Lý thuyết và bài tập mẫu tích phân

Bài viết sau đây giới thiệu đến các bạn lý thuyết và bài tập mẫu các dạng bài tập tích phân, cách tính tích phân, khối đa diện và các bài tập mẫu để các bạn tham khảo. Khoa Cử hy vọng với những chia sẻ này sẽ hỗ trợ bạn đọc học tốt phần các dạng bài tập về tích phân môn Toán lớp 12!

I. LÝ THUYẾT TÍCH PHÂN

Định nghĩa: Cho hàm số $f$ liên tục trên khoảng $K$ và $a,b$ là hai số bất kì thuộc $K$. Nếu $F$ là một nguyên hàm của $f$ trên $K$ thì hiệu số $F\left( b \right)-F\left( a \right)$ được gọi là tích phân của hàm số $f$ từ $a$ đến $b$ và kí hiệu là $\int\limits_{a}^{b}{f\left( x \right)\text{d}x}$.

Ta gọi: $a$ là cận dưới, $b$ là cận trên, $f$ là hàm số dưới dấu tích phân, $f\left( x \right)\text{d}x$ là biểu thức dưới dấu tích phân, $x$biến số lấy tích phân.

Nhận xét :

  • a) Nếu $a<b$ thì ta gọi $\int\limits_{a}^{b}{f\left( x \right)\text{d}x}$ là tích phân của $f$ trên đoạn $\left[ a;b \right].$
  • b) Hiệu số $F\left( b \right)-F\left( a \right)$ còn được kí hiệu là $F\left( x \right)\left| _{a}^{b} \right.$. Khi đó :     $\int\limits_{a}^{b}{f\left( x \right)}\text{d}x=F\left( x \right)\left| _{a}^{b} \right.=F\left( b \right)-F\left( a \right).$
  • c) Tích phân không phụ thuộc biến số (điều này sẽ mang lại lợi ích cho ta để tính một số tích phân đặc biệt), tức là $\int\limits_{a}^{b}{f\left( x \right)}\text{d}x=\int\limits_{a}^{b}{f\left( t \right)}\text{d}t=\int\limits_{a}^{b}{f\left( u \right)}\text{d}u=…=F\left( b \right)-F\left( a \right).$

Tính chất: Cho $k$ là hằng số

bài tập tích phân

e) Tính chất chèn cận: $\,\int\limits_{a}^{b}{f(x)}dx=\,\,\int\limits_{a}^{c}{f(x)}dx+\int\limits_{c}^{b}{f(x)dx}$ (chèn cận $c$)

II. BÀI TẬP MẪU TÍCH PHÂN

Câu 1: Tính tích phân

Chứng minh $F\left( x \right)=\frac{1}{ad-bc}\ln \left| \frac{ax+b}{cx+d} \right|$ là một nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right)=\frac{1}{\left( ax+b \right)\left( cx+d \right)}$. Từ đó tính tích phân $I=\int\limits_{0}^{1}{\frac{1}{\left( 2x+1 \right)\left( x+1 \right)}}\text{d}x.$

Lời giải

Ta có:

${F}’\left( x \right)=\frac{1}{ad-bc}{{\left( \ln \left| ax+b \right|-\ln \left| cx+d \right| \right)}^{\prime }}=\frac{1}{ad-bc}\left( \frac{a}{ax+b}-\frac{c}{cx+d} \right)=\frac{1}{\left( ax+b \right)\left( cx+d \right)}=f\left( x \right).$

Do đó:

$I=\int\limits_{0}^{1}{\frac{1}{\left( 2x+1 \right)\left( x+1 \right)}}\text{d}x=\left. \frac{1}{2-1}\ln \left| \frac{2x+1}{x+1} \right| \right|_{0}^{1}=\ln \frac{3}{2}-\ln 1=\ln \frac{3}{2}$.

Câu 2: Tính tích phân

Tính các tích phân sau:

$I=\int\limits_{0}^{1}{\left( 4{{x}^{3}}-{{e}^{x}} \right)\text{d}x=}b)\,I=\int\limits_{1}^{2}{\left( {{3}^{x}}-\frac{1}{x} \right)\text{d}x}c)\,I=\int\limits_{0}^{\pi }{\left( \sin x+2\cos x \right)}\text{d}x$

Lời giải

$a)\,I=\int\limits_{0}^{1}{\left( 4{{x}^{3}}-{{e}^{x}} \right)dx=}\left. {{x}^{4}} \right|_{0}^{1}-\left. {{e}^{x}} \right|_{0}^{1}=1-\left( e-1 \right)=2-e.$$b)\,I=\int\limits_{1}^{2}{\left( {{3}^{x}}-\frac{1}{x} \right)\text{d}x}=\left. \frac{{{3}^{x}}}{\ln 3} \right|_{1}^{2}-\left. \ln \left| x \right| \right|_{1}^{2}=\frac{1}{\ln 3}\left( 9-3 \right)-\ln 2=\frac{6}{\ln 3}-\ln 2.$

$c)\,I=\int\limits_{0}^{\pi }{\left( \sin x+2\cos x \right)}\text{d}x=\left. -\cos x \right|_{0}^{\pi }+\left. 2\sin x \right|_{0}^{\pi }=2.$

Câu 3: Tính tích phân

Tính các tích phân:

$a)\,I=\int\limits_{0}^{2}{\left| x-1 \right|\text{d}x}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,b)\,I=\int\limits_{0}^{3}{\left| {{x}^{2}}-x \right|\text{d}x}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,c)\,\int\limits_{-4}^{2}{\left| {{x}^{2}}+2x-3 \right|\text{d}x}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,d)\int\limits_{-2}^{2}{\left| 2x-\left| x+1 \right| \right|\text{d}x}$

Lời giải

$a)\,I=\int\limits_{0}^{2}{\left| x-1 \right|\text{d}x}=\int\limits_{0}^{1}{\left| x-1 \right|\text{d}x}+\int\limits_{1}^{2}{\left| x-1 \right|\text{d}x}=-\int\limits_{0}^{1}{\left( x-1 \right)\text{d}x}+\int\limits_{1}^{2}{\left( x-1 \right)\text{d}x}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1.$

cách tính tích phân

Suy ra:

$I=\int\limits_{-4}^{-3}{\left( {{x}^{2}}+2x-3 \right)\text{d}x}-\int\limits_{-3}^{1}{\left( {{x}^{2}}+2x-3 \right)\text{d}x}+\int\limits_{1}^{2}{\left( {{x}^{2}}+2x-3 \right)\text{d}x}=\frac{7}{3}+\frac{32}{3}+\frac{7}{3}=\frac{46}{3}.$

d) Xét trên khoảng $\left( -2;2 \right)$ ta có: $x+1=0\Leftrightarrow x=-1$

bài tập tích phân

Suy ra:

$I=\int\limits_{-2}^{1}{\left| 2x+x+1 \right|\text{d}x}+\int\limits_{1}^{2}{\left| 2x-x-1 \right|\text{d}x}=\int\limits_{-2}^{1}{\left| 3x+1 \right|\text{d}x}+\int\limits_{1}^{2}{\left| x-1 \right|\text{d}x}={{I}_{1}}+{{I}_{2}}$

Ta có:

${{I}_{1}}=\int\limits_{-2}^{1}{\left| 3x+1 \right|\text{d}x}=-\int\limits_{-2}^{-\frac{1}{3}}{\left( 3x+1 \right)\text{d}x}+\int\limits_{-\frac{1}{3}}^{1}{\left( 3x+1 \right)\text{d}x}=\frac{41}{6}.$

${{I}_{2}}=\int\limits_{1}^{2}{\left| x-1 \right|\text{d}x}=\int\limits_{1}^{2}{\left( x-1 \right)\text{d}x}=\frac{1}{2}.$

Vậy: $I=\frac{41}{6}+\frac{1}{2}=\frac{22}{3}.$

Câu 4: Tính tích phân

Tính ${I=\int\limits_{-1}^{1}{\max \left\{ {{e}^{x}};{{2}^{x}} \right\}}\text{d}x.}$

Lời giải

Xét trên khoảng $\left( -1;1 \right)$, ta có: ${{e}^{x}}-{{2}^{x}}=0\Leftrightarrow x=0$

BXD:

cách tính tích phân

Ta có:

${{e}^{x}}-{{2}^{x}}<0$với mọi $x\in \left( -1;0 \right)$ nên $\max \left\{ x;{{x}^{2}} \right\}={{2}^{x}}.$

${{e}^{x}}-{{2}^{x}}>0$với mọi $x\in \left( 0;1 \right)$ nên $\max \left\{ x;{{x}^{2}} \right\}={{e}^{x}}.$

Suy ra:

$I=\int\limits_{-1}^{0}{\max \left\{ {{e}^{x}};{{2}^{x}} \right\}}\text{d}x+\int\limits_{0}^{1}{\max \left\{ {{e}^{x}};{{2}^{x}} \right\}}\text{d}x=\int\limits_{-1}^{0}{{{2}^{x}}}\text{d}x+\int\limits_{0}^{1}{{{e}^{x}}}\text{d}x=\left. \frac{{{2}^{x}}}{\ln 2} \right|_{-1}^{0}+\left. {{e}^{x}} \right|_{0}^{1}=\frac{1}{2\ln 2}+e-1.$

Câu 5: Tính tích phân

Cho hàm số $g\left( x \right)=\int\limits_{\sqrt{x}}^{{{x}^{2}}}{\sqrt{t}\sin t\text{d}t}$ xác định với $x>0$. Tìm ${g}’\left( x \right)$.

Lời giải

Gọi $F\left( t \right)$ là một nguyên hàm của hàm số $f\left( t \right)=\sqrt{t}\sin t$. Suy ra: ${F}’\left( t \right)=f\left( t \right).$

Ta có:

$g\left( x \right)=\int\limits_{\sqrt{x}}^{{{x}^{2}}}{f\left( t \right)\text{d}t}=\left. F\left( t \right) \right|_{\sqrt{x}}^{{{x}^{2}}}=F\left( {{x}^{2}} \right)-F\left( \sqrt{x} \right)\,\,\,\,\,\left( * \right).$

Lấy đạo hàm hai vế của (*) theo biến $x$ ta được:

${g}’\left( x \right)=2x.{F}’\left( {{x}^{2}} \right)-\frac{1}{2\sqrt{x}}{F}’\left( \sqrt{x} \right)$$\Leftrightarrow {g}’\left( x \right)=2x.f\left( {{x}^{2}} \right)-\frac{1}{2\sqrt{x}}f\left( \sqrt{x} \right)$

$\Leftrightarrow {g}’\left( x \right)=2x.x\sin {{x}^{2}}-\frac{1}{2\sqrt{x}}\sqrt[4]{x}\sin \sqrt{x}$$\Leftrightarrow {g}’\left( x \right)=2{{x}^{2}}\sin {{x}^{2}}-\frac{1}{2\sqrt[4]{x}}\sin \sqrt{x}.$

Xem thêm: Bảng công thức nguyên hàm đầy đủ

Câu 6: Tính tích phân

Tính các tích phân sau

bài tập tích phân

Lời giải

$a)\,I=\int\limits_{1}^{2}{\frac{1}{{{x}^{3}}+x}\text{.}\left( 3{{x}^{2}}+1 \right)\text{d}x}$

Đặt $t={{x}^{3}}+x\Rightarrow \text{d}t=\left( 3{{x}^{2}}+1 \right)\text{d}x$.

Đổi cận: $x=1\Rightarrow t=2$; $x=2\Rightarrow t=10$.

Suy ra: $I=\int\limits_{2}^{10}{\frac{1}{t}\text{d}t}=\left. \ln \left| t \right| \right|_{2}^{10}=\ln 5.$

$b)\,I=\int\limits_{\frac{{{\pi }^{2}}}{4}}^{{{\pi }^{2}}}{\sin \left( \sqrt{x}-\frac{\pi }{4} \right)\frac{1}{\sqrt{x}}\text{d}x}$

Đặt $t=\sqrt{x}-\frac{\pi }{4}\Rightarrow \text{d}t=\frac{1}{2\sqrt{x}}\text{d}x\Rightarrow 2\text{d}t=\frac{1}{\sqrt{x}}\text{d}x$.

Đổi cận: $x=\frac{{{\pi }^{2}}}{4}\Rightarrow t=\frac{\pi }{4}$; $x={{\pi }^{2}}\Rightarrow t=\frac{3\pi }{4}$.

Suy ra: $I=\int\limits_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{3\pi }{4}}{2\sin t\text{d}t}=\left. -2\cos t \right|_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{3\pi }{4}}=2\sqrt{2}.$

$c)\,I=\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{{{e}^{x-\cos x}}\left( 1+\sin x \right)\text{d}x}$

Đặt $t=x-\cos x\Rightarrow \text{d}t=\left( 1+\sin x \right)\text{d}x$.

Đổi cận: $x=0\Rightarrow t=-1$; $x=\frac{\pi }{2}\Rightarrow t=\frac{\pi }{2}$.

Suy ra: $I=\int\limits_{-1}^{\frac{\pi }{2}}{{{\text{e}}^{t}}\text{d}t}={{e}^{\frac{\pi }{2}}}-{{e}^{-1}}.$

$d)\,I=\int\limits_{0}^{1}{\frac{2}{{{({{x}^{2}}+3x+1)}^{2017}}}\left( 2x+3 \right)\text{d}x}$

Đặt $t={{x}^{2}}+3x+1\Rightarrow \text{d}t=\left( 2x+3 \right)\text{d}x$.

Đổi cận: $x=0\Rightarrow t=1$; $x=1\Rightarrow t=5$.

Suy ra: $I=\int\limits_{1}^{5}{\frac{2}{{{t}^{2017}}}\text{d}t}=\left. -\frac{1}{1008}\frac{1}{{{t}^{2016}}} \right|_{1}^{5}=-\frac{1}{1008}\left( \frac{1}{{{5}^{2016}}}-1 \right).$

$e)\,I=\int\limits_{0}^{1}{\sqrt{{{x}^{2}}+4}\text{.}x\text{d}x}$

Đặt $t=\sqrt{{{x}^{2}}+4}\Rightarrow {{t}^{2}}={{x}^{2}}+4\Rightarrow t\text{d}t=x\text{d}x$.

Đổi cận: $x=0\Rightarrow t=2$; $x=1\Rightarrow t=\sqrt{5}$.

Suy ra: $I=\int\limits_{2}^{\sqrt{5}}{{{t}^{2}}\text{d}t}=\left. \frac{{{t}^{3}}}{3} \right|_{2}^{\sqrt{5}}=\frac{5\sqrt{5}-8}{3}.$

$f)\,I=\int\limits_{0}^{1}{{{\left( x-1 \right)}^{2017}}\left( x+1 \right)\text{d}x}$

Đặt $t=x-1\Rightarrow \text{d}t=\text{d}x$ và $x=t+1$.

Đổi cận: $x=0\Rightarrow t=-1$; $x=1\Rightarrow t=0$.

Suy ra: $I=\int\limits_{-1}^{0}{{{t}^{2017}}\left( t+2 \right)\text{d}t}=\int\limits_{-1}^{0}{\left( {{t}^{2018}}\text{+2}{{\text{t}}^{2017}} \right)\text{d}t}=\left. \frac{{{t}^{2019}}}{2019} \right|_{-1}^{0}+\left. \frac{{{t}^{2018}}}{1009} \right|_{-1}^{0}=\frac{1}{2019}-\frac{1}{1009}.$

$g)\,I=\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{4}}{{{e}^{\tan x}}.\frac{1}{{{\cos }^{2}}x}\text{d}x}$

Đặt $t=\tan x\Rightarrow \text{d}t=\frac{1}{{{\cos }^{2}}x}\text{d}x$.

Đổi cận: $x=0\Rightarrow t=0$; $x=\frac{\pi }{4}\Rightarrow t=1$.

Suy ra: $I=\int\limits_{0}^{1}{{{e}^{t}}\text{d}t}=e-1.$

$h)\,\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{{{\sin }^{3}}x.\cos x\text{d}x}$

Đặt $t=\sin x\Rightarrow \text{d}t=\cos x\text{d}x$.

Đổi cận: $x=0\Rightarrow t=0$; $x=\frac{\pi }{2}\Rightarrow t=1$.

Suy ra: $I=\int\limits_{0}^{1}{{{\text{t}}^{3}}\text{d}t}=\frac{1}{4}.$

$i)\,I=\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{\frac{x\cos x}{\cos x+x\sin x}\text{d}x}$

Đặt $t=\cos x+x\sin x\Rightarrow \text{d}t=x\cos x\text{d}x$.

Đổi cận: $x=0\Rightarrow t=1$; $x=\frac{\pi }{2}\Rightarrow t=\frac{\pi }{2}$.

Suy ra: $I=\int\limits_{1}^{\frac{\pi }{2}}{\frac{1}{t}\text{d}t}=\ln \frac{\pi }{2}.$

Câu 7: Tính tích phân

Tính các tích phân sau:

cách tính tích phân

Lời giải

$a)I=\int\limits_{0}^{1}{\frac{1}{1+{{x}^{2}}}dx}$

Đặt $x=\tan t,\,\,t\in \left( -\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2} \right)\Rightarrow \text{d}x=\left( 1+{{\tan }^{2}}t \right)\text{d}t$

Đổi cận: $x=0\Rightarrow t=0$; $x=1\Rightarrow t=\frac{\pi }{4}$.

Suy ra:

$I=\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{4}}{\frac{1}{1+{{\tan }^{2}}t}.\left( 1+{{\tan }^{2}}t \right)\text{d}t}=\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{4}}{\text{d}t}=\frac{\pi }{4}$.

$\,b)I=\int\limits_{0}^{1}{\frac{1}{{{x}^{2}}+3}dx}$

Đặt $x=\sqrt{3}\tan t,\,\,t\in \left( -\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2} \right)\Rightarrow \text{d}x=\sqrt{3}\left( 1+{{\tan }^{2}}t \right)\text{d}t$

Đổi cận: $x=0\Rightarrow t=0$; $x=1\Rightarrow t=\frac{\pi }{6}$.

Suy ra:

$I=\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{6}}{\frac{1}{3+3{{\tan }^{2}}t}.\sqrt{3}\left( 1+{{\tan }^{2}}t \right)\text{d}t}=\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{6}}{\frac{1}{\sqrt{3}}\text{d}t}=\frac{\pi }{6\sqrt{3}}$.

$c)\,I=\int\limits_{0}^{1}{\frac{1}{3+{{\left( 2x+1 \right)}^{2}}}dx}$

Đặt $2x+1=\sqrt{3}\tan t,\,\,t\in \left( -\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2} \right)\Rightarrow 2\text{d}x=\sqrt{3}\left( 1+{{\tan }^{2}}t \right)\text{d}t\Rightarrow \text{d}x=\frac{\sqrt{3}}{2}\left( 1+{{\tan }^{2}}t \right)\text{d}t$

Đổi cận: $x=0\Rightarrow t=\frac{\pi }{6}$; $x=1\Rightarrow t=\frac{\pi }{3}$.

Suy ra:

$I=\int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{3}}{\frac{1}{3+3{{\tan }^{2}}t}.\frac{\sqrt{3}}{2}\left( 1+{{\tan }^{2}}t \right)\text{d}t}=\int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{3}}{\frac{1}{2\sqrt{3}}\text{d}t}=\frac{\pi }{12\sqrt{3}}$.

$d)I=\int\limits_{0}^{1}{\frac{{{x}^{3}}}{{{x}^{8}}+1}dx\,}$

Đặt ${{x}^{4}}=\tan t,\,\,t\in \left( -\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2} \right)\Rightarrow 4{{x}^{3}}\text{d}x=\left( 1+{{\tan }^{2}}t \right)\text{d}t\Rightarrow {{x}^{3}}\text{d}x=\frac{1}{4}\left( 1+{{\tan }^{2}}t \right)\text{d}t$

Đổi cận: $x=0\Rightarrow t=0$; $x=1\Rightarrow t=\frac{\pi }{4}$.

Suy ra:

$I=\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{4}}{\frac{1}{1+{{\tan }^{2}}t}.\frac{1}{4}\left( 1+{{\tan }^{2}}t \right)\text{d}t}=\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{4}}{\frac{1}{4}\text{d}t}=\frac{\pi }{16}$.

$e)I=\int\limits_{0}^{1}{\sqrt{1-{{x}^{2}}}dx}$

Đặt $x=\sin t,\,\,t\in \left[ -\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2} \right]\Rightarrow \text{d}x=\cos t\text{d}t$

Đổi cận: $x=0\Rightarrow t=0$; $x=1\Rightarrow t=\frac{\pi }{2}$.

Suy ra:

$I=\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{\sqrt{1-{{\sin }^{2}}x}\text{.cos}t\text{d}t}=\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{\text{co}{{\text{s}}^{2}}t\text{d}t}=\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{\frac{1+\cos 2t}{2}\text{d}t}=\left. \frac{1}{2}t \right|_{0}^{\frac{\pi }{2}}+\left. \frac{1}{4}\sin 2t \right|_{0}^{\frac{\pi }{2}}=\frac{\pi }{4}.$

$f)\,I=\int\limits_{0}^{1}{\sqrt{-4{{x}^{2}}+4x+1}\text{d}x}=\int\limits_{0}^{1}{\sqrt{2-{{\left( 2x-1 \right)}^{2}}}\text{d}x}$

Đặt $2x-1=\sqrt{2}\sin t,\,\,t\in \left[ -\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2} \right]\Rightarrow \text{d}x=\frac{1}{\sqrt{2}}\cos t\text{d}t$

Đổi cận: $x=0\Rightarrow t=-\frac{\pi }{4}$; $x=1\Rightarrow t=\frac{\pi }{4}$.

Suy ra:

$I=\int\limits_{-\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{4}}{\sqrt{2-2{{\sin }^{2}}x}\text{.}\frac{1}{\sqrt{2}}\text{cos}t\text{d}t}=\int\limits_{-\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{4}}{\text{co}{{\text{s}}^{2}}t\text{d}t}=\int\limits_{-\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{4}}{\frac{1+\cos 2t}{2}\text{d}t}=\left. \frac{1}{2}t \right|_{-\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{4}}+\left. \frac{1}{4}\sin 2t \right|_{-\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{4}}=\frac{\pi }{4}+\frac{1}{2}.$

$g)I=\int\limits_{0}^{1}{\sqrt{2x-{{x}^{2}}}\text{d}x}=\int\limits_{0}^{1}{\sqrt{1-{{\left( x-1 \right)}^{2}}}\text{d}x}$

Đặt $x-1=\sin t,\,\,t\in \left[ -\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2} \right]\Rightarrow \text{d}x=\cos t\text{d}t$

Đổi cận: $x=0\Rightarrow t=-\frac{\pi }{2}$; $x=1\Rightarrow t=0$.

Suy ra:

$I=\int\limits_{-\frac{\pi }{2}}^{0}{\sqrt{1-{{\sin }^{2}}x}\text{.cos}t\text{d}t}=\int\limits_{-\frac{\pi }{2}}^{0}{\text{co}{{\text{s}}^{2}}t\text{d}t}=\int\limits_{-\frac{\pi }{2}}^{0}{\frac{1+\cos 2t}{2}\text{d}t}=\left. \frac{1}{2}t \right|_{-\frac{\pi }{2}}^{0}+\left. \frac{1}{4}\sin 2t \right|_{-\frac{\pi }{2}}^{0}=\frac{\pi }{4}.$

$h)I=\int\limits_{\frac{2}{\sqrt{3}}}^{2}{\frac{1}{x\sqrt{{{x}^{2}}-1}}\text{d}x}$

Đặt $x=\frac{1}{\sin t},\,\,t\in \left[ -\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2} \right]\backslash \left\{ 0 \right\}\Rightarrow \text{d}x=\frac{-\cos t}{{{\sin }^{2}}t}\text{d}t$

Đổi cận: $x=\frac{2}{\sqrt{3}}\Rightarrow t=\frac{\pi }{3}$; $x=2\Rightarrow t=\frac{\pi }{6}$.

Suy ra:

$I=\int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{3}}{\frac{\sin t}{\sqrt{\frac{1}{{{\sin }^{2}}t}-1}}\frac{\text{cos}t}{{{\sin }^{2}}t}\text{d}t}=\int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{3}}{\text{d}t}=\frac{\pi }{6}.$

Câu 8: Tính tích phân

Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ có đạo hàm liên tục trên đoạn $\left[ a;b \right]$. Chứng minh rằng: $I=\int\limits_{a}^{b}{\left[ {f}’\left( x \right)+f\left( x \right) \right]{{e}^{x}}\text{d}x}=f\left( b \right).{{e}^{b}}-f\left( a \right){{e}^{a}}$

Lời giải

Cách 1:

Ta có:

$I=\int\limits_{a}^{b}{\left[ {f}’\left( x \right)+f\left( x \right) \right]{{e}^{x}}\text{d}x}=\int\limits_{a}^{b}{{f}’\left( x \right){{e}^{x}}\text{d}x}+\int\limits_{a}^{b}{f\left( x \right){{e}^{x}}\text{d}x}=J+\int\limits_{a}^{b}{f\left( x \right){{e}^{x}}\text{d}x}$

Tính $J=\int\limits_{a}^{b}{{f}’\left( x \right){{e}^{x}}\text{d}x}$

bài tập tích phân

Suy ra:

$J=\left. f\left( x \right){{e}^{x}} \right|_{a}^{b}-\int\limits_{a}^{b}{f\left( x \right){{e}^{x}}\text{d}x}$

Do đó:

$I=J+\int\limits_{a}^{b}{f\left( x \right){{e}^{x}}\text{d}x}=\left. f\left( x \right){{e}^{x}} \right|_{a}^{b}=f\left( b \right){{e}^{b}}-f\left( a \right){{e}^{a}}$

Cách 2:

Ta có: ${{\left( f\left( x \right){{e}^{x}} \right)}^{\prime }}={f}’\left( x \right){{e}^{x}}+f\left( x \right){{e}^{x}}=\left[ {f}’\left( x \right)+f\left( x \right) \right]{{e}^{x}}$

Do đó:

$I=\int\limits_{a}^{b}{{{\left( f\left( x \right){{e}^{x}} \right)}^{\prime }}\text{d}x}=\left. f\left( x \right){{e}^{x}} \right|_{a}^{b}=f\left( b \right){{e}^{b}}-f\left( a \right){{e}^{a}}.$

Câu 9: Tính tích phân

Cho hàm số $f\left( x \right)$ nhận giá trị dương, có đạo hàm liên tục trên $\left[ 0;2 \right].$ Biết $f\left( 0 \right)=1$ và $f\left( x \right)f\left( 2-x \right)={{e}^{2{{x}^{2}}-4x}}$ với mọi $x\in \left[ 0;2 \right].$ Tính tích phân $I=\int\limits_{0}^{2}{\frac{\left( {{x}^{3}}-3{{x}^{2}} \right)f’\left( x \right)}{f\left( x \right)}\text{d}x}.$

Lời giải

Từ giả thiết $f\left( x \right)f\left( 2-x \right)={{e}^{2{{x}^{2}}-4x}}\xrightarrow{x=2}f\left( 2 \right)=1.$

cách tính tích phân

cách tính tích phân

Ta có $J=\int\limits_{0}^{2}{\left( {{x}^{2}}-2x \right)\ln \left| f\left( x \right) \right|\text{d}x}\text{ }\overset{x=2-t}{\mathop{=}}\,\text{ }\int\limits_{2}^{0}{\left[ {{\left( 2-t \right)}^{2}}-2\left( 2-t \right) \right]\ln \left| f\left( 2-t \right) \right|\text{d}\left( 2-t \right)}$

$=\int\limits_{2}^{0}{\left[ {{\left( 2-x \right)}^{2}}-2\left( 2-x \right) \right]\ln \left| f\left( 2-x \right) \right|\text{d}\left( 2-x \right)}=\int\limits_{0}^{2}{\left( {{x}^{2}}-2x \right)\ln \left| f\left( 2-x \right) \right|\text{d}x}.$

Suy ra $2J=\int\limits_{0}^{2}{\left( {{x}^{2}}-2x \right)\ln \left| f\left( x \right) \right|\text{d}x}+\int\limits_{0}^{2}{\left( {{x}^{2}}-2x \right)\ln \left| f\left( 2-x \right) \right|\text{d}x}=\int\limits_{0}^{2}{\left( {{x}^{2}}-2x \right)\ln \left| f\left( x \right)f\left( 2-x \right) \right|\text{d}x}$

$=\int\limits_{0}^{2}{\left( {{x}^{2}}-2x \right)\ln {{e}^{2{{x}^{2}}-4x}}\text{d}x}=\int\limits_{0}^{2}{\left( {{x}^{2}}-2x \right)\left( 2{{x}^{2}}-4x \right)\text{d}x}=\frac{32}{15}\xrightarrow{{}}J=\frac{16}{15}.$

Vậy $I=-3J=-\frac{16}{5}.$

Câu 10:  Tính $P=2a+b.$

Biết $\int\limits_{0}^{\pi }{\frac{x{{\sin }^{2018}}x}{{{\sin }^{2018}}x+{{\cos }^{2018}}x}\text{d}x}=\frac{{{\pi }^{a}}}{b}$ với $a,b\in {{\mathbb{Z}}^{+}}.$ Tính $P=2a+b.$

Lời giải

Gọi $I=\int\limits_{0}^{\pi }{\frac{x{{\sin }^{2018}}x}{{{\sin }^{2018}}x+{{\cos }^{2018}}x}\text{d}x}$

bài tập tích phân

Khi đó $I=-\int\limits_{\pi }^{0}{\frac{\left( \pi -t \right){{\sin }^{2018}}\left( \pi -t \right)}{{{\sin }^{2018}}\left( \pi -t \right)+{{\cos }^{2018}}\left( \pi -t \right)}\text{d}t}=\int\limits_{0}^{\pi }{\frac{\left( \pi -t \right){{\sin }^{2018}}t}{{{\sin }^{2018}}t+{{\cos }^{2018}}t}\text{d}t}=\int\limits_{0}^{\pi }{\frac{\left( \pi -x \right){{\sin }^{2018}}x}{{{\sin }^{2018}}x+{{\cos }^{2018}}x}\text{d}x}.$

Suy ra $2I=\int\limits_{0}^{\pi }{\frac{x{{\sin }^{2018}}x}{{{\sin }^{2018}}x+{{\cos }^{2018}}x}\text{d}x}+\int\limits_{0}^{\pi }{\frac{\left( \pi -x \right){{\sin }^{2018}}x}{{{\sin }^{2018}}x+{{\cos }^{2018}}x}\text{d}x}=\int\limits_{0}^{\pi }{\frac{\pi {{\sin }^{2018}}x}{{{\sin }^{2018}}x+{{\cos }^{2018}}x}\text{d}x}$

$\xrightarrow{{}}I=\frac{\pi }{2}\int\limits_{0}^{\pi }{\frac{{{\sin }^{2018}}x}{{{\sin }^{2018}}x+{{\cos }^{2018}}x}\text{d}x}=\frac{\pi }{2}\left[ \int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{\frac{{{\sin }^{2018}}x}{{{\sin }^{2018}}x+{{\cos }^{2018}}x}\text{d}x}+\int\limits_{\frac{\pi }{2}}^{\pi }{\frac{{{\sin }^{2018}}x}{{{\sin }^{2018}}x+{{\cos }^{2018}}x}\text{d}x} \right].$

Đặt $x=u+\frac{\pi }{2}$ ta suy ra $\int\limits_{\frac{\pi }{2}}^{\pi }{\frac{{{\sin }^{2018}}x}{{{\sin }^{2018}}x+{{\cos }^{2018}}x}\text{d}x}=\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{\frac{{{\cos }^{2018}}u}{{{\sin }^{2018}}u+{{\cos }^{2018}}u}\text{d}u}=\int\limits_{\frac{\pi }{2}}^{\pi }{\frac{{{\cos }^{2018}}x}{{{\sin }^{2018}}x+{{\cos }^{2018}}x}\text{d}x}.$

bài tập tích phân

Câu 11: Tính tích phân

Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ liên tục trên $\left[ 0;1 \right]$ và thỏa mãn ${{x}^{2}}f\left( x \right)+f\left( 1-x \right)=2x-{{x}^{4}}.$ Tính tích phân $I=\int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right)\text{d}x}.$

Lời giải

Từ giả thiết, thay $x$ bằng $1-x$ ta được ${{\left( 1-x \right)}^{2}}f\left( 1-x \right)+f\left( x \right)=2\left( 1-x \right)-{{\left( 1-x \right)}^{4}}$

$\Leftrightarrow \left( {{x}^{2}}-2x+1 \right)f\left( 1-x \right)+f\left( x \right)=1+2x-6{{x}^{2}}+4{{x}^{3}}-{{x}^{4}}.$         $\left( 1 \right)$

Ta có ${{x}^{2}}f\left( x \right)+f\left( 1-x \right)=2x-{{x}^{4}}\xrightarrow{{}}f\left( 1-x \right)=2x-{{x}^{4}}-{{x}^{2}}f\left( x \right)$. Thay vào $\left( 1 \right)$ ta được

$\left( {{x}^{2}}-2x+1 \right)\left[ 2x-{{x}^{4}}-{{x}^{2}}f\left( x \right) \right]+f\left( x \right)=1+2x-6{{x}^{2}}+4{{x}^{3}}-{{x}^{4}}$

$\Leftrightarrow \left( 1-{{x}^{2}}+2{{x}^{3}}-{{x}^{4}} \right)f\left( x \right)={{x}^{6}}-2{{x}^{5}}+2{{x}^{3}}-2{{x}^{2}}+1$

cách tính tích phân

Câu 12: Tính tích phân cấp 2

Cho hàm số $f\left( x \right)$ thỏa $f\left( x \right){f}’\left( x \right)=3{{x}^{5}}+6{{x}^{2}}.$ Biết rằng $f\left( 0 \right)=2,$ tính${{f}^{2}}\left( 2 \right).$

Lời giải

Từ giả thiết ta có $\int\limits_{{}}^{{}}{f\left( x \right).{f}’\left( x \right)\text{d}x}=\int\limits_{{}}^{{}}{\left( 3{{x}^{5}}+6{{x}^{2}} \right)\text{d}x}\Leftrightarrow \frac{{{f}^{2}}\left( x \right)}{2}=\frac{{{x}^{6}}}{2}+2{{x}^{3}}+C.$

Thay $x=0$ vào hai vế, ta được $\frac{{{f}^{2}}\left( 0 \right)}{2}=C\Rightarrow C=2.$

Suy ra ${{f}^{2}}\left( x \right)={{x}^{6}}+4{{x}^{3}}+4\xrightarrow{{}}{{f}^{2}}\left( 2 \right)={{2}^{6}}+{{4.2}^{3}}+4=100.$

Câu 13: Tính tích phân

Cho hàm số $f\left( x \right)$ có đạo hàm trên $\mathbb{R},$ thỏa mãn $f’\left( x \right)-2018f\left( x \right)=2018{{x}^{2017}}{{e}^{2018x}}$ với mọi $x\in \mathbb{R}$ và $f\left( 0 \right)=2018.$ Tính giá trị $f\left( 1 \right).$

Lời giải

Nhân hai vế cho ${{e}^{-2018x}}$ để thu được đạo hàm đúng, ta được

${f}’\left( x \right){{e}^{-2018x}}-2018f\left( x \right){{e}^{-2018x}}=2018{{x}^{2017}}\Leftrightarrow {{\left[ f\left( x \right){{e}^{-2018x}} \right]}^{\prime }}=2018{{x}^{2017}}.$

Suy ra $f\left( x \right){{e}^{-2018x}}=\int\limits_{{}}^{{}}{2018{{x}^{2017}}\text{d}x}={{x}^{2018}}+C.$

Thay $x=0$ vào hai vế ta được $C=2018\xrightarrow{{}}f\left( x \right)=\left( {{x}^{2018}}+2018 \right){{e}^{2018x}}.$

Vậy $f\left( 1 \right)=2019{{e}^{2018}}.$

Câu 14: Tính tích phân

Cho hàm số $f\left( x \right)$ liên tục trên $\left[ 0;\frac{\pi }{2} \right],$ thỏa $\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{\left[ {{f}^{2}}\left( x \right)-2\sqrt{2}f\left( x \right)\sin \left( x-\frac{\pi }{4} \right) \right]\text{d}x}=\frac{2-\pi }{2}.$ Tính tích phân $I=\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{f\left( x \right)\text{d}x}.$

Lời giải

Ta có $\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{2{{\sin }^{2}}\left( x-\frac{\pi }{4} \right)\text{d}x}=-\frac{2-\pi }{2}.$

Do đó giả thiết tương đương với $\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{\left[ {{f}^{2}}\left( x \right)-2\sqrt{2}f\left( x \right)\sin \left( x-\frac{\pi }{4} \right)+2{{\sin }^{2}}\left( x-\frac{\pi }{4} \right) \right]\text{d}x}=0$

$\Leftrightarrow \int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{{{\left[ f\left( x \right)-\sqrt{2}\sin \left( x-\frac{\pi }{4} \right) \right]}^{2}}\text{d}x}=0\Leftrightarrow f\left( x \right)-\sqrt{2}\sin \left( x-\frac{\pi }{4} \right)=0,\text{ }\forall x\in \left[ 0;\frac{\pi }{2} \right].$

Suy ra $f\left( x \right)=\sqrt{2}\sin \left( x-\frac{\pi }{4} \right)\xrightarrow{{}}I=\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{f\left( x \right)\text{d}x}=\sqrt{2}\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{\sin \left( x-\frac{\pi }{4} \right)\text{d}x}=0.$ Chọn A.

Câu 15: Tính tích phân

Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ liên tục trên đoạn $\left[ 0;1 \right],$ thỏa mãn $\int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right)\text{d}x}=\int\limits_{0}^{1}{xf\left( x \right)\text{d}x}=1$ và $\int\limits_{0}^{1}{{{\left[ f\left( x \right) \right]}^{2}}\text{d}x}=4$. Giá trị của tích phân $\int\limits_{0}^{1}{{{\left[ f\left( x \right) \right]}^{3}}\text{d}x}$ bằng

Lời giải

Ở đây các hàm xuất hiện dưới dấu tích phân là ${{\left[ f\left( x \right) \right]}^{2}},\text{ }xf\left( x \right),\text{ }f\left( x \right)$ nên ta sẽ liên kết với bình phương ${{\left[ f\left( x \right)+\alpha x+\beta  \right]}^{2}}.$

Với mỗi số thực $\alpha ,\text{ }\beta $ ta có $\int\limits_{0}^{1}{{{\left[ f\left( x \right)+\alpha x+\beta  \right]}^{2}}\text{d}x}=\int\limits_{0}^{1}{{{\left[ f\left( x \right) \right]}^{2}}\text{d}x}+2\int\limits_{0}^{1}{\left( \alpha x+\beta  \right)f\left( x \right)\text{d}x}+\int\limits_{0}^{1}{{{\left( \alpha x+\beta  \right)}^{2}}\text{d}x}$

$=4+2\left( \alpha +\beta  \right)+\frac{{{\alpha }^{2}}}{3}+\alpha \beta +{{\beta }^{2}}.$

Ta cần tìm $\alpha ,\text{ }\beta $ sao cho $\int\limits_{0}^{1}{{{\left[ f\left( x \right)+\alpha x+\beta  \right]}^{2}}\text{d}x}=0$ hay $4+2\left( \alpha +\beta  \right)+\frac{{{\alpha }^{2}}}{3}+\alpha \beta +{{\beta }^{2}}=0$

$\Leftrightarrow {{\alpha }^{2}}+\left( 3\beta +6 \right)\alpha +3{{\beta }^{2}}+6\beta +12=0.$ Để tồn tại $\alpha $ thì $\Delta ={{\left( 3\beta +6 \right)}^{2}}-4\left( 3{{\beta }^{2}}+6\beta +12 \right)\ge 0$

$\Leftrightarrow -3{{\beta }^{2}}+12\beta -12\ge 0\Leftrightarrow -3{{\left( \beta -2 \right)}^{2}}\ge 0\Leftrightarrow \beta =2\xrightarrow{{}}\alpha =-6.$

Vậy $\int\limits_{0}^{1}{{{\left[ f\left( x \right)-6x+2 \right]}^{2}}\text{d}x}=0\xrightarrow{{}}f\left( x \right)=6x-2,\text{ }\forall x\in \left[ 0;1 \right]\xrightarrow{{}}\int\limits_{0}^{1}{{{\left[ f\left( x \right) \right]}^{3}}\text{d}x}=10.$ Chọn C.

Xem thêm:

Ứng dụng tích phân trong thực tế

Cách giải và bài tập mẫu ứng dụng tích phân tính thể tích khối tròn xoay

Các dạng bài tập về nguyên hàm đầy đủ chi tiết nhất