Cực trị của hàm số là một trong những phần quan trọng của kiến thức đại số lớp 12 bao gồm tìm cực trị của hàm số lượng giác tìm cực trị của hàm số toán cao cấp, tìm cực trị của hàm số chứa trị tuyệt đối và tìm cực trị của hàm số có căn. Nhằm giúp các em học sinh dễ dàng nắm bắt và vận dụng kiến thức này hơn. Khoa Cử đã tổng hợp tất cả các nội dung lý thuyết và bài tập mẫu các dạng toán tìm cực trị của hàm số thường gặp ngay bên dưới!
I. LÝ THUYẾT
- Định nghĩa: Cho hàm số $y=f(x)$ xác định và liên tục trên khoảng $(a;b)$ và điểm ${{x}_{0}}\in (a;b)$.
+) Nếu tồn tại số $h>0$ sao cho $f\left( x \right)<f\left( {{x}_{0}} \right)$ với mọi $x\in ({{x}_{0}}-h;{{x}_{0}}+h)$ và $x\ne {{x}_{0}}$ thì ta nói hàm số $y=f(x)$ đạt cực đại tại ${{x}_{0}}$.
+) Nếu tồn tại số $h>0$ sao cho $f\left( x \right)>f\left( {{x}_{0}} \right)$ với mọi $x\in ({{x}_{0}}-h;{{x}_{0}}+h)$ và $x\ne {{x}_{0}}$ thì ta nói hàm số $y=f(x)$ đạt cực tiểu tại ${{x}_{0}}$.
* Chú ý
+) Nếu hàm số $y=f(x)$ đạt cực đại tại ${{x}_{0}}$ thì ${{x}_{0}}$ được gọi là điểm cực đại của hàm số; $f({{x}_{0}})$ được gọi là giá trị cực đại của hàm số, kí hiệu là ${{f}_{\mathsf{C\tilde{N}}}}({{f}_{CT}})$, còn điểm $M({{x}_{0}};f({{x}_{0}}))$ được gọi là điểm cực đại của đồ thị hàm số.
+) Các điểm cực đại và cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị. Giá trị cực đại còn gọi là cực đại và được gọi chung là cực trị của hàm số.
- Điều kiện cần để hàm số đạt cực trị
Định lí 1: Giả sử hàm số $y=f(x)$ đạt cực trị tại điểm ${{x}_{0}}$. Khi đó nếu hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm tại ${{x}_{0}}$ thì ${f}'({{x}_{0}})=0$.
- Điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị
Định lí 2: Giả sử hàm số $y=f(x)$ liên tục trên $K=({{x}_{0}}-h;{{x}_{0}}+h)$ và có đạo hàm trên \[K\] hoặc trên $K\backslash \text{ }\!\!\{\!\!\text{ }{{x}_{0}}\text{ }\!\!\}\!\!\text{ }$, với $h>0$.
+) Nếu $f’\left( x \right)>0$ trên khoảng $({{x}_{0}}-h;{{x}_{0}})$ và $f'(x)<0$ trên $({{x}_{0}};{{x}_{0}}+h)$ thì ${{x}_{0}}$ là một điểm cực đại của hàm số $y=f(x)$.
+) Nếu ${f}’\left( x \right)<0$ trên khoảng $({{x}_{0}}-h;{{x}_{0}})$ và ${f}'(x)>0$ trên $({{x}_{0}};{{x}_{0}}+h)$ thì ${{x}_{0}}$ là một điểm cực tiểu của hàm số $y=f(x)$.
Minh họa bằng bảng biến thiến
* Chú ý
+) Giá trị cực đại $f({{x}_{0}})$ của hàm số $y=f(x)$ nói chung không phải là giá trị lớn nhất của hàm số $y=f(x)$ trên tập xác định của nó.
+) Hàm số chỉ có thể đạt cực trị tại các điểm mà tại đó đạo hàm của hàm số bằng $0$hoặc hàm số không có đạo hàm. Ngược lại, đạo hàm có thể bằng $0$tại điểm ${{x}_{0}}$ nhưng hàm số không đạt cực trị tại điểm ${{x}_{0}}$.
- Định lí 3: Giả sử hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm cấp hai trong khoảng $K=({{x}_{0}}-h;{{x}_{0}}+h)$ với $h>0$. Khi đó:
+) Nếu ${f}’\left( {{x}_{0}} \right)=0,{{f}’}’\left( {{x}_{0}} \right)>0$ thì ${{x}_{0}}$ là điểm cực tiểu.
+) Nếu ${f}’\left( {{x}_{0}} \right)=0,{{f}’}’\left( {{x}_{0}} \right)<0$ thì ${{x}_{0}}$ là điểm cực đại.
+) Nếu ${f}’\left( {{x}_{0}} \right)=0,{{f}’}’\left( {{x}_{0}} \right)=0$ thì phải lập bảng biến thiên để kết luận.
QUY TẮC TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
a) Quy tắc 1
- Bước 1. Tìm tập xác định của hàm số.
- Bước 2. Tính${f}’\left( x \right)$. Tìm các điểm tại đó ${f}’\left( x \right)$ bằng 0 hoặc ${f}’\left( x \right)$ không xác định.
- Bước 3. Lập bảng biến thiên.
- Bước 4. Từ bảng biến thiên suy ra các điểm cực trị.
b) Quy tắc 2
- Bước 1. Tìm tập xác định của hàm số.
- Bước 2. Tính${f}’\left( x \right)$. Giải phương trình ${f}’\left( x \right)=0$ và ký hiệu ${{x}_{i}}$ $\left( i=1,2,3,… \right)$ là các nghiệm của nó.
- Bước 3. Tính${f}”\left( x \right)$ và ${f}”\left( {{x}_{i}} \right)$.
- Bước 4. Dựa vào dấu của${f}”\left( {{x}_{i}} \right)$ suy ra tính chất cực trị của điểm ${{x}_{i}}$.
II. BÀI TẬP MẪU
Câu 1: Tìm cực trị của hàm số $y={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}-9x+1$.
Lời giải
Tập xác định: $D=\mathbb{R}$. Ta có: ${y}’=3{{x}^{2}}-6x-9$.
Cách 1: Bảng biến thiên
Vậy hàm số đạt cực đại tại $x=-1$, ${{y}_{C}}=6$ và đạt cực tiểu tại $x=3$, ${{y}_{CT}}=-26$.
Cách 2: $y”=6x-6$.
$y”\left( -1 \right)=-12<0$$\Rightarrow $ Hàm số đạt cực đại tại $x=-1$, ${{y}_{C}}=6$.
$y”\left( 3 \right)=12>0$$\Rightarrow $ Hàm số đạt cực tiểu tại $x=3$, ${{y}_{CT}}=-26$.
Câu 2: Tập hợp tất cả các giá trị của tham số $m$ để đồ thị hàm số $y={{x}^{3}}-3m{{x}^{2}}+3\left( {{m}^{2}}-1 \right)x-{{m}^{3}}$ có hai điểm cực trị nằm về hai phía trục hoành là khoảng $\left( a;b \right)$. Giá trị $a.b$ bằng
Lời giải
Ta có ${y}’=3{{x}^{2}}-6mx+3\left( {{m}^{2}}-1 \right)$;
Để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị nằm về hai phía trục hoành thì phương trình ${y}’=0$ có hai nghiệm phân biệt và ${{y}_{CD}}.{{y}_{CT}}<0$.
Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thi hàm số là: $y=-2x-m$.
Khi đó: ${{y}_{CD}}.{{y}_{CT}}=y\left( m+1 \right).y\left( m-1 \right)=\left( -2m-2-m \right)\left( -2m+2-m \right)$$=\left( 3m+2 \right)\left( 3m-2 \right)$
${{y}_{CD}}.{{y}_{CT}}<0\Leftrightarrow \left( 3m+2 \right)\left( 3m-2 \right)<0\Leftrightarrow -\frac{2}{3}<m<\frac{2}{3}$$\Rightarrow a=-\frac{2}{3};b=\frac{2}{3}$.
Khi đó: $a.b=-\frac{4}{9}$.
Câu 3: Cho hàm số $y={{x}^{3}}-6mx+4$ có đồ thị $\left( {{C}_{m}} \right)$. Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để đường thẳng đi qua điểm cực đại, điểm cực tiểu của đồ thị $\left( {{C}_{m}} \right)$cắt đường tròn tâm $I\left( 1;0 \right)$, bán kính $\sqrt{2}$ tại hai điểm phân biệt $A;B$ sao cho tam giác $IAB$có diện tích lớn nhất.
Lời giải
Xét hàm số $y={{x}^{3}}-6mx+4$có tập xác định $\mathbb{R}.\,\,\,\,{y}’=3{{x}^{2}}-6m;\,\,{y}’=0\Leftrightarrow {{x}^{2}}=2m.$
Đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị $\Leftrightarrow {y}’$đổi dấu 2 lần.
$\Leftrightarrow {y}’=0$có hai nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow m>0.$ Ta có $y=\frac{1}{3}{y}’x-4mx+4.$
Gọi $M\left( {{x}_{1}};\,{{y}_{1}} \right),\,\,N\left( {{x}_{2}};\,{{y}_{2}} \right)$ là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số.
Suy ra $M,\,\,N$thuộc đường thẳng $d$có phương trình $y=-4mx+4.$
Vậy phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị của $\left( {{C}_{m}} \right)$ là: $y=-4mx+4.$
Gọi $\left( T \right)$là đường tròn có tâm $I\left( 1;\,0 \right)$và bán kính $R=\sqrt{2}.$
Đường thẳng $d$cắt đường tròn tại hai điểm phân biệt $A,\,\,B$ và tạo thành tam giác $IAB$
Cách 1:
Do đường thẳng $d$ luôn đi qua điểm $K\left( 0;4 \right),\,IK=\sqrt{17}>R\Rightarrow K$ nằm ngoài đường tròn nên tồn tại hai điểm $A,\,B$ là giao điểm của $d$ với đường tròn để tam giác $IAB$ vuông tại $I$.
Do đó ${{S}_{IAB}}=\frac{1}{2}IA.IB.\sin AIB\le \frac{1}{2}IA.IB$
Dấu $”=”$ xảy ra $\Leftrightarrow IA\bot IB\Leftrightarrow d\left( I,d \right)=\frac{R}{\sqrt{2}}=1\Leftrightarrow \frac{\left| -4m+4 \right|}{\sqrt{16{{m}^{2}}+1}}=1\Leftrightarrow m=\frac{15}{32}$.
Bình luận: Nếu đường thẳng $d$ luôn đi qua điểm $K$ cố định mà $IK<\frac{R}{\sqrt{2}}$ thì sẽ không có vị trí của đường thẳng $d$ để tam giác $IAB$ vuông tại $I$. Khi đó, nếu làm như trên sẽ bị sai. Trong trường hợp đó thì ta phải đặt $d\left( I,d \right)=t\left( 0<t\le l \right)$, với $l$ là độ dài đoạn thẳng $IK$, rồi tính ${{S}_{\Delta IAB}}f\left( t \right)$ và tìm giá trị lớn nhất của $f\left( t \right)$ trên nửa khoảng $\left( 0;l \right]$.
Cách 2: Phương trình đường tròn là: ${{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}=2\,\,\left( C \right)$
$d$ cắt $\left( C \right)$ tại 2 điểm phân biệt $A,\,B\Leftrightarrow \left( 1 \right)$ có 2 nghiệm phân biệt $a,b$
$\Leftrightarrow {{\left( 16m+1 \right)}^{2}}-15\left( 16m+1 \right)>0$.
$\overrightarrow{IA}.\overrightarrow{IB}=ab-\left( a+b \right)+16\left[ {{m}^{2}}ab-m\left( a+b \right)+1 \right]+1=0$$\Leftrightarrow ab-\left( a+b \right)+16{{m}^{2}}ab-16m\left( a+b \right)+17=0$
$\Leftrightarrow \left( 16{{m}^{2}}+1 \right)ab-\left( 16m+1 \right)\left( a+b \right)+17=0$$\Leftrightarrow 15-\frac{2{{\left( 16m+1 \right)}^{2}}}{16{{m}^{2}}+1}+17=0$$\Leftrightarrow \frac{{{\left( 16m+1 \right)}^{2}}}{16{{m}^{2}}+1}=16\Leftrightarrow m=\frac{15}{32}$.
Câu 4: Cho hàm số$y={{x}^{4}}-2\left( m+1 \right){{x}^{2}}+{{m}^{2}}$. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để đồ thị của hàm số có ba điểm cực trị tạo thành ba đỉnh của một tam giác vuông cân.
Lời giải
Cách 1:
Tập xác định: $D=\mathbb{R}$.
Ta có:${y}’=4{{x}^{3}}-4\left( m+1 \right)x$.
Đồ thị số có ba điểm cực trị thì phương trình ${y}’=0$ có ba nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow m>-1$$\left( * \right)$.
Khi đó, ba điểm cực trị là: $A\left( 0\,;\,{{m}^{2}} \right),$$B\left( \sqrt{m+1}\,;\,-2m-1 \right),$$C\left( -\sqrt{m+1}\,;\,-2m-1 \right)$
Ta thấy $A\in Oy$, $B,C$đối xứng nhau qua $Oy$ nên tam giác $ABC$ cân tại $A$.
Do đó tam giác $ABC$vuông cân tại $A$ khi và chỉ khi tam giác $ABC$vuông tại $A$$\Leftrightarrow \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=0$.
$\overrightarrow{AB}=\left( \sqrt{m+1}\,;\,-{{\left( m+1 \right)}^{2}} \right),\,$$\overrightarrow{AC}=\left( -\sqrt{m+1}\,;\,-{{\left( m+1 \right)}^{2}} \right)$.
Vậy $m=0$ là giá trị cần tìm.
Chú ý có thể sử dụng điều kiện sau:
Gọi $H$ là trung điểm của đoạn thẳng $BC$ thì $H\left( 0\,;\,-2m-1 \right)$
Khi đó ba điểm cực trị lập thành tam giác vuông cân khi $AH=BH$$\Leftrightarrow \sqrt{{{\left( m+1 \right)}^{4}}}=\sqrt{m+1}$$\Leftrightarrow m=0$thỏa mãn $\left( * \right)$.
Cách 2:
Điều kiện để đồ thị hàm trùng phương $y=a{{x}^{4}}+b{{x}^{2}}+c$ có ba điểm cực trị là $ab<0$$\Leftrightarrow m>-1$
Khi đó ba điểm cực trị lập thành tam giác vuông cân khi: ${{b}^{3}}+8a=0$$\Leftrightarrow -8{{\left( m+1 \right)}^{3}}+8=0$$\Leftrightarrow m=0$.
Câu 5: Tìm số giá trị nguyên dương của tham số $m$ để hàm số $y=\left| 3{{x}^{4}}-4{{x}^{3}}-12{{x}^{2}}+m \right|$ có $5$ điểm cực trị.
Lời giải
Gọi $\left( C \right)$ là đồ thị hàm số $y=f\left( x \right)=3{{x}^{4}}-4{{x}^{3}}-12{{x}^{2}}+m$.
Tập xác định: $D=\mathbb{R}$.
Ta có ${f}’\left( x \right)=12{{x}^{3}}-12{{x}^{2}}-24x$.
Bảng biến thiên:
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy đồ thị $\left( C \right):y=f\left( x \right)=3{{x}^{4}}-4{{x}^{3}}-12{{x}^{2}}+m$ luôn có $3$ cực trị.
Do đó đồ thị $\left( H \right):\,\,y=\left| 3{{x}^{4}}-4{{x}^{3}}-12{{x}^{2}}+m \right|$ có $5$ điểm cực trị khi phương trình $y=f\left( x \right)$ có $2$ nghiệm phân biệt
Mà $m\in {{\mathbb{N}}^{*}}$$\Rightarrow m\in \left\{ 5;6;…;31 \right\}$
Vậy có $31-5+1=27$ giá trị $m$ thỏa yêu cầu bài.
Xem thêm:
Cách giải và bài tập mẫu tìm cực trị của hàm số chứa trị tuyệt đối