Bài viết sau đây giới thiệu đến các bạn cách giải và bài tập mẫu các dạng tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức w, tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z và tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức z. Khoa Cử hy vọng với những chia sẻ này sẽ hỗ trợ bạn đọc học tốt môn Toán lớp 12!
I. CÁCH GIẢI
Trong dạng này, ta gặp các bài toán biểu diễn hình học của số phức hay còn gọi là tìm tập hợp điểm biểu diễn một số phức $z$ trong đó số phức $z$ thỏa mãn một hệ thức nào đó. Khi đó ta giải bài toán này như sau:
1. Phương pháp tổng quát:Đặt $z=x+yi\text{ }(x,y\in \mathbb{R})$. Khi đó số phức $z$ biểu diễn trên mặt phẳng phức bởi điểm$M\left( x;y \right)$. Biến đổi điều kiện của bài toán thành để tìm mối liên hệ giữa $x$ và $y$ từ đó suy ra tập hợp điểm M. 2. Giả sử các điểm M, A, B lần lượt là điểm biểu diễn của các số phức z, a, bo $|z-a|=|z-b|\Leftrightarrow MA=MB\Leftrightarrow $ M thuộc đường trung trực của đoạn AB o $|z-a|=|z-b|=k(k\in \mathbb{R},k>0,k>|a-b|)\Leftrightarrow MA+MB=k$ $\Leftrightarrow M\in (E)$ nhận A, B là hai tiêu điểm và có độ dài trục lớn bằng k. 3. Giả sử M và M’ lần lượt là điểm biểu diễn của số phức z và w = f(z)Đặt z = x + yi và w = u + vi $(x,y,u,v\in \mathbb{R})$. Hệ thức w = f(z) tương đương với hai hệ thức liên hệ giữa x, y, u, v o Nếu biết một hệ thức giữa x, y ta tìm được một hệ thức giữa u, v và suy ra được tập hợp các điểm M’ o Nếu biết một hệ thức giữa u, v ta tìm được một hệ thức giữa x, y và suy ra được tập hợp điểm M’. |
1. Các dạng phương trình đường thẳng– Dạng tổng quát: $ax+by+c=0$ . – Dạng đại số: $y=ax+b$ . – Dạng tham số: $\left\{ \begin{align}& x={{x}_{0}}+at \\& y={{y}_{0}}+bt \\\end{align} \right.$ – Dạng chính tắc: $\frac{x-{{x}_{0}}}{a}=\frac{y-{{y}_{0}}}{b}$ . – Phương trình đoạn chắn $\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$. – Phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm ${{M}_{0}}\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}} \right)$ biết hệ số góc k: $y=k(x-{{x}_{0}})+{{y}_{0}}$ 2. Phương trình đường tròn tâm I(a;b) bán kính R:${{(x-a)}^{2}}+{{(y-b)}^{2}}={{R}^{2}}$ $\Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2ax-2by+c=0$ với $c={{a}^{2}}+{{b}^{2}}-{{R}^{2}}$ Lưu ý điều kiện để phương trình: ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+2ax+2by+c=0$ là phương trình đường tròn: ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}-c>0$ có tâm $I\left( -a,-b \right)$ và bán kính$R=\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}-c}$. 3. Phương trình (Elip):$\frac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}+\frac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1$ Với hai tiêu cự ${{F}_{1}}(-c;0),{{F}_{2}}(c;0),{{F}_{1}}{{F}_{2}}=2c$. Trục lớn 2a, trục bé 2b và ${{a}^{2}}={{b}^{2}}+{{c}^{2}}$.. |
Dạng toán. Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy,$ hãy tìm tập hợp điểm M biểu diễn số phức $z=x+yi$ thỏa mãn điều kiện K cho trước?
Bước 1. Gọi $M\left( x;y \right)$ là điểm biểu diễn số phức $z=x+yi$.
Bước 2. Biến đổi điều kiện K để tìm mối liên hệ giữa $x,y$ và kết luận.
| Mối liên hệ giữa x và y | Kết luận tập hợp điểm $M\left( x;y \right)$ |
| $Ax+By+C=0.$ | Là đường thẳng $d:Ax+By+C=0$. |
| ${{\left( x-a \right)}^{2}}+{{\left( y-b \right)}^{2}}={{R}^{2}}$ hoặc
${{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2ax-2by+c=0.$ |
Là đường tròn tâm $I\left( a;b \right)$ và bán kính $R=\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}-c}$. |
| ${{\left( x-a \right)}^{2}}+{{\left( y-b \right)}^{2}}\le {{R}^{2}}$ hoặc
${{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2ax-2by+c\le 0.$ |
Là hình tròn tâm $I\left( a;b \right)$ và bán kính $R=\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}-c}$. |
| $R_{1}^{2}\le {{\left( x-a \right)}^{2}}+{{\left( y-b \right)}^{2}}\le R_{2}^{2}.$ | Là những điểm thuộc miền có hình vành khăn tạo bởi hai đường tròn đồng tâm $I\left( a;b \right)$ và bán kính lần lượt ${{R}_{1}}$ và ${{R}_{2}}$. |
| $y=a{{x}^{2}}+bx+c,\text{ }\left( a\ne 0 \right).$ | Là một parabol có đỉnh $S\left( -\frac{b}{2a};-\frac{\Delta }{4a} \right)$. |
| $\frac{{{x}^{2}}}{a}+\frac{{{y}^{2}}}{b}=1$ với $M{{F}_{1}}+M{{F}_{2}}=2a$ và ${{F}_{1}}{{F}_{2}}=2c<2a$. | Là một elíp có trục lớn $2a,$ trục bé $2b$ và tiêu cự $2c=2\sqrt{{{a}^{2}}-{{b}^{2}}},\left( a>b>0 \right)$. |
| $\frac{{{x}^{2}}}{a}-\frac{{{y}^{2}}}{b}=1$ với $\left| M{{F}_{1}}-M{{F}_{2}} \right|=2a$ và ${{F}_{1}}{{F}_{2}}=2c>2a$. | Là một hyperbol có trục thực là $2a,$ trục ảo là $2b$ và tiêu cự $2c=2\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}$ với $a,b>0$. |
| $MA=MB$. | Là đường trung trực đoạng thẳng AB. |
Lưu ý
Đối với bài toán dạng này, người ra đề thường cho thông qua hai cách:
- Trực tiếp, nghĩa là tìm tập hợp điểm $M\left( x;y \right)$ biểu diễn số phức $z=x+yi$ thỏa mãn tính chất K.
- Gián tiếp, nghĩa là tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức $w=f\left( z \right)$ mà số phức z thỏa mãn tính chất K nào đó, chẳng hạn: $f\left( z,\overline{z},\left| z \right| \right)=0,…$
II. BÀI TẬP MẪU
Câu 1:
Cho số phức$z$thỏa mãn $\left| z \right|=2$. Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn số phức $\text{w}=3-2i+\left( 2-i \right)z$ là một đường tròn. Tìm tọa độ tâm $I$ của đường tròn đó?
A. $I\left( 3\,;\,-2 \right)$ B. $I\left( -3\,;\,2 \right)$. C. $I\left( 3\,;\,2 \right)$. D. $I\left( -3\,;\,-2 \right)$.
Lời giải
Cách 1.
Đặt $\text{w}=x+yi$.Ta có $\text{w}=3-2i+\left( 2-i \right)z$.
$\Leftrightarrow x+yi=3-2i+\left( 2-i \right)z$.
$\Leftrightarrow \left( 2-i \right)z=\left( x-3 \right)+\left( y+2 \right)i$.
$\Leftrightarrow \left( 4-{{i}^{2}} \right)z=\left[ \left( x-3 \right)+\left( y+2 \right)i \right].\left( 2+i \right)$.
$\Leftrightarrow z=\frac{2x-y-8}{5}+\frac{x+2y+1}{5}i$.
Vì $\left| z \right|=2$ nên ${{\left( \frac{2x-y-8}{5} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{x+2y+1}{5} \right)}^{2}}=4$.
$\Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}-6x+4y+13=20$.
$\Leftrightarrow {{\left( x-3 \right)}^{2}}+{{\left( y+2 \right)}^{2}}=20$.
Vây tập hợp biểu diễn số phức $\text{w}$ là đường tròn tâm $I\left( 3\,;\,-2 \right)$.
Cách 2.
Đặt $z=a+bi;\text{w}=x+yi$.
Vì $\left| z \right|=2$ nên ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}=4$.
Ta có $\text{w}=3-2i+\left( 2-i \right)z$.
$\Leftrightarrow x+yi+2i-3=\left( 2-i \right)\left( a+bi \right)$.
$\Leftrightarrow \left( x-3 \right)+\left( y+2 \right)i=\left( 2a+b \right)+\left( 2b-a \right)i$.
$\Rightarrow {{\left( x-3 \right)}^{2}}+{{\left( y+2 \right)}^{2}}={{\left( 2a+b \right)}^{2}}+{{\left( 2b-a \right)}^{2}}$.
$\Leftrightarrow {{\left( x-3 \right)}^{2}}+{{\left( y+2 \right)}^{2}}=5\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}} \right)$.
$\Leftrightarrow {{\left( x-3 \right)}^{2}}+{{\left( y+2 \right)}^{2}}=20$.
Vây tập hợp biểu diễn số phức $\text{w}$ là đường tròn tâm $I\left( 3\,;\,-2 \right)$.
Câu 2:
Tính tổng của tất cả các giá trị của tham số $m$ để tồn tại duy nhất số phức $z$ thoả mãn đồng thời $\left| z \right|=m$ và $\left| z-4m+3mi \right|={{m}^{2}}$.
A. $4$. B. $6$. C. $9$. D. $10$.
Lời giải
Đặt $z=x+yi\,\,\,\,\left( x,y\in \mathbb{R} \right)$. Ta có điểm biểu diễn $z$là $M\left( x;\,\,y \right)$.
Với $m=0$, ta có $z=0$, thoả mãn yêu cầu bài toán.
Với $m>0$, ta có:
+ $\left| z \right|=m\Leftrightarrow $$M$ thuộc đường tròn $\left( {{C}_{1}} \right)$ tâm $I\left( 0;0 \right),$bán kính $R=m$
+ $\left| z-4m+3mi \right|={{m}^{2}}\Leftrightarrow {{\left( x-4m \right)}^{2}}+{{\left( y+3m \right)}^{2}}={{m}^{4}}$
$\Leftrightarrow $$M$ thuộc đường tròn $\left( {{C}_{2}} \right)$ tâm ${I}’\left( 4m;-3m \right),$ bán kính ${R}’={{m}^{2}}$.
Kết hợp với $m=0$, suy ra $m\in \left\{ 0;4;6 \right\}$. Vậy tổng tất cả các giá trị của $m$ là $10$.
Câu 3:
Cho ${{z}_{1}},{{z}_{2}}$là hai số phức thỏa mãn điều kiện $|z-5-3i|=5$đồng thời$|{{z}_{1}}-{{z}_{2}}|=8$. Tập hợp các điểm biểu diễn số phức$w={{z}_{1}}+{{z}_{2}}$ trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$là đường tròn có phương trình
A. ${{(x-10)}^{2}}+{{(y-6)}^{2}}=36$ B. ${{(x-10)}^{2}}+{{(y-6)}^{2}}=16$.
C. ${{(x-\frac{5}{2})}^{2}}+{{(y-\frac{3}{2})}^{2}}=9$. D. ${{(x-\frac{5}{2})}^{2}}+{{(y-\frac{3}{2})}^{2}}=\frac{9}{4}$.
Lời giải
+)Đặt $z=x+yi$
Khi đó $|z-5-3i|=5\Leftrightarrow |x-5+(y-3)i|=5\Leftrightarrow {{(x-5)}^{2}}+{{(y-3)}^{2}}=25$$(C)$
Gọi A, B lần lượt là 2 điểm biểu diễn số phức ${{z}_{1}},{{z}_{2}}$
$\Rightarrow $A, B thuộc đường tròn $(C)$có tâm I, bán kính R = 5 và $|{{z}_{1}}-{{z}_{2}}|=8\Rightarrow AB=8$
+) Gọi H là điểm biểu diễn số phức $\text{{w}’=}\frac{{{z}_{1}}+{{z}_{2}}}{2}$
$\Rightarrow $H là trung điểm AB$\Rightarrow AH=\frac{AB}{2}=4$
Xét tam giác AIH vuông tại H có AH = 4, AI = 5 nên $IH=\sqrt{I{{A}^{2}}-A{{H}^{2}}}=\sqrt{{{5}^{2}}-{{4}^{2}}}=3$
$\Rightarrow $ H thuộc đường tròn $({C}’)$có tâm I, bán kính ${R}’=3$
+) Gọi M là điểm biểu diễn số phức $\text{w=}{{z}_{1}}+{{z}_{2}}$
$\Rightarrow $$\overrightarrow{OM}=2\overrightarrow{OH}$
$\Rightarrow $M là ảnh của H qua phép vị tự tâm O, tỉ số k = 2 với O là gốc tọa độ
Từ và $\Rightarrow $tập hợp M là đường tròn$({{C}’}’)$là ảnh của $({C}’)$phép vị tự tâm O, tỉ số k = 2
+) Giả sử đường tròn $({{C}’}’)$có tâm J và bán kính ${{R}’}’$
$\Rightarrow \left\{ \begin{align} & a=2.5=10 \\& b=2.3=6 \\& {{R}’}’=2.{R}’=6 \\\end{align} \right.$
$\Rightarrow $Phương trình đường tròn $({{C}’}’)$là ${{(x-10)}^{2}}+{{(y-6)}^{2}}=36$
Câu 4:
Cho ${{z}_{1}}$, ${{z}_{2}}$ là hai trong các số phức $z$ thỏa mãn điều kiện $\left| z-5-3i \right|=5$, đồng thời $\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|=8$. Tập hợp các điểm biểu diễn của số phức $w={{z}_{1}}+{{z}_{2}}$ trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ là đường tròn có phương trình nào dưới đây?
A. ${{\left( x-\frac{5}{2} \right)}^{2}}+{{\left( y-\frac{3}{2} \right)}^{2}}=\frac{9}{4}$. B. ${{\left( x-10 \right)}^{2}}+{{\left( y-6 \right)}^{2}}=36$.
C. ${{\left( x-10 \right)}^{2}}+{{\left( y-6 \right)}^{2}}=16$. D. ${{\left( x-\frac{5}{2} \right)}^{2}}+{{\left( y-\frac{3}{2} \right)}^{2}}=9$.
Lời giải
Gọi $A$, $B$, $M$ là các điểm biểu diễn của ${{z}_{1}}$, ${{z}_{2}}$, $w$. Khi đó $A$, $B$ thuộc đường tròn $\left( C \right):{{\left( x-5 \right)}^{2}}+{{\left( y-3 \right)}^{2}}=25$ và $AB=\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|=8$.
$\left( C \right)$ có tâm $I\left( 5;3 \right)$ và bán kính $R=5$, gọi $T$ là trung điểm của $AB$ khi đó $T$ là trung điểm của $OM$ và $IT=\sqrt{I{{A}^{2}}-T{{A}^{2}}}=3$.
Gọi $J$ là điểm đối xứng của $O$ qua $I$ suy ra $J\left( 10;6 \right)$ và $IT$ là đường trung bình của tam giác $OJM$, do đó $JM=2IT=6$.
Vậy $M$ thuộc đường tròn tâm $J$ bán kính bằng $6$ và có phương trình ${{\left( x-10 \right)}^{2}}+{{\left( y-6 \right)}^{2}}=36$.
Câu 5:
Cho số phức $z$ có môđun bằng $2\sqrt{2}$. Biết rằng tập hợp điểm trong mặt phẳng tọa độ biểu diễn các số phức $w=\left( 1-i \right)\left( z+1 \right)-i$ là đường tròn có tâm $I\left( a;\,b \right)$, bán kính $R$. Tổng $a+b+R$ bằng
A. $5$. B. $7$. C. $1$. D. $3$.
Lời giải
Chọn D
Cách 1: Đặt $w=a+bi$ với điều kiện $a,\,b\in \mathbb{R}$.
Ta có $w=\left( 1-i \right)\left( z+1 \right)-i$$\Leftrightarrow a+bi=\left( 1-i \right)\left( z+1 \right)-i\Leftrightarrow a+\left( b+1 \right)i=\left( 1-i \right)z+1-i$
$\Leftrightarrow z=\frac{a-1+\left( b+2 \right)i}{1-i}=\frac{\left[ \left( a-1 \right)+\left( b+2 \right)i \right]\left( 1+i \right)}{2}$$\Leftrightarrow z=\frac{a-b-3+\left( a+b+1 \right)i}{2}$.
Vì $\left| z \right|=2\sqrt{2}\Leftrightarrow \sqrt{\frac{{{\left( a-b-3 \right)}^{2}}}{4}+\frac{{{\left( a+b+1 \right)}^{2}}}{4}}=2\sqrt{2}$$\Leftrightarrow {{\left( a-b-3 \right)}^{2}}+{{\left( a+b+1 \right)}^{2}}=32$
$\Leftrightarrow {{a}^{2}}+{{b}^{2}}-2a+4b-11=0$.
Suy ra tập hợp điểm biểu diễn số phức $w$ là một đường tròn tâm $I\left( 1;\,-2 \right)$, bán kính $R=4$.
Từ đó suy ra $a=1,\,b=-2,\,R=4$$\Rightarrow a+b+R=1+\left( -2 \right)+4=3$.
Cách 2: Đặt $w=x+yi$, với $x,y\in \mathbb{R}$.
Ta có $w=\left( 1-i \right)\left( z+1 \right)-i\Leftrightarrow w+i=\left( 1-i \right)\left( z+1 \right)\Leftrightarrow w+i=\left( 1-i \right)z+1-i$
$\Leftrightarrow w-1+2i=\left( 1-i \right)z$.
Lấy môđun hai vế ta được $\left| w-1+2i \right|=\left| \left( 1-i \right)z \right|\Leftrightarrow \left| x+yi-1+2i \right|=\left| 1-i \right|\left| z \right|$
$\Leftrightarrow \sqrt{{{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y+2 \right)}^{2}}}=4$$\Leftrightarrow {{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y+2 \right)}^{2}}=16$.
Suy ra tập hợp điểm biểu diễn số phức $w$ là một đường tròn tâm $I\left( 1;\,-2 \right)$, bán kính $R=4$.
Từ đó suy ra $a=1,\,b=-2,\,R=4$$\Rightarrow a+b+R=1+\left( -2 \right)+4=3$.
Xem thêm:
Tổng hợp các công thức số phức chi tiết và đầy đủ
Cách giải phương trình số phức và bài tập mẫu chi tiết