Công thức tìm m để hàm số có 3 cực trị tạo thành tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng 1? tìm m để hàm số có 3 cực trị tạo thành tam giác đều? Tìm m để hàm số có 3 cực trị?… Trong phạm vi bài viết dưới đây, hãy cùng Khoa Cử tìm hiểu về chủ đề này nhé!
I. Cách giải tìm m để hàm số có 3 điểm cực trị
Một số công thức tính nhanh “thường gặp“ liên quan cực trị hàm số $y=a{{x}^{4}}+b{{x}^{2}}+c$
| $1$ cực trị: $ab\ge 0$ | $3$ cực trị: $ab<0$ | ||||
|
|
$A(0;c),B\left( -\sqrt{-\frac{b}{2a}};-\frac{\Delta }{4a} \right),C\left( \sqrt{-\frac{b}{2a}};-\frac{\Delta }{4a} \right)\Rightarrow AB=AC=\sqrt{\frac{{{b}^{4}}}{16{{a}^{2}}}-\frac{b}{2a}},BC=2\sqrt{-\frac{b}{2a}}$
với $\Delta ={{b}^{2}}-4ac$
Phương trình qua điểm cực trị: $BC:y=-\frac{\Delta }{4a}$ và $AB,AC:y=\pm {{\left( \sqrt{\frac{-b}{2a}} \right)}^{3}}x+c$
Gọi $\widehat{BAC}=\alpha $, luôn có: $8a(1+cos\alpha )+{{b}^{3}}(1-cos\alpha )=0\Rightarrow cos\alpha =\frac{{{b}^{3}}+8a}{{{b}^{3}}-8a}$ và ${{S}^{2}}=-\frac{{{b}^{5}}}{32{{a}^{3}}}$
Phương trình đường tròn đi qua $A,B,C:{{x}^{2}}+{{y}^{2}}-\left( c+n \right)x+c.n=0,$ với $n=\frac{2}{b}-\frac{\Delta }{4a}$ và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác là $R=\left| \frac{{{b}^{3}}-8a}{8ab} \right|$
II. Bài tập mẫu
Câu 1:
Cho hàm số $y={{x}^{4}}-2{{x}^{2}}+2$. Diện tích $S$ của tam giác có ba đỉnh là ba điểm cực trị của đồ thị hàm số đã cho có giá trị là
A. $S=3$. B. $S=\frac{1}{2}$. C. $S=1$. D. $S=2$.
Lời giải
Tập xác định $D=\mathbb{R}$.
Bảng biến thiên
Đồ thị hàm số có ba điểm cực trị $A\left( 0;2 \right)$, $B\left( -1;1 \right)$, $C\left( 1;1 \right)$.
Nhận xét $\Delta ABC$ cân tại $A$. Vì vậy $S=\frac{1}{2}\left| {{y}_{A}}-{{y}_{B}} \right|.\left| {{x}_{C}}-{{x}_{B}} \right|=\frac{1}{2}.1.2=1$.
Câu 2:
Tìm $m$ đề đồ thị hàm số $y={{x}^{4}}-2m{{x}^{2}}+1$ có ba điểm cực trị $A\left( 0;\text{ }1 \right),\text{ }B,\text{ }C$ thỏa mãn $BC=4?$
A. $m=\sqrt{2}$. B. $m=4$. C. $m=\pm 4$. D. $m=\pm \sqrt{2}$.
Lời giải
Tập xác định: $D=\mathbb{R}$.
Hàm số đã cho có ba điểm cực trị $\Leftrightarrow m>0$.
Tọa độ điểm cực trị của đồ thị hàm số: $A\left( 0;1 \right),\text{ }B\left( \sqrt{m};\text{ }-{{m}^{2}}+1 \right),\text{ }C\left( -\sqrt{m};\text{ }-{{m}^{2}}+1 \right).$
$BC=4\Leftrightarrow 4m=16\Leftrightarrow m=4.$
Câu 3:
Cho hàm số $y={{x}^{4}}-2m{{x}^{2}}-2{{m}^{2}}+{{m}^{4}}$ có đồ thị (C). Biết đồ thị (C) có ba điểm cực trị A, B, C thỏa mãn ABCD là hình thoi với $D\left( 0;-3 \right)$. Số $m$thuộc khoảng nào sau đây?
A. $m\in \left( \frac{1}{2};\frac{9}{5} \right)$ B. $m\in \left( \frac{9}{5};2 \right)$. C. $m\in \left( -1;\frac{1}{2} \right)$. D. $m\in \left( 2;3 \right)$.
Lời giải
Chọn A
Tập xác định: $D=\mathbb{R}$.
Hàm số đã cho có ba điểm cực trị $\Leftrightarrow m>0$.
Khi đó ba điểm cực trị của đồ thị hàm số là: $A\left( 0;-2{{m}^{2}}+{{m}^{4}} \right)$; $B\left( \sqrt{m};{{m}^{4}}-3{{m}^{2}} \right);$ $C\left( -\sqrt{m};{{m}^{4}}-3{{m}^{2}} \right)$.
Gọi I trung điểm của BC $\Rightarrow I\left( 0;{{m}^{4}}-3{{m}^{2}} \right)$
Vì $A,D\in Oy$, B và C đối xứng nhau qua Oy nên tứ giác ABCD là hình thoi $\Leftrightarrow $ I là trung điểm của AD
Câu 4:
Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số $y={{x}^{4}}-2\left( m+1 \right){{x}^{2}}+{{m}^{2}}$ có ba điểm cực trị tạo thành ba đỉnh của một tam giác vuông. Số phần tử của tập hợp S là
A. $2$. B. $0$. C. $4$. D. $1$.
Lời giải
- $y={{x}^{4}}-2\left( m+1 \right){{x}^{2}}+{{m}^{2}}\Rightarrow y’=4{{x}^{3}}-4\left( m+1 \right)x=4x\left( {{x}^{2}}-m-1 \right)$.
- Hàm số có 3 điểm cực trị $\Leftrightarrow y’=0$ có 3 nghiệm phân biệt.
$\Leftrightarrow {{x}^{2}}-m-1=0$ có 2 nghiệm phân biệt khác 0.
$\Leftrightarrow m+1>0$.
$\Leftrightarrow m>-1$.
- Giả sử $A,\,\,B,\,\,C$ là ba điểm cực trị của đồ thị hàm số.
$\Rightarrow A\left( -\sqrt{m+1};\,-2m-1 \right),\,B\left( 0;\,{{m}^{2}} \right),\,C\left( \sqrt{m+1};\,-2m-1 \right)$
$\Rightarrow \overrightarrow{AB}=\left( \sqrt{m+1};\,{{\left( m+1 \right)}^{2}} \right),\,\overrightarrow{CB}=\left( -\sqrt{m+1};\,{{\left( m+1 \right)}^{2}} \right)$
Câu 5:
Cho hàm số $y={{x}^{4}}-2m{{x}^{2}}+1\,\,\left( 1 \right)$. Tổng lập phương các giá trị của tham số $m$ để đồ thị hàm số $\left( 1 \right)$ có ba điểm cực trị và đường tròn đi qua $3$ điểm này có bán kính $R=1$ bằng
A. $\frac{5-\sqrt{5}}{2}$. B. $\frac{1+\sqrt{5}}{2}$. C. $2+\sqrt{5}$. D. $-1+\sqrt{5}$.
Lời giải
Ø TXĐ: $D=\mathbb{R}.$
Ø $y’=4{{x}^{3}}-4mx=4x({{x}^{2}}-m).$
Ø Để đồ thị hs (1) có 3 điểm cực trị $\Leftrightarrow m>0.$
Ø Gọi $A(0;1),B(\sqrt{m};-{{m}^{2}}+1),C(-\sqrt{m};-{{m}^{2}}+1)$ là các điểm cực trị của đồ thị hs (1), $I(0;-{{m}^{2}}+1)$ là trung điểm $BC.$
Ta có $AI={{m}^{2}},AB=AC=\sqrt{m+{{m}^{4}}}.$Suy ra $\frac{1}{2}AI.BC=\frac{AB.AC.BC}{4R}\Leftrightarrow R=\frac{2AI}{AB.AC}$
Câu 6:
Gọi $S$ là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để đồ thị $\left( C \right)$ của hàm số $y={{x}^{4}}-2{{m}^{2}}{{x}^{2}}+{{m}^{4}}+5$ có ba điểm cực trị, đồng thời ba điểm cực trị đó cùng với gốc tọa độ $O$ tạo thành một tứ giác nội tiếp. Tìm số phần tử của $S$.
A. $1$. B. $0$. C. $2$. D. $3$.
Lời giải
Ta có ${y}’=4{{x}^{3}}-4{{m}^{2}}x$.
Hàm số có cực đại cực tiểu $\Leftrightarrow $ phương trình ${y}’=0$ có ba nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow m\ne 0$.
Gọi $A\left( 0;{{m}^{4}}+5 \right)$, $B\left( m;5 \right)$, $C\left( -m;5 \right)$ lần lượt là ba điểm cực trị của đồ thị hàm số.
Gọi $I$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác $ABOC$ khi đó ta có ba điểm $A$, $I$,$O$ thẳng hàng.
Mặt khác do hai điểm $B$ và $C$ đối xứng nhau qua $AO$ nên $AO$ là đường kính của đường tròn ngoại tiếp tứ giác $ABOC$$\Rightarrow AB\bot OB$$\Leftrightarrow \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{OB}=0$.
Trong đó $\overrightarrow{AB}=\left( m;-{{m}^{4}} \right)$, $\overrightarrow{OB}=\left( m;5 \right)$. Ta có phương trình ${{m}^{2}}-5{{m}^{4}}=0$$\Leftrightarrow m=\pm \frac{\sqrt{5}}{5}$
Câu 7:
Cho hàm số $y={{x}^{4}}-2m{{x}^{2}}-2{{m}^{2}}+{{m}^{4}}$ có đồ thị $\left( C \right)$. Biết đồ thị $\left( C \right)$ có ba điểm cực trị $A$, $B$, $C$ và $ABDC$ là hình thoi trong đó $D\left( 0;-3 \right)$, $A$ thuộc trục tung. Khi đó $m$ thuộc khoảng nào?
A. $m\in \left( \frac{9}{5};2 \right)$. B. $m\in \left( -1;\frac{1}{2} \right)$. C. $m\in \left( 2;3 \right)$. D. $m\in \left( \frac{1}{2};\frac{9}{5} \right)$.
Lời giải
Với điều kiện $m>0$ đồ thị hàm số có ba điểm cực trị là $A\left( 0;{{m}^{4}}-2{{m}^{2}} \right)$; $B\left( -\sqrt{m};{{m}^{4}}-3{{m}^{2}} \right)$; $C\left( \sqrt{m};{{m}^{4}}-3{{m}^{2}} \right)$. Để $ABDC$ là hình thoi điều kiện là $BC\bot AD$ và trung điểm $I$ của $BC$ trùng với trung điểm $J$ của $AD$. Do tính đối xứng ta luôn có $BC\bot AD$ nên chỉ cần $I\equiv J$với $I\left( 0;\,\,{{m}^{4}}-3{{m}^{2}} \right),$$J\left( 0;\,\frac{{{m}^{4}}-2{{m}^{2}}-3}{2} \right)$.
Câu 8:
Cho hàm số $y={{x}^{4}}+2\left( m-4 \right){{x}^{2}}+m+5$ có đồ thị $\left( {{C}_{m}} \right)$. Tìm $m$ để $\left( {{C}_{m}} \right)$ có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác nhận gốc tọa độ $O$ làm trọng tâm.
A. $m=1$ hoặc $m=\frac{17}{2}$. B. $m=1$. C. $m=4$. D. $m=\frac{17}{2}$.
Lời giải
Để hàm số có ba điểm cực trị $\Leftrightarrow m<4$. Khi đó các điểm cực trị của $\left( {{C}_{m}} \right)$ là
$A\left( 0;m+5 \right)$, $B\left( \sqrt{4-m};m+5-{{\left( m-4 \right)}^{2}} \right)$, $C\left( -\sqrt{4-m};m+5-{{\left( m-4 \right)}^{2}} \right)$.
Do $m<4$ nên $m=1$.
Câu 9:
Gọi ${{m}_{0}}$ là giá trị của tham số $m$ để đồ thị hàm số $y={{x}^{4}}+2m{{x}^{2}}-1$ có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác có diện tích bằng $4\sqrt{2}$. Mệnh đề nào sau đây đúng
A. ${{m}_{0}}\in \left( -1;0 \right]$. B. ${{m}_{0}}\in \left( -2;-1 \right]$. C. ${{m}_{0}}\in \left( -\infty ;-2 \right]$. D. ${{m}_{0}}\in \left( -1;0 \right)$.
Lời giải
Ta có: $y={{x}^{4}}+2m{{x}^{2}}-1$$\Rightarrow {y}’=4{{x}^{3}}+4mx$.
Để đồ thị hàm số $y={{x}^{4}}+2m{{x}^{2}}-1$ có ba điểm cực trị thì ${y}’=0$ phải có ba nghiệm phân biệt tức là $m<0$.
Tam giác $ABC$ cân tại $A$ nên ${{S}_{\Delta ABC}}=\frac{1}{2}AH.BC$ với $H$ là trung điểm của $BC$ nên $H\left( 0;-{{m}^{2}}-1 \right)$. Nên: $AH=\sqrt{{{\left( -{{m}^{2}} \right)}^{2}}}={{m}^{2}}$ và $BC=\sqrt{{{\left( 2\sqrt{-m} \right)}^{2}}}=2\sqrt{-m}$.
Ta có: ${{S}_{\Delta ABC}}=\frac{1}{2}.{{m}^{2}}.2\sqrt{-m}$ theo giả thiết ${{S}_{\Delta ABC}}=4\sqrt{2}$ nên ${{m}^{2}}\sqrt{-m}=4\sqrt{2}\Leftrightarrow m=-2$.
Xem thêm: