Trong bài viết ngày hôm nay, Khoa Cử chúng tôi muốn đem đến cho các bạn một dạng toán rất hay trong chương trình toán lớp 11 đó chính là về tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm số lượng giác rất đầy đủ và chi tiết cho các bạn tham khảo. Với những thông tin được Khoa cử chúng tôi chia sẽ về tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm số lượng giác lớp 12 cũng như các dạng bài tập tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm số lượng giác bên dưới đây hy vọng sẽ hỗ trợ cho bạn học tốt môn Toán Đại lớp 11 nhé!
I. LÝ THUYẾT VỀ TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
Để có thể làm được các hết các dạng bài tập về cách tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm số lượng giác bằng máy tính một cách dễ dàng nhất thì chúng ta cần phải nắm vững và thật chắc các công thức cũng như tính chất của dạng này như sau:
*Các kiến thức về giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất.
Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ xác định trên miền $D\subset R$ .
Số thực M được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số $y=f\left( x \right)$ trên D nếu $\left\{ \begin{align}& f\left( x \right)\le M,\forall x\in D \\& \exists {{x}_{0}}\in D,f\left( {{x}_{0}} \right)=M \\\end{align} \right.$
Số thực N được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=f\left( x \right)$trên D nếu $\left\{ \begin{align}& f\left( x \right)>m,\forall x\in D \\& \exists {{x}_{0}}\in D,f\left( {{x}_{0}} \right)=m \\\end{align} \right.$
Một số kiến thức ta sử dụng trong các bài toán này:
- Tính bị chặn của hàm số lượng giác .
- Điều kiện có nghiệm của phương trình bậc nhất giữa $\sin $ và $\cos $.
Lưu ý:
1. Bất đẳng thức AM – GM.
a. Với hai số:
Cho hai số thực $a,\,b$ là hai số dương, ta có $\frac{a+b}{2}\ge \sqrt{ab}$ dấu bằng xảy ra khi $a=\,b$.
b. Với $n$ số:
Cho hai số thực ${{x}_{1}};\,{{x}_{2}};\,{{x}_{3}};\,…;\,{{x}_{n}}$là các số dương $n\in {{N}^{*}}$, ta có $\frac{{{x}_{1}}+\,{{x}_{2}}+\,{{x}_{3}}+\,…+\,{{x}_{n}}}{n}\ge \sqrt[n]{{{x}_{1}}.\,{{x}_{2}}.{{x}_{3}}.\,..\,{{x}_{n}}}$dấu bằng xảy ra khi ${{x}_{1}}=\,{{x}_{2}}=\,{{x}_{3}}=\,…={{x}_{n}}$.
2. Bất đẳng thức Bunyakovsky:
a. Bất đẳng thuwcsBunyakovsky dạng thông thường.
$\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}} \right)\left( {{c}^{2}}+{{d}^{2}} \right)\ge {{\left( ac+bd \right)}^{2}}$ . Dấu bằng xảy ra khi $\frac{a}{c}=\frac{b}{d}$
b. Bất đẳng thức Bunyakovsky cho bộ hai số
Với hai bộ số $\left( {{a}_{1}};\,{{a}_{2}};\,…;\,{{a}_{n}} \right)$và $\left( {{b}_{1}};\,{{b}_{2}};\,…;\,{{b}_{n}} \right)$ta có
$\,\left( a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+…+a_{n}^{2} \right)\,\left( b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+…+b_{n}^{2} \right)\ge {{\left( {{a}_{1}}{{b}_{1}}+{{a}_{2}}{{b}_{2}}+…+{{a}_{n}}{{b}_{n}} \right)}^{2}}$
c. Hệ quả của bất đẳng thức Bunyakopvsky ta có $\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}} \right)\left( {{c}^{2}}+{{d}^{2}} \right)\ge 4abcd$
II. BÀI TẬP MẪU TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
Khi đã nắm chắc được các lý thuyết liên quan đến các dạng đến cách tìm gtln gtnn của hàm số lượng giác thì chúng ta cần phải làm thêm một số bài tập tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm số lượng giác lớp 11 để có thể hiểu rõ hơn chương hàm số lượng giác này ngay bên dưới đây:
Bài tập 1: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất
a) $y=2\sin \left( 3x-\frac{\pi }{2} \right)-3$ b) $y=-5+2{{\cos }^{2}}\left( 2x-\frac{\pi }{3} \right)$
c) $y=2\sqrt{\cos 3x}-1$ d) $y=\frac{{{\sin }^{2}}(3x)}{2}-3{{\cos }^{2}}\left( 3x \right)$
Bài giải
a) Ta có $-1\le \sin \left( 3x-\frac{\pi }{2} \right)\le 1$
$\Rightarrow -2\le 2\sin \left( 3x-\frac{\pi }{2} \right)\le 2$
$\Rightarrow -5\le 2\sin \left( 3x-\frac{\pi }{2} \right)-3\le 1$
Suy ra ${{y}_{\max }}=-1$ khi $\sin \left( 3x-\frac{\pi }{2} \right)=1\Leftrightarrow x=\frac{\pi }{3}+\frac{k2\pi }{3},k\in \mathbb{Z}$.
${{y}_{\min }}=-5$ khi $\sin \left( 3x-\frac{\pi }{2} \right)=-1\Leftrightarrow x=\frac{k2\pi }{3},k\in \mathbb{Z}$.
b) Ta có $0\le {{\cos }^{2}}\left( 2x-\frac{\pi }{3} \right)\le 1$.
$\Rightarrow 0\le 2{{\cos }^{2}}\left( 2x-\frac{\pi }{3} \right)\le 2$
$\Rightarrow -5\le 2{{\cos }^{2}}\left( 2x-\frac{\pi }{3} \right)-5\le -3$
Suy ra ${{y}_{\min }}=-5$ khi ${{\cos }^{2}}\left( 2x-\frac{\pi }{3} \right)=0\Rightarrow \cos \left( 2x-\frac{\pi }{3} \right)=0\Leftrightarrow x=\frac{5\pi }{12}+\frac{k\pi }{2},k\in \mathbb{Z}$.
${{y}_{\max }}=-3$khi ${{\cos }^{2}}\left( 2x-\frac{\pi }{3} \right)=1\Rightarrow \cos \left( 2x-\frac{\pi }{3} \right)=\pm 1\Leftrightarrow \left[ \begin{align}& x=\frac{\pi }{6}+k\pi \\& x=\frac{2\pi }{3}+k\pi \\\end{align} \right.,k\in \mathbb{Z}$.
c) Ta có $0\le \sqrt{\cos 3x}\le 1$
$\Rightarrow -1\le 2\sqrt{\cos 3x}-1\le 1$
Suy ra ${{y}_{\min }}=-1$ khi $\cos 3x=0\Leftrightarrow x=\frac{\pi }{6}+\frac{k\pi }{3},k\in \mathbb{Z}$.
${{y}_{\max }}=1$ khi $\cos 3x=1\Leftrightarrow x=\frac{k2\pi }{3},k\in \mathbb{Z}$.
d) Ta có $y=\frac{{{\sin }^{2}}3x-6\left( 1-{{\sin }^{2}}3x \right)}{2}=\frac{7{{\sin }^{2}}3x-6}{2}$ .
$0\le {{\sin }^{2}}3x\le 1\Rightarrow -3\le \frac{7{{\sin }^{2}}3x-6}{2}\le \frac{1}{2}$
Suy ra ${{y}_{\min }}=-3$ khi $\sin 3x=0\Leftrightarrow x=\frac{k\pi }{3},k\in \mathbb{Z}$.
${{y}_{\max }}=\frac{1}{2}$ khi ${{\sin }^{2}}3x=1\Leftrightarrow \sin 3x=\pm 1\Leftrightarrow \left[ \begin{align}& x=\frac{\pi }{6}+\frac{k2\pi }{3} \\& x=-\frac{\pi }{6}+\frac{k2\pi }{3} \\\end{align} \right.,k\in \mathbb{Z}$.
Xem thêm: Lý thuyết và bài tập về xét tính đơn điệu của hàm số lượng giác
Bài tập 2: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất (nếu có) của các hàm số sau
a) $y=4-2\cos 2x$.
b) $y=\sqrt{3+{{\sin }^{2018}}x}$.
c)$y=\sin x-\cos x+3$.
d) $y={{\sin }^{2}}x+2\sin x\cos x-{{\cos }^{2}}x+5$
e) $y=4{{\cos }^{2}}x-4\cos x+3$ với $x\in \left[ \frac{\pi }{3};\,\frac{5\pi }{6} \right]$
f) $y=\cos 2x+5\sin x+2$ với $x\in \left[ \frac{\pi }{3};\,\frac{5\pi }{6} \right]$
Lời giải
a) $y=4-2\cos 2x$
Với mọi $x\in \mathbb{R}$ thì $-1\le \cos 2x\le 1\Leftrightarrow 2\ge -2\cos 2x\ge -2\Leftrightarrow 6\ge 4-2\cos 2x\ge 2$.
Ta có $y=6$ khi $\cos 2x=-1\Leftrightarrow 2x=\pi +k2\pi ,\,\,\left( k\in \mathbb{Z} \right)\Leftrightarrow x=\frac{\pi }{2}+k\pi $ và
$y=2$ khi $\cos 2x=1\Leftrightarrow 2x=k2\pi ,\,\,\left( k\in Z \right)\Leftrightarrow x=k\pi $.
Vậy $\max y=6$ khi $x=\frac{\pi }{2}+k\pi $ và $\min y=2$ khi $x=k\pi $.
b) $y=\sqrt{3+{{\sin }^{2018}}x}$
Với mọi $x\in \mathbb{R}$ thì
$-1\le \sin x\le 1\Rightarrow 0\le {{\sin }^{2018}}x\le 1\Leftrightarrow 3\le 3+{{\sin }^{2018}}x\le 4\Leftrightarrow \sqrt{3}\le \sqrt{3+{{\sin }^{208}}x}\le 2$.
Ta có $y=\sqrt{3}$ khi $\sin x=0\Leftrightarrow x=k\pi ,\,\,\left( k\in \mathbb{Z} \right)$ và $y=2$ khi $\sin x=\pm 1\Leftrightarrow x=\frac{\pi }{2}+k\pi ,\,\,\left( k\in \mathbb{Z} \right)$.
Vậy $\max y=2$ khi $x=\frac{\pi }{2}+k\pi $ và $\min y=\sqrt{3}$ khi $x=k\pi $.
c) $y=\sin x-\cos x+3$
Với mọi $x\in \mathbb{R}$ thì $-\sqrt{\left( {{1}^{2}}+{{1}^{2}} \right)\left( {{\sin }^{2}}x+{{\cos }^{2}}x \right)}\le \sin x-\cos x\le \sqrt{\left( {{1}^{2}}+{{1}^{2}} \right)\left( {{\sin }^{2}}x+{{\cos }^{2}}x \right)}$
$\Leftrightarrow -\sqrt{2}+3\le \sin x-\cos x+3\le \sqrt{2}+3$.
Ta có $y=-\sqrt{2}+3$ khi $x=-\frac{\pi }{4}+k2\pi ,\,\,\left( k\in \mathbb{Z} \right)$ và $y=\sqrt{2}+3$ khi $x=\frac{3\pi }{4}+k2\pi ,\,\,\left( k\in \mathbb{Z} \right)$.
Vậy $\min y=-\sqrt{2}+3$ khi $x=-\frac{\pi }{4}+k2\pi ,\,\,\left( k\in \mathbb{Z} \right)$, $\max y=\sqrt{2}+3$ khi $x=\frac{3\pi }{4}+k2\pi ,\,\,\left( k\in \mathbb{Z} \right)$.
d) TXĐ: $\mathbb{R}$.
Ta có $y=\sin 2x-\cos 2x+5$ hay $y=\sqrt{2}\sin \left( 2x-\frac{\pi }{4} \right)+5$
$\begin{align}& \forall x\in \mathbb{R},\,\,-1\le \sin \left( 2x-\frac{\pi }{4} \right)\le 1 \\& \Leftrightarrow \forall x\in \mathbb{R},\,\,5-\sqrt{2}\le \sin \left( 2x-\frac{\pi }{4} \right)+5\le 5+\sqrt{2} \\\end{align}$
Ta có $\left\{ \begin{align}& y\ge 5-\sqrt{2},\,\forall x\in \mathbb{R} \\& y\left( -\frac{\pi }{8} \right)=5-\sqrt{2} \\\end{align} \right.$ nên giá trị nhỏ nhất của hàm số là $5-\sqrt{2}$.
Ta có $\left\{ \begin{align}& y\le 5+\sqrt{2},\,\forall x\in \mathbb{R} \\& y\left( \frac{3\pi }{8} \right)=5+\sqrt{2} \\\end{align} \right.$ nên giá trị lớn nhất của hàm số là $5+\sqrt{2}$.
e) Đặt $t=\cos x$. Với $\frac{\pi }{3}\le x\le \frac{5\pi }{6}$ ta có $\frac{-\sqrt{3}}{2}\le t\le \frac{1}{2}$
Khi đó ta có $y=f\left( t \right)=4{{t}^{2}}-4t+3$ , $\frac{-\sqrt{3}}{2}\le t\le \frac{1}{2}$
Ta có bảng biến thiên:
Từ bảng biến thiên ta có:
Giá trị lớn nhất của hàm số đã cho trên $\left[ \frac{\pi }{3};\,\frac{5\pi }{6} \right]$ là $6+2\sqrt{3}$.
Giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho trên $\left[ \frac{\pi }{3};\,\frac{5\pi }{6} \right]$ là $2$.
f) Ta có $y=-2{{\sin }^{2}}x+5\sin x+3$.
Đặt $t=\sin x$. Với $\frac{\pi }{3}\le x\le \frac{5\pi }{6}$ ta có $\frac{1}{2}\le t\le 1$ .
Khi đó ta có $y=f\left( t \right)=-2{{t}^{2}}+5t+3$ , $\frac{1}{2}\le t\le 1$.
Ta có bảng biến thiên:
Từ bảng biến thiên ta có:
Giá trị lớn nhất của hàm số đã cho trên $\left[ \frac{\pi }{3};\,\frac{5\pi }{6} \right]$ là $6$.
Giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho trên $\left[ \frac{\pi }{3};\,\frac{5\pi }{6} \right]$ là $5$.
Bài tập 3: Tìm GTLN và GTNN của các hàm số sau:
a) $y=\sqrt{1+\sin x}+2$ b) $y=3\sin x+4\cos x$
c) $y=\left( \sin x-2\cos x \right)\left( 2\sin x+\cos x \right)-1$ d) $y=\frac{\sin x+\cos x-1}{\sin x-\cos x+3}$.
Lời giải
a) $y=\sqrt{1+\sin x}+2$. TXĐ: $D=\mathbb{R}$.
$\forall x\in \mathbb{R}$, ta có:
$-1\le \sin x\le 1$$\Leftrightarrow 0\le 1+\sin x\le 2$$\Leftrightarrow 0\le \sqrt{1+\sin x}\le \sqrt{2}$
$\Leftrightarrow 2\le \sqrt{1+\sin x}+2\le \sqrt{2}+2$$\Leftrightarrow 2\le y\le \sqrt{2}+2$.
Vậy $\underset{\mathbb{R}}{\mathop{\min }}\,y=2\Leftrightarrow \sin x=-1\Leftrightarrow x=-\frac{\pi }{2}+k2\pi $ và $\underset{\mathbb{R}}{\mathop{\max }}\,y=\sqrt{2}+2\Leftrightarrow \sin x=1\Leftrightarrow x=\frac{\pi }{2}+k2\pi $.
b) $y=3\sin x+4\cos x$. TXĐ: $D=\mathbb{R}$.
Ta có: $\left| y \right|=\left| 3\sin x+4\cos x \right|\le \sqrt{\left( {{3}^{2}}+{{4}^{2}} \right)\left( {{\sin }^{2}}x+{{\cos }^{2}}x \right)}=5\Leftrightarrow -5\le y\le 5$.
Vậy $\underset{\mathbb{R}}{\mathop{\min }}\,y=-5$ và $\underset{\mathbb{R}}{\mathop{\max }}\,y=5$.
c) $y=\left( \sin x-2\cos x \right)\left( 2\sin x+\cos x \right)-1$. TXĐ: $D=\mathbb{R}$.
Ta có: $y=2{{\sin }^{2}}x-3\sin x\cos x-2{{\cos }^{2}}x-1$
$\Leftrightarrow y=-2\cos 2x-\frac{3}{2}\sin 2x-1\Leftrightarrow \frac{3}{2}\sin 2x+2\cos 2x=-y-1$ $\left( * \right)$.
Để tồn tại giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số đã cho thì phương trình $\left( * \right)$ phải có nghiệm
$\Leftrightarrow \frac{9}{4}+4\ge {{\left( -y-1 \right)}^{2}}\Leftrightarrow {{\left( y+1 \right)}^{2}}\le \frac{25}{4}\Leftrightarrow -\frac{7}{2}\le y\le \frac{3}{2}$.
Vậy $\underset{\mathbb{R}}{\mathop{\min }}\,y=-\frac{7}{2}$ và $\underset{\mathbb{R}}{\mathop{\max }}\,y=\frac{3}{2}$.
d) $y=\frac{\sin x+\cos x-1}{\sin x-\cos x+3}$.
Dễ thấy $\sin x-\cos x+3\ne 0,\,\,\forall x\in \mathbb{R}$ nên hàm số đã cho có TXĐ: $D=\mathbb{R}$.
Ta có: $y\left( \sin x-\cos x+3 \right)=\sin x+\cos x-1$ $\Leftrightarrow \left( y-1 \right)\sin x-\left( y+1 \right)\cos x=-3y-1$ $\left( * \right)$.
Để tồn tại giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số đã cho thì phương trình $\left( * \right)$ phải có nghiệm
$\Leftrightarrow {{\left( y-1 \right)}^{2}}+{{\left( y+1 \right)}^{2}}\ge {{\left( -3y-1 \right)}^{2}}$ $\Leftrightarrow 7{{y}^{2}}+6y-1\le 0\Leftrightarrow -1\le y\le \frac{1}{7}$.
Vậy $\underset{\mathbb{R}}{\mathop{\min }}\,y=-1$ và $\underset{\mathbb{R}}{\mathop{\max }}\,y=\frac{1}{7}$.
Bài tập 4: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau.
a) $y=3\sin x-4\cos x$
b) $y=2{{\left( \sin x-\cos x \right)}^{2}}+2\cos 2x+5\sin x.\cos x-3$
c) $y=\frac{2\sin x+\cos x+2}{\sin x+\cos x-2}$
d) $y=\frac{2\cos x+1}{\sin x-\cos x+3}$
Lời giải
a) $y=3\sin x-4\cos x$.
Tập xác định của hàm số là $\mathbb{R}$.
Giả sử ${{y}_{0}}$ là một giá trị của hàm số, khi đó phương trình ${{y}_{0}}=3\sin x-4\cos x$ có nghiệm. $\Leftrightarrow {{y}_{0}}^{2}\le {{3}^{2}}+{{\left( -4 \right)}^{2}}=25$$\Leftrightarrow -5\le {{y}_{0}}\le 5$
Vậy giá trị lớn nhất của hàm số bằng 5, giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng $-5$.
b) $y=2{{\left( \sin x-\cos x \right)}^{2}}+2\cos 2x+5\sin x.\cos x-3$.
Tập xác định của hàm số là $\mathbb{R}$.
Giả sử ${{y}_{0}}$ là một giá trị của hàm số, khi đó phương trình ${{y}_{0}}=2{{\left( \sin x-\cos x \right)}^{2}}+2\cos 2x+5\sin x.\cos x-3$ có nghiệm
$\Leftrightarrow {{y}_{0}}=2\cos 2x+\frac{1}{2}\sin 2x-1$ có nghiệm
$\Leftrightarrow 2{{y}_{0}}+2=4\cos 2x+\sin 2x$ có nghiệm
$\Leftrightarrow {{\left( 2{{y}_{0}}+2 \right)}^{2}}\le 17$
$\Leftrightarrow 4{{y}_{0}}^{2}+8{{y}_{0}}-13\le 0$
$\Leftrightarrow \frac{-2-\sqrt{17}}{2}\le {{y}_{0}}\le \frac{-2+\sqrt{17}}{2}$
Vậy giá trị lớn nhất của hàm số bằng $\frac{-2+\sqrt{17}}{2}$, giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng $\frac{-2-\sqrt{17}}{2}$.
c) $y=\frac{2\sin x+\cos x+2}{\sin x+\cos x-2}$.
Tập xác định của hàm số là $\mathbb{R}$.
Giả sử ${{y}_{0}}$ là một giá trị của hàm số, khi đó phương trình ${{y}_{0}}=\frac{2\sin x+\cos x+2}{\sin x+\cos x-2}$ có nghiệm
$\Leftrightarrow \left( {{y}_{0}}-2 \right)\sin x+\left( {{y}_{0}}-1 \right)\cos x=2+2{{y}_{0}}$ có nghiệm
$\Leftrightarrow {{\left( 2{{y}_{0}}+2 \right)}^{2}}\le {{\left( {{y}_{0}}-2 \right)}^{2}}+{{\left( {{y}_{0}}-1 \right)}^{2}}$
$\Leftrightarrow 2{{y}_{0}}^{2}+14{{y}_{0}}-1\le 0$
$\Leftrightarrow \frac{-7-\sqrt{51}}{2}\le {{y}_{0}}\le \frac{-7+\sqrt{51}}{2}$
Vậy giá trị lớn nhất của hàm số bằng $\frac{-7+\sqrt{51}}{2}$, giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng $\frac{-7-\sqrt{51}}{2}$.
d) $y=\frac{2\cos x+1}{\sin x-\cos x+3}$
Tập xác định của hàm số là $\mathbb{R}$.
Giả sử ${{y}_{0}}$ là một giá trị của hàm số, khi đó phương trình ${{y}_{0}}=\frac{2\cos x+1}{\sin x-\cos x+3}$ có nghiệm
$\Leftrightarrow {{y}_{0}}\sin x-\left( {{y}_{0}}+2 \right)\cos x=1-3{{y}_{0}}$ có nghiệm$\Leftrightarrow {{\left( 1-3{{y}_{0}} \right)}^{2}}\le {{y}_{0}}^{2}+{{\left( {{y}_{0}}+2 \right)}^{2}}$$\Leftrightarrow 7{{y}_{0}}^{2}-10{{y}_{0}}-3\le 0$
$\Leftrightarrow \frac{5-\sqrt{46}}{7}\le {{y}_{0}}\le \frac{5+\sqrt{46}}{7}$
Vậy giá trị lớn nhất của hàm số bằng $\frac{5+\sqrt{46}}{7}$, giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng $\frac{5-\sqrt{46}}{7}$.
Bài tập 5: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:
- a) $y=\frac{\sin 3x+2\cos 3x+1}{\sin 3x+\cos 3x+2}$. b) $y=\sin \frac{2x}{1+{{x}^{2}}}+\cos \frac{4x}{1+{{x}^{2}}}+1$.
- c) $y=\sqrt{3}\sin 2x+2{{\sin }^{2}}x-1$. d) $y=3\sin \left( 3x+\frac{\pi }{6} \right)+4\cos \left( 3x+\frac{\pi }{6} \right)$.
Lời giải
a) $y=\frac{\sin 3x+2\cos 3x+1}{\sin 3x+\cos 3x+2}$(1)
Ta có $\sin 3x+\cos 3x+2\ne 0\,\,\,\,\forall x$. Tập xác định $D=\mathbb{R}$
Giả sử ${{y}_{0}}$ là một giá trị hàm số, khi đó tồn tại $x\in \mathbb{R}$ sao cho:
${{y}_{0}}\left( \sin 3x+\cos 3x+2 \right)=\sin 3x+2\cos 3x+1$.
$\Leftrightarrow \left( {{y}_{0}}-1 \right)\sin 3x+\left( {{y}_{0}}-2 \right)\cos 3x=1-2{{y}_{0}}$.
Phương trình có nghiệm khi:
${{\left( {{y}_{0}}-1 \right)}^{2}}+{{\left( {{y}_{0}}-2 \right)}^{2}}\ge {{\left( 1-2{{y}_{0}} \right)}^{2}}$.
$\Leftrightarrow 2y_{0}^{2}+2{{y}_{0}}-4\le 0$.
$\Leftrightarrow -2\le {{y}_{0}}\le 1$.
b) $y=\sin \frac{2x}{1+{{x}^{2}}}+\cos \frac{4x}{1+{{x}^{2}}}+1$
Tập xác định $D=\mathbb{R}$.
Đặt $t=\frac{2x}{1+{{x}^{2}}}$, ta có:
$\left. \begin{align}& \left| t \right|=\frac{2\left| x \right|}{1+{{x}^{2}}}\le 1,\,\forall x\ne 0 \\& x=0\Rightarrow t=0 \\\end{align} \right\}\Rightarrow t\in \left[ -1;\,1 \right]$.
Hàm số trở thành $y=\sin t+\cos 2t+1,\,\,\,\,\,\,\,\,\forall t\in \left[ -1;\,1 \right]$.
$\Rightarrow y=-2{{\sin }^{2}}t+\sin t+2$.
Đặt $a=\sin t\,$ suy ra $a\in \left[ \sin \left( -1 \right);\sin \left( 1 \right)\, \right]$.
Hàm số trở thành $y=-2{{a}^{2}}+a+2$.
Ta có bảng biến thiên:
Vậy:
Giá trị nhỏ nhất của hàm số là $y=-2{{\left( \sin \left( -1 \right) \right)}^{2}}+\sin \left( -1 \right)+2$.
Giá trị lớn nhất của hàm số là $y=\frac{17}{8}$.
c) $y=\sqrt{3}\sin 2x+2{{\sin }^{2}}x-1$.
Tập xác định $D=\mathbb{R}$.
Ta có: $y=\sqrt{3}\sin 2x+2{{\sin }^{2}}x-1=\sqrt{3}\sin 2x-\cos 2x=2\sin \left( 2x-\frac{\pi }{4} \right)$
$\Rightarrow -2\le y\le 2$.
d) $y=3\sin \left( 3x+\frac{\pi }{6} \right)+4\cos \left( 3x+\frac{\pi }{6} \right)$.
Tập xác định $D=\mathbb{R}$.
$y=3\sin \left( 3x+\frac{\pi }{6} \right)+4\cos \left( 3x+\frac{\pi }{6} \right)=5\sin \left( 3x+\frac{\pi }{6}+\alpha \right)$.
(với $\cos \alpha =\frac{3}{5};\,\sin \alpha =\frac{4}{5}$).
$\Rightarrow -5\le y\le 5$.
Như vậy bên trên là tất cả những thông tin cần thiết về lý thuyết cũng như bài bài tập về tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm số lượng giác trên đoạn mà các bạn không nên bỏ qua. Nếu như bạn có thắc mắc hay cần hỗ trợ thì đừng ngần ngại mà không liên hệ ngay với chúng tôi để nhận được sự trợ giúp sớm nhất nhé!
Xem thêm:
Lý thuyết và bài tập của xét tính chẵn lẻ của hàm số lượng giác
