Bài viết sau đây giới thiệu đến các bạn lý thuyết và bài tập mẫu công thức số phức, cách tính số phức mũ cao để các bạn tham khảo. Khoa Cử hy vọng với những chia sẻ này sẽ hỗ trợ bạn đọc học tốt phần các dạng bài tập về số phức môn Toán lớp 12!
I. LÝ THUYẾT SỐ PHỨC CHI TIẾT NHẤT
1. ĐỊNH NGHĨA
| o Số phức là gì? Một số phức là một biểu thức dạng $z=a+bi$ với $a,b\in \mathbb{R}$ và ${{i}^{2}}=-1$.
o $i$ được gọi là đơn vị ảo, $a$được gọi là phần thực và $b$được gọi là phần ảo của số phức $z=a+bi$. Tập hợp các số phức được kí hiệu là $\mathbb{C}$. $\mathbb{C}=\left\{ a+bi/a,b\in \mathbb{R};{{i}^{2}}=-1 \right\}$. o Chú ý: – Khi phần ảo $b=0\Leftrightarrow z=a$ là số thực. – Khi phần thực $a=0\Leftrightarrow z=bi\Leftrightarrow z$là số thuần ảo. – Số $0=0+0i$ vừa là số thực, vừa là số ảo. o Hai số phức bằng nhau: $a+bi=c+di\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}a=c \\b=d \\\end{matrix} \right.\text{ }$với $a,b,c,d\in \mathbb{R}$. o Hai số phức ${{z}_{1}}=a+bi;\text{ }{{z}_{2}}=-a-bi$ được gọi là hai số phức đối nhau. |
2. SỐ PHỨC LIÊN HỢP
| Số phức liên hợp của $z=a+bi$ với $a,b\in \mathbb{R}$ là $a-bi$ và được kí hiệu bởi $\overline{z}$ .
Một số tính chất của số phức liên hợp: a) $\overline{\overline{z}}=z$$$ b)$\overline{z+z’}=\overline{z}+\overline{z’}$ c) $\overline{z-z’}=\overline{z}-\overline{z’}$ c) $\overline{z.z’}=\overline{z}.\overline{z’}$ d) $\overline{\left( \frac{z}{{{z}’}} \right)}=\frac{\overline{z}}{\overline{{{z}’}}}$ $z$ là số thực $\Leftrightarrow z=\overline{z}$ ; $z$ là số thuần ảo $\Leftrightarrow z=-\overline{z}$. |
3. BIỂU DIỄN HÌNH HỌC CỦA SỐ PHỨC
| Trong mặt phẳng phức Oxy ( Ox là trục thực, Oy là trục ảo ), số phức $z=a+bi$ với $a,b\in \mathbb{R}$được biểu diễn bằng điểm $M\left( a;b \right)$. |
4. MODULE CỦA SỐ PHỨC
| o Môđun của số phức $z=a+bi\text{ }\left( a,b\in \mathbb{R} \right)$ là $\overline{z}=\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}$ .
o Như vậy, môđun của số phức $z$ là $\overline{z}$ chính là khoảng cách từ điểm M biểu diễn số phức $z=a+bi\text{ }\left( a,b\in \mathbb{R} \right)$đến gốc tọa độ O của mặt phẳng phức là:$\left| \overrightarrow{OM} \right|=\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}=\sqrt{z\overline{z}}$ . o Một số tính chất của môđun: $\begin{align}& \bullet \text{ }\left| z \right|\ge 0;\left| z \right|=0\Leftrightarrow z=0; \\& \bullet \text{ }\left| {{z}^{2}} \right|={{\left| z \right|}^{2}},\text{ }\left| -z \right|=\left| z \right|,\text{ }\left| \overline{z} \right|=\left| z \right| \\& \bullet \text{ }\left| {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right|\le \left| {{z}_{1}} \right|\text{+}\left| {{z}_{2}} \right|\text{ } \\& \bullet \text{ }\left| \left| z \right|-\left| z’ \right| \right|\le \left| z-z’ \right|\le \left| z \right|+\left| z’ \right| \\& \bullet \text{ }\left| {{z}_{1}}.{{z}_{2}} \right|=\left| {{z}_{1}} \right|.\left| {{z}_{2}} \right|\text{ } \\& \bullet \text{ }\left| \frac{{{z}_{1}}}{{{z}_{2}}} \right|=\frac{\left| {{z}_{1}} \right|}{\left| {{z}_{2}} \right|} \\\end{align}$ |
5. CÁC PHÉP TOÁN VỚI SỐ PHỨC: CỘNG – TRỪ – NHÂN – CHIA SỐ PHỨC
| Cho hai số phức $z=a+bi$; $z’=a’+b’i\text{ }$với $a,b,a’,b’\in \mathbb{R}$và số $k\in \mathbb{R}$.
o Tổng hai số phức: $z+z’=a+a’+(b+b’)i$. o Hiệu hai số phức: $z+z’=a-a’+(b-b’)i$. o Số đối của số phức $z=a+bi$ là $-z=-a-bi$. o Nếu $\overrightarrow{u},\overrightarrow{u’}$ theo thứ tự biểu diễn các số phức $z,z’$ thì $\overrightarrow{u}+\overrightarrow{u’}$ biểu diễn số phức $z+z’$. $\overrightarrow{u}-\overrightarrow{u’}$ biểu diễn số phức $z-z’$. o Nhân hai số phức: $z.z’=\left( a+bi \right)\left( a’+b’i \right)=\left( a.a’-b.b’ \right)+\left( a.b’+a’.b \right)i$. o Số phức nghịch đảo: ${{z}^{-1}}=\frac{1}{{{\left| z \right|}^{2}}}\overline{z}$. o Chia hai số phức: Nếu $z\ne 0$thì $\frac{z’}{z}=\frac{z’.\overline{z}}{{{\left| z \right|}^{2}}}$, nghĩa là nếu muốn chia số phức $z’$cho số phức $z\ne 0$ thì ta nhân cả tử và mẫu của thương $\frac{z’}{z}$cho $\overline{z}$. v Chú ý: ${{i}^{4k}}=1;\text{ }{{i}^{4k+1}}=i;\text{ }{{i}^{4k+2}}=-1;\text{ }{{i}^{4k+3}}=-i\text{ (k}\in \mathbb{Z})$. |
6. CĂN BẬC HAI CỦA SỐ PHỨC
| Cho số phức $w$. Mỗi số phức z thỏa mãn ${{z}^{2}}=w$ được gọi là một căn thức bậc 2 của$w$ . Mỗi số phức $w\ne 0$ 0 có hai căn bậc hai là hai số phức đối nhau $\left( z\text{ }v\grave{a}z \right).$
o Trường hợp $w$ là số thực ($w=a\in \mathbb{R}$) + Khi $a>0$thì $w$ có hai căn bậc hai là $\sqrt{a}$ và $-\sqrt{a}$. + Khi $a<0$ nên $a=(-a){{i}^{2}}$, do đó $w$ có hai căn bậc hai là $\sqrt{-a}.i$ và $-\sqrt{-a}.i$. Ví dụ: Hai căn bậc 2 của $-1$ là $i$ và $i$ . Hai căn bậc 2 của $-{{a}^{2}}\text{ }(a\ne 0)$ là $ai\text{ }\text{,}-ai$. o Trường hợp $w=a+bi\text{ }(a,b\in \mathbb{R};b\ne 0)$. Cách 1: Gọi $z=x+yi\text{ }(x,y\in \mathbb{R})$là căn bậc 2 của $w$ khi và chỉ khi ${{z}^{2}}=w$, tức là: $\begin{align}& \text{ }{{(x+yi)}^{2}}=a+bi \\& \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}{{x}^{2}}-{{y}^{2}}=a \\2xy=b \\\end{matrix} \right.\to x=…;y=… \\\end{align}$ Mỗi cặp số thực $\left( x;y \right)$ nghiệm đúng hệ phương trình đó cho ra một căn bậc hai $z=x+yi$ của số phức $w=a+bi$. Cách 2: Có thể biến đổi $w$ thành bình phương của một tổng, nghĩa là $w={{z}^{2}}$. Từ đó kết luận căn bậc hai của $w$ là $z$ và -$z$.. |
Xem thêm: Cách giải và bài tập mẫu tập hợp điểm biểu diễn số phức
7. PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI TRÊN TẬP SỐ PHỨC
| Cho phương trình bậc 2: $A{{z}^{2}}+Bz+C=0\text{ }(1)$ trong đó $A,B,C$là những số phức$A\ne 0$.
Xét biệt thức $$ o Nếu $\Delta \ne 0$thì phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt: $$ Trong đó $\sigma $là một căn bậc 2 của $\Delta $. o Nếu $\Delta =0$ thì phương trình (1) có nghiệm kép: $$ CHÚ Ý: o Mọi phương trình bậc n: ${{A}_{0}}{{z}^{n}}+{{A}_{1}}{{z}^{n-1}}+…+{{A}_{n-1}}z+{{A}_{n}}=0$ luôn có n nghiệm phức (không nhất thiết phân biệt). o Hệ thức Vi-ét đối với phương trình bậc 2 số phức hệ số thực: Cho phương trình bậc 2 :$A{{z}^{2}}+Bz+C=0\text{ }(A,B,C\in \mathbb{R};A\ne 0)$có 2 nghiệm phân biệt (thực hoặc phức). Ta có: $\left\{ \begin{matrix}S={{z}_{1}}+{{z}_{2}}=\frac{-B}{A}\\P={{z}_{1}}{{z}_{2}}=\frac{C}{A}\text{ } \\\end{matrix} \right.$. |
II. BÀI TẬP MẪU SỐ PHỨC CHI TIẾT NHẤT
Câu 1: Tìm phần thực, phần ảo, số phức liên hợp và tính môđun của số phức $z$
Tìm phần thực, phần ảo, số phức liên hợp và tính môđun của số phức $z$:
$a)\text{ }z=\left( 2+4i \right)+2i\left( 1-3i \right).$ $b)\text{ }z=\left( 2-4i \right)\left( 5+2i \right)+\frac{4-5i}{2+i}$.
Giải:
$\text{ a) }z=\left( 2+4i \right)+2i\left( 1-3i \right)=2+4i+2i-6{{i}^{2}}=2+6i+6=8+6i$.
$\Rightarrow $ Phần thực: 8 ; Phần ảo: 6 ; Số phức liên hợp: $\overline{z}=8-6i$.
Môđun $\left| z \right|=\sqrt{{{8}^{2}}+{{6}^{2}}}=10$.
$\begin{align} & \text{b) }z=\left( 2-4i \right)\left( 5+2i \right)+\frac{4-5i}{2+i}=10+4i-20i-8{{i}^{2}}+\frac{\left( 4-5i \right)\left( 2-i \right)}{{{2}^{2}}+{{1}^{2}}}\\&\text{ }=18-16i+\frac{8-14i-5}{5}=\frac{93}{5}-\frac{94}{5}i.\\\end{align}$
$\Rightarrow $ Phần thực:$\frac{93}{5}$ ; Phần ảo: $\frac{94}{5}$; Số phức liên hợp: $\overline{z}=\frac{93}{5}+\frac{94}{5}i$.
Môđun $\left| z \right|=\sqrt{{{\left( \frac{93}{5} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{94}{5} \right)}^{2}}}=\frac{\sqrt{17485}}{5}$.
Câu 2: Giải phương trình bậc hai sau
Giải phương trình bậc hai sau: ${{z}^{2}}+2z+4i-2=0$.
Giải:
Biệt thức: $\Delta ={{2}^{2}}-4.1.(4i-2)=4-16i+8=12-16i=16-2.4.2i+4{{i}^{2}}={{(4-2i)}^{2}}$.
Chọn $\sigma =4-2i.$ Phương trình trên có hai nghiệm là :
${{z}_{1}}=\frac{-B+\sigma }{2A}=\frac{-2+4-2i}{2}=1-i;\text{ }{{z}_{2}}=\frac{-B-\sigma }{2A}=\frac{-2-4+2i}{2}=-3+i.$
Câu 3: Tìm tất cả các giá trị của $m$ để thỏa mãn điều kiện
Cho phương trình $4{{z}^{4}}+m{{z}^{2}}+4=0$ trong tập số phức và $m$ là tham số thực. Gọi ${{z}_{1}},{{z}_{2}},{{z}_{3}},{{z}_{4}}$ lần lượt là 4 nghiệm của phương trình đã cho. Tìm tất cả các giá trị của $m$ để $\left( {{z}_{1}}^{2}+4 \right)\left( {{z}_{2}}^{2}+4 \right)\left( {{z}_{3}}^{2}+4 \right)\left( {{z}_{4}}^{2}+4 \right)=324$.
Giải:
Cách 1:
Đặt $t={{z}^{2}}$, phương trình trở thành: $4{{t}^{2}}+mt+4=0$ có 2 nghiệm ${{t}_{1}},{{t}_{2}}$ .
Ta có: $\left\{ \begin{matrix}{{t}_{1}}+{{t}_{2}}=-\frac{m}{4} \\{{t}_{1}}.{{t}_{2}}=1 \\\end{matrix} \right.$ . Do vai trò bình đẳng, giả sử ta có: ${{z}_{1}}^{2}={{z}_{2}}^{2}={{t}_{1}},{{z}_{3}}^{2}={{z}_{4}}^{2}={{t}_{2}}$.
Yêu cầu bài toán $\Leftrightarrow {{\left( {{t}_{1}}+4 \right)}^{2}}{{\left( {{t}_{2}}+4 \right)}^{2}}=324\Leftrightarrow {{\left[ {{t}_{1}}{{t}_{2}}+4\left( {{t}_{1}}+{{t}_{2}} \right)+16 \right]}^{2}}=324$.
$\Leftrightarrow {{\left( -m+17 \right)}^{2}}={{18}^{2}}\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} -m+17=18 \\ -m+17=-18 \\\end{matrix}\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} m=-1 \\ m=35 \\\end{matrix} \right. \right..$
Cách 2:
Đặt $f\left( z \right)=4\left( z-{{z}_{1}} \right)\left( z-{{z}_{2}} \right)\left( z-{{z}_{3}} \right)\left( z-{{z}_{4}} \right)$.
Do ${{z}_{1}}^{2}+4=\left( {{z}_{1}}+2i \right)\left( {{z}_{1}}-2i \right)$ nên $\left( {{z}_{1}}^{2}+4 \right)\left( {{z}_{2}}^{2}+4 \right)\left( {{z}_{3}}^{2}+4 \right)\left( {{z}_{4}}^{2}+4 \right)=\frac{f\left( 2i \right)}{4}.\frac{f\left( -2i \right)}{4}\text{ }\left( * \right)$
Mà $f\left( 2i \right)=f\left( -2i \right)=4{{\left( 2i \right)}^{4}}+m{{\left( 2i \right)}^{2}}+4=68-4m.$
Vậy $\left( * \right)\Leftrightarrow 324=\frac{{{\left( 68-4m \right)}^{2}}}{4.4}\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} m=-1 \\ m=35 \\\end{matrix}. \right.$
Câu 4: Tìm tập hợp các điểm M thỏa mãn một trong các điều kiện sau
Giả sử M là điểm trên mặt phẳng phức biểu diễn số phức $z$. Tìm tập hợp các điểm M thỏa mãn một trong các điều kiện sau đây:
a) $\left| z-1+i \right|\ = 2$
b) $\left| z+1-3i \right|\le 4$
c) 
Giải:
Đặt $z=x+yi\text{ }(x,y\in \mathbb{R})$ được biểu diễn bởi điểm $M\left( x;y \right)$
a) Xét hệ thức: $\left| z-1+i \right|=2$.
$\begin{align}& \Leftrightarrow \left| \left( x1 \right)+\left( y+1 \right)i \right|=2 \\& \Leftrightarrow \sqrt{{{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y+1 \right)}^{2}}}=2. \\& \Leftrightarrow {{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y+1 \right)}^{2}}=4. \\\end{align}$
Þ Tập hợp các điểm $M\left( z \right)$ trên mặt phẳng tọa độ biểu diễn số phức $z$ thỏa mãn (1) là đường tròn có tâm tại $I\left( 1;-1 \right)$ và bán kính$R=2$ .
b) Xét hệ thức :$\left| z+1-3i \right|\le 4\Leftrightarrow \left| \left( x+1 \right)+\left( y-3 \right)i \right|\le 4$
$\text{ }\Leftrightarrow \sqrt{{{\left( x+1 \right)}^{2}}+\text{ }{{\left( y-1 \right)}^{2}}}\le 4$
$\text{ }\Leftrightarrow {{\left( x+1 \right)}^{2}}+\text{ }{{\left( y-1 \right)}^{2}}\le \text{16}.$
Vậy tập hợp các điểm M trên mặt phẳng tọa độ biểu diễn số phức $z$ là hình tròn có tâm là$\left( -1;1 \right)$; bán kính $r=4$ .
Nhận xét: Tập hợp các điểm biểu diễn số phức $z$ thỏa mãn điều kiện: $\left| z+1-3i \right|\ge 4$ là tập hình các điểm nằm trên và nằm ngoài đường tròn có tâm là$\left( -1;1 \right)$ ; bán kính $r=4$ .
c) Xét hệ thức: $\left| 2+z \right|=\left| z-i \right|$
$\begin{array}{*{35}{l}}\Leftrightarrow \left| \left( x+2 \right)+yi \right|=\left| x+\left( y-1 \right)i \right| \\\Leftrightarrow {{\left( x+2 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}={{x}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}} \\\Leftrightarrow 4x+2y+3=0. \\\end{array}$
Vậy tập hợp các điểm M là đường thẳng
$4x+2y+3=0.$
Nhận xét: Đường thẳng $4x+2y+3=0$ chính là đường trung trực của đoạn AB.
Câu 5: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của $\left| z \right|$
Cho số phức $z$ thỏa mãn $\left| z-4 \right|+\left| z+4 \right|=10$. Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của $\left| z \right|$ bằng?
Giải:
Cách 1: Giả sử $z=x+yi\text{ }\left( x;y\in \mathbb{R} \right)$.
Ta có $10=\left| z-4 \right|+\left| z+4 \right|\ge \left| z-4+z+4 \right|=\left| 2z \right|\Rightarrow \left| z \right|\le 5$.
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki, ta có $100={{\left( \left| z-4 \right|.1+\left| z-4 \right|.1 \right)}^{2}}\le \left[ {{\left( \left| z-4 \right| \right)}^{2}}+{{\left( \left| z+4 \right| \right)}^{2}} \right].2$
$\Leftrightarrow {{\left( a+4 \right)}^{2}}+{{b}^{2}}+{{\left( a-4 \right)}^{2}}+{{b}^{2}}\ge 50\Leftrightarrow \left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}} \right)\ge 9\Rightarrow \left| z \right|\ge 3$.
Cách 2: Giả sử $z=x+yi\text{ }\left( x;y\in \mathbb{R} \right)$.
Từ giả thiết, ta có $\sqrt{{{\left( x-4 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}}+\sqrt{{{\left( x+4 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}}=10$. $\left( * \right)$
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ $Oxy$, gọi $M\left( x;y \right)$ và ${{F}_{1}}\left( -4;0 \right)$, ${{F}_{2}}\left( -4;0 \right)$ thì $\left( * \right)$ có dạng $M{{F}_{1}}+M{{F}_{2}}=2.5$. Vậy tợp hợp điểm $M\left( x;y \right)$ biểu diễn số phức $z$ là một Elip có độ dài trục lớn $a=5$, tiêu cự ${{F}_{1}}{{F}_{2}}=8\Rightarrow c=4$. Suy ra độ dài trục bé $b=\sqrt{{{a}^{2}}-{{c}^{2}}}=3$.
Khi đó ta luôn có $b\le OM\le a$ hay $3\le \left| z \right|\le 5$.
Câu 6: Tìm Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|$
Cho hai số phức ${{z}_{1}},\text{ }\,{{z}_{2}}$ thỏa mãn $\left| {{z}_{1}}-2i \right|=3$ và $\left| {{z}_{2}}+2+2i \right|=\left| {{z}_{2}}+2+4i \right|$. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|$ bằng?
Giải:
Đặt ${{z}_{1}}={{x}_{1}}+{{y}_{1}}i$ và ${{z}_{2}}={{x}_{2}}+{{y}_{2}}i$ với ${{x}_{1}},\text{ }{{x}_{2}},\text{ }{{y}_{1}},\text{ }{{y}_{2}}\in \mathbb{R}.$
- $\left| {{z}_{1}}-2i \right|=3\Leftrightarrow {{x}_{1}}^{2}+{{\left( {{y}_{1}}-2 \right)}^{2}}=9\Rightarrow $ tập hợp các số phức ${{z}_{1}}$ là đường tròn $\left( C \right):{{x}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}=9$.
- $\left| {{z}_{2}}+2+2i \right|=\left| {{z}_{2}}+2+4i \right|$
$\Leftrightarrow {{\left( {{x}_{2}}+2 \right)}^{2}}+{{\left( {{y}_{2}}+2 \right)}^{2}}={{\left( {{x}_{2}}+2 \right)}^{2}}+{{\left( {{y}_{2}}+4 \right)}^{2}}\Leftrightarrow {{y}_{2}}+3=0$
$\Rightarrow $tập hợp các số phức ${{z}_{2}}$ là đường thẳng $d:y=-3$.
Ta có $P=\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|=\sqrt{{{\left( {{x}_{2}}-{{x}_{1}} \right)}^{2}}+{{\left( {{y}_{2}}-{{y}_{1}} \right)}^{2}}}$ đây chính là khoảng cách từ điểm $B\left( {{x}_{2}};{{y}_{2}} \right)\in d$ đến điểm $A\left( {{x}_{1}};{{y}_{1}} \right)\in \left( C \right)$. Do đó ${{\left| {{z}_{2}}-{{z}_{1}} \right|}_{\min }}\Leftrightarrow A{{B}_{\min }}.$ Dựa vào hình vẽ ta tìm được $A{{B}_{\min }}=2$ khi $A\left( 0;-1 \right),\text{ }B\left( 0;-3 \right)$. Vậy $P=\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|$ khi ${{z}_{1}}=-i;\text{ }{{z}_{2}}=-3i$.
Nhận xét: Ở bài này đường thẳng và đường tròn có vị trí đặc biệt nên vẽ hình sẽ nhận ra ngay được hai điểm $A$ & $B$, nếu không thì viết phương trình đường thẳng qua tâm $C$ và vuông góc với $d$, sau đó tìm giao điểm với $C$ và $d$ rồi loại điểm.
Xem thêm:
Chuyên đề số phức ôn tập luyện thi đại học đầy đủ và chi tiết
Cách giải các dạng bài tập số phức nâng cao
Cách giải và bài tập mẫu chia 2 số phức
Lý thuyết và bài tập của modun số phức
