Bài viết sau đây giới thiệu đến các cách giải bài tập số phức nâng cao với các bài tập mẫu để luyện tập. Khoa Cử hy vọng với những chia sẻ này sẽ hỗ trợ bạn đọc học tốt chuyên đề số phức nâng cao môn Toán lớp 12!
I. CÁCH GIẢI
DẠNG 1: Quỹ tích điểm biểu diễn số phức là đường thẳng.
TQ1: Cho số phức $z$ thỏa mãn $\left| z-a-bi \right|=\left| z \right|$, tìm ${{\left| z \right|}_{Min}}$. Khi đó ta có
+ Quỹ tích điểm $M\left( x;y \right)$ biểu diễn số phức $z$ là đường trung trực đoạn $OA$ với $A\left( a;b \right)$
+ $\left\{ \begin{align}& {{\left| z \right|}_{Min}}=\frac{1}{2}\left| {{z}_{0}} \right|=\frac{1}{2}\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}} \\& z=\frac{a}{2}+\frac{b}{2}i \\\end{align} \right.$
TQ2: Cho số phức thỏa mãn điều kiện $\left| z-a-bi \right|=\left| z-c-di \right|.$ Tìm${{\left| z \right|}_{\min }}$. Ta có
+ Quỹ tích điểm $M\left( x;y \right)$ biểu diễn số phức $z$ là đường trung trực đoạn $AB$ với $A\left( a;b \right),B\left( c;d \right)$
+ ${{\left| z \right|}_{Min}}=d\left( O,AB \right)=\frac{\left| {{a}^{2}}+{{b}^{2}}-{{c}^{2}}-{{d}^{2}} \right|}{2\sqrt{{{\left( a-c \right)}^{2}}+{{\left( b-d \right)}^{2}}}}$
Lưu ý: Đề bài có thể suy biến bài toán thành 1 số dạng, khi đó ta cần thực hiện biến đổi để đưa về dạng cơ bản.
Ví dụ 1:
+ Cho số phức thỏa mãn điều kiện $\left| \overline{z}-a-bi \right|=\left| z-c-di \right|.$ Khi đó ta biến đổi
$\left| \overline{z}-a-bi \right|=\left| z-c-di \right|\Leftrightarrow \left| z-a+bi \right|=\left| z-c-di \right|.$
+ Cho số phức thỏa mãn điều kiện $\left| iz-a-bi \right|=\left| z-c-di \right|.$ Khi đó ta biến đổi
$\left| iz-a-bi \right|=\left| iz-c-di \right|\Leftrightarrow \left| z+\frac{-a-bi}{i} \right|=\left| z+\frac{-c-di}{i} \right|\Leftrightarrow \left| z+b+ai \right|=\left| z+d+ci \right|.$
DẠNG 2: Quỹ tích điểm biểu diễn số phức là đường tròn.
TQ: Cho số phức $z$ thỏa mãn điều kiện $\left| z-a-bi \right|=R>0\,\left( \left| z-{{z}_{0}} \right|=R \right)$. Tìm ${{\left| z \right|}_{Max}},{{\left| z \right|}_{Min}}$. Ta có
+ Quỹ tích điểm $M\left( x;y \right)$ biểu diễn số phức $z$ là đường tròn tâm $I\left( a;b \right)$ bán kính $R$
+ $\left\{ \begin{align}& {{\left| z \right|}_{Max}}=OI+R=\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}+R=\left| {{z}_{0}} \right|+R \\& {{\left| z \right|}_{Min}}=\left| OI-R \right|=\left| \sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}-R \right|=\left| \left| {{z}_{0}} \right|-R \right| \\\end{align} \right.$
Lưu ý: Đề bài có thể cho ở dạng khác, ta cần thực hiện các phép biến đổi để đưa về dạng cơ bản.
Ví dụ 1: Cho số phức $z$ thỏa mãn điều kiện $\left| iz-a-bi \right|=R\Leftrightarrow \left| z+\frac{-a-bi}{i} \right|\,=\frac{R}{\left| i \right|}$
$\Leftrightarrow \left| z+b+ai \right|=R$
Ví dụ 2: Cho số phức $z$ thỏa mãn điều kiện $\left| \overline{z}-a-bi \right|=R\Leftrightarrow \left| z-a+bi \right|=R$
Ví dụ 3: Cho số phức $z$ thỏa mãn điều kiện $\left| \left( c+di \right)z-a-bi \right|=R\Leftrightarrow \left| z+\frac{-a-bi}{c+di} \right|=\frac{R}{\left| c+di \right|}=\frac{R}{\sqrt{{{c}^{2}}+{{d}^{2}}}}$
Hay viết gọn $\left| {{z}_{0}}z-{{z}_{1}} \right|=R\Leftrightarrow \left| z-\frac{{{z}_{1}}}{{{z}_{0}}} \right|=\frac{R}{\left| {{z}_{0}} \right|}$
DẠNG 3: Quỹ tích điểm biểu diễn số phức là Elip.
TQ1: Cho số phức $z$ thỏa mãn điều kiện $\left| z-c \right|+\left| z+c \right|=2a\,,\left( a>c \right)$ Khi đó ta có
+ Quỹ tích điểm $M\left( x;y \right)$ biểu diễn số phức $z$ là Elip: $\frac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}+\frac{{{y}^{2}}}{{{a}^{2}}-{{c}^{2}}}=1$
+ $\left\{ \begin{align}& {{\left| z \right|}_{Max}}=a \\& {{\left| z \right|}_{Min}}=\sqrt{{{a}^{2}}-{{c}^{2}}} \\\end{align} \right.$
TQ2:. Cho số phức $z$ thỏa mãn điều kiện $\left| z-{{z}_{1}} \right|+\left| z-{{z}_{2}} \right|=2a$
Thỏa mãn $2a>\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|$.
Khi đó ta thực hiện phép biến đổi để đưa Elip về dạng chính tắc
Ta có
| Khi đề cho Elip dạng không chính tắc $\left| z-{{z}_{1}} \right|+\left| z-{{z}_{2}} \right|=2a\,,\left( \left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|<2a \right)$và ${{z}_{1}},{{z}_{2}}\ne \pm c,\pm ci$ ). Tìm Max, Min của $P=\left| z-{{z}_{0}} \right|$.
Đặt $\left\{ \begin{align}& \left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|=2c \\& {{b}^{2}}={{a}^{2}}-{{c}^{2}} \\\end{align} \right.$ |
|
| Nếu $\left| {{z}_{0}}-\frac{{{z}_{1}}+{{z}_{2}}}{2} \right|=0$ | $\left\{ \begin{align}& {{P}_{Max}}=a \\& {{P}_{Min}}=b \\\end{align} \right.$ |
| Nếu $\left\{ \begin{align}& \left| {{z}_{0}}-\frac{{{z}_{1}}+{{z}_{2}}}{2} \right|>a \\& {{z}_{0}}-{{z}_{1}}=k\left( {{z}_{0}}-{{z}_{2}} \right) \\\end{align} \right.$ | $\left\{ \begin{align}& {{P}_{Max}}=\left| {{z}_{0}}-\frac{{{z}_{1}}+{{z}_{2}}}{2} \right|+a \\& {{P}_{Min}}=\left| {{z}_{0}}-\frac{{{z}_{1}}+{{z}_{2}}}{2} \right|-a \\\end{align} \right.$ |
| Nếu $\left\{ \begin{align}& \left| {{z}_{0}}-\frac{{{z}_{1}}+{{z}_{2}}}{2} \right|<a \\& {{z}_{0}}-{{z}_{1}}=k\left( {{z}_{0}}-{{z}_{2}} \right) \\\end{align} \right.$ | ${{P}_{Max}}=\left| {{z}_{0}}-\frac{{{z}_{1}}+{{z}_{2}}}{2} \right|+a$ |
| Nếu $\left| {{z}_{0}}-{{z}_{1}} \right|=\left| {{z}_{0}}-{{z}_{2}} \right|$ | ${{P}_{Min}}=\left| \left| {{z}_{0}}-\frac{{{z}_{1}}+{{z}_{2}}}{2} \right|-b \right|$ . |
II. BÀI TẬP MẪU
Câu 1:
Cho số phức $z$ thỏa mãn $\left| z-6 \right|+\left| z+6 \right|=20$. Gọi $M$, $n$ lần lượt là môđun lớn nhất và nhỏ nhất của z. Tính $M-n$
A. $M-n=2$. B. $M-n=4$. C. $M-n=7$. D. $M-n=14$.
Lời giải
Gọi z = x + yi, (x,y thuộc R). Theo giả thiết, ta có $\left| z-6 \right|+\left| z+6 \right|=20$.
$\Leftrightarrow \left| x-6+yi \right|+\left| x+6+yi \right|=20$$\Leftrightarrow \sqrt{{{\left( x-6 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}}+\sqrt{{{\left( x+6 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}}=20\,\,\,\,\,\left( * \right)$.
Gọi $M\left( x;y \right)$, ${{F}_{1}}\left( 6;0 \right)$ và ${{F}_{2}}\left( -6;0 \right)$.
Khi đó $\left( * \right)\Leftrightarrow M{{F}_{1}}+M{{F}_{2}}=20>{{F}_{1}}{{F}_{2}}=12$ nên tập hợp các điểm $E$ là đường elip có hai tiêu điểm ${{F}_{1}}$ và ${{F}_{2}}$. Và độ dài trục lớn bằng $20$.
Ta có $c=6$; $2a=20\Leftrightarrow a=10$ và ${{b}^{2}}={{a}^{2}}-{{c}^{2}}=64\Rightarrow b=8$.
Do đó, phương trình chính tắc của là $\frac{{{x}^{2}}}{100}+\frac{{{y}^{2}}}{64}=1$.
Suy ra $\text{max}\left| z \right|=OA=O{{A}^{‘}}=10$ khi $z=\pm 10$ và $\text{min}\left| z \right|=OB=O{{B}^{‘}}=8$ khi $z=\pm 8i$.
Vậy $M-n=2$.
Câu 2:
Trong các số phức $z$ thỏa mãn $\left| z-1+i \right|=\left| \overline{z}+1-2i \right|$, số phức $z$ có mô đun nhỏ nhất có phần ảo là
A. $\frac{3}{10}$. B. $\frac{3}{5}$. C. $-\frac{3}{5}$. D. $-\frac{3}{10}$.
Lời giải
Gọi $z=x+yi$, $\left( x\,,\,y\,\,\in \mathbb{R} \right)$ được biểu diễn bởi điểm $M\left( x\,;\,y \right)$.
$\left| z-1+i \right|=\left| \overline{z}+1-2i \right|\Leftrightarrow \left| \left( x-1 \right)+\left( y+1 \right)i \right|=\left| \left( x+1 \right)-\left( y+2 \right)i \right|$
$\Leftrightarrow \sqrt{{{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y+1 \right)}^{2}}}=\sqrt{{{\left( x+1 \right)}^{2}}+{{\left( y+2 \right)}^{2}}}\Leftrightarrow 4x+2y+3=0\Leftrightarrow y=-2x-\frac{3}{2}$.
Cách 1:
$\left| z \right|=\sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}=\sqrt{{{x}^{2}}+{{\left( -2x-\frac{3}{2} \right)}^{2}}}=\sqrt{5{{x}^{2}}+6x+\frac{9}{4}}=\sqrt{5{{\left( x+\frac{3}{5} \right)}^{2}}+\frac{9}{20}}\ge \frac{3\sqrt{5}}{10},\forall x$.
Suy ra $min\left| z \right|=\frac{3\sqrt{5}}{10}$ khi $x=-\frac{3}{5};y=-\frac{3}{10}$.
Vậy phần ảo của số phức $z$ có mô đun nhỏ nhất là $-\frac{3}{10}$.
Cách 2:
Trên mặt phẳng tọa độ $Oxy$, tập hợp điểm biểu diễn số phức $z$là đường thẳng $d:\,\,4x+2y+3=0$.
Ta có $\left| z \right|=OM$. $\left| z \right|$ nhỏ nhất $\Leftrightarrow OM$nhỏ nhất $\Leftrightarrow M$là hình chiếu của $O$ trên $d$.
Phương trình đường thẳng $OM$ đi qua $O$ và vuông góc với $d$ là: $x-2y=0$.
Tọa độ của $M$ là nghiệm của hệ phương trình: $\left\{ \begin{align}& 4x+2y+3=0 \\& x-2y=0 \\\end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& x=-\frac{3}{5} \\& y=-\frac{3}{10} \\\end{align} \right.$ $\Rightarrow M\left( -\frac{3}{5};-\frac{3}{10} \right)$. Hay $z=-\frac{3}{5}-\frac{3}{10}i$.
Vậy phần ảo của số phức $z$ có mô đun nhỏ nhất là $-\frac{3}{10}$.
Nhận xét: Ta có thể tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức $z$ như sau:
$\left| z-1+i \right|=\left| \overline{z}+1-2i \right|\Leftrightarrow \left| z-\left( 1-i \right) \right|=\left| z-\left( -1-2i \right) \right|$ $\left( * \right)$
Gọi $M$ biểu diễn số phức $z$, điểm $A\left( 1\,;\,-1 \right)$ biểu diễn số phức $1-i$, điểm $B\left( -1\,;\,-2 \right)$ biểu diễn số phức $-1-2i$.
Khi đó $\left( * \right)\Leftrightarrow MA=MB$. Suy ra tập hợp điểm biểu diễn số phức $z$là đường trung trực của đoạn thẳng $AB$có phương trình $d:\,\,4x+2y+3=0$.
Câu 3:
Cho hai số phức $z$ và $\omega =a+bi$ thỏa mãn $\left| z+\sqrt{5} \right|+\left| z-\sqrt{5} \right|=6$; $5a-4b-20=0$. Giá trị nhỏ nhất của $\left| z-\omega \right|$ là
A. $\frac{3}{\sqrt{41}}$. B. $\frac{5}{\sqrt{41}}$. C. $\frac{4}{\sqrt{41}}$. D. $\frac{3}{41}$.
Lời giải
Đặt ${{F}_{1}}\left( -\sqrt{5}\,;0 \right)$, ${{F}_{2}}\left( \sqrt{5}\,;0 \right)$, vì $\sqrt{5}<3$ nên tập hợp các điểm $M$ biểu diễn số phức $z$ thuộc elip có $\left\{ \begin{align}& a=3 \\& c=\sqrt{5} \\\end{align} \right.\Rightarrow {{b}^{2}}={{a}^{2}}-{{c}^{2}}=4$ suy ra $\left( E \right):\frac{{{x}^{2}}}{9}+\frac{{{y}^{2}}}{4}=1$.
Tập hợp các điểm $N$ biểu diễn số phức $\omega $ thuộc đường thẳng $\Delta :5x-4y-20=0$.
Yêu cầu bài toán trở thành tìm điểm $M\in \left( E \right)$ và $N\in \Delta $ sao cho $MN$ nhỏ nhất.
Đường thẳng $d$ song song với $\Delta $ có dạng $d:5x-4y+c=0$, $\left( c\ne -20 \right)$.
$d$ tiếp xúc với $\left( E \right)$ khi và chỉ khi ${{c}^{2}}={{5}^{2}}.9+{{\left( -4 \right)}^{2}}.4=289\Rightarrow \left[ \begin{align}& c=17 \\& c=-17 \\\end{align} \right.$.
Với $c=17$ $\Rightarrow d\left( d,\Delta \right)=\frac{\left| -20-17 \right|}{\sqrt{{{5}^{2}}+{{\left( -4 \right)}^{2}}}}=\frac{37}{\sqrt{41}}$.
Với $c=-17$ $\Rightarrow d\left( d,\Delta \right)=\frac{\left| -20+17 \right|}{\sqrt{{{5}^{2}}+{{\left( -4 \right)}^{2}}}}=\frac{3}{\sqrt{41}}$.
Vậy $\min \left( MN \right)=\frac{3}{\sqrt{41}}$.
Câu 4:
Cho hai số phức ${{z}_{1}},{{z}_{2}}$ thoả mãn $\left| {{z}_{1}}+2-i \right|+\left| {{z}_{1}}-4-7i \right|=6\sqrt{2}$và $\left| i{{z}_{2}}-1+2i \right|=1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $T=\left| {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right|$.
A. $\sqrt{2}-1$. B. $\sqrt{2}+1$. C. $2\sqrt{2}+1$. D. $2\sqrt{2}-1$.
Lời giải
Gọi $M$ là điểm biểu diễn số phức ${{z}_{1}}$ và $A\left( -2\,;\,1 \right)$; $B\left( 4;7 \right)$ lần lượt là hai điểm biểu diễn hai số phức $-2+i$,$\,4+7i$. Ta có $AB=6\sqrt{2}$. Phương trình đường thẳng $AB$ là $d:x-y+3=0$.
+) $\left| {{z}_{1}}+2-i \right|+\left| {{z}_{1}}-4-7i \right|=6\sqrt{2}$ $\Leftrightarrow MA+MB=6\sqrt{2}$ $\Leftrightarrow MA+MB=AB$. Do đó tập hợp các điểm biểu diễn số phức ${{z}_{1}}$ là đoạn thẳng $AB$.
+) $\left| i{{z}_{2}}-1+2i \right|=1\Leftrightarrow \left| i{{z}_{2}}-1+2i \right|\left| i \right|=1\Leftrightarrow \left| -{{z}_{2}}-2-i \right|=1$.
Gọi $N$ là điểm biểu diễn số phức $-{{z}_{2}}$ và $I\left( 2;1 \right)$ là điểm biểu diễn số phức $2+i$. Ta có $IN=1$ Suy ra tập hợp các điểm biểu diễn số phức $-{{z}_{2}}$ là đường tròn $\left( C \right)$ có phương trình: ${{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}=1$.
$d\left( I,AB \right)=2\sqrt{2}>1$, suy ra $AB$ không cắt đường tròn.
Gọi $K$ là hình chiếu của $I\left( 2;1 \right)$ lên $AB$. Dễ thấy $K$ nằm trên đoạn thẳng $AB$.
Gọi $H$ là giao điểm của đoạn $IK$ với đường tròn $\left( C \right)$.
Ta có $\left| {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right|=MN\ge KH=d\left( I,AB \right)-R=2\sqrt{2}-1$.
Suy ra $min\left| {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right|=2\sqrt{2}-1.$
Câu 5:
Cho hai số phức ${{z}_{1}},{{z}_{2}}$ thỏa mãn $\left| {{z}_{1}}+1-i \right|=2$ và ${{z}_{2}}=i{{z}_{1}}$. Tìm giá trị nhỏ nhất $m$ của biểu thức $\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|$?
A. $m=\sqrt{2}-1$. B. $m=2\sqrt{2}$. C. $m=2$. D. $m=2\sqrt{2}-2$.
Lời giải
Đặt ${{z}_{1}}=a+bi;\text{ }a,b\in \mathbb{R}$ $\Rightarrow {{z}_{2}}=-b+ai$
$\Rightarrow {{z}_{1}}-{{z}_{2}}=\left( a+b \right)+\left( b-a \right)i$.
Nên $\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|=\sqrt{{{\left( a+b \right)}^{2}}+{{\left( b-a \right)}^{2}}}=\sqrt{2}.\left| {{z}_{1}} \right|$
Ta lại có $2=\left| {{z}_{1}}+1-i \right|\le \left| {{z}_{1}} \right|+\left| 1-i \right|=\left| {{z}_{1}} \right|+\sqrt{2}$
$\Rightarrow \left| {{z}_{1}} \right|\ge 2-\sqrt{2}$. Suy ra $\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|=\sqrt{2}.\left| {{z}_{1}} \right|\ge 2\sqrt{2}-2$.
Dấu $”=”$ xảy ra khi $\frac{a}{1}=\frac{b}{-1}<0$.
Vậy $m=\min \left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|=2\sqrt{2}-2$.
Xem thêm:
Cách giải và bài tập mẫu cực trị số phức
Cách giải và bài tập mẫu dạng cộng, trừ và nhân số phức
Cách giải và bài tập mẫu tập hợp điểm biểu diễn số phức
Các dạng bài tập số phức đầy đủ và chi tiết