Cách giải và bài tập mẫu tích phân từng phần

Bài viết sau đây giới thiệu đến các bạn cách giải và bài tập tích phân từng phần có lời giải, phương pháp tích phân từng phần cũng như công thức tính tích phân từng phần. Khoa Cử hy vọng với những chia sẻ này sẽ hỗ trợ bạn đọc học tốt môn Toán lớp 12!

I. CÁCH GIẢI TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN

Công thức từng phần:

$\int\limits_{a}^{b}{u\left( x \right){v}’\left( x \right)\text{d}x=}\left. \left[ u\left( x \right)v\left( x \right) \right] \right|_{a}^{b}-\int\limits_{a}^{b}{v\left( x \right){u}’\left( x \right)\text{d}x}$.

Viết gọn:   $\int\limits_{a}^{b}{u\text{d}v=}\left. \left( uv \right) \right|_{a}^{b}-\int\limits_{a}^{b}{v\text{d}u}$

Áp dụng: Tính tích phân $I=\int\limits_{a}^{b}{f\left( x \right)\text{d}x}$

Phương pháp:

+ Bước 1: Biến đổi $I=\int\limits_{a}^{b}{{{f}_{1}}\left( x \right).{{f}_{2}}\left( x \right)\text{d}x}$

bài tập tích phân từng phần có lời giải

+ Bước 3: Khi đó $I=\left. \left( uv \right) \right|_{a}^{b}-\int\limits_{a}^{b}{v\text{d}u}$

  • Dạng 1. $I=\int{P\left( x \right)\sin \left( ax+b \right)\text{d}x}$, trong đó $P\left( x \right)$ là đa thức.

phương pháp tích phân từng phần

  • Dạng 2. $I=\int{P\left( x \right)\cos \left( ax+b \right)\text{d}x}$, trong đó $P\left( x \right)$ là đa thức.công thức tính tích phân từng phần
  • Dạng 3. $I=\int{P\left( x \right){{e}^{ax+b}}\text{d}x}$, trong đó $P\left( x \right)$ là đa thức.

bài tập tích phân từng phần có lời giải

  • Dạng 4. $I=\int{P\left( x \right)\ln g\left( x \right)\text{d}x}$, trong đó $P\left( x \right)$ là đa thức.

phương pháp tích phân từng phần

Nếu $u,v$ có đạo hàm liên tục trên $\left( a;b \right)$ thì $$.

công thức tính tích phân từng phần

Nhận dạng: tích hai hàm khác loại nhân nhau

Thứ tự ưu tiên chọn u là: “log đa lượng ” và dv phần còn lại.

Nghĩa là nếu có ln hay ${{\log }_{a}}x$ thì chọn $u=\ln $ hay $u={{\log }_{a}}x=\frac{1}{\ln a}.\ln x$ và $dv=$ còn lại. Nếu không có $\ln ;\text{ }\log $ thì chọn $u=$ đa thức và $dv=$ còn lại,…

CHÚ Ý:.  $\xrightarrow{{}}$ tích phân từng phần luân hồi.

Nghĩa là sau khi đặt u, dv để tính tích phân từng phần và tiếp tục tính  sẽ xuất hiện lại tích phân ban đầu. Giả sử tích phân được tính ban đầu là I và nếu lập lại, ta sẽ không giải tiếp mà xem đây là phương trình bậc nhất ẩn là .

Xem thêm: Lý thuyết và bài tập mẫu tích phân

II. BÀI TẬP MẪU TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN

Câu 1: Tính tích phân từng phần của $\int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right)}\text{d}x$

Cho hàm số$f\left( x \right)$ có $f\left( 0 \right)=-1$và ${f}’\left( x \right)=x\left( 6+12x+{{e}^{-x}} \right),\forall x\in \mathbb{R}$. Khi đó $\int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right)}\text{d}x$bằng

A. $3e$.                          B. $3{{e}^{-1}}$.                          C. $4-3{{e}^{-1}}$.                           D. $-3{{e}^{-1}}$.

Lời giải

Chọn B

Ta có: ${f}’\left( x \right)=x\left( 6+12x+{{e}^{-x}} \right),\forall x\in \mathbb{R}$ nên $f\left( x \right)$là một nguyên hàm của ${f}’\left( x \right)$.

$\int{{f}’\left( x \right)\text{d}x=\int{x\left( 6+12x+{{e}^{-x}} \right)\text{d}x}}=\int{\left( 6x+12{{x}^{2}} \right)\text{d}x+\int{x{{e}^{-x}}\text{d}x}}$

Mà $\int{\left( 6x+12{{x}^{2}} \right)\text{d}x=3{{x}^{2}}+4{{x}^{3}}}+C$

bài tập tích phân từng phần có lời giải

$\int{x{{e}^{-x}}\text{d}x=-x{{e}^{-x}}+\int{{{e}^{-x}}}}\text{d}x=-x{{e}^{-x}}-{{e}^{-x}}+C=-\left( x+1 \right){{e}^{-x}}+C$

Suy ra $f\left( x \right)=3{{x}^{2}}+4{{x}^{3}}-\left( x+1 \right){{e}^{-x}}+C,\forall x\in \mathbb{R}$.

Mà $f\left( 0 \right)=-1\Rightarrow C=0$ nên $f\left( x \right)=3{{x}^{2}}+4{{x}^{3}}-\left( x+1 \right){{e}^{-x}},\forall x\in \mathbb{R}$.

Ta có

$\int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right)}\text{d}x=\int\limits_{0}^{1}{\left( 3{{x}^{2}}+4{{x}^{3}}-\left( x+1 \right){{e}^{-x}} \right)}\text{d}x=\left. \left( {{x}^{3}}+{{x}^{4}} \right) \right|_{0}^{1}-\int\limits_{0}^{1}{\left( x+1 \right){{e}^{-x}}\text{d}x}=2-\int\limits_{0}^{1}{\left( x+1 \right){{e}^{-x}}\text{d}x}$

phương pháp tích phân từng phần

$\int\limits_{0}^{1}{\left( x+1 \right){{e}^{-x}}\text{d}x}=\left. -\left( x+1 \right){{e}^{-x}} \right|_{0}^{1}+\int\limits_{0}^{1}{{{e}^{-x}}\text{d}x}=-2{{e}^{-1}}+1-\left. {{e}^{-x}} \right|_{0}^{1}=-2{{e}^{-1}}+1-{{e}^{-1}}+1=2-3{{e}^{-1}}$

Vậy $\int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right)\text{d}x}=3{{e}^{-1}}$.

Câu 2: Tính giá trị của $P=a+4b$

Cho $\int\limits_{1}^{2}{\frac{\ln \left( 1+x \right)}{{{x}^{2}}}dx}=a\ln 2+b\ln 3$, với $a,b$ là các số hữu tỉ. Tính $P=a+4b$.

A. $P=0$                           B. $P=1$                           C. $P=3$                             D. $P=-3$

Lời giải

$\int\limits_{1}^{2}{\frac{\ln \left( 1+x \right)}{{{x}^{2}}}\text{d}x}=\int\limits_{1}^{2}{\ln \left( 1+x \right){{\left( \frac{-1}{x} \right)}^{\prime }}\text{d}x}$$=\left. \ln \left( 1+x \right).\frac{-1}{x} \right|_{1}^{2}-\int\limits_{1}^{2}{\frac{1}{x+1}.\frac{-1}{x}\text{d}x}$$=\frac{-1}{2}\ln 3+\ln 2+\int\limits_{1}^{2}{\frac{1}{x}\text{d}x}-\int\limits_{1}^{2}{\frac{1}{x+1}\text{d}x}$$=\frac{-1}{2}\ln 3+\ln 2-\left. \ln \left( 1+x \right) \right|_{1}^{2}+\left. \ln x \right|_{1}^{2}$$=\frac{-1}{2}\ln 3+\ln 2-\ln 3+2\ln 2=\frac{-3}{2}\ln 3+3\ln 2\Rightarrow a=3,b=\frac{-3}{2}$.

Vậy $a+4b=-3$.

Câu 3: Tính giá trị của ${a+2\left( b+c \right)}$ 

Cho ${\int\limits_{1}^{2}{\frac{\ln \left( 1+2x \right)}{{{x}^{2}}}\text{d}x}=\frac{a}{2}\ln 5+b\ln 3+c\ln 2}$, với ${a}$, ${b}$, ${c}$ là các số nguyên. Giá trị của ${a+2\left( b+c \right)}$ là:

A. 0.                           B. 9.                           C. 3.                              D. 5.

Lời giải

Áp dụng phương pháp tích phân từng phần:

công thức tính tích phân từng phần

$\Rightarrow \int\limits_{1}^{2}{\frac{\ln \left( 1+2x \right)}{{{x}^{2}}}\text{d}x}=\left. \frac{-\left( 2x+1 \right)}{x}\cdot \ln \left( 1+2x \right) \right|_{1}^{2}+\int\limits_{1}^{2}{\frac{2}{x}\text{d}x}$

$=\left( -\frac{5}{2}\ln 5+3\ln 3 \right)+\left. 2\ln \left| x \right| \right|_{1}^{2}$

$=\frac{-5}{2}\ln 5+3\ln 3+2\ln 2$.

$\Rightarrow a=-5$, $b=3$, $c=2$.

Vậy $a+2\left( b+c \right)=5$.

Câu 4: Tính giá trị của $P=ab$

Cho $\int\limits_{1}^{2}{\frac{\ln \left( 1+x \right)}{{{x}^{2}}}\text{d}x}=a\ln 2+b\ln 3$, với $a$, $b$ là các số hữu tỉ. Tính $P=ab$.

A. $P=\frac{3}{2}$.                          B. $P=0$.                           C. $P=\frac{-9}{2}$.                             D. $P=-3$.

Lời giải

Ta có $I=\int\limits_{1}^{2}{\frac{\ln \left( 1+x \right)}{{{x}^{2}}}\text{d}x}=a\ln 2+b\ln 3$.

bài tập tích phân từng phần có lời giải

Khi đó $I=-\frac{1}{x}\ln \left. (1+x) \right|_{1}^{2}+\int_{1}^{2}{\frac{1}{x(1+x)}}\text{d}x=-\frac{1}{2}\ln 3+\ln 2+\int_{1}^{2}{\left( \frac{1}{x}-\frac{1}{1+x} \right)}\text{d}x$

$=-\frac{1}{2}\ln 3+\ln 2+\left. \left( \ln \frac{x}{x+1} \right) \right|_{1}^{2}=-\frac{1}{2}\ln 3+\ln 2+2\ln 2-\ln 3=3\ln 2-\frac{3}{2}\ln 3.$

Suy ra $a=3$, $b=-\frac{3}{2}$. Vậy $P=ab=\frac{-9}{2}$.

Câu 5: Tính giá trị của $bc-ad$

Biết $\int\limits_{\frac{1}{12}}^{12}{\left( 1+x-\frac{1}{x} \right)}{{e}^{x+\frac{1}{x}}}dx=\frac{a}{b}{{e}^{\frac{c}{d}}}$ trong đó $a,b,c,d$là các số nguyên dương và các phân số $\frac{a}{b},\frac{c}{d}$ là tối giản. Tính $bc-ad$.

A. 12.                           B. 1.                           C. 24.                            D. 64.

Lời giải

Ta có: $I=\int\limits_{\frac{1}{12}}^{12}{\left[ x\left( 1-\frac{1}{{{x}^{2}}} \right)+1 \right]{{e}^{x+\frac{1}{x}}}}dx=\int\limits_{\frac{1}{12}}^{12}{x\left( 1-\frac{1}{{{x}^{2}}} \right){{e}^{x+\frac{1}{x}}}}dx+\int\limits_{\frac{1}{12}}^{12}{{{e}^{x+\frac{1}{x}}}}dx$.

phương pháp tích phân từng phần

Khi đó: $I=\int\limits_{\frac{1}{12}}^{12}{x\left( 1-\frac{1}{{{x}^{2}}} \right){{e}^{x+\frac{1}{x}}}}dx+\int\limits_{\frac{1}{12}}^{12}{{{e}^{x+\frac{1}{x}}}}dx=\left. x.{{e}^{x+\frac{1}{x}}} \right|_{\frac{1}{12}}^{12}-\int\limits_{\frac{1}{12}}^{12}{{{e}^{x+\frac{1}{x}}}}dx+\int\limits_{\frac{1}{12}}^{12}{{{e}^{x+\frac{1}{x}}}}dx$

$=12{{e}^{12+\frac{1}{12}}}-\frac{1}{12}{{e}^{12+\frac{1}{12}}}=\frac{143}{12}{{e}^{\frac{145}{12}}}$.

Vậy: $a=143;\,b=12;\,c=145;d=12.$ Dó đó: $bc-ad=12.145-143.12=24$.

Câu 6: Tính giá trị của biểu thức $P=\left( a+b \right)\left( c+d \right)$

Cho $\int\limits_{0}^{2}{\frac{x+\ln \left( x+1 \right)}{{{\left( x+2 \right)}^{2}}}\text{d}x}=\frac{a}{b}+\frac{c}{d}\ln 3$. Tính $P=\left( a+b \right)\left( c+d \right)$.

A. $7$                           B. $-7$.                           C. $3$.                          D. $-3$.

Lời giải

Ta có $\int\limits_{0}^{2}{\frac{x+\ln \left( x+1 \right)}{{{\left( x+2 \right)}^{2}}}\text{d}x}=\int\limits_{0}^{2}{\frac{1}{x+2}\text{d}x}-\int\limits_{0}^{2}{\frac{2}{{{\left( x+2 \right)}^{2}}}\text{d}x+}\int\limits_{0}^{2}{\frac{\ln \left( x+1 \right)}{{{\left( x+2 \right)}^{2}}}\text{d}x}$.

$\int\limits_{0}^{2}{\frac{1}{x+2}\text{d}x}-\int\limits_{0}^{2}{\frac{2}{{{\left( x+2 \right)}^{2}}}\text{d}x}=\left. \left( \ln \left| x+2 \right|+\frac{2}{x+2} \right) \right|_{0}^{2}=\ln 2-\frac{1}{2}$.

$I=\int\limits_{0}^{2}{\frac{\ln \left( x+1 \right)}{{{\left( x+2 \right)}^{2}}}\text{d}x}$.

công thức tính tích phân từng phần

Suy ra $I=\left. \left( \frac{\left( x+1 \right)\ln (x+1)}{\left( x+2 \right)} \right) \right|_{0}^{2}-\int\limits_{0}^{2}{\frac{1}{\left( x+2 \right)}\text{d}x}=\frac{3}{4}\ln 3-\ln 2$.

Do đó $\int\limits_{0}^{2}{\frac{x+\ln \left( x+1 \right)}{{{\left( x+2 \right)}^{2}}}\text{d}x}=-\frac{1}{2}+\frac{3}{4}\ln 3$$\Rightarrow P=\left( -1+2 \right)\left( 3+4 \right)=7$.

Câu 7: Tính giá trị của biểu thức $T=a+b+c$ 

Biết $I=\int\limits_{0}^{4}{x\ln \left( {{x}^{2}}+9 \right)}\text{d}x=a\ln 5+b\ln 3+c$ trong đó $a$, $b$, $c$ là các số thực. Tính giá trị của biểu thức $T=a+b+c$.

A. $T=9$.                            B. $T=11$.                            C. $T=8$.                             D. $T=10$.

Lời giải

Chọn C

Cách 1

bài tập tích phân từng phần có lời giải

Do đó

$I=\left. \frac{{{x}^{2}}+9}{2}\ln \left( {{x}^{2}}+9 \right) \right|_{0}^{4}-\int\limits_{0}^{4}{\frac{{{x}^{2}}+9}{2}.\frac{2x}{{{x}^{2}}+9}\text{d}x}$$=\left. \frac{{{x}^{2}}+9}{2}\ln \left( {{x}^{2}}+9 \right) \right|_{0}^{4}-\int\limits_{0}^{4}{x\text{d}x}$

$=\left. \frac{{{x}^{2}}+9}{2}\ln \left( {{x}^{2}}+9 \right) \right|_{0}^{4}-\left. \left( \frac{{{x}^{2}}}{2} \right) \right|_{0}^{4}$$=\frac{25}{2}\ln 25-\frac{9}{2}\ln 9-8$$=25\ln 5-9\ln 3-8$$=a\ln 5+b\ln 3+c$.

phương pháp tích phân từng phần

Cách 2

Ta có $I=\int\limits_{0}^{4}{x\ln \left( {{x}^{2}}+9 \right)}\text{d}x$

Đặt $t={{x}^{2}}+9\Rightarrow \text{d}t=2x\text{d}x\Rightarrow x\text{d}x=\frac{1}{2}\text{d}t$

Đổi cận: $x=0\Rightarrow t=9$, $x=4\Rightarrow t=25$

Suy ra $I=\int\limits_{0}^{4}{x\ln \left( {{x}^{2}}+9 \right)}\text{d}x=\frac{1}{2}\int\limits_{9}^{25}{\ln t}\text{d}t$

công thức tính tích phân từng phần

$\Rightarrow I=\frac{1}{2}\int\limits_{9}^{25}{t\ln t}\text{d}t=\frac{1}{2}\left( \left. t.\ln t \right|_{9}^{25}-\int\limits_{9}^{25}{t.\frac{1}{t}\text{d}t} \right)$$=\frac{1}{2}\left( \left. t.\ln t \right|_{9}^{25}-\int\limits_{9}^{25}{\text{d}t} \right)$$=\frac{1}{2}\left( \left. t.\ln t \right|_{9}^{25}\left. -t \right|_{9}^{25} \right)$ $=\frac{25}{2}\ln 25-\frac{9}{2}\ln 9-8$$=25\ln 5-9\ln 3-8$$=a\ln 5+b\ln 3+c$.

bài tập tích phân từng phần có lời giải

Câu 8: Tính giá trị của $a+b+c+d$ 

Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ có $f\left( 1 \right)=\frac{1}{2}$ và ${f}’\left( x \right)=\frac{x}{{{\left( x+1 \right)}^{2}}}$ với $x>-1$. Biết $\int\limits_{1}^{2}{f\left( x \right)\text{d}x}=a\ln \frac{b}{c}-d$ với $a,\,b,\,c,\,d$ là các số nguyên dương, $b\le 3$ và $\frac{b}{c}$ tối giản. Khi đó $a+b+c+d$ bằng

A. $8$.                           B. $5$.                          C. $6$.                          D. $10$.

Lời giải

Chọn D

Ta có $\int{\frac{x}{{{\left( x+1 \right)}^{2}}}\text{d}x}=\int{\left( \frac{1}{x+1}-\frac{1}{{{\left( x+1 \right)}^{2}}} \right)\text{d}x}=\ln \left( x+1 \right)+\frac{1}{x+1}+C$, với $C$ là hằng số tùy ý.

Do $f\left( 1 \right)=\frac{1}{2}\Rightarrow \ln 2+\frac{1}{2}+C=\frac{1}{2}\Leftrightarrow C=-\ln 2$.

Khi đó, ta có

$\int\limits_{1}^{2}{f\left( x \right)\text{d}x}=\int\limits_{1}^{2}{\left[ \ln \left( x+1 \right)+\frac{1}{x+1}-\ln 2 \right]\text{d}x}=\int\limits_{1}^{2}{\ln \left( x+1 \right)\text{d}x}+\int\limits_{1}^{2}{\frac{\text{d}x}{x+1}}-\ln 2\int\limits_{1}^{2}{\text{d}x}$.

phương pháp tích phân từng phần

$I=\left. x.\ln \left( x+1 \right) \right|_{1}^{2}-\int\limits_{1}^{2}{\frac{x\text{d}x}{x+1}}=2\ln 3-\ln 2-\int\limits_{1}^{2}{\frac{x\text{d}x}{x+1}}=2\ln 3-\ln 2-\int\limits_{1}^{2}{\text{d}x}+\int\limits_{1}^{2}{\frac{\text{d}x}{x+1}}=2\ln 3-ln2-1+\int\limits_{1}^{2}{\frac{\text{d}x}{x+1}}$

Khi đó,

$\int\limits_{1}^{2}{f\left( x \right)\text{d}x}=2\ln 3-ln2-1+2\int\limits_{0}^{1}{\frac{\text{d}x}{x+1}}-\ln 2\int\limits_{1}^{2}{\text{d}x}=2\ln 3-ln2-1+2\ln 3-2ln2-\ln 2=4\ln \frac{3}{2}-1$.

công thức tính tích phân từng phần

Trên đây là tất cả những thông tin như lý thuyết cũng như các bài tập mẫu có trong dạng tích phân từng phần mà các bạn không nên bỏ qua. Nếu như có câu hỏi cần giải đáp thì đừng ngần ngại mà để lại câu hỏi cho Khoa Cử chúng tôi để có thể được chúng tôi giải đáp một cách nhanh nhất và sớm nhất nhé!

Xem thêm:

Ứng dụng tích phân trong thực tế

Lý thuyết và bài tập mẫu tích phân

Bảng công thức nguyên hàm đầy đủ