I. LÝ THUYẾT
Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
Đường thẳng $x={{x}_{0}}$ được gọi là đường tiệm cận đúng
(TCĐ) của đồ thị hàm số $y=f\left( x \right)$ nếu thỏa mãn ít nhất
một trong các điều kiện sau:
$\underset{x\to x_{0}^{+}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=+\infty $; $\underset{x\to x_{0}^{+}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=-\infty $
$\underset{x\to x_{0}^{-}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=+\infty $; $\underset{x\to x_{0}^{-}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=-\infty $
Lưu ý:
- i) Hàm $y=\frac{ax+b}{cx+d}$ với $ac\ne 0$ có tiệm cận đứng $x=-\frac{d}{c}$ ; tiệm cận ngang $y=\frac{a}{c}$.
- ii) Hàm $y=\frac{f\left( x \right)}{g\left( x \right)}$ với $f\left( x \right),\,\,g\left( x \right)$ là những hàm đa thức
+) Nếu bậc tử nhỏ hơn bậc mẫu thì có tiệm cận ngang $y=0$.
+) Nếu bậc tử bằng bậc mẫu thì có tiệm cận ngang $y=\frac{{{a}_{n}}}{{{b}_{n}}}$ với ${{a}_{n}},\,\,{{b}_{n}}$ là hệ số của lũy thừa cao nhất trên tử và dưới mẫu.
+) Nếu bậc tử lớn hơn bậc mẫu thì không có tiệm cận ngang.
iii) Ứng dụng máy tính CASIO để tìm tiệm cận đứng hoặc tiệm cận ngang
Để tìm tiệm cận đứng hoặc tiệm cận ngang của một hàm số thông qua máy tính CASIO, ta sử dụng phím CALC trên máy.
Một số lưu ý về kết quả và cách bấm:
| Giới hạn | Thao tác trên máy tính |
| $x\to x_{o}^{+}$ | CALC ${{x}_{o}}+{{10}^{-10}}$ |
| $x\to x_{o}^{-}$ | CALC ${{x}_{o}}-{{10}^{-10}}$ |
| $x\to +\infty $ | CALC ${{10}^{10}}$ |
| $x\to -\infty $ | CALC $-{{10}^{10}}$ . |
II. BÀI TẬP
Câu 1:
Cho hàm số $f\left( x \right)=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+{{d}^{{}}}\left( a,b,c,d\in R \right)$ có đồ thị như hình vẽ.
Đồ thị hàm số $g\left( x \right)=\frac{\left( {{x}^{2}}+4x+3 \right)\sqrt{{{x}^{2}}+x}}{{{\left( f\left( x \right) \right)}^{2}}-2f\left( x \right)}$ có bao nhiêu đường tiệm cận đứng?
Lời giải
Ta có $g\left( x \right)=\frac{\left( {{x}^{2}}+4x+3 \right)\sqrt{{{x}^{2}}+x}}{{{\left( f\left( x \right) \right)}^{2}}-2f\left( x \right)}=\frac{\left( x+1 \right)\left( x+3 \right)\sqrt{x(x+1)}}{{{\left( f\left( x \right) \right)}^{2}}-2f\left( x \right)}$,
trong đó $x=-3$ là nghiệm nghiệm kép, nên mẫu sẽ có nhân tử ${{\left( x+3 \right)}^{2}}$ do đó $x=-3$ là một tiệm cận đứng.
ba nghiệm này là nghiệm đơn, nên $f\left( x \right)-2=k\left( x+1 \right)\left( x-{{x}_{2}} \right)\left( x-{{x}_{3}} \right)$, ta thấy trong $g\left( x \right)$ thì $\left( x+1 \right)$ sẽ bị rút gọn nên có thêm $x={{x}_{2}}\in \left( -3;-1 \right)$ và $x={{x}_{3}}\in \left( -\infty ;-3 \right)$ là tiệm cận đứng.
Vậy tóm lại đồ thị có 3 tiệm cận đứng là $x=-3;x={{x}_{2}};x={{x}_{3}}$.
Câu 2:
Cho hàm số $f\left( x \right)=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d$ là hàm số đa thức với hệ số thực, có đồ thị $(C)$ như hình vẽ bên.
Tìm số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $g\left( x \right)=\frac{\left( {{x}^{2}}-3x+2 \right)\sqrt{x-1}}{\left( x+1 \right)\left[ {{f}^{2}}\left( x \right)-f\left( x \right) \right]}$ .
Lời giải
Điều kiện: $x\ge 1$
Dựa vào đồ thị, ta có
Hàm số có tập xác định $D=\left( 1;+\infty \right)\backslash \left\{ {{x}_{1}};{{x}_{2}};2 \right\}$.
$g\left( x \right)=\frac{\left( x-1 \right)\left( x-2 \right)\sqrt{x-1}}{\left( x+1 \right)a(x-1)(x-{{x}_{1}})(x-{{x}_{2}})a(x-{{x}_{3}}){{(x-2)}^{2}}}=$$\frac{\sqrt{x-1}}{{{a}^{2}}\left( x+1 \right)(x-{{x}_{1}})(x-{{x}_{2}})(x-{{x}_{3}})(x-2)}$
Tại các điểm $x={{x}_{1}},\text{ }x=2,\text{ }x={{x}_{2}}$ mẫu của $g\left( x \right)$ nhận giá trị bằng $0$còn tử nhận các giá trị dương. Và do hàm số xác định trên mỗi khoảng $\left( 1;{{x}_{1}} \right),\text{ }\left( {{x}_{1}};2 \right),\text{ }\left( 2;{{x}_{2}} \right),\text{ }\left( {{x}_{2}};+\infty \right)$ nên giới hạn một bên của hàm số $y=g\left( x \right)$tại các điểm $x={{x}_{1}},\text{ }x=2,\text{ }x={{x}_{2}}$ là các giới hạn vô cực.
Do đó, đồ thị hàm số $y=g\left( x \right)$có 3 tiệm cận đứng, đó là các đường thẳng $x={{x}_{1}},\text{ }x=2,\text{ }x={{x}_{2}}$.
Vậy đồ thị hàm số $y=g\left( x \right)$có 3 đường tiệm cận đứng.
Câu 3:
Cho hàm số bậc ba $y=f(x)$ có đồ thị như hình vẽ bên.
Tìm số đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y=g(x)=\frac{(x+1)({{x}^{2}}-1)}{{{f}^{2}}(x)-2f(x)}$.
Dựa vào đồ thị hàm số,ta thấy:
$(1)\,$có nghiệm${{x}_{1}}=a<-1$ (nghiệm đơn) và ${{x}_{2}}=1$ (nghiệm kép)$\Rightarrow f(x)=k(x-a){{(x-1)}^{2}}\left( k\ne 0 \right)$
$(2)$ có nghiệm ba nghiệm đơn ${{x}_{1}},\text{ }{{x}_{2}},\text{ }{{x}_{3}}$với ${{x}_{1}}=b<-1<{{x}_{2}}=0<1<{{x}_{3}}=c$ $\Rightarrow f(x)-2=k(x-b)x(x-c)\text{ }\left( k\ne 0 \right).$
$\Rightarrow $Hàm số $y=g(x)$có tập xác định $D=\mathbb{R}\backslash \left\{ a;\,b;\,0;\,1;\,c \right\}$
Tại các điểm $x=a,\text{ }x=b,\text{ }x=0,\text{ }x=1,\text{ }x=c$ mẫu của $g\left( x \right)$ nhận giá trị bằng $0$còn tử nhận các giá trị dương. Và do hàm số xác định trên $D=\mathbb{R}\backslash \left\{ a;\,b;\,0;\,1;\,c \right\}$nên giới hạn một bên của hàm số $y=g\left( x \right)$tại các điểm $x=a,\text{ }x=b,\text{ }x=0,\text{ }x=1,\text{ }x=c$ là các giới hạn vô cực. Do đó, đồ thị hàm số $y=g\left( x \right)$có 5 tiệm cận đứng, đó là các đường thẳng $x=a,\text{ }x=b,\text{ }x=0,\text{ }x=1,\text{ }x=c$. Vậy đồ thị hàm số $y=g\left( x \right)$có 6 đường tiệm cận: 1 tiệm cận ngang $y=0$ và 5 tiệm cận đứng $x=a,\text{ }x=b,\text{ }x=0,\text{ }x=1,\text{ }x=c$.
Câu 4:
Cho hàm số $y=f\left( x \right)=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d$, $\left( a\ne 0 \right)$ có đồ thị như hình dưới đây
Tìm số đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y=g\left( x \right)=\frac{\left( {{x}^{2}}+2x-3 \right)\sqrt{x}}{\left( {{x}^{2}}-x \right)\left[ {{\left( f\left( x \right) \right)}^{2}}+f\left( x \right) \right]}$ .
Lời giải
Trước hết, ta cần tìm $x\ge 0$ để $\left( {{x}^{2}}-x \right)\left[ {{\left( f\left( x \right) \right)}^{2}}+f\left( x \right) \right]=0$.
Ta có:
Từ đồ thị hàm số $y=f\left( x \right)$ ta thấy
Vậy hàm số $y=g\left( x \right)$ có tập xác định là $D=\left( 0;+\infty \right)\backslash \left\{ \beta ;1;2;\gamma \right\}.$
Khi đó ta có
$y=g\left( x \right)=\frac{\left( x-1 \right)\left( x+3 \right)\sqrt{x}}{x\left( x-1 \right)f\left( x \right)\left[ f\left( x \right)+1 \right]}=\frac{x+3}{\sqrt{x}a\left( x-\alpha \right){{\left( x-2 \right)}^{2}}a\left( x+1 \right)\left( x-\beta \right)\left( x-\gamma \right)}$
$=\frac{x+3}{{{a}^{2}}\sqrt{x}\left( x+1 \right){{\left( x-2 \right)}^{2}}\left( x-\alpha \right)\left( x-\beta \right)\left( x-\gamma \right)}$
$g\left( x \right)=\frac{x+3}{{{a}^{2}}\sqrt{x}\left( x+1 \right){{\left( x-2 \right)}^{2}}\left( x-\alpha \right)\left( x-\beta \right)\left( x-\gamma \right)}$
Mẫu thức của $g\left( x \right)$ có 6 nghiệm phân biệt là $\alpha ;-1;0;\beta ;2;\gamma $.
* Tại $x=\alpha \in \left( -2;-1 \right)$và $x=-1$ các giới hạn một bên của $g\left( x \right)$ không tồn tại nên $x=\alpha ;x=-1$ không phải tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y=g\left( x \right)$.
* Tại $x=0$ ta có $\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,g\left( x \right)=\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{x+3}{{{a}^{2}}\sqrt{x}\left( x+1 \right){{\left( x-2 \right)}^{2}}\left( x-\alpha \right)\left( x-\beta \right)\left( x-\gamma \right)}=+\infty $ nên$x=0$ là một tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y=g\left( x \right)$.
* Tại $x=\beta ;x=2$ và $x=\gamma $ các giới hạn một bên của $g\left( x \right)$ đều là giới hạn vô cực (vì mẫu thức bằng 0 còn tử thức khác 0 tại các điểm đó) nên $x=\beta ;x=2$ và $x=\gamma $ là các tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y=g\left( x \right)$.
Vậy đồ thị hàm số $y=g\left( x \right)$ có $1$ đường tiệm cận ngang là$y=0$ và $4$ đường tiệm cận đứng là
$x=0;x=\beta ;x=2$ và $x=\gamma $.
Câu 5:
Tìm các giá trị thực của tham số $m$ để đồ thị hàm số $y=\frac{mx+7}{mx-1}$ có tiệm cận đứng đi qua điểm$A\left( 1;-2 \right)$.
Lời giải
Để đường tiệm cận đứng đi qua $A\left( 1;-2 \right)$ thì đường tiệm cận đứng phải có phương trình $x=1$.
Khi đó $x=1$ là nghiệm của $mx-1=0$. Suy ra $m=1$.
Thử lại: với $m=1$ thì đồ thị hàm số $y=\frac{x+7}{x-1}$ có đường tiệm cận đứng $x=1$ đi qua $A\left( 1;-2 \right)$.
Vậy $m=1$ là giá trị cần tìm.
Câu 6:
Cho hàm số $y=\frac{x-m}{{{x}^{2}}+3x-4}$ . Giá trị nào của $m$ để đồ thị hàm số đã cho có đúng 1 tiệm cận đứng?
Lời giải
Ta có: $y=\frac{x-m}{{{x}^{2}}+3x-4}=\frac{x-m}{\left( x-1 \right)\left( x+4 \right)}$ .
*) Với $m=1$
Thì $\underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{x-1}{\left( x-1 \right)\left( x+4 \right)}=\frac{1}{5}\,\,;\,\,\underset{x\to {{1}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{x-1}{\left( x-1 \right)\left( x+4 \right)}=\frac{1}{5}\,$ và $\underset{x\to -4+}{\mathop{\lim }}\,\frac{x-1}{\left( x-1 \right)\left( x+4 \right)}=+\infty $
$\Rightarrow $ Đồ thị hàm số có 1 tiệm cận đứng là $x=-4$
*) Với $m=-4$
Thì $\underset{x\to -{{4}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{x+4}{\left( x-1 \right)\left( x+4 \right)}=\frac{-1}{5}\,\,;\,\underset{x\to -{{4}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{x+4}{\left( x-1 \right)\left( x+4 \right)}=\frac{-1}{5}$ và $\underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{x+4}{\left( x-1 \right)\left( x+4 \right)}=+\infty $
$\Rightarrow $ Đồ thị hàm số có 1 tiệm cận đứng là $x=1$
*) Với $m\ne 1,-4$ thì đồ thị hàm số có 2 tiệm cận đứng là $x=1\,,\,\,x=-4$
Vậy $m=1,m=-4$ thì đồ thị hàm số đã cho có đúng $1$ tiệm cận đứng.
Câu 7:
Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ xác định, liên tục trên $\mathbb{R}$và có bảng biến thiên như sau :
Tìm số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $g\left( x \right)=\frac{3}{f\left( {{x}^{3}}+x+1 \right)-1}$ .
Lời giải
Từ bảng biến thiên ta thấy
Lập bảng biến thiên của hàm số $h(x)={{x}^{3}}+x+1$ ta thấy với $a<-1$ thì phương trình ${{x}^{3}}+x+1=a$ có nghiệm duy nhất ${{x}_{0}}<-1$
Suy ra hàm số $y=g\left( x \right)$ có tập xác định là $D=\mathbb{R}\backslash \left\{ 0;{{x}_{0}} \right\},\text{ }{{x}_{0}}<-1$.
$g\left( x \right)=\frac{3}{f\left( {{x}^{3}}+x+1 \right)-1}$
Tại xác điểm $x=0,\text{ }x={{x}_{0}}$ mẫu của $g\left( x \right)$ nhận giá trị bằng $0$còn tử luôn nhận giá trị bằng 3. Và do hàm số xác định trên mỗi khoảng $\left( -\infty ;{{x}_{0}} \right),\text{ }\left( {{x}_{0}};0 \right),\text{ }\left( 0;+\infty \right)$nên giới hạn một bên của hàm số $y=g\left( x \right)$tại các điểm $x=0,\text{ }x={{x}_{0}}$ là các giới hạn vô cực.
Do đó, đồ thị hàm số $y=g\left( x \right)$có hai tiệm cận đứng, đó là các đường thẳng $x=0,\text{ }x={{x}_{0}}$
Vậy đồ thị hàm số $y=g\left( x \right)$có 3 đường tiệm cận: 1 tiệm cận ngang $y=0$và 2 tiệm cận đứng
$x=0,\text{ }x={{x}_{0}}$.
Câu 8:
Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ là hàm đa thức liên tục trên $\mathbb{R}$ và có đồ thị như hình dưới đây
Tìm số đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y=g\left( x \right)=\frac{\sqrt{f\left( x \right)}}{f\left( x \right)-1}$ .
Lời giải
Hàm số $y=g\left( x \right)$ có tập xác định là $D=\left[ -4;a \right)\cup \left( a;b \right)\cup \left( b;-1 \right]\cup \left[ 2;c \right)\cup \left( c;+\infty \right).$
Mẫu thức của $g\left( x \right)$ có 3 nghiệm phân biệt là $a;b;c$, và tại các điểm này các giới hạn một bên của $g\left( x \right)$ đều là giới hạn vô cực (vì mẫu thức bằng 0 còn tử thức khác 0 tại các điểm đó) nên $x=a;x=b;x=c$ là các tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y=g\left( x \right)$.
Vậy đồ thị hàm số $y=g\left( x \right)$ có $1$ đường tiệm cận ngang là$y=0$ và $3$ đường tiệm cận đứng là
$x=a;x=b;x=c$.
Xem thêm: