm số $y=\left( m-1 \right){{x}^{4}}-\left( {{m}^{2}}-2 \right){{x}^{2}}+2019$ đạt cực tiểu tại $x=-1$.
Câu 3:
Biết rằng hàm số $y={{\left( x+a \right)}^{3}}+{{\left( x+b \right)}^{3}}-{{x}^{3}}$ có hai điểm cực trị. Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A. $ab\le 0$. B. $ab<0$. C. $ab>0$. D. $ab\ge 0$.
Lời giải
Chọn C
Ta có $y={{x}^{3}}+3\left( a+b \right){{x}^{2}}+3\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}} \right)x+{{a}^{3}}+{{b}^{3}}$.
${y}’=3{{x}^{2}}+6\left( a+b \right)x+3\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}} \right)$.
Hàm số có hai điểm cực trị khi và chỉ khi ${y}’$ có hai nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow {\Delta }’=18ab>0$$\Leftrightarrow ab>0$.
Câu 4:
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để hàm số $y={{m}^{2}}{{x}^{4}}-\left( {{m}^{2}}-2019m \right){{x}^{2}}-1$ có đúng một cực trị?
A. $2019$. $2020$. C. $2018$. D. $2017$.
Lời giải
Chọn A
Trường hợp 1: $m=0$ $\Rightarrow y=-1$ nên hàm số không có cực trị.
$\Rightarrow m=0$ (loại).
Trường hợp 2: $m\ne 0\Rightarrow {{m}^{2}}>0$.
Hàm số $y={{m}^{2}}{{x}^{4}}-\left( {{m}^{2}}-2019m \right){{x}^{2}}-1$ có đúng một cực trị $\Leftrightarrow -{{m}^{2}}.\,\left( {{m}^{2}}-2019m \right)\ge 0\Leftrightarrow {{m}^{2}}-2019m\le 0\Leftrightarrow 0\le m\le 2019$.
Vì $m\ne 0$$\Rightarrow 0<m\le 2019$.
Do $m\in \mathbb{Z}$ nên có $2019$ giá trị nguyên của tham số $m$ thỏa đề.
Câu 5:
Cho hàm số $y={{x}^{3}}-3m{{x}^{2}}+4{{m}^{2}}-2$ có đồ thị $\left( C \right)$ và điểm $C\left( 1;4 \right)$. Tính tổng các giá trị nguyên dương của $m$ để $\left( C \right)$ có hai điểm cực trị $A,\ B$ sao cho tam giác $ABC$ có diện tích bằng 4.
A. $6$. B. $5$. C. $3$. D. $4$
Lời giải
Chọn C
Đồ thị $\left( C \right)$ có hai điểm cực trị $\Leftrightarrow 2m\ne 0\Leftrightarrow m\ne 0$.
Khi đó $A\left( 0;4{{m}^{2}}-2 \right),\ B\left( 2m;-4{{m}^{3}}+4{{m}^{2}}-2 \right)$ $\Rightarrow AB=\sqrt{4{{m}^{2}}+16{{m}^{6}}}=2\left| m \right|\sqrt{4{{m}^{4}}+1}$
Phương trình đường thẳng $AB$ là: $\frac{x-0}{2m-0}=\frac{y-\left( 4{{m}^{2}}-2 \right)}{-4{{m}^{3}}}\Leftrightarrow 2{{m}^{2}}x+y-4{{m}^{2}}+2=0$
$d\left( C,AB \right)=\frac{\left| 2{{m}^{2}}+4-4{{m}^{2}}+2 \right|}{\sqrt{4{{m}^{4}}+1}}=\frac{2\left| {{m}^{2}}-3 \right|}{\sqrt{4{{m}^{4}}+1}}$
Diện tích tam giác $ABC$ là
$S=\frac{1}{2}.AB.d\left( C,AB \right)=4\Leftrightarrow \frac{1}{2}.2\left| m \right|.\sqrt{4{{m}^{4}}+1}.\frac{2\left| {{m}^{2}}-3 \right|}{\sqrt{4{{m}^{4}}+1}}=4$
Do $m$ nguyên dương nên ta được $m=1,m=2$, tổng thu được là $3$.
Câu 6:
Cho hàm số $y={{x}^{3}}-6mx+4$ có đồ thị $\left( {{C}_{m}} \right)$. Gọi ${{m}_{0}}$ là giá trị của $m$ để đường thẳng đi qua điểm cực đại, điểm cực tiểu của $\left( {{C}_{m}} \right)$ cắt đường tròn tâm $I\left( 1;0 \right)$, bán kính $\sqrt{2}$ tại hai điểm phân biệt $A,B$ sao cho tam giác $IAB$ có diện tích lớn nhất. Chọn khẳng định đúng
A. ${{m}_{0}}\in \left( 3;4 \right)$. B. ${{m}_{0}}\in \left( 1;2 \right)$. C. ${{m}_{0}}\in \left( 0;1 \right)$. D. ${{m}_{0}}\in \left( 2;3 \right)$.
Lời giải
Chọn C
Ta có: ${y}’=3{{x}^{2}}-6m$
${y}’=0\Leftrightarrow {{x}^{2}}=2m$
Hàm số có cực đại, cực tiểu $\Leftrightarrow {y}’=0$ có hai nghiệm phân biệt
$\Leftrightarrow m>0$
Gọi $A\left( \sqrt{2m};4-4m\sqrt{2m} \right)$ và $B\left( -\sqrt{2m};4+4m\sqrt{2m} \right)$
Phương trình đường thẳng $AB:4mx+y-4=0$
Đặt $a=d\left( I,AB \right)$ $\left( 0<a<\sqrt{2} \right)$ $\Rightarrow $ $HB=\sqrt{2-{{a}^{2}}}$
Suy ra ${{S}_{\Delta IAB}}=a\sqrt{2-{{a}^{2}}}\le \frac{1}{2}\left( {{a}^{2}}+2-{{a}^{2}} \right)=1$
Dấu “$=$” xảy ra $\Leftrightarrow a=\sqrt{2-{{a}^{2}}}\Leftrightarrow a=1$
Khi đó $d\left( I;AB \right)=\frac{\left| 4m+0-4 \right|}{\sqrt{16{{m}^{2}}+1}}=1\Leftrightarrow \sqrt{16{{m}^{2}}+1}=4\left| m-1 \right|$
$\Leftrightarrow 16{{m}^{2}}+1=16{{m}^{2}}-32m+16\Leftrightarrow m=\frac{15}{32}$
Câu 7:
Gọi $S$ là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để đồ thị $\left( C \right)$ của hàm số $y={{x}^{4}}-2{{m}^{2}}{{x}^{2}}+{{m}^{4}}+5$ có ba điểm cực trị, đồng thời ba điểm cực trị đó cùng với gốc tọa độ $O$ tạo thành một tứ giác nội tiếp. Tìm số phần tử của $S$.
A. $1$. B. $0$. C. $2$. D. $3$.
Lời giải
Ta có ${y}’=4{{x}^{3}}-4{{m}^{2}}x$.
Hàm số có cực đại cực tiểu $\Leftrightarrow $ phương trình ${y}’=0$ có ba nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow m\ne 0$.
Gọi $A\left( 0;{{m}^{4}}+5 \right)$, $B\left( m;5 \right)$, $C\left( -m;5 \right)$ lần lượt là ba điểm cực trị của đồ thị hàm số.
Gọi $I$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác $ABOC$ khi đó ta có ba điểm $A$, $I$,$O$ thẳng hàng.
Mặt khác do hai điểm $B$ và $C$ đối xứng nhau qua $AO$ nên $AO$ là đường kính của đường tròn ngoại tiếp tứ giác $ABOC$$\Rightarrow AB\bot OB$$\Leftrightarrow \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{OB}=0$.
Trong đó $\overrightarrow{AB}=\left( m;-{{m}^{4}} \right)$, $\overrightarrow{OB}=\left( m;5 \right)$. Ta có phương trình ${{m}^{2}}-5{{m}^{4}}=0$$\Leftrightarrow m=\pm \frac{\sqrt{5}}{5}$
Câu 8:
Hàm số $y=\frac{{{x}^{2}}-mx}{1-x}$, tìm m để hàm số có cực đại cực tiểu là
A. $m<1$ B. $m>-1$. C. $m<2$. D. $m>-2$.
Lời giải
Chọn A
Điều kiện $x\ne 1$.
Ta có $y=\frac{{{x}^{2}}-mx}{1-x}$$\Rightarrow {y}’=\frac{-{{x}^{2}}+2x-m}{{{\left( 1-x \right)}^{2}}}$.
Hàm số $y=\frac{{{x}^{2}}-mx}{1-x}$ có cực đại và cực tiểu $\Leftrightarrow {y}’=0$ có hai nghiệm phân biệt và đổi dấu khi đi qua hai điểm đó $\Leftrightarrow -{{x}^{2}}+2x-m=0$ có hai nghiệm phân biệt khác $1$
Vậy $m<1$ thì hàm số đã cho có cực đại và cực tiểu.
Xem thêm: