Bài viết sau đây giới thiệu đến các bạn bài tập mẫu các dạng bài tập tích phân, cách tính tích phân, khối đa diện và các bài tập mẫu để các bạn tham khảo. Khoa Cử hy vọng với những chia sẻ này sẽ hỗ trợ bạn đọc học tốt phần các dạng bài tập về tích phân môn Toán lớp 12!
I. LÝ THUYẾT
Định nghĩa: Cho hàm số $f$ liên tục trên khoảng $K$ và $a,b$ là hai số bất kì thuộc $K$. Nếu $F$ là một nguyên hàm của $f$ trên $K$ thì hiệu số $F\left( b \right)-F\left( a \right)$ được gọi là tích phân của hàm số $f$ từ $a$ đến $b$ và kí hiệu là $\int\limits_{a}^{b}{f\left( x \right)\text{d}x}$.
Ta gọi: $a$ là cận dưới, $b$ là cận trên, $f$ là hàm số dưới dấu tích phân, $f\left( x \right)\text{d}x$ là biểu thức dưới dấu tích phân, $x$biến số lấy tích phân.
Nhận xét :
- a) Nếu $a<b$ thì ta gọi $\int\limits_{a}^{b}{f\left( x \right)\text{d}x}$ là tích phân của $f$ trên đoạn $\left[ a;b \right].$
- b) Hiệu số $F\left( b \right)-F\left( a \right)$ còn được kí hiệu là $F\left( x \right)\left| _{a}^{b} \right.$. Khi đó : $\int\limits_{a}^{b}{f\left( x \right)}\text{d}x=F\left( x \right)\left| _{a}^{b} \right.=F\left( b \right)-F\left( a \right).$
- c) Tích phân không phụ thuộc biến số (điều này sẽ mang lại lợi ích cho ta để tính một số tích phân đặc biệt), tức là $\int\limits_{a}^{b}{f\left( x \right)}\text{d}x=\int\limits_{a}^{b}{f\left( t \right)}\text{d}t=\int\limits_{a}^{b}{f\left( u \right)}\text{d}u=…=F\left( b \right)-F\left( a \right).$
Tính chất: Cho $k$ là hằng số
e) Tính chất chèn cận: $\,\int\limits_{a}^{b}{f(x)}dx=\,\,\int\limits_{a}^{c}{f(x)}dx+\int\limits_{c}^{b}{f(x)dx}$ (chèn cận $c$)
II. BÀI TẬP MẪU
CÂU 1:
Chứng minh $F\left( x \right)=\frac{1}{ad-bc}\ln \left| \frac{ax+b}{cx+d} \right|$ là một nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right)=\frac{1}{\left( ax+b \right)\left( cx+d \right)}$. Từ đó tính tích phân $I=\int\limits_{0}^{1}{\frac{1}{\left( 2x+1 \right)\left( x+1 \right)}}\text{d}x.$
Lời giải
Ta có:
${F}’\left( x \right)=\frac{1}{ad-bc}{{\left( \ln \left| ax+b \right|-\ln \left| cx+d \right| \right)}^{\prime }}=\frac{1}{ad-bc}\left( \frac{a}{ax+b}-\frac{c}{cx+d} \right)=\frac{1}{\left( ax+b \right)\left( cx+d \right)}=f\left( x \right).$
Do đó:
$I=\int\limits_{0}^{1}{\frac{1}{\left( 2x+1 \right)\left( x+1 \right)}}\text{d}x=\left. \frac{1}{2-1}\ln \left| \frac{2x+1}{x+1} \right| \right|_{0}^{1}=\ln \frac{3}{2}-\ln 1=\ln \frac{3}{2}$.
CÂU 2:
Tính các tích phân sau:
$I=\int\limits_{0}^{1}{\left( 4{{x}^{3}}-{{e}^{x}} \right)\text{d}x=}b)\,I=\int\limits_{1}^{2}{\left( {{3}^{x}}-\frac{1}{x} \right)\text{d}x}c)\,I=\int\limits_{0}^{\pi }{\left( \sin x+2\cos x \right)}\text{d}x$
Lời giải
$a)\,I=\int\limits_{0}^{1}{\left( 4{{x}^{3}}-{{e}^{x}} \right)dx=}\left. {{x}^{4}} \right|_{0}^{1}-\left. {{e}^{x}} \right|_{0}^{1}=1-\left( e-1 \right)=2-e.$$b)\,I=\int\limits_{1}^{2}{\left( {{3}^{x}}-\frac{1}{x} \right)\text{d}x}=\left. \frac{{{3}^{x}}}{\ln 3} \right|_{1}^{2}-\left. \ln \left| x \right| \right|_{1}^{2}=\frac{1}{\ln 3}\left( 9-3 \right)-\ln 2=\frac{6}{\ln 3}-\ln 2.$
$c)\,I=\int\limits_{0}^{\pi }{\left( \sin x+2\cos x \right)}\text{d}x=\left. -\cos x \right|_{0}^{\pi }+\left. 2\sin x \right|_{0}^{\pi }=2.$
CÂU 3:
Tính các tích phân:
$a)\,I=\int\limits_{0}^{2}{\left| x-1 \right|\text{d}x}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,b)\,I=\int\limits_{0}^{3}{\left| {{x}^{2}}-x \right|\text{d}x}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,c)\,\int\limits_{-4}^{2}{\left| {{x}^{2}}+2x-3 \right|\text{d}x}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,d)\int\limits_{-2}^{2}{\left| 2x-\left| x+1 \right| \right|\text{d}x}$
Lời giải
$a)\,I=\int\limits_{0}^{2}{\left| x-1 \right|\text{d}x}=\int\limits_{0}^{1}{\left| x-1 \right|\text{d}x}+\int\limits_{1}^{2}{\left| x-1 \right|\text{d}x}=-\int\limits_{0}^{1}{\left( x-1 \right)\text{d}x}+\int\limits_{1}^{2}{\left( x-1 \right)\text{d}x}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1.$
Suy ra:
$I=\int\limits_{-4}^{-3}{\left( {{x}^{2}}+2x-3 \right)\text{d}x}-\int\limits_{-3}^{1}{\left( {{x}^{2}}+2x-3 \right)\text{d}x}+\int\limits_{1}^{2}{\left( {{x}^{2}}+2x-3 \right)\text{d}x}=\frac{7}{3}+\frac{32}{3}+\frac{7}{3}=\frac{46}{3}.$
d) Xét trên khoảng $\left( -2;2 \right)$ ta có: $x+1=0\Leftrightarrow x=-1$
Suy ra:
$I=\int\limits_{-2}^{1}{\left| 2x+x+1 \right|\text{d}x}+\int\limits_{1}^{2}{\left| 2x-x-1 \right|\text{d}x}=\int\limits_{-2}^{1}{\left| 3x+1 \right|\text{d}x}+\int\limits_{1}^{2}{\left| x-1 \right|\text{d}x}={{I}_{1}}+{{I}_{2}}$
Ta có:
${{I}_{1}}=\int\limits_{-2}^{1}{\left| 3x+1 \right|\text{d}x}=-\int\limits_{-2}^{-\frac{1}{3}}{\left( 3x+1 \right)\text{d}x}+\int\limits_{-\frac{1}{3}}^{1}{\left( 3x+1 \right)\text{d}x}=\frac{41}{6}.$
${{I}_{2}}=\int\limits_{1}^{2}{\left| x-1 \right|\text{d}x}=\int\limits_{1}^{2}{\left( x-1 \right)\text{d}x}=\frac{1}{2}.$
Vậy: $I=\frac{41}{6}+\frac{1}{2}=\frac{22}{3}.$
CÂU 4:
Tính ${I=\int\limits_{-1}^{1}{\max \left\{ {{e}^{x}};{{2}^{x}} \right\}}\text{d}x.}$
Lời giải
Xét trên khoảng $\left( -1;1 \right)$, ta có: ${{e}^{x}}-{{2}^{x}}=0\Leftrightarrow x=0$
BXD:
Ta có:
${{e}^{x}}-{{2}^{x}}<0$với mọi $x\in \left( -1;0 \right)$ nên $\max \left\{ x;{{x}^{2}} \right\}={{2}^{x}}.$
${{e}^{x}}-{{2}^{x}}>0$với mọi $x\in \left( 0;1 \right)$ nên $\max \left\{ x;{{x}^{2}} \right\}={{e}^{x}}.$
Suy ra:
$I=\int\limits_{-1}^{0}{\max \left\{ {{e}^{x}};{{2}^{x}} \right\}}\text{d}x+\int\limits_{0}^{1}{\max \left\{ {{e}^{x}};{{2}^{x}} \right\}}\text{d}x=\int\limits_{-1}^{0}{{{2}^{x}}}\text{d}x+\int\limits_{0}^{1}{{{e}^{x}}}\text{d}x=\left. \frac{{{2}^{x}}}{\ln 2} \right|_{-1}^{0}+\left. {{e}^{x}} \right|_{0}^{1}=\frac{1}{2\ln 2}+e-1.$
CÂU 5:
Cho hàm số $g\left( x \right)=\int\limits_{\sqrt{x}}^{{{x}^{2}}}{\sqrt{t}\sin t\text{d}t}$ xác định với $x>0$. Tìm ${g}’\left( x \right)$.
Lời giải
Gọi $F\left( t \right)$ là một nguyên hàm của hàm số $f\left( t \right)=\sqrt{t}\sin t$. Suy ra: ${F}’\left( t \right)=f\left( t \right).$
Ta có:
$g\left( x \right)=\int\limits_{\sqrt{x}}^{{{x}^{2}}}{f\left( t \right)\text{d}t}=\left. F\left( t \right) \right|_{\sqrt{x}}^{{{x}^{2}}}=F\left( {{x}^{2}} \right)-F\left( \sqrt{x} \right)\,\,\,\,\,\left( * \right).$
Lấy đạo hàm hai vế của (*) theo biến $x$ ta được:
${g}’\left( x \right)=2x.{F}’\left( {{x}^{2}} \right)-\frac{1}{2\sqrt{x}}{F}’\left( \sqrt{x} \right)$$\Leftrightarrow {g}’\left( x \right)=2x.f\left( {{x}^{2}} \right)-\frac{1}{2\sqrt{x}}f\left( \sqrt{x} \right)$
$\Leftrightarrow {g}’\left( x \right)=2x.x\sin {{x}^{2}}-\frac{1}{2\sqrt{x}}\sqrt[4]{x}\sin \sqrt{x}$$\Leftrightarrow {g}’\left( x \right)=2{{x}^{2}}\sin {{x}^{2}}-\frac{1}{2\sqrt[4]{x}}\sin \sqrt{x}.$
CÂU 6:
Tính các tích phân sau
Lời giải
$a)\,I=\int\limits_{1}^{2}{\frac{1}{{{x}^{3}}+x}\text{.}\left( 3{{x}^{2}}+1 \right)\text{d}x}$
Đặt $t={{x}^{3}}+x\Rightarrow \text{d}t=\left( 3{{x}^{2}}+1 \right)\text{d}x$.
Đổi cận: $x=1\Rightarrow t=2$; $x=2\Rightarrow t=10$.
Suy ra: $I=\int\limits_{2}^{10}{\frac{1}{t}\text{d}t}=\left. \ln \left| t \right| \right|_{2}^{10}=\ln 5.$
$b)\,I=\int\limits_{\frac{{{\pi }^{2}}}{4}}^{{{\pi }^{2}}}{\sin \left( \sqrt{x}-\frac{\pi }{4} \right)\frac{1}{\sqrt{x}}\text{d}x}$
Đặt $t=\sqrt{x}-\frac{\pi }{4}\Rightarrow \text{d}t=\frac{1}{2\sqrt{x}}\text{d}x\Rightarrow 2\text{d}t=\frac{1}{\sqrt{x}}\text{d}x$.
Đổi cận: $x=\frac{{{\pi }^{2}}}{4}\Rightarrow t=\frac{\pi }{4}$; $x={{\pi }^{2}}\Rightarrow t=\frac{3\pi }{4}$.
Suy ra: $I=\int\limits_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{3\pi }{4}}{2\sin t\text{d}t}=\left. -2\cos t \right|_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{3\pi }{4}}=2\sqrt{2}.$
$c)\,I=\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{{{e}^{x-\cos x}}\left( 1+\sin x \right)\text{d}x}$
Đặt $t=x-\cos x\Rightarrow \text{d}t=\left( 1+\sin x \right)\text{d}x$.
Đổi cận: $x=0\Rightarrow t=-1$; $x=\frac{\pi }{2}\Rightarrow t=\frac{\pi }{2}$.
Suy ra: $I=\int\limits_{-1}^{\frac{\pi }{2}}{{{\text{e}}^{t}}\text{d}t}={{e}^{\frac{\pi }{2}}}-{{e}^{-1}}.$
$d)\,I=\int\limits_{0}^{1}{\frac{2}{{{({{x}^{2}}+3x+1)}^{2017}}}\left( 2x+3 \right)\text{d}x}$
Đặt $t={{x}^{2}}+3x+1\Rightarrow \text{d}t=\left( 2x+3 \right)\text{d}x$.
Đổi cận: $x=0\Rightarrow t=1$; $x=1\Rightarrow t=5$.
Suy ra: $I=\int\limits_{1}^{5}{\frac{2}{{{t}^{2017}}}\text{d}t}=\left. -\frac{1}{1008}\frac{1}{{{t}^{2016}}} \right|_{1}^{5}=-\frac{1}{1008}\left( \frac{1}{{{5}^{2016}}}-1 \right).$
$e)\,I=\int\limits_{0}^{1}{\sqrt{{{x}^{2}}+4}\text{.}x\text{d}x}$
Đặt $t=\sqrt{{{x}^{2}}+4}\Rightarrow {{t}^{2}}={{x}^{2}}+4\Rightarrow t\text{d}t=x\text{d}x$.
Đổi cận: $x=0\Rightarrow t=2$; $x=1\Rightarrow t=\sqrt{5}$.
Suy ra: $I=\int\limits_{2}^{\sqrt{5}}{{{t}^{2}}\text{d}t}=\left. \frac{{{t}^{3}}}{3} \right|_{2}^{\sqrt{5}}=\frac{5\sqrt{5}-8}{3}.$
$f)\,I=\int\limits_{0}^{1}{{{\left( x-1 \right)}^{2017}}\left( x+1 \right)\text{d}x}$
Đặt $t=x-1\Rightarrow \text{d}t=\text{d}x$ và $x=t+1$.
Đổi cận: $x=0\Rightarrow t=-1$; $x=1\Rightarrow t=0$.
Suy ra: $I=\int\limits_{-1}^{0}{{{t}^{2017}}\left( t+2 \right)\text{d}t}=\int\limits_{-1}^{0}{\left( {{t}^{2018}}\text{+2}{{\text{t}}^{2017}} \right)\text{d}t}=\left. \frac{{{t}^{2019}}}{2019} \right|_{-1}^{0}+\left. \frac{{{t}^{2018}}}{1009} \right|_{-1}^{0}=\frac{1}{2019}-\frac{1}{1009}.$
$g)\,I=\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{4}}{{{e}^{\tan x}}.\frac{1}{{{\cos }^{2}}x}\text{d}x}$
Đặt $t=\tan x\Rightarrow \text{d}t=\frac{1}{{{\cos }^{2}}x}\text{d}x$.
Đổi cận: $x=0\Rightarrow t=0$; $x=\frac{\pi }{4}\Rightarrow t=1$.
Suy ra: $I=\int\limits_{0}^{1}{{{e}^{t}}\text{d}t}=e-1.$
$h)\,\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{{{\sin }^{3}}x.\cos x\text{d}x}$
Đặt $t=\sin x\Rightarrow \text{d}t=\cos x\text{d}x$.
Đổi cận: $x=0\Rightarrow t=0$; $x=\frac{\pi }{2}\Rightarrow t=1$.
Suy ra: $I=\int\limits_{0}^{1}{{{\text{t}}^{3}}\text{d}t}=\frac{1}{4}.$
$i)\,I=\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{\frac{x\cos x}{\cos x+x\sin x}\text{d}x}$
Đặt $t=\cos x+x\sin x\Rightarrow \text{d}t=x\cos x\text{d}x$.
Đổi cận: $x=0\Rightarrow t=1$; $x=\frac{\pi }{2}\Rightarrow t=\frac{\pi }{2}$.
Suy ra: $I=\int\limits_{1}^{\frac{\pi }{2}}{\frac{1}{t}\text{d}t}=\ln \frac{\pi }{2}.$
CÂU 7:
Tính các tích phân sau:
Lời giải
$a)I=\int\limits_{0}^{1}{\frac{1}{1+{{x}^{2}}}dx}$
Đặt $x=\tan t,\,\,t\in \left( -\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2} \right)\Rightarrow \text{d}x=\left( 1+{{\tan }^{2}}t \right)\text{d}t$
Đổi cận: $x=0\Rightarrow t=0$; $x=1\Rightarrow t=\frac{\pi }{4}$.
Suy ra:
$I=\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{4}}{\frac{1}{1+{{\tan }^{2}}t}.\left( 1+{{\tan }^{2}}t \right)\text{d}t}=\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{4}}{\text{d}t}=\frac{\pi }{4}$.
$\,b)I=\int\limits_{0}^{1}{\frac{1}{{{x}^{2}}+3}dx}$
Đặt $x=\sqrt{3}\tan t,\,\,t\in \left( -\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2} \right)\Rightarrow \text{d}x=\sqrt{3}\left( 1+{{\tan }^{2}}t \right)\text{d}t$
Đổi cận: $x=0\Rightarrow t=0$; $x=1\Rightarrow t=\frac{\pi }{6}$.
Suy ra:
$I=\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{6}}{\frac{1}{3+3{{\tan }^{2}}t}.\sqrt{3}\left( 1+{{\tan }^{2}}t \right)\text{d}t}=\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{6}}{\frac{1}{\sqrt{3}}\text{d}t}=\frac{\pi }{6\sqrt{3}}$.
$c)\,I=\int\limits_{0}^{1}{\frac{1}{3+{{\left( 2x+1 \right)}^{2}}}dx}$
Đặt $2x+1=\sqrt{3}\tan t,\,\,t\in \left( -\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2} \right)\Rightarrow 2\text{d}x=\sqrt{3}\left( 1+{{\tan }^{2}}t \right)\text{d}t\Rightarrow \text{d}x=\frac{\sqrt{3}}{2}\left( 1+{{\tan }^{2}}t \right)\text{d}t$
Đổi cận: $x=0\Rightarrow t=\frac{\pi }{6}$; $x=1\Rightarrow t=\frac{\pi }{3}$.
Suy ra:
$I=\int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{3}}{\frac{1}{3+3{{\tan }^{2}}t}.\frac{\sqrt{3}}{2}\left( 1+{{\tan }^{2}}t \right)\text{d}t}=\int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{3}}{\frac{1}{2\sqrt{3}}\text{d}t}=\frac{\pi }{12\sqrt{3}}$.
$d)I=\int\limits_{0}^{1}{\frac{{{x}^{3}}}{{{x}^{8}}+1}dx\,}$
Đặt ${{x}^{4}}=\tan t,\,\,t\in \left( -\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2} \right)\Rightarrow 4{{x}^{3}}\text{d}x=\left( 1+{{\tan }^{2}}t \right)\text{d}t\Rightarrow {{x}^{3}}\text{d}x=\frac{1}{4}\left( 1+{{\tan }^{2}}t \right)\text{d}t$
Đổi cận: $x=0\Rightarrow t=0$; $x=1\Rightarrow t=\frac{\pi }{4}$.
Suy ra:
$I=\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{4}}{\frac{1}{1+{{\tan }^{2}}t}.\frac{1}{4}\left( 1+{{\tan }^{2}}t \right)\text{d}t}=\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{4}}{\frac{1}{4}\text{d}t}=\frac{\pi }{16}$.
$e)I=\int\limits_{0}^{1}{\sqrt{1-{{x}^{2}}}dx}$
Đặt $x=\sin t,\,\,t\in \left[ -\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2} \right]\Rightarrow \text{d}x=\cos t\text{d}t$
Đổi cận: $x=0\Rightarrow t=0$; $x=1\Rightarrow t=\frac{\pi }{2}$.
Suy ra:
$I=\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{\sqrt{1-{{\sin }^{2}}x}\text{.cos}t\text{d}t}=\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{\text{co}{{\text{s}}^{2}}t\text{d}t}=\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{\frac{1+\cos 2t}{2}\text{d}t}=\left. \frac{1}{2}t \right|_{0}^{\frac{\pi }{2}}+\left. \frac{1}{4}\sin 2t \right|_{0}^{\frac{\pi }{2}}=\frac{\pi }{4}.$
$f)\,I=\int\limits_{0}^{1}{\sqrt{-4{{x}^{2}}+4x+1}\text{d}x}=\int\limits_{0}^{1}{\sqrt{2-{{\left( 2x-1 \right)}^{2}}}\text{d}x}$
Đặt $2x-1=\sqrt{2}\sin t,\,\,t\in \left[ -\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2} \right]\Rightarrow \text{d}x=\frac{1}{\sqrt{2}}\cos t\text{d}t$
Đổi cận: $x=0\Rightarrow t=-\frac{\pi }{4}$; $x=1\Rightarrow t=\frac{\pi }{4}$.
Suy ra:
$I=\int\limits_{-\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{4}}{\sqrt{2-2{{\sin }^{2}}x}\text{.}\frac{1}{\sqrt{2}}\text{cos}t\text{d}t}=\int\limits_{-\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{4}}{\text{co}{{\text{s}}^{2}}t\text{d}t}=\int\limits_{-\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{4}}{\frac{1+\cos 2t}{2}\text{d}t}=\left. \frac{1}{2}t \right|_{-\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{4}}+\left. \frac{1}{4}\sin 2t \right|_{-\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{4}}=\frac{\pi }{4}+\frac{1}{2}.$
$g)I=\int\limits_{0}^{1}{\sqrt{2x-{{x}^{2}}}\text{d}x}=\int\limits_{0}^{1}{\sqrt{1-{{\left( x-1 \right)}^{2}}}\text{d}x}$
Đặt $x-1=\sin t,\,\,t\in \left[ -\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2} \right]\Rightarrow \text{d}x=\cos t\text{d}t$
Đổi cận: $x=0\Rightarrow t=-\frac{\pi }{2}$; $x=1\Rightarrow t=0$.
Suy ra:
$I=\int\limits_{-\frac{\pi }{2}}^{0}{\sqrt{1-{{\sin }^{2}}x}\text{.cos}t\text{d}t}=\int\limits_{-\frac{\pi }{2}}^{0}{\text{co}{{\text{s}}^{2}}t\text{d}t}=\int\limits_{-\frac{\pi }{2}}^{0}{\frac{1+\cos 2t}{2}\text{d}t}=\left. \frac{1}{2}t \right|_{-\frac{\pi }{2}}^{0}+\left. \frac{1}{4}\sin 2t \right|_{-\frac{\pi }{2}}^{0}=\frac{\pi }{4}.$
$h)I=\int\limits_{\frac{2}{\sqrt{3}}}^{2}{\frac{1}{x\sqrt{{{x}^{2}}-1}}\text{d}x}$
Đặt $x=\frac{1}{\sin t},\,\,t\in \left[ -\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2} \right]\backslash \left\{ 0 \right\}\Rightarrow \text{d}x=\frac{-\cos t}{{{\sin }^{2}}t}\text{d}t$
Đổi cận: $x=\frac{2}{\sqrt{3}}\Rightarrow t=\frac{\pi }{3}$; $x=2\Rightarrow t=\frac{\pi }{6}$.
Suy ra:
$I=\int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{3}}{\frac{\sin t}{\sqrt{\frac{1}{{{\sin }^{2}}t}-1}}\frac{\text{cos}t}{{{\sin }^{2}}t}\text{d}t}=\int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{3}}{\text{d}t}=\frac{\pi }{6}.$
CÂU 8:
Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ có đạo hàm liên tục trên đoạn $\left[ a;b \right]$. Chứng minh rằng: $I=\int\limits_{a}^{b}{\left[ {f}’\left( x \right)+f\left( x \right) \right]{{e}^{x}}\text{d}x}=f\left( b \right).{{e}^{b}}-f\left( a \right){{e}^{a}}$
Lời giải
Cách 1:
Ta có:
$I=\int\limits_{a}^{b}{\left[ {f}’\left( x \right)+f\left( x \right) \right]{{e}^{x}}\text{d}x}=\int\limits_{a}^{b}{{f}’\left( x \right){{e}^{x}}\text{d}x}+\int\limits_{a}^{b}{f\left( x \right){{e}^{x}}\text{d}x}=J+\int\limits_{a}^{b}{f\left( x \right){{e}^{x}}\text{d}x}$
Tính $J=\int\limits_{a}^{b}{{f}’\left( x \right){{e}^{x}}\text{d}x}$
Suy ra:
$J=\left. f\left( x \right){{e}^{x}} \right|_{a}^{b}-\int\limits_{a}^{b}{f\left( x \right){{e}^{x}}\text{d}x}$
Do đó:
$I=J+\int\limits_{a}^{b}{f\left( x \right){{e}^{x}}\text{d}x}=\left. f\left( x \right){{e}^{x}} \right|_{a}^{b}=f\left( b \right){{e}^{b}}-f\left( a \right){{e}^{a}}$
Cách 2:
Ta có: ${{\left( f\left( x \right){{e}^{x}} \right)}^{\prime }}={f}’\left( x \right){{e}^{x}}+f\left( x \right){{e}^{x}}=\left[ {f}’\left( x \right)+f\left( x \right) \right]{{e}^{x}}$
Do đó:
$I=\int\limits_{a}^{b}{{{\left( f\left( x \right){{e}^{x}} \right)}^{\prime }}\text{d}x}=\left. f\left( x \right){{e}^{x}} \right|_{a}^{b}=f\left( b \right){{e}^{b}}-f\left( a \right){{e}^{a}}.$
CÂU 9:
Cho hàm số $f\left( x \right)$ nhận giá trị dương, có đạo hàm liên tục trên $\left[ 0;2 \right].$ Biết $f\left( 0 \right)=1$ và $f\left( x \right)f\left( 2-x \right)={{e}^{2{{x}^{2}}-4x}}$ với mọi $x\in \left[ 0;2 \right].$ Tính tích phân $I=\int\limits_{0}^{2}{\frac{\left( {{x}^{3}}-3{{x}^{2}} \right)f’\left( x \right)}{f\left( x \right)}\text{d}x}.$
Lời giải
Từ giả thiết $f\left( x \right)f\left( 2-x \right)={{e}^{2{{x}^{2}}-4x}}\xrightarrow{x=2}f\left( 2 \right)=1.$
Ta có $J=\int\limits_{0}^{2}{\left( {{x}^{2}}-2x \right)\ln \left| f\left( x \right) \right|\text{d}x}\text{ }\overset{x=2-t}{\mathop{=}}\,\text{ }\int\limits_{2}^{0}{\left[ {{\left( 2-t \right)}^{2}}-2\left( 2-t \right) \right]\ln \left| f\left( 2-t \right) \right|\text{d}\left( 2-t \right)}$
$=\int\limits_{2}^{0}{\left[ {{\left( 2-x \right)}^{2}}-2\left( 2-x \right) \right]\ln \left| f\left( 2-x \right) \right|\text{d}\left( 2-x \right)}=\int\limits_{0}^{2}{\left( {{x}^{2}}-2x \right)\ln \left| f\left( 2-x \right) \right|\text{d}x}.$
Suy ra $2J=\int\limits_{0}^{2}{\left( {{x}^{2}}-2x \right)\ln \left| f\left( x \right) \right|\text{d}x}+\int\limits_{0}^{2}{\left( {{x}^{2}}-2x \right)\ln \left| f\left( 2-x \right) \right|\text{d}x}=\int\limits_{0}^{2}{\left( {{x}^{2}}-2x \right)\ln \left| f\left( x \right)f\left( 2-x \right) \right|\text{d}x}$
$=\int\limits_{0}^{2}{\left( {{x}^{2}}-2x \right)\ln {{e}^{2{{x}^{2}}-4x}}\text{d}x}=\int\limits_{0}^{2}{\left( {{x}^{2}}-2x \right)\left( 2{{x}^{2}}-4x \right)\text{d}x}=\frac{32}{15}\xrightarrow{{}}J=\frac{16}{15}.$
Vậy $I=-3J=-\frac{16}{5}.$
Câu 10:
Biết $\int\limits_{0}^{\pi }{\frac{x{{\sin }^{2018}}x}{{{\sin }^{2018}}x+{{\cos }^{2018}}x}\text{d}x}=\frac{{{\pi }^{a}}}{b}$ với $a,b\in {{\mathbb{Z}}^{+}}.$ Tính $P=2a+b.$
Lời giải
Gọi $I=\int\limits_{0}^{\pi }{\frac{x{{\sin }^{2018}}x}{{{\sin }^{2018}}x+{{\cos }^{2018}}x}\text{d}x}$
Khi đó $I=-\int\limits_{\pi }^{0}{\frac{\left( \pi -t \right){{\sin }^{2018}}\left( \pi -t \right)}{{{\sin }^{2018}}\left( \pi -t \right)+{{\cos }^{2018}}\left( \pi -t \right)}\text{d}t}=\int\limits_{0}^{\pi }{\frac{\left( \pi -t \right){{\sin }^{2018}}t}{{{\sin }^{2018}}t+{{\cos }^{2018}}t}\text{d}t}=\int\limits_{0}^{\pi }{\frac{\left( \pi -x \right){{\sin }^{2018}}x}{{{\sin }^{2018}}x+{{\cos }^{2018}}x}\text{d}x}.$
Suy ra $2I=\int\limits_{0}^{\pi }{\frac{x{{\sin }^{2018}}x}{{{\sin }^{2018}}x+{{\cos }^{2018}}x}\text{d}x}+\int\limits_{0}^{\pi }{\frac{\left( \pi -x \right){{\sin }^{2018}}x}{{{\sin }^{2018}}x+{{\cos }^{2018}}x}\text{d}x}=\int\limits_{0}^{\pi }{\frac{\pi {{\sin }^{2018}}x}{{{\sin }^{2018}}x+{{\cos }^{2018}}x}\text{d}x}$
$\xrightarrow{{}}I=\frac{\pi }{2}\int\limits_{0}^{\pi }{\frac{{{\sin }^{2018}}x}{{{\sin }^{2018}}x+{{\cos }^{2018}}x}\text{d}x}=\frac{\pi }{2}\left[ \int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{\frac{{{\sin }^{2018}}x}{{{\sin }^{2018}}x+{{\cos }^{2018}}x}\text{d}x}+\int\limits_{\frac{\pi }{2}}^{\pi }{\frac{{{\sin }^{2018}}x}{{{\sin }^{2018}}x+{{\cos }^{2018}}x}\text{d}x} \right].$
Đặt $x=u+\frac{\pi }{2}$ ta suy ra $\int\limits_{\frac{\pi }{2}}^{\pi }{\frac{{{\sin }^{2018}}x}{{{\sin }^{2018}}x+{{\cos }^{2018}}x}\text{d}x}=\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{\frac{{{\cos }^{2018}}u}{{{\sin }^{2018}}u+{{\cos }^{2018}}u}\text{d}u}=\int\limits_{\frac{\pi }{2}}^{\pi }{\frac{{{\cos }^{2018}}x}{{{\sin }^{2018}}x+{{\cos }^{2018}}x}\text{d}x}.$
Câu 11:
Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ liên tục trên $\left[ 0;1 \right]$ và thỏa mãn ${{x}^{2}}f\left( x \right)+f\left( 1-x \right)=2x-{{x}^{4}}.$ Tính tích phân $I=\int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right)\text{d}x}.$
Lời giải
Từ giả thiết, thay $x$ bằng $1-x$ ta được ${{\left( 1-x \right)}^{2}}f\left( 1-x \right)+f\left( x \right)=2\left( 1-x \right)-{{\left( 1-x \right)}^{4}}$
$\Leftrightarrow \left( {{x}^{2}}-2x+1 \right)f\left( 1-x \right)+f\left( x \right)=1+2x-6{{x}^{2}}+4{{x}^{3}}-{{x}^{4}}.$ $\left( 1 \right)$
Ta có ${{x}^{2}}f\left( x \right)+f\left( 1-x \right)=2x-{{x}^{4}}\xrightarrow{{}}f\left( 1-x \right)=2x-{{x}^{4}}-{{x}^{2}}f\left( x \right)$. Thay vào $\left( 1 \right)$ ta được
$\left( {{x}^{2}}-2x+1 \right)\left[ 2x-{{x}^{4}}-{{x}^{2}}f\left( x \right) \right]+f\left( x \right)=1+2x-6{{x}^{2}}+4{{x}^{3}}-{{x}^{4}}$
$\Leftrightarrow \left( 1-{{x}^{2}}+2{{x}^{3}}-{{x}^{4}} \right)f\left( x \right)={{x}^{6}}-2{{x}^{5}}+2{{x}^{3}}-2{{x}^{2}}+1$
Câu 12:
Cho hàm số $f\left( x \right)$ thỏa $f\left( x \right){f}’\left( x \right)=3{{x}^{5}}+6{{x}^{2}}.$ Biết rằng $f\left( 0 \right)=2,$ tính${{f}^{2}}\left( 2 \right).$
Lời giải
Từ giả thiết ta có $\int\limits_{{}}^{{}}{f\left( x \right).{f}’\left( x \right)\text{d}x}=\int\limits_{{}}^{{}}{\left( 3{{x}^{5}}+6{{x}^{2}} \right)\text{d}x}\Leftrightarrow \frac{{{f}^{2}}\left( x \right)}{2}=\frac{{{x}^{6}}}{2}+2{{x}^{3}}+C.$
Thay $x=0$ vào hai vế, ta được $\frac{{{f}^{2}}\left( 0 \right)}{2}=C\Rightarrow C=2.$
Suy ra ${{f}^{2}}\left( x \right)={{x}^{6}}+4{{x}^{3}}+4\xrightarrow{{}}{{f}^{2}}\left( 2 \right)={{2}^{6}}+{{4.2}^{3}}+4=100.$
Câu 13:
Cho hàm số $f\left( x \right)$ có đạo hàm trên $\mathbb{R},$ thỏa mãn $f’\left( x \right)-2018f\left( x \right)=2018{{x}^{2017}}{{e}^{2018x}}$ với mọi $x\in \mathbb{R}$ và $f\left( 0 \right)=2018.$ Tính giá trị $f\left( 1 \right).$
Lời giải
Nhân hai vế cho ${{e}^{-2018x}}$ để thu được đạo hàm đúng, ta được
${f}’\left( x \right){{e}^{-2018x}}-2018f\left( x \right){{e}^{-2018x}}=2018{{x}^{2017}}\Leftrightarrow {{\left[ f\left( x \right){{e}^{-2018x}} \right]}^{\prime }}=2018{{x}^{2017}}.$
Suy ra $f\left( x \right){{e}^{-2018x}}=\int\limits_{{}}^{{}}{2018{{x}^{2017}}\text{d}x}={{x}^{2018}}+C.$
Thay $x=0$ vào hai vế ta được $C=2018\xrightarrow{{}}f\left( x \right)=\left( {{x}^{2018}}+2018 \right){{e}^{2018x}}.$
Vậy $f\left( 1 \right)=2019{{e}^{2018}}.$
Câu 14:
Cho hàm số $f\left( x \right)$ liên tục trên $\left[ 0;\frac{\pi }{2} \right],$ thỏa $\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{\left[ {{f}^{2}}\left( x \right)-2\sqrt{2}f\left( x \right)\sin \left( x-\frac{\pi }{4} \right) \right]\text{d}x}=\frac{2-\pi }{2}.$ Tính tích phân $I=\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{f\left( x \right)\text{d}x}.$
Lời giải
Ta có $\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{2{{\sin }^{2}}\left( x-\frac{\pi }{4} \right)\text{d}x}=-\frac{2-\pi }{2}.$
Do đó giả thiết tương đương với $\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{\left[ {{f}^{2}}\left( x \right)-2\sqrt{2}f\left( x \right)\sin \left( x-\frac{\pi }{4} \right)+2{{\sin }^{2}}\left( x-\frac{\pi }{4} \right) \right]\text{d}x}=0$
$\Leftrightarrow \int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{{{\left[ f\left( x \right)-\sqrt{2}\sin \left( x-\frac{\pi }{4} \right) \right]}^{2}}\text{d}x}=0\Leftrightarrow f\left( x \right)-\sqrt{2}\sin \left( x-\frac{\pi }{4} \right)=0,\text{ }\forall x\in \left[ 0;\frac{\pi }{2} \right].$
Suy ra $f\left( x \right)=\sqrt{2}\sin \left( x-\frac{\pi }{4} \right)\xrightarrow{{}}I=\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{f\left( x \right)\text{d}x}=\sqrt{2}\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{\sin \left( x-\frac{\pi }{4} \right)\text{d}x}=0.$ Chọn A.
Câu 15:
Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ liên tục trên đoạn $\left[ 0;1 \right],$ thỏa mãn $\int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right)\text{d}x}=\int\limits_{0}^{1}{xf\left( x \right)\text{d}x}=1$ và $\int\limits_{0}^{1}{{{\left[ f\left( x \right) \right]}^{2}}\text{d}x}=4$. Giá trị của tích phân $\int\limits_{0}^{1}{{{\left[ f\left( x \right) \right]}^{3}}\text{d}x}$ bằng
Lời giải
Ở đây các hàm xuất hiện dưới dấu tích phân là ${{\left[ f\left( x \right) \right]}^{2}},\text{ }xf\left( x \right),\text{ }f\left( x \right)$ nên ta sẽ liên kết với bình phương ${{\left[ f\left( x \right)+\alpha x+\beta \right]}^{2}}.$
Với mỗi số thực $\alpha ,\text{ }\beta $ ta có $\int\limits_{0}^{1}{{{\left[ f\left( x \right)+\alpha x+\beta \right]}^{2}}\text{d}x}=\int\limits_{0}^{1}{{{\left[ f\left( x \right) \right]}^{2}}\text{d}x}+2\int\limits_{0}^{1}{\left( \alpha x+\beta \right)f\left( x \right)\text{d}x}+\int\limits_{0}^{1}{{{\left( \alpha x+\beta \right)}^{2}}\text{d}x}$
$=4+2\left( \alpha +\beta \right)+\frac{{{\alpha }^{2}}}{3}+\alpha \beta +{{\beta }^{2}}.$
Ta cần tìm $\alpha ,\text{ }\beta $ sao cho $\int\limits_{0}^{1}{{{\left[ f\left( x \right)+\alpha x+\beta \right]}^{2}}\text{d}x}=0$ hay $4+2\left( \alpha +\beta \right)+\frac{{{\alpha }^{2}}}{3}+\alpha \beta +{{\beta }^{2}}=0$
$\Leftrightarrow {{\alpha }^{2}}+\left( 3\beta +6 \right)\alpha +3{{\beta }^{2}}+6\beta +12=0.$ Để tồn tại $\alpha $ thì $\Delta ={{\left( 3\beta +6 \right)}^{2}}-4\left( 3{{\beta }^{2}}+6\beta +12 \right)\ge 0$
$\Leftrightarrow -3{{\beta }^{2}}+12\beta -12\ge 0\Leftrightarrow -3{{\left( \beta -2 \right)}^{2}}\ge 0\Leftrightarrow \beta =2\xrightarrow{{}}\alpha =-6.$
Vậy $\int\limits_{0}^{1}{{{\left[ f\left( x \right)-6x+2 \right]}^{2}}\text{d}x}=0\xrightarrow{{}}f\left( x \right)=6x-2,\text{ }\forall x\in \left[ 0;1 \right]\xrightarrow{{}}\int\limits_{0}^{1}{{{\left[ f\left( x \right) \right]}^{3}}\text{d}x}=10.$ Chọn C.
Xem thêm:
Ứng dụng tích phân trong thực tế
Cách giải và bài tập mẫu ứng dụng tích phân tính thể tích khối tròn xoay
Các dạng bài tập về nguyên hàm đầy đủ chi tiết nhất