Bài viết sau đây giới thiệu đến các bạn cách giải và bài tập tích phân từng phần có lời giải, phương pháp tích phân từng phần cũng như công thức tính tích phân từng phần. Khoa Cử hy vọng với những chia sẻ này sẽ hỗ trợ bạn đọc học tốt môn Toán lớp 12!
I. CÁCH GIẢI
Công thức từng phần:
$\int\limits_{a}^{b}{u\left( x \right){v}’\left( x \right)\text{d}x=}\left. \left[ u\left( x \right)v\left( x \right) \right] \right|_{a}^{b}-\int\limits_{a}^{b}{v\left( x \right){u}’\left( x \right)\text{d}x}$.
Viết gọn: $\int\limits_{a}^{b}{u\text{d}v=}\left. \left( uv \right) \right|_{a}^{b}-\int\limits_{a}^{b}{v\text{d}u}$
Áp dụng: Tính tích phân $I=\int\limits_{a}^{b}{f\left( x \right)\text{d}x}$
Phương pháp:
+ Bước 1: Biến đổi $I=\int\limits_{a}^{b}{{{f}_{1}}\left( x \right).{{f}_{2}}\left( x \right)\text{d}x}$
+ Bước 3: Khi đó $I=\left. \left( uv \right) \right|_{a}^{b}-\int\limits_{a}^{b}{v\text{d}u}$
- Dạng 1. $I=\int{P\left( x \right)\sin \left( ax+b \right)\text{d}x}$, trong đó $P\left( x \right)$ là đa thức.
- Dạng 2. $I=\int{P\left( x \right)\cos \left( ax+b \right)\text{d}x}$, trong đó $P\left( x \right)$ là đa thức.
- Dạng 3. $I=\int{P\left( x \right){{e}^{ax+b}}\text{d}x}$, trong đó $P\left( x \right)$ là đa thức.
- Dạng 4. $I=\int{P\left( x \right)\ln g\left( x \right)\text{d}x}$, trong đó $P\left( x \right)$ là đa thức.
Nếu $u,v$ có đạo hàm liên tục trên $\left( a;b \right)$ thì $$.
Nhận dạng: tích hai hàm khác loại nhân nhau
Thứ tự ưu tiên chọn u là: “log – đa – lượng – mũ” và dv là phần còn lại.
Nghĩa là nếu có ln hay ${{\log }_{a}}x$ thì chọn $u=\ln $ hay $u={{\log }_{a}}x=\frac{1}{\ln a}.\ln x$ và $dv=$ còn lại. Nếu không có $\ln ;\text{ }\log $ thì chọn $u=$ đa thức và $dv=$ còn lại,…
CHÚ Ý:. $\xrightarrow{{}}$ tích phân từng phần luân hồi.
Nghĩa là sau khi đặt u, dv để tính tích phân từng phần và tiếp tục tính sẽ xuất hiện lại tích phân ban đầu. Giả sử tích phân được tính ban đầu là I và nếu lập lại, ta sẽ không giải tiếp mà xem đây là phương trình bậc nhất ẩn là .
II. BÀI TẬP MẪU
Câu 1:
Cho hàm số$f\left( x \right)$ có $f\left( 0 \right)=-1$và ${f}’\left( x \right)=x\left( 6+12x+{{e}^{-x}} \right),\forall x\in \mathbb{R}$. Khi đó $\int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right)}\text{d}x$bằng
A. $3e$. B. $3{{e}^{-1}}$. C. $4-3{{e}^{-1}}$. D. $-3{{e}^{-1}}$.
Lời giải
Chọn B
Ta có: ${f}’\left( x \right)=x\left( 6+12x+{{e}^{-x}} \right),\forall x\in \mathbb{R}$ nên $f\left( x \right)$là một nguyên hàm của ${f}’\left( x \right)$.
$\int{{f}’\left( x \right)\text{d}x=\int{x\left( 6+12x+{{e}^{-x}} \right)\text{d}x}}=\int{\left( 6x+12{{x}^{2}} \right)\text{d}x+\int{x{{e}^{-x}}\text{d}x}}$
Mà $\int{\left( 6x+12{{x}^{2}} \right)\text{d}x=3{{x}^{2}}+4{{x}^{3}}}+C$
$\int{x{{e}^{-x}}\text{d}x=-x{{e}^{-x}}+\int{{{e}^{-x}}}}\text{d}x=-x{{e}^{-x}}-{{e}^{-x}}+C=-\left( x+1 \right){{e}^{-x}}+C$
Suy ra $f\left( x \right)=3{{x}^{2}}+4{{x}^{3}}-\left( x+1 \right){{e}^{-x}}+C,\forall x\in \mathbb{R}$.
Mà $f\left( 0 \right)=-1\Rightarrow C=0$ nên $f\left( x \right)=3{{x}^{2}}+4{{x}^{3}}-\left( x+1 \right){{e}^{-x}},\forall x\in \mathbb{R}$.
Ta có
$\int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right)}\text{d}x=\int\limits_{0}^{1}{\left( 3{{x}^{2}}+4{{x}^{3}}-\left( x+1 \right){{e}^{-x}} \right)}\text{d}x=\left. \left( {{x}^{3}}+{{x}^{4}} \right) \right|_{0}^{1}-\int\limits_{0}^{1}{\left( x+1 \right){{e}^{-x}}\text{d}x}=2-\int\limits_{0}^{1}{\left( x+1 \right){{e}^{-x}}\text{d}x}$
$\int\limits_{0}^{1}{\left( x+1 \right){{e}^{-x}}\text{d}x}=\left. -\left( x+1 \right){{e}^{-x}} \right|_{0}^{1}+\int\limits_{0}^{1}{{{e}^{-x}}\text{d}x}=-2{{e}^{-1}}+1-\left. {{e}^{-x}} \right|_{0}^{1}=-2{{e}^{-1}}+1-{{e}^{-1}}+1=2-3{{e}^{-1}}$
Vậy $\int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right)\text{d}x}=3{{e}^{-1}}$.
Câu 2:
Cho $\int\limits_{1}^{2}{\frac{\ln \left( 1+x \right)}{{{x}^{2}}}dx}=a\ln 2+b\ln 3$, với $a,b$ là các số hữu tỉ. Tính $P=a+4b$.
A. $P=0$ B. $P=1$ C. $P=3$ D. $P=-3$
Lời giải
$\int\limits_{1}^{2}{\frac{\ln \left( 1+x \right)}{{{x}^{2}}}\text{d}x}=\int\limits_{1}^{2}{\ln \left( 1+x \right){{\left( \frac{-1}{x} \right)}^{\prime }}\text{d}x}$$=\left. \ln \left( 1+x \right).\frac{-1}{x} \right|_{1}^{2}-\int\limits_{1}^{2}{\frac{1}{x+1}.\frac{-1}{x}\text{d}x}$$=\frac{-1}{2}\ln 3+\ln 2+\int\limits_{1}^{2}{\frac{1}{x}\text{d}x}-\int\limits_{1}^{2}{\frac{1}{x+1}\text{d}x}$$=\frac{-1}{2}\ln 3+\ln 2-\left. \ln \left( 1+x \right) \right|_{1}^{2}+\left. \ln x \right|_{1}^{2}$$=\frac{-1}{2}\ln 3+\ln 2-\ln 3+2\ln 2=\frac{-3}{2}\ln 3+3\ln 2\Rightarrow a=3,b=\frac{-3}{2}$.
Vậy $a+4b=-3$.
Câu 3:
Cho ${\int\limits_{1}^{2}{\frac{\ln \left( 1+2x \right)}{{{x}^{2}}}\text{d}x}=\frac{a}{2}\ln 5+b\ln 3+c\ln 2}$, với ${a}$, ${b}$, ${c}$ là các số nguyên. Giá trị của ${a+2\left( b+c \right)}$ là:
A. 0. B. 9. C. 3. D. 5.
Lời giải
Áp dụng phương pháp tích phân từng phần:
$\Rightarrow \int\limits_{1}^{2}{\frac{\ln \left( 1+2x \right)}{{{x}^{2}}}\text{d}x}=\left. \frac{-\left( 2x+1 \right)}{x}\cdot \ln \left( 1+2x \right) \right|_{1}^{2}+\int\limits_{1}^{2}{\frac{2}{x}\text{d}x}$
$=\left( -\frac{5}{2}\ln 5+3\ln 3 \right)+\left. 2\ln \left| x \right| \right|_{1}^{2}$
$=\frac{-5}{2}\ln 5+3\ln 3+2\ln 2$.
$\Rightarrow a=-5$, $b=3$, $c=2$.
Vậy $a+2\left( b+c \right)=5$.
Câu 4:
Cho $\int\limits_{1}^{2}{\frac{\ln \left( 1+x \right)}{{{x}^{2}}}\text{d}x}=a\ln 2+b\ln 3$, với $a$, $b$ là các số hữu tỉ. Tính $P=ab$.
A. $P=\frac{3}{2}$. B. $P=0$. C. $P=\frac{-9}{2}$. D. $P=-3$.
Lời giải
Ta có $I=\int\limits_{1}^{2}{\frac{\ln \left( 1+x \right)}{{{x}^{2}}}\text{d}x}=a\ln 2+b\ln 3$.
Khi đó $I=-\frac{1}{x}\ln \left. (1+x) \right|_{1}^{2}+\int_{1}^{2}{\frac{1}{x(1+x)}}\text{d}x=-\frac{1}{2}\ln 3+\ln 2+\int_{1}^{2}{\left( \frac{1}{x}-\frac{1}{1+x} \right)}\text{d}x$
$=-\frac{1}{2}\ln 3+\ln 2+\left. \left( \ln \frac{x}{x+1} \right) \right|_{1}^{2}=-\frac{1}{2}\ln 3+\ln 2+2\ln 2-\ln 3=3\ln 2-\frac{3}{2}\ln 3.$
Suy ra $a=3$, $b=-\frac{3}{2}$. Vậy $P=ab=\frac{-9}{2}$.
Câu 5:
Biết $\int\limits_{\frac{1}{12}}^{12}{\left( 1+x-\frac{1}{x} \right)}{{e}^{x+\frac{1}{x}}}dx=\frac{a}{b}{{e}^{\frac{c}{d}}}$ trong đó $a,b,c,d$là các số nguyên dương và các phân số $\frac{a}{b},\frac{c}{d}$ là tối giản. Tính $bc-ad$.
A. 12. B. 1. C. 24. D. 64.
Lời giải
Ta có: $I=\int\limits_{\frac{1}{12}}^{12}{\left[ x\left( 1-\frac{1}{{{x}^{2}}} \right)+1 \right]{{e}^{x+\frac{1}{x}}}}dx=\int\limits_{\frac{1}{12}}^{12}{x\left( 1-\frac{1}{{{x}^{2}}} \right){{e}^{x+\frac{1}{x}}}}dx+\int\limits_{\frac{1}{12}}^{12}{{{e}^{x+\frac{1}{x}}}}dx$.
Khi đó: $I=\int\limits_{\frac{1}{12}}^{12}{x\left( 1-\frac{1}{{{x}^{2}}} \right){{e}^{x+\frac{1}{x}}}}dx+\int\limits_{\frac{1}{12}}^{12}{{{e}^{x+\frac{1}{x}}}}dx=\left. x.{{e}^{x+\frac{1}{x}}} \right|_{\frac{1}{12}}^{12}-\int\limits_{\frac{1}{12}}^{12}{{{e}^{x+\frac{1}{x}}}}dx+\int\limits_{\frac{1}{12}}^{12}{{{e}^{x+\frac{1}{x}}}}dx$
$=12{{e}^{12+\frac{1}{12}}}-\frac{1}{12}{{e}^{12+\frac{1}{12}}}=\frac{143}{12}{{e}^{\frac{145}{12}}}$.
Vậy: $a=143;\,b=12;\,c=145;d=12.$ Dó đó: $bc-ad=12.145-143.12=24$.
Câu 6:
Cho $\int\limits_{0}^{2}{\frac{x+\ln \left( x+1 \right)}{{{\left( x+2 \right)}^{2}}}\text{d}x}=\frac{a}{b}+\frac{c}{d}\ln 3$. Tính $P=\left( a+b \right)\left( c+d \right)$.
A. $7$ B. $-7$. C. $3$. D. $-3$.
Lời giải
Ta có $\int\limits_{0}^{2}{\frac{x+\ln \left( x+1 \right)}{{{\left( x+2 \right)}^{2}}}\text{d}x}=\int\limits_{0}^{2}{\frac{1}{x+2}\text{d}x}-\int\limits_{0}^{2}{\frac{2}{{{\left( x+2 \right)}^{2}}}\text{d}x+}\int\limits_{0}^{2}{\frac{\ln \left( x+1 \right)}{{{\left( x+2 \right)}^{2}}}\text{d}x}$.
$\int\limits_{0}^{2}{\frac{1}{x+2}\text{d}x}-\int\limits_{0}^{2}{\frac{2}{{{\left( x+2 \right)}^{2}}}\text{d}x}=\left. \left( \ln \left| x+2 \right|+\frac{2}{x+2} \right) \right|_{0}^{2}=\ln 2-\frac{1}{2}$.
$I=\int\limits_{0}^{2}{\frac{\ln \left( x+1 \right)}{{{\left( x+2 \right)}^{2}}}\text{d}x}$.
Suy ra $I=\left. \left( \frac{\left( x+1 \right)\ln (x+1)}{\left( x+2 \right)} \right) \right|_{0}^{2}-\int\limits_{0}^{2}{\frac{1}{\left( x+2 \right)}\text{d}x}=\frac{3}{4}\ln 3-\ln 2$.
Do đó $\int\limits_{0}^{2}{\frac{x+\ln \left( x+1 \right)}{{{\left( x+2 \right)}^{2}}}\text{d}x}=-\frac{1}{2}+\frac{3}{4}\ln 3$$\Rightarrow P=\left( -1+2 \right)\left( 3+4 \right)=7$.
Câu 7:
Biết $I=\int\limits_{0}^{4}{x\ln \left( {{x}^{2}}+9 \right)}\text{d}x=a\ln 5+b\ln 3+c$ trong đó $a$, $b$, $c$ là các số thực. Tính giá trị của biểu thức $T=a+b+c$.
A. $T=9$. B. $T=11$. C. $T=8$. D. $T=10$.
Lời giải
Chọn C
Cách 1
Do đó
$I=\left. \frac{{{x}^{2}}+9}{2}\ln \left( {{x}^{2}}+9 \right) \right|_{0}^{4}-\int\limits_{0}^{4}{\frac{{{x}^{2}}+9}{2}.\frac{2x}{{{x}^{2}}+9}\text{d}x}$$=\left. \frac{{{x}^{2}}+9}{2}\ln \left( {{x}^{2}}+9 \right) \right|_{0}^{4}-\int\limits_{0}^{4}{x\text{d}x}$
$=\left. \frac{{{x}^{2}}+9}{2}\ln \left( {{x}^{2}}+9 \right) \right|_{0}^{4}-\left. \left( \frac{{{x}^{2}}}{2} \right) \right|_{0}^{4}$$=\frac{25}{2}\ln 25-\frac{9}{2}\ln 9-8$$=25\ln 5-9\ln 3-8$$=a\ln 5+b\ln 3+c$.
Cách 2
Ta có $I=\int\limits_{0}^{4}{x\ln \left( {{x}^{2}}+9 \right)}\text{d}x$
Đặt $t={{x}^{2}}+9\Rightarrow \text{d}t=2x\text{d}x\Rightarrow x\text{d}x=\frac{1}{2}\text{d}t$
Đổi cận: $x=0\Rightarrow t=9$, $x=4\Rightarrow t=25$
Suy ra $I=\int\limits_{0}^{4}{x\ln \left( {{x}^{2}}+9 \right)}\text{d}x=\frac{1}{2}\int\limits_{9}^{25}{\ln t}\text{d}t$
$\Rightarrow I=\frac{1}{2}\int\limits_{9}^{25}{t\ln t}\text{d}t=\frac{1}{2}\left( \left. t.\ln t \right|_{9}^{25}-\int\limits_{9}^{25}{t.\frac{1}{t}\text{d}t} \right)$$=\frac{1}{2}\left( \left. t.\ln t \right|_{9}^{25}-\int\limits_{9}^{25}{\text{d}t} \right)$$=\frac{1}{2}\left( \left. t.\ln t \right|_{9}^{25}\left. -t \right|_{9}^{25} \right)$ $=\frac{25}{2}\ln 25-\frac{9}{2}\ln 9-8$$=25\ln 5-9\ln 3-8$$=a\ln 5+b\ln 3+c$.
Câu 8:
Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ có $f\left( 1 \right)=\frac{1}{2}$ và ${f}’\left( x \right)=\frac{x}{{{\left( x+1 \right)}^{2}}}$ với $x>-1$. Biết $\int\limits_{1}^{2}{f\left( x \right)\text{d}x}=a\ln \frac{b}{c}-d$ với $a,\,b,\,c,\,d$ là các số nguyên dương, $b\le 3$ và $\frac{b}{c}$ tối giản. Khi đó $a+b+c+d$ bằng
A. $8$. B. $5$. C. $6$. D. $10$.
Lời giải
Chọn D
Ta có $\int{\frac{x}{{{\left( x+1 \right)}^{2}}}\text{d}x}=\int{\left( \frac{1}{x+1}-\frac{1}{{{\left( x+1 \right)}^{2}}} \right)\text{d}x}=\ln \left( x+1 \right)+\frac{1}{x+1}+C$, với $C$ là hằng số tùy ý.
Do $f\left( 1 \right)=\frac{1}{2}\Rightarrow \ln 2+\frac{1}{2}+C=\frac{1}{2}\Leftrightarrow C=-\ln 2$.
Khi đó, ta có
$\int\limits_{1}^{2}{f\left( x \right)\text{d}x}=\int\limits_{1}^{2}{\left[ \ln \left( x+1 \right)+\frac{1}{x+1}-\ln 2 \right]\text{d}x}=\int\limits_{1}^{2}{\ln \left( x+1 \right)\text{d}x}+\int\limits_{1}^{2}{\frac{\text{d}x}{x+1}}-\ln 2\int\limits_{1}^{2}{\text{d}x}$.
$I=\left. x.\ln \left( x+1 \right) \right|_{1}^{2}-\int\limits_{1}^{2}{\frac{x\text{d}x}{x+1}}=2\ln 3-\ln 2-\int\limits_{1}^{2}{\frac{x\text{d}x}{x+1}}=2\ln 3-\ln 2-\int\limits_{1}^{2}{\text{d}x}+\int\limits_{1}^{2}{\frac{\text{d}x}{x+1}}=2\ln 3-ln2-1+\int\limits_{1}^{2}{\frac{\text{d}x}{x+1}}$
Khi đó,
$\int\limits_{1}^{2}{f\left( x \right)\text{d}x}=2\ln 3-ln2-1+2\int\limits_{0}^{1}{\frac{\text{d}x}{x+1}}-\ln 2\int\limits_{1}^{2}{\text{d}x}=2\ln 3-ln2-1+2\ln 3-2ln2-\ln 2=4\ln \frac{3}{2}-1$.
Trên đây là tất cả những thông tin như lý thuyết cũng như các bài tập mẫu có trong dạng tích phân từng phần mà các bạn không nên bỏ qua. Nếu như có câu hỏi cần giải đáp thì đừng ngần ngại mà để lại câu hỏi cho Khoa Cử chúng tôi để có thể được chúng tôi giải đáp một cách nhanh nhất và sớm nhất nhé!
Xem thêm:
Ứng dụng tích phân trong thực tế
Lý thuyết và bài tập mẫu tích phân
Bảng công thức nguyên hàm đầy đủ