Cách giải và bài tập mẫu tìm m để hàm số có 3 cực trị

 Công thức tìm m để hàm số có 3 cực trị tạo thành tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng 1? tìm m để hàm số có 3 cực trị tạo thành tam giác đều? Tìm m để hàm số có 3 cực trị?… Trong phạm vi bài viết dưới đây, hãy cùng Khoa Cử tìm hiểu về chủ đề này nhé!

I. Cách giải tìm m để hàm số có 3 điểm cực trị

Một số công thức tính nhanh “thường gặp“ liên quan cực trị hàm số $y=a{{x}^{4}}+b{{x}^{2}}+c$

$1$ cực trị: $ab\ge 0$

$3$ cực trị: $ab<0$

$a>0$: $1$ cực tiểu $a<0$: $1$ cực đại

 

$a>0$: $1$ cực đại,

$2$ cực tiểu

$a<0$: $2$ cực đại,

$1$ cực tiểu

$A(0;c),B\left( -\sqrt{-\frac{b}{2a}};-\frac{\Delta }{4a} \right),C\left( \sqrt{-\frac{b}{2a}};-\frac{\Delta }{4a} \right)\Rightarrow AB=AC=\sqrt{\frac{{{b}^{4}}}{16{{a}^{2}}}-\frac{b}{2a}},BC=2\sqrt{-\frac{b}{2a}}$

với $\Delta ={{b}^{2}}-4ac$

Phương trình qua điểm cực trị: $BC:y=-\frac{\Delta }{4a}$ và $AB,AC:y=\pm {{\left( \sqrt{\frac{-b}{2a}} \right)}^{3}}x+c$

Gọi $\widehat{BAC}=\alpha $, luôn có: $8a(1+cos\alpha )+{{b}^{3}}(1-cos\alpha )=0\Rightarrow cos\alpha =\frac{{{b}^{3}}+8a}{{{b}^{3}}-8a}$ và ${{S}^{2}}=-\frac{{{b}^{5}}}{32{{a}^{3}}}$

Phương trình đường tròn đi qua $A,B,C:{{x}^{2}}+{{y}^{2}}-\left( c+n \right)x+c.n=0,$ với $n=\frac{2}{b}-\frac{\Delta }{4a}$ và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác là $R=\left| \frac{{{b}^{3}}-8a}{8ab} \right|$

II. Bài tập mẫu tìm m để hàm số có 3 cực trị

Câu 1: Tính diện tích của tam giác có ba đỉnh là ba điểm cực trị của đồ thị hàm số

Cho hàm số $y={{x}^{4}}-2{{x}^{2}}+2$. Diện tích $S$ của tam giác có ba đỉnh là ba điểm cực trị của đồ thị hàm số đã cho có giá trị là

A. $S=3$.                     B. $S=\frac{1}{2}$.                   C. $S=1$.                      D. $S=2$.

Lời giải

Tập xác định $D=\mathbb{R}$.

tìm m để hàm số có 3 cực trị

Bảng biến thiên

tìm m để hàm số có 3 điểm cực trị

Đồ thị hàm số có ba điểm cực trị $A\left( 0;2 \right)$, $B\left( -1;1 \right)$, $C\left( 1;1 \right)$.

Nhận xét $\Delta ABC$ cân tại $A$. Vì vậy $S=\frac{1}{2}\left| {{y}_{A}}-{{y}_{B}} \right|.\left| {{x}_{C}}-{{x}_{B}} \right|=\frac{1}{2}.1.2=1$.

Câu 2: Tìm M đồ thị hàm số có ba điểm cực trị

Tìm $m$ đề đồ thị hàm số $y={{x}^{4}}-2m{{x}^{2}}+1$ có ba điểm cực trị $A\left( 0;\text{ }1 \right),\text{ }B,\text{ }C$ thỏa mãn $BC=4?$

A. $m=\sqrt{2}$.                         B. $m=4$.                        C. $m=\pm 4$.                D. $m=\pm \sqrt{2}$.

Lời giải

Tập xác định: $D=\mathbb{R}$.

tìm m để hàm số có 3 cực trị tạo thành tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng 1

Hàm số đã cho có ba điểm cực trị $\Leftrightarrow m>0$.

Tọa độ điểm cực trị của đồ thị hàm số: $A\left( 0;1 \right),\text{ }B\left( \sqrt{m};\text{ }-{{m}^{2}}+1 \right),\text{ }C\left( -\sqrt{m};\text{ }-{{m}^{2}}+1 \right).$

$BC=4\Leftrightarrow 4m=16\Leftrightarrow m=4.$

Xem thêm: Cách giải và bài tập mẫu tìm cực trị của hàm số chứa trị tuyệt đối

Câu 3: Tìm giá trị m để 3 điểm cực trị thỏa mãn điều kiện

Cho hàm số $y={{x}^{4}}-2m{{x}^{2}}-2{{m}^{2}}+{{m}^{4}}$ có đồ thị (C). Biết đồ thị (C) có ba điểm cực trị A, B, C thỏa mãn ABCD là hình thoi với $D\left( 0;-3 \right)$. Số $m$thuộc khoảng nào sau đây?

A. $m\in \left( \frac{1}{2};\frac{9}{5} \right)$                    B. $m\in \left( \frac{9}{5};2 \right)$.                   C. $m\in \left( -1;\frac{1}{2} \right)$.                   D. $m\in \left( 2;3 \right)$.

Lời giải

Chọn A

Tập xác định: $D=\mathbb{R}$.

tìm m để hàm số có 3 cực trị tạo thành tam giác đều

Hàm số đã cho có ba điểm cực trị $\Leftrightarrow m>0$.

Khi đó ba điểm cực trị của đồ thị hàm số là: $A\left( 0;-2{{m}^{2}}+{{m}^{4}} \right)$; $B\left( \sqrt{m};{{m}^{4}}-3{{m}^{2}} \right);$ $C\left( -\sqrt{m};{{m}^{4}}-3{{m}^{2}} \right)$.

Gọi I trung điểm của BC $\Rightarrow I\left( 0;{{m}^{4}}-3{{m}^{2}} \right)$

Vì $A,D\in Oy$, BC đối xứng nhau qua Oy nên tứ giác ABCD là hình thoi $\Leftrightarrow $ I là trung điểm của AD

tìm m để hàm số có 3 cực trị

Câu 4: Tìm số phần tử của tập hợp S khi đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị tạo thành 3 đỉnh của một tam giác vuông

Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số $y={{x}^{4}}-2\left( m+1 \right){{x}^{2}}+{{m}^{2}}$ có ba điểm cực trị tạo thành ba đỉnh của một tam giác vuông. Số phần tử của tập hợp S

A. $2$.                      B. $0$.                    C. $4$.                          D. $1$.

Lời giải

  • $y={{x}^{4}}-2\left( m+1 \right){{x}^{2}}+{{m}^{2}}\Rightarrow y’=4{{x}^{3}}-4\left( m+1 \right)x=4x\left( {{x}^{2}}-m-1 \right)$.
  • Hàm số có 3 điểm cực trị $\Leftrightarrow y’=0$ có 3 nghiệm phân biệt.

$\Leftrightarrow {{x}^{2}}-m-1=0$ có 2 nghiệm phân biệt khác 0.

$\Leftrightarrow m+1>0$.

$\Leftrightarrow m>-1$.

tìm m để hàm số có 3 điểm cực trị

  • Giả sử $A,\,\,B,\,\,C$ là ba điểm cực trị của đồ thị hàm số.

$\Rightarrow A\left( -\sqrt{m+1};\,-2m-1 \right),\,B\left( 0;\,{{m}^{2}} \right),\,C\left( \sqrt{m+1};\,-2m-1 \right)$

$\Rightarrow \overrightarrow{AB}=\left( \sqrt{m+1};\,{{\left( m+1 \right)}^{2}} \right),\,\overrightarrow{CB}=\left( -\sqrt{m+1};\,{{\left( m+1 \right)}^{2}} \right)$

tìm m để hàm số có 3 cực trị tạo thành tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng 1

Câu 5: Tìm m để đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị nằm trên đường tròn có bán kính cho trước

Cho hàm số $y={{x}^{4}}-2m{{x}^{2}}+1\,\,\left( 1 \right)$. Tổng lập phương các giá trị của tham số $m$ để đồ thị hàm số $\left( 1 \right)$ có ba điểm cực trị và đường tròn đi qua $3$ điểm này có bán kính $R=1$ bằng

A. $\frac{5-\sqrt{5}}{2}$.                      B. $\frac{1+\sqrt{5}}{2}$.                      C. $2+\sqrt{5}$.             D. $-1+\sqrt{5}$.

Lời giải

Ø TXĐ: $D=\mathbb{R}.$

Ø $y’=4{{x}^{3}}-4mx=4x({{x}^{2}}-m).$

Ø Để đồ thị hs (1) có 3 điểm cực trị $\Leftrightarrow m>0.$

Ø Gọi $A(0;1),B(\sqrt{m};-{{m}^{2}}+1),C(-\sqrt{m};-{{m}^{2}}+1)$ là các điểm cực trị của đồ thị hs (1), $I(0;-{{m}^{2}}+1)$ là trung điểm $BC.$

Ta có $AI={{m}^{2}},AB=AC=\sqrt{m+{{m}^{4}}}.$Suy ra $\frac{1}{2}AI.BC=\frac{AB.AC.BC}{4R}\Leftrightarrow R=\frac{2AI}{AB.AC}$

tìm m để hàm số có 3 cực trị tạo thành tam giác đều

Câu 6: Tìm số phần tử S của đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị nằm trong tứ giác nội tiếp

Gọi $S$ là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để đồ thị $\left( C \right)$ của hàm số $y={{x}^{4}}-2{{m}^{2}}{{x}^{2}}+{{m}^{4}}+5$ có ba điểm cực trị, đồng thời ba điểm cực trị đó cùng với gốc tọa độ $O$ tạo thành một tứ giác nội tiếp. Tìm số phần tử của $S$.

A. $1$.                       B. $0$.                   C. $2$.                          D. $3$.

Lời giải

Ta có ${y}’=4{{x}^{3}}-4{{m}^{2}}x$.

Hàm số có cực đại cực tiểu $\Leftrightarrow $ phương trình ${y}’=0$ có ba nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow m\ne 0$.

Gọi $A\left( 0;{{m}^{4}}+5 \right)$, $B\left( m;5 \right)$, $C\left( -m;5 \right)$ lần lượt là ba điểm cực trị của đồ thị hàm số.

Gọi $I$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác $ABOC$ khi đó ta có ba điểm $A$, $I$,$O$ thẳng hàng.

Mặt khác do hai điểm $B$ và $C$ đối xứng nhau qua $AO$ nên $AO$ là đường kính của đường tròn ngoại tiếp tứ giác $ABOC$$\Rightarrow AB\bot OB$$\Leftrightarrow \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{OB}=0$.

Trong đó $\overrightarrow{AB}=\left( m;-{{m}^{4}} \right)$, $\overrightarrow{OB}=\left( m;5 \right)$. Ta có phương trình ${{m}^{2}}-5{{m}^{4}}=0$$\Leftrightarrow m=\pm \frac{\sqrt{5}}{5}$

Câu 7: Tìm khoảng giá trị m của đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị thỏa mãn điều kiện

Cho hàm số $y={{x}^{4}}-2m{{x}^{2}}-2{{m}^{2}}+{{m}^{4}}$ có đồ thị $\left( C \right)$. Biết đồ thị $\left( C \right)$ có ba điểm cực trị $A$, $B$, $C$ và $ABDC$ là hình thoi trong đó $D\left( 0;-3 \right)$, $A$ thuộc trục tung. Khi đó $m$ thuộc khoảng nào?

A. $m\in \left( \frac{9}{5};2 \right)$.                  B. $m\in \left( -1;\frac{1}{2} \right)$.                C. $m\in \left( 2;3 \right)$.                              D. $m\in \left( \frac{1}{2};\frac{9}{5} \right)$.

Lời giải

tìm m để hàm số có 3 cực trị

Với điều kiện $m>0$ đồ thị hàm số có ba điểm cực trị là $A\left( 0;{{m}^{4}}-2{{m}^{2}} \right)$; $B\left( -\sqrt{m};{{m}^{4}}-3{{m}^{2}} \right)$; $C\left( \sqrt{m};{{m}^{4}}-3{{m}^{2}} \right)$. Để $ABDC$ là hình thoi điều kiện là $BC\bot AD$ và trung điểm $I$ của $BC$ trùng với trung điểm $J$ của $AD$. Do tính đối xứng ta luôn có $BC\bot AD$ nên chỉ cần $I\equiv J$với $I\left( 0;\,\,{{m}^{4}}-3{{m}^{2}} \right),$$J\left( 0;\,\frac{{{m}^{4}}-2{{m}^{2}}-3}{2} \right)$.

tìm m để hàm số có 3 điểm cực trị

Câu 8: Tìm m để hàm số có 3 điểm cực trị tạo thành một tam giác 

Cho hàm số $y={{x}^{4}}+2\left( m-4 \right){{x}^{2}}+m+5$ có đồ thị $\left( {{C}_{m}} \right)$. Tìm $m$ để $\left( {{C}_{m}} \right)$ có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác nhận gốc tọa độ $O$ làm trọng tâm.

A. $m=1$ hoặc $m=\frac{17}{2}$.                 B. $m=1$.                C. $m=4$.                            D. $m=\frac{17}{2}$.

Lời giải

tìm m để hàm số có 3 cực trị tạo thành tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng 1

Để hàm số có ba điểm cực trị $\Leftrightarrow m<4$. Khi đó các điểm cực trị của $\left( {{C}_{m}} \right)$ là

$A\left( 0;m+5 \right)$, $B\left( \sqrt{4-m};m+5-{{\left( m-4 \right)}^{2}} \right)$, $C\left( -\sqrt{4-m};m+5-{{\left( m-4 \right)}^{2}} \right)$.

tìm m để hàm số có 3 cực trị tạo thành tam giác đều

Do $m<4$ nên $m=1$.

Câu 9: Tìm mệnh đề đúng để đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị

Gọi ${{m}_{0}}$ là giá trị của tham số $m$ để đồ thị hàm số $y={{x}^{4}}+2m{{x}^{2}}-1$ có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác có diện tích bằng $4\sqrt{2}$. Mệnh đề nào sau đây đúng

A. ${{m}_{0}}\in \left( -1;0 \right]$.                  B. ${{m}_{0}}\in \left( -2;-1 \right]$.                 C. ${{m}_{0}}\in \left( -\infty ;-2 \right]$.                      D. ${{m}_{0}}\in \left( -1;0 \right)$.

Lời giải

Ta có: $y={{x}^{4}}+2m{{x}^{2}}-1$$\Rightarrow {y}’=4{{x}^{3}}+4mx$.

tìm m để hàm số có 3 cực trị

Để đồ thị hàm số $y={{x}^{4}}+2m{{x}^{2}}-1$ có ba điểm cực trị thì ${y}’=0$ phải có ba nghiệm phân biệt tức là $m<0$.

tìm m để hàm số có 3 điểm cực trị

Tam giác $ABC$ cân tại $A$ nên ${{S}_{\Delta ABC}}=\frac{1}{2}AH.BC$ với $H$ là trung điểm của $BC$ nên $H\left( 0;-{{m}^{2}}-1 \right)$. Nên: $AH=\sqrt{{{\left( -{{m}^{2}} \right)}^{2}}}={{m}^{2}}$ và $BC=\sqrt{{{\left( 2\sqrt{-m} \right)}^{2}}}=2\sqrt{-m}$.

Ta có: ${{S}_{\Delta ABC}}=\frac{1}{2}.{{m}^{2}}.2\sqrt{-m}$ theo giả thiết ${{S}_{\Delta ABC}}=4\sqrt{2}$ nên ${{m}^{2}}\sqrt{-m}=4\sqrt{2}\Leftrightarrow m=-2$.

Xem thêm:

Cách giải và bài tập mẫu tìm m để hàm số có cực trị

Các dạng bài tập về cực trị hàm số