I. LÝ THUYẾT
Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số
Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ có xác định trên một khoảng vô hạn
là khoảng có một trong các dạng $(a,+\infty )$; $(-\infty ,a)$; $(-\infty ,+\infty )$.Đường thẳng $y={{y}_{0}}$ được gọi là đường TCN (hay TCN) của đồ thị nếu thỏa mãn ít nhất một trong các điều kiện sau:
$\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,f(x)={{y}_{0}}$; $\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,f(x)={{y}_{0}}$
Lưu ý:
- i) Hàm $y=\frac{ax+b}{cx+d}$ với $ac\ne 0$ có tiệm cận đứng $x=-\frac{d}{c}$ ; tiệm cận ngang $y=\frac{a}{c}$.
- ii) Hàm $y=\frac{f\left( x \right)}{g\left( x \right)}$ với $f\left( x \right),\,\,g\left( x \right)$ là những hàm đa thức
+) Nếu bậc tử nhỏ hơn bậc mẫu thì có tiệm cận ngang $y=0$.
+) Nếu bậc tử bằng bậc mẫu thì có tiệm cận ngang $y=\frac{{{a}_{n}}}{{{b}_{n}}}$ với ${{a}_{n}},\,\,{{b}_{n}}$ là hệ số của lũy thừa cao nhất trên tử và dưới mẫu.
+) Nếu bậc tử lớn hơn bậc mẫu thì không có tiệm cận ngang.
iii) Ứng dụng máy tính CASIO để tìm tiệm cận đứng hoặc tiệm cận ngang
Để tìm tiệm cận đứng hoặc tiệm cận ngang của một hàm số thông qua máy tính CASIO, ta sử dụng phím CALC trên máy.
Một số lưu ý về kết quả và cách bấm:
| Giới hạn | Thao tác trên máy tính |
| $x\to x_{o}^{+}$ | CALC ${{x}_{o}}+{{10}^{-10}}$ |
| $x\to x_{o}^{-}$ | CALC ${{x}_{o}}-{{10}^{-10}}$ |
| $x\to +\infty $ | CALC ${{10}^{10}}$ |
| $x\to -\infty $ | CALC $-{{10}^{10}}$ . |
II. BÀI TẬP
Câu 1: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ xác định, liên tục trên $\mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}$ và có bảng biến thiên như sau:
Tìm phương trình đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho?
Lời giải
Tập xác định: $D=\mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}$.
Ta có $\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=2;\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=2$. Do đó $y=2$ là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
Câu 2: Cho hàm số bậc ba $y=f(x)$ có đồ thị như hình vẽ bên.
Tìm số đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y=g(x)=\frac{(x+1)({{x}^{2}}-1)}{{{f}^{2}}(x)-2f(x)}$.
Dựa vào đồ thị hàm số,ta thấy:
$(1)\,$có nghiệm${{x}_{1}}=a<-1$ (nghiệm đơn) và ${{x}_{2}}=1$ (nghiệm kép)$\Rightarrow f(x)=k(x-a){{(x-1)}^{2}}\left( k\ne 0 \right)$
$(2)$ có nghiệm ba nghiệm đơn ${{x}_{1}},\text{ }{{x}_{2}},\text{ }{{x}_{3}}$với ${{x}_{1}}=b<-1<{{x}_{2}}=0<1<{{x}_{3}}=c$ $\Rightarrow f(x)-2=k(x-b)x(x-c)\text{ }\left( k\ne 0 \right).$
$\Rightarrow $Hàm số $y=g(x)$có tập xác định $D=\mathbb{R}\backslash \left\{ a;\,b;\,0;\,1;\,c \right\}$
Vì $g(x)=\frac{(x+1)({{x}^{2}}-1)}{{{f}^{2}}(x)-2f(x)}=\frac{(x+1)({{x}^{2}}-1)}{f(x)\left[ f(x)-2 \right]}=\frac{{{(x+1)}^{2}}}{{{k}^{2}}(x-1)(x-b)x(x-c)(x-a)}$ nên$\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,g\left( x \right)=0,$$\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,g\left( x \right)=0$$\Rightarrow $Đồ thị hàm số $y=g(x)$ nhận đường thẳng $y=0$ làm tiệm cận ngang.
Câu 3: Cho hàm số $y=f\left( x \right)=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d$, $\left( a\ne 0 \right)$ có đồ thị như hình dưới đây
Tìm số đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y=g\left( x \right)=\frac{\left( {{x}^{2}}+2x-3 \right)\sqrt{x}}{\left( {{x}^{2}}-x \right)\left[ {{\left( f\left( x \right) \right)}^{2}}+f\left( x \right) \right]}$ .
Lời giải
Trước hết, ta cần tìm $x\ge 0$ để $\left( {{x}^{2}}-x \right)\left[ {{\left( f\left( x \right) \right)}^{2}}+f\left( x \right) \right]=0$.
Ta có:
Từ đồ thị hàm số $y=f\left( x \right)$ ta thấy
Vậy hàm số $y=g\left( x \right)$ có tập xác định là $D=\left( 0;+\infty \right)\backslash \left\{ \beta ;1;2;\gamma \right\}.$
Khi đó ta có
$y=g\left( x \right)=\frac{\left( x-1 \right)\left( x+3 \right)\sqrt{x}}{x\left( x-1 \right)f\left( x \right)\left[ f\left( x \right)+1 \right]}=\frac{x+3}{\sqrt{x}a\left( x-\alpha \right){{\left( x-2 \right)}^{2}}a\left( x+1 \right)\left( x-\beta \right)\left( x-\gamma \right)}$
$=\frac{x+3}{{{a}^{2}}\sqrt{x}\left( x+1 \right){{\left( x-2 \right)}^{2}}\left( x-\alpha \right)\left( x-\beta \right)\left( x-\gamma \right)}$
Ta có $\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,g\left( x \right)=0$ (do bậc của tử nhỏ hơn bậc của mẫu)$\Rightarrow y=0$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y=g\left( x \right)$.
Câu 4: Tìm tham số m để đồ thì hàm số $y=\frac{(m+1)x-5m}{2x-m}$ có tiệm cận ngang là đường thẳng $y=1$.
Lời giải
Ta có:
Tiệm cận ngang của hàm số $y=\frac{(m+1)x-5m}{2x-m}$ là:
$y=$$\underset{x\to \pm \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{(m+1)x-5m}{2x-m}=\frac{m+1}{2}=1$$\Leftrightarrow $$m=1$.
Vậy $m=1$.
Câu 5: Tính tổng bình phương tất cả các giá trị của $m$ để đồ thị hàm số $y=\sqrt{2{{x}^{2}}-3x+5}+mx-6$ có tiệm cận ngang.
Lời giải
Có $\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,y=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\left[ \sqrt{2{{x}^{2}}-3x+5}-\sqrt{2}x+\left( m+\sqrt{2} \right)x-6 \right]$
$=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\left[ \frac{-3x+5}{\sqrt{2{{x}^{2}}-3x+5}+\sqrt{2}x}-6+\left( m+\sqrt{2} \right)x \right]$
Vậy đồ thị hàm số có tiệm cận ngang khi $x\to +\infty \Leftrightarrow m+\sqrt{2}=0\Leftrightarrow m=-\sqrt{2}$
(do $\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( \frac{-3x+5}{\sqrt{2{{x}^{2}}-3x+5}+\sqrt{2}x}-6 \right)=\frac{-3}{2\sqrt{2}}-6$ hữu hạn)
Có $\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,y=\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\left[ \sqrt{2{{x}^{2}}-3x+5}+\sqrt{2}x+\left( m-\sqrt{2} \right)x-6 \right]$
$=\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\left[ \frac{-3x+5}{\sqrt{2{{x}^{2}}-3x+5}-\sqrt{2}x}-6+\left( m-\sqrt{2} \right)x \right]$
Vậy đồ thị hàm số có tiệm cận ngang khi $x\to -\infty \Leftrightarrow m-\sqrt{2}=0\Leftrightarrow m=\sqrt{2}$
(do $\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( \frac{-3x+5}{\sqrt{2{{x}^{2}}-3x+5}-\sqrt{2}x}-6 \right)=\frac{3}{2\sqrt{2}}-6$ hữu hạn)
Vậy tổng bình phương tất cả các giá trị của $m$ thỏa mãn bằng ${{\left( -\sqrt{2} \right)}^{2}}+{{\left( \sqrt{2} \right)}^{2}}=4$.
Câu 6: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ xác định, liên tục trên $\mathbb{R}$và có bảng biến thiên như sau :
Tìm số tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $g\left( x \right)=\frac{3}{f\left( {{x}^{3}}+x+1 \right)-1}$ .
Lời giải
Từ bảng biến thiên ta thấy
Lập bảng biến thiên của hàm số $h(x)={{x}^{3}}+x+1$ ta thấy với $a<-1$ thì phương trình ${{x}^{3}}+x+1=a$ có nghiệm duy nhất ${{x}_{0}}<-1$
Suy ra hàm số $y=g\left( x \right)$ có tập xác định là $D=\mathbb{R}\backslash \left\{ 0;{{x}_{0}} \right\},\text{ }{{x}_{0}}<-1$.
Đặt $t={{x}^{3}}+x+1$. Khi $x\to +\infty $ thì $t\to +\infty $ và khi $x\to -\infty $ thì $t\to -\infty $.
Do đó, $\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,f\left( {{x}^{3}}+x+1 \right)=\underset{t\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,f\left( t \right)=-\infty \Rightarrow \underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,g(x)=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{3}{f\left( {{x}^{3}}+x+1 \right)-1}=0.$
$\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,f\left( {{x}^{3}}+x+1 \right)=\underset{t\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,f\left( t \right)=+\infty \Rightarrow \underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,g(x)=\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{3}{f\left( {{x}^{3}}+x+1 \right)-1}=0.$
Suy ra đồ thị hàm số $y=g\left( x \right)$ có 1 tiệm cận ngang đó là đường thẳng $y=0$.
Câu 7: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ là hàm đa thức liên tục trên $\mathbb{R}$ và có đồ thị như hình dưới đây
Tìm số đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y=g\left( x \right)=\frac{\sqrt{f\left( x \right)}}{f\left( x \right)-1}$ .
Lời giải
Hàm số $y=g\left( x \right)$ có tập xác định là $D=\left[ -4;a \right)\cup \left( a;b \right)\cup \left( b;-1 \right]\cup \left[ 2;c \right)\cup \left( c;+\infty \right).$
Ta có $\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,g\left( x \right)=0$ (do bậc của tử nhỏ hơn bậc của mẫu)$\Rightarrow y=0$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y=g\left( x \right)$.
Câu 8: Cho hàm số $y=f(x)$ thỏa mãn $\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,f(x)=2019m$,$\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,f(x)=2020{{m}^{4}}$ . Hỏi có tất cả bao nhiêu giá trị của $m$ để đồ thị của hàm số $y=f(x)$ có duy nhất một tiệm cận ngang?
Lời giải
Đồ thị hàm số $y=f\left( x \right)$ có duy nhất một tiệm cận ngang
Vậy có 2 giá trị của $m$ thỏa bài toán
Xem thêm: