Tìm cực trị của hàm số chứa trị tuyệt đối là một dạng bài toán tương đối dễ thuộc chuyên đề Cực trị hàm số trong chương trình Toán 12. Sau đây Khoa Cử xin chia sẻ với các bạn cách tìm cực trị của hàm số có trị tuyệt đối nhanh – ngắn gọn – chính xác. Hãy cùng nhau tìm hiểu nhé!
I. CÁCH GIẢI
Bài toán: Đồ thị hàm số $y=\left| f(x) \right|$ có bao nhiêu điểm cực trị
(Áp dụng định nghĩa). $y=f(x)=\sqrt{{{f}^{2}}(x)}\Rightarrow {y}’=\frac{2f(x).{f}'(x)}{\sqrt{{{f}^{2}}(x)}}$
Số nghiệm của $\left( 1 \right)$chính là số giao điểm của đồ thị $y=f(x)$ và trục hoành $y=0$. Còn số nghiệm của $\left( 2 \right)$ là số cực trị của hàm số $y=f(x)$, dựa vào đồ thị suy ra $\left( 2 \right)$. Vậy tổng số nghiệm bội lẻ của $\left( 1 \right)$và $\left( 2 \right)$chính là số cực trị cần tìm.
II. BÀI TẬP MẪU
Câu 1:
Cho hàm số ${y = f ( x )}$có bảng biến thiên như sau.
Hàm số$y=f\left( \left| x-3 \right| \right)$có bao nhiêu điểm cực trị
A. $5$ B. $6$ C. $3$ D. $1$
Lời giải
Chọn C
$y=f\left( \left| x-3 \right| \right)\,\,\,\,\left( 1 \right)$, Đặt $t=|x-3|,\,t\ge 0$Thì (1) trở thành:${y = f ( t ) ( t \geq 0 )}$
Có $t=\sqrt{{{(x-3)}^{2}}}\Rightarrow t’=\frac{x-3}{\sqrt{{{(x-3)}^{2}}}}$
Có ${y _ { x } ^ { \prime } = t _ { x } ^ { \prime } f ^ { \prime } ( t )}$
Lấy x=8 có $t'(8)f'(5)>0$, đạo hàm đổi dấu qua các nghiệm đơn nên ta có bảng biến thiên:
Dựa vào BBT thì hàm số$y=f\left( \left| x-3 \right| \right)$có 3 cực trị.
Câu 2:
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$để hàm số $y=\left| 3{{x}^{4}}-4{{x}^{3}}-12{{x}^{2}}+{{m}^{2}} \right|$ có đúng 5 điểm cực trị?
A. $5$. B. $7$. C. $6$. D. $4$.
Lời giải
Xét hàm số $f(x)=3{{x}^{4}}-4{{x}^{3}}-12{{x}^{2}}+{{m}^{2}}$; ${f}'(x)=12{{x}^{3}}-12{{x}^{2}}-24x$
${f}'(x)=0\Leftrightarrow {{x}_{1}}=0;{{x}_{2}}=-1;{{x}_{3}}=2$. Suy ra, hàm số $y=f(x)$có 3 điểm cực trị.
$\Rightarrow $ Hàm số $y=\left| 3{{x}^{4}}-4{{x}^{3}}-12{{x}^{2}}+{{m}^{2}} \right|$ có 5 điểm cực trị khi đồ thị hàm số $y=f(x)$ cắt trục hoành tại 2 điểm phân biệt $\Leftrightarrow $$3{{x}^{4}}-4{{x}^{3}}-12{{x}^{2}}+{{m}^{2}}=0$ có 2 nghiệm phân biệt.
Phương trình $3{{x}^{4}}-4{{x}^{3}}-12{{x}^{2}}+{{m}^{2}}=0\Leftrightarrow -3{{x}^{4}}+4{{x}^{3}}+12{{x}^{2}}={{m}^{2}}$ (1).
Xét hàm số $g(x)=-3{{x}^{4}}+4{{x}^{3}}+12{{x}^{2}}$; ${g}'(x)=-12{{x}^{3}}+12{{x}^{2}}+24x$.
Bảng biến thiên:
Vậy $m\in \left\{ 3;4;5;-3;-4;-5 \right\}$.
Câu 3:
Hình vẽ bên là đồ thị của hàm số $y=f\left( x \right)$.
Gọi $S$ là tập hợp các giá trị nguyên dương của tham số $m$ để hàm số $y=\left| f\left( x-1 \right)+m \right|$ có $5$ điểm cực trị. Tổng giá trị tất cả các phần tử của $S$ bằng
A. $9$. B. $12$. C. $18$. D. $15$.
Lời giải
Nhận xét: Số giao điểm của $\left( C \right):y=f\left( x \right)$ với $Ox$ bằng số giao điểm của $\left( {{C}’} \right):y=f\left( x-1 \right)$ với $Ox$.
Vì $m>0$ nên $\left( {{{C}’}’} \right):y=f\left( x-1 \right)+m$ có được bằng cách tịnh tiến $\left( {{C}’} \right):y=f\left( x-1 \right)$ lên trên $m$ đơn vị.
TH1: $0<m<3$. Đồ thị hàm số có $7$ điểm cực trị. Loại.
TH2: $m=3$. Đồ thị hàm số có $5$ điểm cực trị. Nhận.
TH3: $3<m<6$. Đồ thị hàm số có $5$ điểm cực trị. Nhận.
TH4: $m\ge 6$. Đồ thị hàm số có $3$ điểm cực trị. Loại.
Vậy $3\le m<6$. Do $m\in {{\mathbb{Z}}^{*}}$ nên $m\in \left\{ 3;4;5 \right\}$.
Vậy tổng giá trị tất cả các phần tử của $S$ bằng $12$.
Câu 4:
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để hàm số $y=\left| 3{{x}^{4}}+4{{x}^{3}}-12{{x}^{2}}+\frac{m}{2} \right|$ có $7$ điểm cực trị?
A. $3$. B. $9$. C. $6$. D. $4$.
Lời giải
Ta có $y=\left| 3{{x}^{4}}+4{{x}^{3}}-12{{x}^{2}}+\frac{m}{2} \right|=\sqrt{{{\left( 3{{x}^{4}}+4{{x}^{3}}-12{{x}^{2}}+\frac{m}{2} \right)}^{2}}}$
$\Rightarrow {y}’=\frac{\left( 12{{x}^{3}}+12{{x}^{2}}-24x \right)\left( 3{{x}^{4}}+4{{x}^{3}}-12{{x}^{2}}+\frac{m}{2} \right)}{\sqrt{{{\left( 3{{x}^{4}}+4{{x}^{3}}-12{{x}^{2}}+\frac{m}{2} \right)}^{2}}}}$
Vậy để hàm số có $7$ điểm cực trị thì (2) phải có bốn nghiệm phân biệt khác $\left\{ 0;1;-2 \right\}$.
Để (2) có $4$ nghiệm phân biệt thì $f\left( x \right)$ cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt
Vậy có $9$ giá trị nguyên của tham số $m$ để hàm số $y=\left| 3{{x}^{4}}+4{{x}^{3}}-12{{x}^{2}}+\frac{m}{2} \right|$ có $7$ điểm cực trị.
Câu 5:
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để hàm số $y=\left| {{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+m \right|$ có $5$ điểm cực trị?
A. $5$. B. $3$. C. $6$. D. $4$.
Lời giải
Hàm số $y=\left| {{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+m \right|$ có $5$ điểm cực trị $\Leftrightarrow $ đồ thị hàm số $y={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+m$ có hai điểm cực trị và nằm về hai phía của trục hoành $\Leftrightarrow $ phương trình ${{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+m=0\text{ }\left( 1 \right)$ có ba nghiệm phân biệt.
Xét bbt của hàm số $y={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}$
Từ đó ta được $\left( 1 \right)$ có ba nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow -4<-m<0\Leftrightarrow 0<m<4$. Vậy có $3$ giá trị nguyên của $m$ thỏa mãn.
Câu 6:
Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ có đạo hàm ${f}’\left( x \right)=\left( {{x}^{3}}-2{{x}^{2}} \right)\left( {{x}^{3}}-2x \right)$ với mọi $x\in \mathbb{R}$. Hàm số $\left| f\left( 1-2021x \right) \right|$ có nhiều nhất bao nhiêu điểm cực trị?
A. $9$ B. $2018$. C. $2022$. D. $11$.
Lời giải
Ta có ${f}’\left( x \right)={{x}^{3}}\left( x-2 \right)\left( {{x}^{2}}-2 \right)=0$ có $4$ nghiệm và đổi dấu $4$ lần nên hàm số $y=f\left( x \right)$ có $4$ cực trị. Suy ra $f\left( x \right)=0$ có tối đa $5$ nghiệm phân biệt.
Do đó $y=\left| f\left( 1-2021x \right) \right|$ có tối đa $9$ cực trị.
Câu 7:
Hình vẽ bên là đồ thị của hàm số $y=f\left( x \right)$. Gọi $S$ là tập hợp các giá trị nguyên dương của tham số $m$ để đồ thị hàm số $y=\left| f\left( x-2 \right)+m \right|$ có $5$ điểm cực trị. Tổng giá trị tất cả các phần tử của $S$ bằng
A. $15$. B. $18$. C. $9$. D. $12$.
Lời giải
Cách 1: dùng đồ thị.
– Nhận thấy: số giao điểm của $\left( C \right):y=f\left( x \right)$ với $Ox$ bằng số giao điểm của $\left( {{C}_{1}} \right):y=f\left( x-2 \right)$ với $Ox$.
Vì $m>0$ nên $\left( {{C}_{2}} \right):y=f\left( x-2 \right)+m$ có được bằng cách tịnh tiến $\left( {{C}_{1}} \right):y=f\left( x-2 \right)$ lên trên $m$ đơn vị.
– Đồ thị hàm số $y=\left| f\left( x-2 \right)+m \right|$ có được bằng cách lấy đối xứng qua trục hoành $Ox$ phần đồ thị $\left( {{C}_{2}} \right)$ nằm phía dưới trục $Ox$ và giữ nguyên phần phía trên trục $Ox$.
– Ta xét các trường hợp sau: 
+ Trường hợp 1: $0<m<3$: đồ thị hàm số có 7 điểm cực trị (loại).
+ Trường hợp 2: $m=3$: đồ thị hàm số có 5 điểm cực trị (thỏa mãn).
+ Trường hợp 3: $3<m<6$: đồ thị hàm số có 5 điểm cực trị (thỏa mãn).
+ Trường hợp 4: $m\ge 6$: đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị (loại).
Vậy $3\le m<6$ Do $m\in \mathbb{Z}_{+}^{*}$ nên $m\in \left\{ 3;4;5 \right\}$ hay $S=\left\{ 3;4;5 \right\}$.
Vậy tổng giá trị tất cả các phần tử của $S$ bằng $12$.
* Cách 2: đạo hàm hàm số hợp.
– Ta có: $y=\left| f\left( x-2 \right)+m \right|$$=\sqrt{{{\left[ f\left( x-2 \right)+m \right]}^{2}}}$$\Rightarrow {y}’=\frac{\left( f\left( x-2 \right)+m \right).{f}’\left( x-2 \right)}{\sqrt{{{\left[ f\left( x-2 \right)+m \right]}^{2}}}}$
– Xét ${f}’\left( x-2 \right)=0$ $\left( 1 \right)$
+ Do phương trình ${f}’\left( x \right)=0$ có $3$ nghiệm phân biệt nên phương trình ${f}’\left( x-2 \right)=0$ cũng có $3$ nghiệm phân biệt.
– Xét $f\left( x-2 \right)+m=0$$\Leftrightarrow f\left( x-2 \right)=-m$ $\left( 2 \right)$
+ Nếu $-6<-m<-3$$\Leftrightarrow 3<m<6$ thì phương trình $\left( 2 \right)$ có $2$ nghiệm phân biệt khác $3$ nghiệm của $\left( 1 \right)$.
+ Nếu $-m=-3$$\Leftrightarrow m=3$ thì $\left( 2 \right)$ có $3$ nghiệm phân biệt (trong đó có $2$ nghiệm đơn khác $3$ nghiệm của $\left( 1 \right)$ và $1$ nghiệm kép trùng với $1$ nghiệm của $\left( 1 \right)$)
Tóm lại : với $3\le m<6$ thì hai phương trình $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$ có tất cả $5$ nghiệm bội lẻ phân biệt và ${y}’$ đổi dấu khi $x$ đi qua các nghiệm đó, hay đồ thị hàm số $y=\left| f\left( x-2 \right)+m \right|$ có $5$ điểm cực trị.
– Lại do $m\in \mathbb{Z}_{+}^{*}$ nên $m\in \left\{ 3;4;5 \right\}$ hay $S=\left\{ 3;4;5 \right\}$.
Vậy tổng giá trị tất cả các phần tử của $S$ bằng $12$.
Câu 8:
Hàm số $f\left( x \right)$ có đạo hàm ${f}’\left( x \right)$ trên $\mathbb{R}$. Hình vẽ bên là đồ thị của hàm số ${f}’\left( x \right)$ trên $\mathbb{R}$.
Hỏi hàm số $y=f\left( \left| x \right| \right)+2018$ có bao nhiêu điểm cực trị?
A. $5$ B. $3$. C. $2$. D. $4$.
Lời giải
Cách 1: Từ đồ thị hàm số của ${f}’\left( x \right)$ ta thấy $f\left( x \right)$ có hai cực trị dương nên hàm số $y=f\left( \left| x \right| \right)$ lấy đối xứng phần đồ thị hàm số bên phải trục tung qua trục tung ta được bốn cực trị, cộng thêm giao điểm của đồ thị hàm số $y=f\left( \left| x \right| \right)+2018$ với trục tung nữa ta được tổng cộng là $5$ cực trị.
Cách 2: Ta có: $y=f\left( \left| x \right| \right)+2018=f\left( \sqrt{{{x}^{2}}} \right)+2018$.
Đạo hàm: ${y}’={f}’\left( \sqrt{{{x}^{2}}} \right){{\left( \sqrt{{{x}^{2}}} \right)}^{\prime }}=\frac{x}{\sqrt{{{x}^{2}}}}.\,{f}’\left( \left| x \right| \right)$.
Từ đồ thị hàm số của ${f}’\left( x \right)$ suy ra ${f}’\left( x \right)$ cùng dấu với $\left( x-{{x}_{1}} \right)\left( x-{{x}_{2}} \right)\left( x-{{x}_{3}} \right)$ với ${{x}_{1}}<0$, $0<{{x}_{2}}<{{x}_{3}}$.
Suy ra: ${f}’\left( \left| x \right| \right)$ cùng dấu với $\left( \left| x \right|-{{x}_{1}} \right)\left( \left| x \right|-{{x}_{2}} \right)\left( \left| x \right|-{{x}_{3}} \right)$.
Do $\left| x \right|-{{x}_{1}}>0$ nên ${y}’={f}’\left( \sqrt{{{x}^{2}}} \right){{\left( \sqrt{{{x}^{2}}} \right)}^{\prime }}=\frac{x}{\sqrt{{{x}^{2}}}}{f}’\left( \left| x \right| \right)$ cùng dấu với $\left( \left| x \right|-{{x}_{2}} \right)\left( \left| x \right|-{{x}_{3}} \right).\,\frac{x}{\sqrt{{{x}^{2}}}}$.
Vậy hàm số $y=f\left( \left| x \right| \right)+2018$ có $5$ cực trị.
Xem thêm: