Bài viết sau đây giới thiệu đến các bạn các giải và bài tập mẫu tập xác định của hàm số mũ, tìm tập xác định của hàm số mũ logarit, cách tìm tập xác định của hàm số mũ, tập xác định của hàm số mũ nguyên âm, tập xác định của hàm số mũ hữu tỉ. Khoa Cử hy vọng với những chia sẻ này sẽ hỗ trợ bạn đọc học tốt môn Toán lớp 12!
I. CÁCH GIẢI
Hàm số mũ
Tập xác định: $D=\mathbb{R}.$
Hàm số logarit
Đặc biệt: $a=e\xrightarrow{{}}y=\ln x\,\,;$$a=10\xrightarrow{{}}y=\log x=\lg x$.
Điều kiện xác định: $u>0$.
II. BÀI TẬP MẪU
Câu 1:
Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để hàm số $y=\frac{1}{m\log _{3}^{2}x-4{{\log }_{3}}x+m+3}$ xác định trên khoảng $\left( 0;+\infty \right)$
A. $m\in \left( -\infty ;-4 \right)\cup \left( 1;+\infty \right)$. $m\in \left( 1;+\infty \right)$.
C. $m\in \left( -4;1 \right)$. D. $m\in \left( 1;+\infty \right)$.
Lời giải
Cách 1
Điều kiện:$x>0$.
Hàm số xác định khi:
$m\log _{3}^{2}x-4{{\log }_{3}}x+m+3\ne 0$$\Leftrightarrow m\left( \log _{3}^{2}x+1 \right)\ne 4{{\log }_{3}}x-3$$\Leftrightarrow m\ne \frac{4{{\log }_{3}}x-3}{\log _{3}^{2}x+1}$, $\forall x\in \left( 0;+\infty \right)$.
Để hàm số xác định trên $\left( 0;+\infty \right)$ thì phương trình $m=\frac{4{{\log }_{3}}x-3}{\log _{3}^{2}x+1}$ vô nghiệm $\forall x\in \left( 0;+\infty \right)$
Xét hàm số $y=\frac{4{{\log }_{3}}x-3}{\log _{3}^{2}x+1}$.
Ta có BBT:
Để hàm số xác định trên $\left( 0;+\infty \right)$ thì $m\in \left( -\infty ;-4 \right)\cup \left( 1;+\infty \right)$.
Cách 2:
Đề hàm số xác định trên khoảng $\left( 0;+\infty \right)$ thi phương trình $m.\log _{3}^{2}x-4{{\log }_{3}}x+m+3=0$ vô nghiệm.
TH1: $m=0$ thì PT trở thành $-4{{\log }_{3}}x+3=0$$\Leftrightarrow {{\log }_{3}}x=\frac{3}{4}$$\Leftrightarrow x={{3}^{\frac{3}{4}}}$.
Vậy $m=0$ không thỏa mãn.
TH2: $m\ne 0$ thì để PT vô nghiệm $\Delta ={{\left( -4 \right)}^{2}}-4m\left( m+3 \right)<0$
Để hàm số xác định trên $\left( 0;+\infty \right)$ thì $m\in \left( -\infty ;-4 \right)\cup \left( 1;+\infty \right)$.
Câu 2:
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ trên $\left[ -2018;\text{ }2018 \right]$ để hàm số $y=\ln \left( {{x}^{2}}-2x-m+1 \right)$ có tập xác định là $\mathbb{R}$?
A. $2019$ B. $2017$ C. $2018$ D. $1009$
Lời giải
Hàm số $y=\ln \left( {{x}^{2}}-2x-m+1 \right)$ có tập xác định là $\mathbb{R}$ khi và chỉ khi:
${{x}^{2}}-2x-m+1>0\text{ }\forall x\in \mathbb{R}$ $\Leftrightarrow \Delta ‘<0\Leftrightarrow 1+m-1<0\Leftrightarrow m<0$.
Kết hợp với điều kiện $m$ nguyên thuộc $\left[ -2018;\text{ }2018 \right]$ ta có 2018 giá trị của $m$.
Câu 3:
Số các giá trị nguyên của tham số $m$ để hàm số$y=\log \left( mx-m+2 \right)$ xác định trên $\left[ \frac{1}{2};+\infty \right)$ là
A. $4$ B $5$ C. Vô số D. $3$
Lời giải
Chọn A
Điều kiện xác định
$mx-m+2>0\,\,\Leftrightarrow mx>m-2\,\,\,\,\,\,\,\,(1)$
Trường hợp 1. $m=0$.
$\left( 1 \right)\Leftrightarrow 2>0$ .
Trường hợp 2. $m>0$.
$\left( 1 \right)\Leftrightarrow x>\frac{m-2}{m}$
Để hàm số$y=\log \left( mx-m+2 \right)$ xác định trên $\left[ \frac{1}{2};+\infty \right)$ thì
$\frac{m-2}{m}<\frac{1}{2}\Leftrightarrow 0<m<4.$
Vì $m\in \mathbb{Z}$ nên $m\in \left\{ 1;2;3 \right\}.$
Trường hợp 3. $m<0$.
$\left( 1 \right)\Leftrightarrow x<\frac{m-2}{m}$.
Suy ra tập xác định của hàm số $y=\log \left( mx-m+2 \right)$ là $D=\left( -\infty ;\frac{m-2}{m} \right).$
Do đó $\left[ \frac{1}{2};+\infty \right)\not\subset D$suy ra không có giá trị $m<0$ nào thỏa yêu cầu bài toán.
Từ $3$ trường hợp trên ta được $m\in \left\{ 0;1;2;3 \right\}.$
Câu 4:
Tìm tất cả các giá trị của $m$ để hàm số $y=\ln \left( -{{x}^{2}}+mx+2m+1 \right)$ xác định với mọi $x\in \left( 1;2 \right)$.
A. $m\ge -\frac{1}{3}$. B. $m\ge \frac{3}{4}$. C. $m>\frac{3}{4}$. D. $m<-\frac{1}{3}$.
Lời giải
Hàm số xác định với mọi $x\in \left( 1;2 \right)$ khi $-{{x}^{2}}+mx+2m+1>0,\,\forall x\in \left( 1;2 \right)$.
$\Leftrightarrow f\left( x \right)={{x}^{2}}-mx-2m-1<0,\,\forall x\in \left( 1;2 \right)$.
$\Rightarrow f\left( x \right)=0$ có $2$ nghiệm thỏa mãn ${{x}_{1}}\le 1<2\le {{x}_{2}}$.
Câu 5:
Hàm số $y={{\log }_{2}}\left( {{4}^{x}}-{{2}^{x}}+m \right)$ có tập xác định là $\mathbb{R}$ thì
A. $m\ge \frac{1}{4}$. B. $m>0$. C. $m<\frac{1}{4}$. D. $m>\frac{1}{4}$.
Lời giải
Chọn D
Điều kiện xác định: ${{4}^{x}}-{{2}^{x}}+m>0$
Hàm số đã cho có tập xác định là $\mathbb{R}\Leftrightarrow {{4}^{x}}-{{2}^{x}}+m>0,\,\,\forall x\in \mathbb{R}\,\,\Leftrightarrow m>-{{4}^{x}}+{{2}^{x}},\,\,\forall x\in \mathbb{R}$
Đặt $t={{2}^{x}},\left( t>0 \right)$
Khi đó trở thành $m>-{{t}^{2}}+t,\text{ }\forall t>0$ $\Leftrightarrow m>\underset{\left( 0;+\infty \right)}{\mathop{\max }}\,f(t)$ với $f(t)=-{{t}^{2}}+t,\text{ }t>0$
Ta có: $f’\left( t \right)=-2t+1$, $f’\left( t \right)=0\Leftrightarrow t=\frac{1}{2}$
Bảng biến thiên của hàm số $f(t)=-{{t}^{2}}+t,\text{ }t>0$:
Từ BBT ta thấy $\underset{\left( 0;+\infty \right)}{\mathop{\max }}\,f(t)=\frac{1}{4}$ đạt được khi $t=\frac{1}{2}$
Vậy $m>\,\underset{\left( 0;+\infty \right)}{\mathop{\max }}\,f\left( t \right)\Leftrightarrow m>\frac{1}{4}$
Câu 6:
Tìm tất cả các giá trị của $m$ để hàm số $y={{\log }_{2018}}\left( {{2018}^{x}}-x-\frac{{{x}^{2}}}{2}-m \right)$ xác định với mọi giá trị $x$ thuộc $\left[ 0;+\infty \right)$
A. $m>9$ B. $m<1$ C. $0<m<1$ D. $m<2$
Lời giải
Chọn B
Hàm số đã cho xác định $\forall x\in \left[ 0;+\infty \right)$
$\Leftrightarrow {{2018}^{x}}-x-\frac{{{x}^{2}}}{2}-m>0,\text{ }\forall x\in \left[ 0;+\infty \right)$
$\Leftrightarrow {{2018}^{x}}-x-\frac{{{x}^{2}}}{2}>m,\text{ }\forall x\in \left[ 0;+\infty \right)$.
YCBT $\Leftrightarrow $$m<\underset{x\in \left[ 0;+\infty \right)}{\mathop{\min }}\,f\left( x \right)$.
Đặt $f\left( x \right)={{2018}^{x}}-x-\frac{{{x}^{2}}}{2}\text{, }x\in \left[ 0;+\infty \right)$
$\Rightarrow {f}’\left( x \right)={{2018}^{x}}\ln \left( 2018 \right)-1-x$
$\Rightarrow {f}”\left( x \right)={{2018}^{x}}{{\left( \ln 2018 \right)}^{2}}-1>0,\text{ }\forall x\in \left[ 0;+\infty \right)$
Khi đó ${f}’\left( x \right)$ đồng biến trên $x\in \left[ 0;+\infty \right)$ và ${f}’\left( 0 \right)=\ln \left( 2018 \right)-1>0$
Suy ra $f\left( x \right)$ đồng biến trên $x\in \left[ 0;+\infty \right)$ và $f\left( 0 \right)=1$
Vậy $m<1$ thì thỏa YCBT.
Câu 7:
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để hàm số $y={{\log }_{2018}}\left( {{2017}^{x}}-x-\frac{{{x}^{2}}}{2}-m+1 \right)$ xác định với mọi $x$ thuộc $\left[ 0;\,+\infty \right)$?
A. $1$. B. $2$. C. $2018$. D. Vô số.
Lời giải
Chọn D
Điều kiện ${{2017}^{x}}-x-\frac{{{x}^{2}}}{2}-m+1>0,\,\forall x\in \left[ 0;+\infty \right)$ $\Leftrightarrow {{2017}^{x}}-x-\frac{{{x}^{2}}}{2}>m-1,\,\forall x\in \left[ 0;+\infty \right)$.
Xét hàm số $f\left( x \right)={{2017}^{x}}-x-\frac{{{x}^{2}}}{2},\,\forall x\in \left[ 0;+\infty \right)$ liên tục có
${f}’\left( x \right)={{2017}^{x}}\ln 2017-1-x,\,\forall x\in \left[ 0;+\infty \right)$
${{f}’}’\left( x \right)={{2017}^{x}}{{\ln }^{2}}2017-1>0,\,\forall x\in \left[ 0;+\infty \right)$
Vậy hàm số ${f}’\left( x \right)$ đồng biến trên $\left[ 0;+\infty \right)$ suy ra ${f}’\left( x \right)\ge {f}’\left( 0 \right)=\ln 2017-1>0,\,\forall x\in \left[ 0;+\infty \right)$ Vậy hàm số $y=f\left( x \right)$ đồng biến trên $\left[ 0;+\infty \right)$ suy ra $\underset{\left[ 0;+\infty \right)}{\mathop{\min f\left( x \right)}}\,=f\left( 0 \right)=1$.
Mặt khác $m-1<\underset{\left[ 0;+\infty \right)}{\mathop{\min f\left( x \right)}}\,=f\left( 0 \right)=1\Leftrightarrow m<2$.
Vậy có vô số giá trị nguyên $m$ thỏa mãn.
Câu 8:
Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để hàm số $y={{\log }_{2020}}\left( mx-m+2 \right)$ xác định trên $\left[ 1\,;\,+\infty \right)$.
A. $m\le 0$. B. $m\ge 0$. C. $m\ge -1$. D. $m\le -1$.
Lời giải
Chọn B
Cách 1:
Điều kiện: $mx-m+2>0\Leftrightarrow mx>m-2$ $\left( 1 \right)$
Trường hợp 1: $m=0$$\Rightarrow \left( 1 \right)$ trở thành $0>-1$ .
Trường hợp 2: $m>0$$\Rightarrow \left( 1 \right)\Leftrightarrow x>\frac{m-2}{m}$$\Rightarrow $ Tập xác định của hàm số là $D=\left( \frac{m-2}{m}\,;\,+\infty \right)$.
Khi đó, yêu cầu bài toán trở thành $\frac{m-2}{m}<1$$\Leftrightarrow m-2<m\Leftrightarrow -2<0$ .
Trường hợp 3: $m<0$$\Rightarrow \left( 1 \right)\Leftrightarrow x<\frac{m-2}{m}$$\Rightarrow $ Tập xác định của hàm số là $D=\left( -\infty \,;\,\frac{m-2}{m} \right)$. Do đó không tồn tại $m$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Vậy tất cả các giá trị cần tìm là $m\ge 0$.
Cách 2:
Điều kiện: $mx-m+2>0$, $\forall x\in \left[ 1\,;\,+\infty \right)$$\Leftrightarrow m\left( x-1 \right)>-2$, $\forall x\in \left[ 1\,;\,+\infty \right)$ $\left( 1 \right)$.
Với $x=1$, ta được $0m>-2$, đúng với mọi $m$.
Với $x>1$, ta được $\left( 1 \right)\Leftrightarrow m>\frac{-2}{x-1}$, $\forall x\in \left( 1\,;\,+\infty \right)$ $\left( 2 \right)$.
Xét hàm số $g\left( x \right)=\frac{-2}{x-1}$ với $x>1$, ta có: ${g}’\left( x \right)=\frac{2}{{{\left( x-1 \right)}^{2}}}>0$, $\forall x>1$.
Bảng biến thiên:
Từ bảng biến thiên, ta được $\left( 2 \right)\Leftrightarrow m\ge 0$.
Vậy, tất cả các giá trị cần tìm của $m$ là $m\ge 0$.
Xem thêm:
Bài tập phương trình logarit có lời giải