Bài viết sau đây giới thiệu đến các bạn lý thuyết và bài tập mẫu các dạng bài tập tích phân, cách tính tích phân, khối đa diện và các bài tập mẫu để các bạn tham khảo. Khoa Cử hy vọng với những chia sẻ này sẽ hỗ trợ bạn đọc học tốt phần các dạng bài tập về tích phân môn Toán lớp 12!
I. LÝ THUYẾT TÍCH PHÂN
Định nghĩa: Cho hàm số $f$ liên tục trên khoảng $K$ và $a,b$ là hai số bất kì thuộc $K$. Nếu $F$ là một nguyên hàm của $f$ trên $K$ thì hiệu số $F\left( b \right)-F\left( a \right)$ được gọi là tích phân của hàm số $f$ từ $a$ đến $b$ và kí hiệu là $\int\limits_{a}^{b}{f\left( x \right)\text{d}x}$.
Ta gọi: $a$ là cận dưới, $b$ là cận trên, $f$ là hàm số dưới dấu tích phân, $f\left( x \right)\text{d}x$ là biểu thức dưới dấu tích phân, $x$biến số lấy tích phân.
Nhận xét :
- a) Nếu $a<b$ thì ta gọi $\int\limits_{a}^{b}{f\left( x \right)\text{d}x}$ là tích phân của $f$ trên đoạn $\left[ a;b \right].$
- b) Hiệu số $F\left( b \right)-F\left( a \right)$ còn được kí hiệu là $F\left( x \right)\left| _{a}^{b} \right.$. Khi đó : $\int\limits_{a}^{b}{f\left( x \right)}\text{d}x=F\left( x \right)\left| _{a}^{b} \right.=F\left( b \right)-F\left( a \right).$
- c) Tích phân không phụ thuộc biến số (điều này sẽ mang lại lợi ích cho ta để tính một số tích phân đặc biệt), tức là $\int\limits_{a}^{b}{f\left( x \right)}\text{d}x=\int\limits_{a}^{b}{f\left( t \right)}\text{d}t=\int\limits_{a}^{b}{f\left( u \right)}\text{d}u=…=F\left( b \right)-F\left( a \right).$
Tính chất: Cho $k$ là hằng số
e) Tính chất chèn cận: $\,\int\limits_{a}^{b}{f(x)}dx=\,\,\int\limits_{a}^{c}{f(x)}dx+\int\limits_{c}^{b}{f(x)dx}$ (chèn cận $c$)
II. BÀI TẬP MẪU TÍCH PHÂN
Câu 1: Tính tích phân
Chứng minh $F\left( x \right)=\frac{1}{ad-bc}\ln \left| \frac{ax+b}{cx+d} \right|$ là một nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right)=\frac{1}{\left( ax+b \right)\left( cx+d \right)}$. Từ đó tính tích phân $I=\int\limits_{0}^{1}{\frac{1}{\left( 2x+1 \right)\left( x+1 \right)}}\text{d}x.$
Lời giải
Ta có:
${F}’\left( x \right)=\frac{1}{ad-bc}{{\left( \ln \left| ax+b \right|-\ln \left| cx+d \right| \right)}^{\prime }}=\frac{1}{ad-bc}\left( \frac{a}{ax+b}-\frac{c}{cx+d} \right)=\frac{1}{\left( ax+b \right)\left( cx+d \right)}=f\left( x \right).$
Do đó:
$I=\int\limits_{0}^{1}{\frac{1}{\left( 2x+1 \right)\left( x+1 \right)}}\text{d}x=\left. \frac{1}{2-1}\ln \left| \frac{2x+1}{x+1} \right| \right|_{0}^{1}=\ln \frac{3}{2}-\ln 1=\ln \frac{3}{2}$.
Câu 2: Tính tích phân
Tính các tích phân sau:
$I=\int\limits_{0}^{1}{\left( 4{{x}^{3}}-{{e}^{x}} \right)\text{d}x=}b)\,I=\int\limits_{1}^{2}{\left( {{3}^{x}}-\frac{1}{x} \right)\text{d}x}c)\,I=\int\limits_{0}^{\pi }{\left( \sin x+2\cos x \right)}\text{d}x$
Lời giải
$a)\,I=\int\limits_{0}^{1}{\left( 4{{x}^{3}}-{{e}^{x}} \right)dx=}\left. {{x}^{4}} \right|_{0}^{1}-\left. {{e}^{x}} \right|_{0}^{1}=1-\left( e-1 \right)=2-e.$$b)\,I=\int\limits_{1}^{2}{\left( {{3}^{x}}-\frac{1}{x} \right)\text{d}x}=\left. \frac{{{3}^{x}}}{\ln 3} \right|_{1}^{2}-\left. \ln \left| x \right| \right|_{1}^{2}=\frac{1}{\ln 3}\left( 9-3 \right)-\ln 2=\frac{6}{\ln 3}-\ln 2.$
$c)\,I=\int\limits_{0}^{\pi }{\left( \sin x+2\cos x \right)}\text{d}x=\left. -\cos x \right|_{0}^{\pi }+\left. 2\sin x \right|_{0}^{\pi }=2.$
Câu 3: Tính tích phân
Tính các tích phân:
$a)\,I=\int\limits_{0}^{2}{\left| x-1 \right|\text{d}x}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,b)\,I=\int\limits_{0}^{3}{\left| {{x}^{2}}-x \right|\text{d}x}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,c)\,\int\limits_{-4}^{2}{\left| {{x}^{2}}+2x-3 \right|\text{d}x}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,d)\int\limits_{-2}^{2}{\left| 2x-\left| x+1 \right| \right|\text{d}x}$
Lời giải
$a)\,I=\int\limits_{0}^{2}{\left| x-1 \right|\text{d}x}=\int\limits_{0}^{1}{\left| x-1 \right|\text{d}x}+\int\limits_{1}^{2}{\left| x-1 \right|\text{d}x}=-\int\limits_{0}^{1}{\left( x-1 \right)\text{d}x}+\int\limits_{1}^{2}{\left( x-1 \right)\text{d}x}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1.$
Suy ra:
$I=\int\limits_{-4}^{-3}{\left( {{x}^{2}}+2x-3 \right)\text{d}x}-\int\limits_{-3}^{1}{\left( {{x}^{2}}+2x-3 \right)\text{d}x}+\int\limits_{1}^{2}{\left( {{x}^{2}}+2x-3 \right)\text{d}x}=\frac{7}{3}+\frac{32}{3}+\frac{7}{3}=\frac{46}{3}.$
d) Xét trên khoảng $\left( -2;2 \right)$ ta có: $x+1=0\Leftrightarrow x=-1$
Suy ra:
$I=\int\limits_{-2}^{1}{\left| 2x+x+1 \right|\text{d}x}+\int\limits_{1}^{2}{\left| 2x-x-1 \right|\text{d}x}=\int\limits_{-2}^{1}{\left| 3x+1 \right|\text{d}x}+\int\limits_{1}^{2}{\left| x-1 \right|\text{d}x}={{I}_{1}}+{{I}_{2}}$
Ta có:
${{I}_{1}}=\int\limits_{-2}^{1}{\left| 3x+1 \right|\text{d}x}=-\int\limits_{-2}^{-\frac{1}{3}}{\left( 3x+1 \right)\text{d}x}+\int\limits_{-\frac{1}{3}}^{1}{\left( 3x+1 \right)\text{d}x}=\frac{41}{6}.$
${{I}_{2}}=\int\limits_{1}^{2}{\left| x-1 \right|\text{d}x}=\int\limits_{1}^{2}{\left( x-1 \right)\text{d}x}=\frac{1}{2}.$
Vậy: $I=\frac{41}{6}+\frac{1}{2}=\frac{22}{3}.$
Câu 4: Tính tích phân
Tính ${I=\int\limits_{-1}^{1}{\max \left\{ {{e}^{x}};{{2}^{x}} \right\}}\text{d}x.}$
Lời giải
Xét trên khoảng $\left( -1;1 \right)$, ta có: ${{e}^{x}}-{{2}^{x}}=0\Leftrightarrow x=0$
BXD:
Ta có:
${{e}^{x}}-{{2}^{x}}<0$với mọi $x\in \left( -1;0 \right)$ nên $\max \left\{ x;{{x}^{2}} \right\}={{2}^{x}}.$
${{e}^{x}}-{{2}^{x}}>0$với mọi $x\in \left( 0;1 \right)$ nên $\max \left\{ x;{{x}^{2}} \right\}={{e}^{x}}.$
Suy ra:
$I=\int\limits_{-1}^{0}{\max \left\{ {{e}^{x}};{{2}^{x}} \right\}}\text{d}x+\int\limits_{0}^{1}{\max \left\{ {{e}^{x}};{{2}^{x}} \right\}}\text{d}x=\int\limits_{-1}^{0}{{{2}^{x}}}\text{d}x+\int\limits_{0}^{1}{{{e}^{x}}}\text{d}x=\left. \frac{{{2}^{x}}}{\ln 2} \right|_{-1}^{0}+\left. {{e}^{x}} \right|_{0}^{1}=\frac{1}{2\ln 2}+e-1.$
Câu 5: Tính tích phân
Cho hàm số $g\left( x \right)=\int\limits_{\sqrt{x}}^{{{x}^{2}}}{\sqrt{t}\sin t\text{d}t}$ xác định với $x>0$. Tìm ${g}’\left( x \right)$.
Lời giải
Gọi $F\left( t \right)$ là một nguyên hàm của hàm số $f\left( t \right)=\sqrt{t}\sin t$. Suy ra: ${F}’\left( t \right)=f\left( t \right).$
Ta có:
$g\left( x \right)=\int\limits_{\sqrt{x}}^{{{x}^{2}}}{f\left( t \right)\text{d}t}=\left. F\left( t \right) \right|_{\sqrt{x}}^{{{x}^{2}}}=F\left( {{x}^{2}} \right)-F\left( \sqrt{x} \right)\,\,\,\,\,\left( * \right).$
Lấy đạo hàm hai vế của (*) theo biến $x$ ta được:
${g}’\left( x \right)=2x.{F}’\left( {{x}^{2}} \right)-\frac{1}{2\sqrt{x}}{F}’\left( \sqrt{x} \right)$$\Leftrightarrow {g}’\left( x \right)=2x.f\left( {{x}^{2}} \right)-\frac{1}{2\sqrt{x}}f\left( \sqrt{x} \right)$
$\Leftrightarrow {g}’\left( x \right)=2x.x\sin {{x}^{2}}-\frac{1}{2\sqrt{x}}\sqrt[4]{x}\sin \sqrt{x}$$\Leftrightarrow {g}’\left( x \right)=2{{x}^{2}}\sin {{x}^{2}}-\frac{1}{2\sqrt[4]{x}}\sin \sqrt{x}.$
Xem thêm: Bảng công thức nguyên hàm đầy đủ
Câu 6: Tính tích phân
Tính các tích phân sau
Lời giải
$a)\,I=\int\limits_{1}^{2}{\frac{1}{{{x}^{3}}+x}\text{.}\left( 3{{x}^{2}}+1 \right)\text{d}x}$
Đặt $t={{x}^{3}}+x\Rightarrow \text{d}t=\left( 3{{x}^{2}}+1 \right)\text{d}x$.
Đổi cận: $x=1\Rightarrow t=2$; $x=2\Rightarrow t=10$.
Suy ra: $I=\int\limits_{2}^{10}{\frac{1}{t}\text{d}t}=\left. \ln \left| t \right| \right|_{2}^{10}=\ln 5.$
$b)\,I=\int\limits_{\frac{{{\pi }^{2}}}{4}}^{{{\pi }^{2}}}{\sin \left( \sqrt{x}-\frac{\pi }{4} \right)\frac{1}{\sqrt{x}}\text{d}x}$
Đặt $t=\sqrt{x}-\frac{\pi }{4}\Rightarrow \text{d}t=\frac{1}{2\sqrt{x}}\text{d}x\Rightarrow 2\text{d}t=\frac{1}{\sqrt{x}}\text{d}x$.
Đổi cận: $x=\frac{{{\pi }^{2}}}{4}\Rightarrow t=\frac{\pi }{4}$; $x={{\pi }^{2}}\Rightarrow t=\frac{3\pi }{4}$.
Suy ra: $I=\int\limits_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{3\pi }{4}}{2\sin t\text{d}t}=\left. -2\cos t \right|_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{3\pi }{4}}=2\sqrt{2}.$
$c)\,I=\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{{{e}^{x-\cos x}}\left( 1+\sin x \right)\text{d}x}$
Đặt $t=x-\cos x\Rightarrow \text{d}t=\left( 1+\sin x \right)\text{d}x$.
Đổi cận: $x=0\Rightarrow t=-1$; $x=\frac{\pi }{2}\Rightarrow t=\frac{\pi }{2}$.
Suy ra: $I=\int\limits_{-1}^{\frac{\pi }{2}}{{{\text{e}}^{t}}\text{d}t}={{e}^{\frac{\pi }{2}}}-{{e}^{-1}}.$
$d)\,I=\int\limits_{0}^{1}{\frac{2}{{{({{x}^{2}}+3x+1)}^{2017}}}\left( 2x+3 \right)\text{d}x}$
Đặt $t={{x}^{2}}+3x+1\Rightarrow \text{d}t=\left( 2x+3 \right)\text{d}x$.
Đổi cận: $x=0\Rightarrow t=1$; $x=1\Rightarrow t=5$.
Suy ra: $I=\int\limits_{1}^{5}{\frac{2}{{{t}^{2017}}}\text{d}t}=\left. -\frac{1}{1008}\frac{1}{{{t}^{2016}}} \right|_{1}^{5}=-\frac{1}{1008}\left( \frac{1}{{{5}^{2016}}}-1 \right).$
$e)\,I=\int\limits_{0}^{1}{\sqrt{{{x}^{2}}+4}\text{.}x\text{d}x}$
Đặt $t=\sqrt{{{x}^{2}}+4}\Rightarrow {{t}^{2}}={{x}^{2}}+4\Rightarrow t\text{d}t=x\text{d}x$.
Đổi cận: $x=0\Rightarrow t=2$; $x=1\Rightarrow t=\sqrt{5}$.
Suy ra: $I=\int\limits_{2}^{\sqrt{5}}{{{t}^{2}}\text{d}t}=\left. \frac{{{t}^{3}}}{3} \right|_{2}^{\sqrt{5}}=\frac{5\sqrt{5}-8}{3}.$
$f)\,I=\int\limits_{0}^{1}{{{\left( x-1 \right)}^{2017}}\left( x+1 \right)\text{d}x}$
Đặt $t=x-1\Rightarrow \text{d}t=\text{d}x$ và $x=t+1$.
Đổi cận: $x=0\Rightarrow t=-1$; $x=1\Rightarrow t=0$.
Suy ra: $I=\int\limits_{-1}^{0}{{{t}^{2017}}\left( t+2 \right)\text{d}t}=\int\limits_{-1}^{0}{\left( {{t}^{2018}}\text{+2}{{\text{t}}^{2017}} \right)\text{d}t}=\left. \frac{{{t}^{2019}}}{2019} \right|_{-1}^{0}+\left. \frac{{{t}^{2018}}}{1009} \right|_{-1}^{0}=\frac{1}{2019}-\frac{1}{1009}.$
$g)\,I=\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{4}}{{{e}^{\tan x}}.\frac{1}{{{\cos }^{2}}x}\text{d}x}$
Đặt $t=\tan x\Rightarrow \text{d}t=\frac{1}{{{\cos }^{2}}x}\text{d}x$.
Đổi cận: $x=0\Rightarrow t=0$; $x=\frac{\pi }{4}\Rightarrow t=1$.
Suy ra: $I=\int\limits_{0}^{1}{{{e}^{t}}\text{d}t}=e-1.$
$h)\,\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{{{\sin }^{3}}x.\cos x\text{d}x}$
Đặt $t=\sin x\Rightarrow \text{d}t=\cos x\text{d}x$.
Đổi cận: $x=0\Rightarrow t=0$; $x=\frac{\pi }{2}\Rightarrow t=1$.
Suy ra: $I=\int\limits_{0}^{1}{{{\text{t}}^{3}}\text{d}t}=\frac{1}{4}.$
$i)\,I=\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{\frac{x\cos x}{\cos x+x\sin x}\text{d}x}$
Đặt $t=\cos x+x\sin x\Rightarrow \text{d}t=x\cos x\text{d}x$.
Đổi cận: $x=0\Rightarrow t=1$; $x=\frac{\pi }{2}\Rightarrow t=\frac{\pi }{2}$.
Suy ra: $I=\int\limits_{1}^{\frac{\pi }{2}}{\frac{1}{t}\text{d}t}=\ln \frac{\pi }{2}.$
Câu 7: Tính tích phân
Tính các tích phân sau:
Lời giải
$a)I=\int\limits_{0}^{1}{\frac{1}{1+{{x}^{2}}}dx}$
Đặt $x=\tan t,\,\,t\in \left( -\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2} \right)\Rightarrow \text{d}x=\left( 1+{{\tan }^{2}}t \right)\text{d}t$
Đổi cận: $x=0\Rightarrow t=0$; $x=1\Rightarrow t=\frac{\pi }{4}$.
Suy ra:
$I=\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{4}}{\frac{1}{1+{{\tan }^{2}}t}.\left( 1+{{\tan }^{2}}t \right)\text{d}t}=\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{4}}{\text{d}t}=\frac{\pi }{4}$.
$\,b)I=\int\limits_{0}^{1}{\frac{1}{{{x}^{2}}+3}dx}$
Đặt $x=\sqrt{3}\tan t,\,\,t\in \left( -\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2} \right)\Rightarrow \text{d}x=\sqrt{3}\left( 1+{{\tan }^{2}}t \right)\text{d}t$
Đổi cận: $x=0\Rightarrow t=0$; $x=1\Rightarrow t=\frac{\pi }{6}$.
Suy ra:
$I=\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{6}}{\frac{1}{3+3{{\tan }^{2}}t}.\sqrt{3}\left( 1+{{\tan }^{2}}t \right)\text{d}t}=\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{6}}{\frac{1}{\sqrt{3}}\text{d}t}=\frac{\pi }{6\sqrt{3}}$.
$c)\,I=\int\limits_{0}^{1}{\frac{1}{3+{{\left( 2x+1 \right)}^{2}}}dx}$
Đặt $2x+1=\sqrt{3}\tan t,\,\,t\in \left( -\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2} \right)\Rightarrow 2\text{d}x=\sqrt{3}\left( 1+{{\tan }^{2}}t \right)\text{d}t\Rightarrow \text{d}x=\frac{\sqrt{3}}{2}\left( 1+{{\tan }^{2}}t \right)\text{d}t$
Đổi cận: $x=0\Rightarrow t=\frac{\pi }{6}$; $x=1\Rightarrow t=\frac{\pi }{3}$.
Suy ra:
$I=\int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{3}}{\frac{1}{3+3{{\tan }^{2}}t}.\frac{\sqrt{3}}{2}\left( 1+{{\tan }^{2}}t \right)\text{d}t}=\int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{3}}{\frac{1}{2\sqrt{3}}\text{d}t}=\frac{\pi }{12\sqrt{3}}$.
$d)I=\int\limits_{0}^{1}{\frac{{{x}^{3}}}{{{x}^{8}}+1}dx\,}$
Đặt ${{x}^{4}}=\tan t,\,\,t\in \left( -\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2} \right)\Rightarrow 4{{x}^{3}}\text{d}x=\left( 1+{{\tan }^{2}}t \right)\text{d}t\Rightarrow {{x}^{3}}\text{d}x=\frac{1}{4}\left( 1+{{\tan }^{2}}t \right)\text{d}t$
Đổi cận: $x=0\Rightarrow t=0$; $x=1\Rightarrow t=\frac{\pi }{4}$.
Suy ra:
$I=\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{4}}{\frac{1}{1+{{\tan }^{2}}t}.\frac{1}{4}\left( 1+{{\tan }^{2}}t \right)\text{d}t}=\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{4}}{\frac{1}{4}\text{d}t}=\frac{\pi }{16}$.
$e)I=\int\limits_{0}^{1}{\sqrt{1-{{x}^{2}}}dx}$
Đặt $x=\sin t,\,\,t\in \left[ -\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2} \right]\Rightarrow \text{d}x=\cos t\text{d}t$
Đổi cận: $x=0\Rightarrow t=0$; $x=1\Rightarrow t=\frac{\pi }{2}$.
Suy ra:
$I=\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{\sqrt{1-{{\sin }^{2}}x}\text{.cos}t\text{d}t}=\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{\text{co}{{\text{s}}^{2}}t\text{d}t}=\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{\frac{1+\cos 2t}{2}\text{d}t}=\left. \frac{1}{2}t \right|_{0}^{\frac{\pi }{2}}+\left. \frac{1}{4}\sin 2t \right|_{0}^{\frac{\pi }{2}}=\frac{\pi }{4}.$
$f)\,I=\int\limits_{0}^{1}{\sqrt{-4{{x}^{2}}+4x+1}\text{d}x}=\int\limits_{0}^{1}{\sqrt{2-{{\left( 2x-1 \right)}^{2}}}\text{d}x}$
Đặt $2x-1=\sqrt{2}\sin t,\,\,t\in \left[ -\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2} \right]\Rightarrow \text{d}x=\frac{1}{\sqrt{2}}\cos t\text{d}t$
Đổi cận: $x=0\Rightarrow t=-\frac{\pi }{4}$; $x=1\Rightarrow t=\frac{\pi }{4}$.
Suy ra:
$I=\int\limits_{-\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{4}}{\sqrt{2-2{{\sin }^{2}}x}\text{.}\frac{1}{\sqrt{2}}\text{cos}t\text{d}t}=\int\limits_{-\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{4}}{\text{co}{{\text{s}}^{2}}t\text{d}t}=\int\limits_{-\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{4}}{\frac{1+\cos 2t}{2}\text{d}t}=\left. \frac{1}{2}t \right|_{-\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{4}}+\left. \frac{1}{4}\sin 2t \right|_{-\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{4}}=\frac{\pi }{4}+\frac{1}{2}.$
$g)I=\int\limits_{0}^{1}{\sqrt{2x-{{x}^{2}}}\text{d}x}=\int\limits_{0}^{1}{\sqrt{1-{{\left( x-1 \right)}^{2}}}\text{d}x}$
Đặt $x-1=\sin t,\,\,t\in \left[ -\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2} \right]\Rightarrow \text{d}x=\cos t\text{d}t$
Đổi cận: $x=0\Rightarrow t=-\frac{\pi }{2}$; $x=1\Rightarrow t=0$.
Suy ra:
$I=\int\limits_{-\frac{\pi }{2}}^{0}{\sqrt{1-{{\sin }^{2}}x}\text{.cos}t\text{d}t}=\int\limits_{-\frac{\pi }{2}}^{0}{\text{co}{{\text{s}}^{2}}t\text{d}t}=\int\limits_{-\frac{\pi }{2}}^{0}{\frac{1+\cos 2t}{2}\text{d}t}=\left. \frac{1}{2}t \right|_{-\frac{\pi }{2}}^{0}+\left. \frac{1}{4}\sin 2t \right|_{-\frac{\pi }{2}}^{0}=\frac{\pi }{4}.$
$h)I=\int\limits_{\frac{2}{\sqrt{3}}}^{2}{\frac{1}{x\sqrt{{{x}^{2}}-1}}\text{d}x}$
Đặt $x=\frac{1}{\sin t},\,\,t\in \left[ -\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2} \right]\backslash \left\{ 0 \right\}\Rightarrow \text{d}x=\frac{-\cos t}{{{\sin }^{2}}t}\text{d}t$
Đổi cận: $x=\frac{2}{\sqrt{3}}\Rightarrow t=\frac{\pi }{3}$; $x=2\Rightarrow t=\frac{\pi }{6}$.
Suy ra:
$I=\int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{3}}{\frac{\sin t}{\sqrt{\frac{1}{{{\sin }^{2}}t}-1}}\frac{\text{cos}t}{{{\sin }^{2}}t}\text{d}t}=\int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{3}}{\text{d}t}=\frac{\pi }{6}.$
Câu 8: Tính tích phân
Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ có đạo hàm liên tục trên đoạn $\left[ a;b \right]$. Chứng minh rằng: $I=\int\limits_{a}^{b}{\left[ {f}’\left( x \right)+f\left( x \right) \right]{{e}^{x}}\text{d}x}=f\left( b \right).{{e}^{b}}-f\left( a \right){{e}^{a}}$
Lời giải
Cách 1:
Ta có:
$I=\int\limits_{a}^{b}{\left[ {f}’\left( x \right)+f\left( x \right) \right]{{e}^{x}}\text{d}x}=\int\limits_{a}^{b}{{f}’\left( x \right){{e}^{x}}\text{d}x}+\int\limits_{a}^{b}{f\left( x \right){{e}^{x}}\text{d}x}=J+\int\limits_{a}^{b}{f\left( x \right){{e}^{x}}\text{d}x}$
Tính $J=\int\limits_{a}^{b}{{f}’\left( x \right){{e}^{x}}\text{d}x}$
Suy ra:
$J=\left. f\left( x \right){{e}^{x}} \right|_{a}^{b}-\int\limits_{a}^{b}{f\left( x \right){{e}^{x}}\text{d}x}$
Do đó:
$I=J+\int\limits_{a}^{b}{f\left( x \right){{e}^{x}}\text{d}x}=\left. f\left( x \right){{e}^{x}} \right|_{a}^{b}=f\left( b \right){{e}^{b}}-f\left( a \right){{e}^{a}}$
Cách 2:
Ta có: ${{\left( f\left( x \right){{e}^{x}} \right)}^{\prime }}={f}’\left( x \right){{e}^{x}}+f\left( x \right){{e}^{x}}=\left[ {f}’\left( x \right)+f\left( x \right) \right]{{e}^{x}}$
Do đó:
$I=\int\limits_{a}^{b}{{{\left( f\left( x \right){{e}^{x}} \right)}^{\prime }}\text{d}x}=\left. f\left( x \right){{e}^{x}} \right|_{a}^{b}=f\left( b \right){{e}^{b}}-f\left( a \right){{e}^{a}}.$
Câu 9: Tính tích phân
Cho hàm số $f\left( x \right)$ nhận giá trị dương, có đạo hàm liên tục trên $\left[ 0;2 \right].$ Biết $f\left( 0 \right)=1$ và $f\left( x \right)f\left( 2-x \right)={{e}^{2{{x}^{2}}-4x}}$ với mọi $x\in \left[ 0;2 \right].$ Tính tích phân $I=\int\limits_{0}^{2}{\frac{\left( {{x}^{3}}-3{{x}^{2}} \right)f’\left( x \right)}{f\left( x \right)}\text{d}x}.$
Lời giải
Từ giả thiết $f\left( x \right)f\left( 2-x \right)={{e}^{2{{x}^{2}}-4x}}\xrightarrow{x=2}f\left( 2 \right)=1.$
Ta có $J=\int\limits_{0}^{2}{\left( {{x}^{2}}-2x \right)\ln \left| f\left( x \right) \right|\text{d}x}\text{ }\overset{x=2-t}{\mathop{=}}\,\text{ }\int\limits_{2}^{0}{\left[ {{\left( 2-t \right)}^{2}}-2\left( 2-t \right) \right]\ln \left| f\left( 2-t \right) \right|\text{d}\left( 2-t \right)}$
$=\int\limits_{2}^{0}{\left[ {{\left( 2-x \right)}^{2}}-2\left( 2-x \right) \right]\ln \left| f\left( 2-x \right) \right|\text{d}\left( 2-x \right)}=\int\limits_{0}^{2}{\left( {{x}^{2}}-2x \right)\ln \left| f\left( 2-x \right) \right|\text{d}x}.$
Suy ra $2J=\int\limits_{0}^{2}{\left( {{x}^{2}}-2x \right)\ln \left| f\left( x \right) \right|\text{d}x}+\int\limits_{0}^{2}{\left( {{x}^{2}}-2x \right)\ln \left| f\left( 2-x \right) \right|\text{d}x}=\int\limits_{0}^{2}{\left( {{x}^{2}}-2x \right)\ln \left| f\left( x \right)f\left( 2-x \right) \right|\text{d}x}$
$=\int\limits_{0}^{2}{\left( {{x}^{2}}-2x \right)\ln {{e}^{2{{x}^{2}}-4x}}\text{d}x}=\int\limits_{0}^{2}{\left( {{x}^{2}}-2x \right)\left( 2{{x}^{2}}-4x \right)\text{d}x}=\frac{32}{15}\xrightarrow{{}}J=\frac{16}{15}.$
Vậy $I=-3J=-\frac{16}{5}.$
Câu 10: Tính $P=2a+b.$
Biết $\int\limits_{0}^{\pi }{\frac{x{{\sin }^{2018}}x}{{{\sin }^{2018}}x+{{\cos }^{2018}}x}\text{d}x}=\frac{{{\pi }^{a}}}{b}$ với $a,b\in {{\mathbb{Z}}^{+}}.$ Tính $P=2a+b.$
Lời giải
Gọi $I=\int\limits_{0}^{\pi }{\frac{x{{\sin }^{2018}}x}{{{\sin }^{2018}}x+{{\cos }^{2018}}x}\text{d}x}$
Khi đó $I=-\int\limits_{\pi }^{0}{\frac{\left( \pi -t \right){{\sin }^{2018}}\left( \pi -t \right)}{{{\sin }^{2018}}\left( \pi -t \right)+{{\cos }^{2018}}\left( \pi -t \right)}\text{d}t}=\int\limits_{0}^{\pi }{\frac{\left( \pi -t \right){{\sin }^{2018}}t}{{{\sin }^{2018}}t+{{\cos }^{2018}}t}\text{d}t}=\int\limits_{0}^{\pi }{\frac{\left( \pi -x \right){{\sin }^{2018}}x}{{{\sin }^{2018}}x+{{\cos }^{2018}}x}\text{d}x}.$
Suy ra $2I=\int\limits_{0}^{\pi }{\frac{x{{\sin }^{2018}}x}{{{\sin }^{2018}}x+{{\cos }^{2018}}x}\text{d}x}+\int\limits_{0}^{\pi }{\frac{\left( \pi -x \right){{\sin }^{2018}}x}{{{\sin }^{2018}}x+{{\cos }^{2018}}x}\text{d}x}=\int\limits_{0}^{\pi }{\frac{\pi {{\sin }^{2018}}x}{{{\sin }^{2018}}x+{{\cos }^{2018}}x}\text{d}x}$
$\xrightarrow{{}}I=\frac{\pi }{2}\int\limits_{0}^{\pi }{\frac{{{\sin }^{2018}}x}{{{\sin }^{2018}}x+{{\cos }^{2018}}x}\text{d}x}=\frac{\pi }{2}\left[ \int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{\frac{{{\sin }^{2018}}x}{{{\sin }^{2018}}x+{{\cos }^{2018}}x}\text{d}x}+\int\limits_{\frac{\pi }{2}}^{\pi }{\frac{{{\sin }^{2018}}x}{{{\sin }^{2018}}x+{{\cos }^{2018}}x}\text{d}x} \right].$
Đặt $x=u+\frac{\pi }{2}$ ta suy ra $\int\limits_{\frac{\pi }{2}}^{\pi }{\frac{{{\sin }^{2018}}x}{{{\sin }^{2018}}x+{{\cos }^{2018}}x}\text{d}x}=\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{\frac{{{\cos }^{2018}}u}{{{\sin }^{2018}}u+{{\cos }^{2018}}u}\text{d}u}=\int\limits_{\frac{\pi }{2}}^{\pi }{\frac{{{\cos }^{2018}}x}{{{\sin }^{2018}}x+{{\cos }^{2018}}x}\text{d}x}.$
Câu 11: Tính tích phân
Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ liên tục trên $\left[ 0;1 \right]$ và thỏa mãn ${{x}^{2}}f\left( x \right)+f\left( 1-x \right)=2x-{{x}^{4}}.$ Tính tích phân $I=\int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right)\text{d}x}.$
Lời giải
Từ giả thiết, thay $x$ bằng $1-x$ ta được ${{\left( 1-x \right)}^{2}}f\left( 1-x \right)+f\left( x \right)=2\left( 1-x \right)-{{\left( 1-x \right)}^{4}}$
$\Leftrightarrow \left( {{x}^{2}}-2x+1 \right)f\left( 1-x \right)+f\left( x \right)=1+2x-6{{x}^{2}}+4{{x}^{3}}-{{x}^{4}}.$ $\left( 1 \right)$
Ta có ${{x}^{2}}f\left( x \right)+f\left( 1-x \right)=2x-{{x}^{4}}\xrightarrow{{}}f\left( 1-x \right)=2x-{{x}^{4}}-{{x}^{2}}f\left( x \right)$. Thay vào $\left( 1 \right)$ ta được
$\left( {{x}^{2}}-2x+1 \right)\left[ 2x-{{x}^{4}}-{{x}^{2}}f\left( x \right) \right]+f\left( x \right)=1+2x-6{{x}^{2}}+4{{x}^{3}}-{{x}^{4}}$
$\Leftrightarrow \left( 1-{{x}^{2}}+2{{x}^{3}}-{{x}^{4}} \right)f\left( x \right)={{x}^{6}}-2{{x}^{5}}+2{{x}^{3}}-2{{x}^{2}}+1$
Câu 12: Tính tích phân cấp 2
Cho hàm số $f\left( x \right)$ thỏa $f\left( x \right){f}’\left( x \right)=3{{x}^{5}}+6{{x}^{2}}.$ Biết rằng $f\left( 0 \right)=2,$ tính${{f}^{2}}\left( 2 \right).$
Lời giải
Từ giả thiết ta có $\int\limits_{{}}^{{}}{f\left( x \right).{f}’\left( x \right)\text{d}x}=\int\limits_{{}}^{{}}{\left( 3{{x}^{5}}+6{{x}^{2}} \right)\text{d}x}\Leftrightarrow \frac{{{f}^{2}}\left( x \right)}{2}=\frac{{{x}^{6}}}{2}+2{{x}^{3}}+C.$
Thay $x=0$ vào hai vế, ta được $\frac{{{f}^{2}}\left( 0 \right)}{2}=C\Rightarrow C=2.$
Suy ra ${{f}^{2}}\left( x \right)={{x}^{6}}+4{{x}^{3}}+4\xrightarrow{{}}{{f}^{2}}\left( 2 \right)={{2}^{6}}+{{4.2}^{3}}+4=100.$
Câu 13: Tính tích phân
Cho hàm số $f\left( x \right)$ có đạo hàm trên $\mathbb{R},$ thỏa mãn $f’\left( x \right)-2018f\left( x \right)=2018{{x}^{2017}}{{e}^{2018x}}$ với mọi $x\in \mathbb{R}$ và $f\left( 0 \right)=2018.$ Tính giá trị $f\left( 1 \right).$
Lời giải
Nhân hai vế cho ${{e}^{-2018x}}$ để thu được đạo hàm đúng, ta được
${f}’\left( x \right){{e}^{-2018x}}-2018f\left( x \right){{e}^{-2018x}}=2018{{x}^{2017}}\Leftrightarrow {{\left[ f\left( x \right){{e}^{-2018x}} \right]}^{\prime }}=2018{{x}^{2017}}.$
Suy ra $f\left( x \right){{e}^{-2018x}}=\int\limits_{{}}^{{}}{2018{{x}^{2017}}\text{d}x}={{x}^{2018}}+C.$
Thay $x=0$ vào hai vế ta được $C=2018\xrightarrow{{}}f\left( x \right)=\left( {{x}^{2018}}+2018 \right){{e}^{2018x}}.$
Vậy $f\left( 1 \right)=2019{{e}^{2018}}.$
Câu 14: Tính tích phân
Cho hàm số $f\left( x \right)$ liên tục trên $\left[ 0;\frac{\pi }{2} \right],$ thỏa $\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{\left[ {{f}^{2}}\left( x \right)-2\sqrt{2}f\left( x \right)\sin \left( x-\frac{\pi }{4} \right) \right]\text{d}x}=\frac{2-\pi }{2}.$ Tính tích phân $I=\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{f\left( x \right)\text{d}x}.$
Lời giải
Ta có $\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{2{{\sin }^{2}}\left( x-\frac{\pi }{4} \right)\text{d}x}=-\frac{2-\pi }{2}.$
Do đó giả thiết tương đương với $\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{\left[ {{f}^{2}}\left( x \right)-2\sqrt{2}f\left( x \right)\sin \left( x-\frac{\pi }{4} \right)+2{{\sin }^{2}}\left( x-\frac{\pi }{4} \right) \right]\text{d}x}=0$
$\Leftrightarrow \int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{{{\left[ f\left( x \right)-\sqrt{2}\sin \left( x-\frac{\pi }{4} \right) \right]}^{2}}\text{d}x}=0\Leftrightarrow f\left( x \right)-\sqrt{2}\sin \left( x-\frac{\pi }{4} \right)=0,\text{ }\forall x\in \left[ 0;\frac{\pi }{2} \right].$
Suy ra $f\left( x \right)=\sqrt{2}\sin \left( x-\frac{\pi }{4} \right)\xrightarrow{{}}I=\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{f\left( x \right)\text{d}x}=\sqrt{2}\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{\sin \left( x-\frac{\pi }{4} \right)\text{d}x}=0.$ Chọn A.
Câu 15: Tính tích phân
Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ liên tục trên đoạn $\left[ 0;1 \right],$ thỏa mãn $\int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right)\text{d}x}=\int\limits_{0}^{1}{xf\left( x \right)\text{d}x}=1$ và $\int\limits_{0}^{1}{{{\left[ f\left( x \right) \right]}^{2}}\text{d}x}=4$. Giá trị của tích phân $\int\limits_{0}^{1}{{{\left[ f\left( x \right) \right]}^{3}}\text{d}x}$ bằng
Lời giải
Ở đây các hàm xuất hiện dưới dấu tích phân là ${{\left[ f\left( x \right) \right]}^{2}},\text{ }xf\left( x \right),\text{ }f\left( x \right)$ nên ta sẽ liên kết với bình phương ${{\left[ f\left( x \right)+\alpha x+\beta \right]}^{2}}.$
Với mỗi số thực $\alpha ,\text{ }\beta $ ta có $\int\limits_{0}^{1}{{{\left[ f\left( x \right)+\alpha x+\beta \right]}^{2}}\text{d}x}=\int\limits_{0}^{1}{{{\left[ f\left( x \right) \right]}^{2}}\text{d}x}+2\int\limits_{0}^{1}{\left( \alpha x+\beta \right)f\left( x \right)\text{d}x}+\int\limits_{0}^{1}{{{\left( \alpha x+\beta \right)}^{2}}\text{d}x}$
$=4+2\left( \alpha +\beta \right)+\frac{{{\alpha }^{2}}}{3}+\alpha \beta +{{\beta }^{2}}.$
Ta cần tìm $\alpha ,\text{ }\beta $ sao cho $\int\limits_{0}^{1}{{{\left[ f\left( x \right)+\alpha x+\beta \right]}^{2}}\text{d}x}=0$ hay $4+2\left( \alpha +\beta \right)+\frac{{{\alpha }^{2}}}{3}+\alpha \beta +{{\beta }^{2}}=0$
$\Leftrightarrow {{\alpha }^{2}}+\left( 3\beta +6 \right)\alpha +3{{\beta }^{2}}+6\beta +12=0.$ Để tồn tại $\alpha $ thì $\Delta ={{\left( 3\beta +6 \right)}^{2}}-4\left( 3{{\beta }^{2}}+6\beta +12 \right)\ge 0$
$\Leftrightarrow -3{{\beta }^{2}}+12\beta -12\ge 0\Leftrightarrow -3{{\left( \beta -2 \right)}^{2}}\ge 0\Leftrightarrow \beta =2\xrightarrow{{}}\alpha =-6.$
Vậy $\int\limits_{0}^{1}{{{\left[ f\left( x \right)-6x+2 \right]}^{2}}\text{d}x}=0\xrightarrow{{}}f\left( x \right)=6x-2,\text{ }\forall x\in \left[ 0;1 \right]\xrightarrow{{}}\int\limits_{0}^{1}{{{\left[ f\left( x \right) \right]}^{3}}\text{d}x}=10.$ Chọn C.
Xem thêm:
Ứng dụng tích phân trong thực tế
Cách giải và bài tập mẫu ứng dụng tích phân tính thể tích khối tròn xoay
Các dạng bài tập về nguyên hàm đầy đủ chi tiết nhất
