Trong bài viết ngày hôm nay, Khoa Cử chúng tôi muốn đem đến cho các bạn một bài toán rất hay trong chương trình toán lớp 11 đó chính là về quy tắc đếm rất đầy đủ và chi tiết cho các bạn tham khảo. Với những thông tin được Khoa cử chúng tôi chia sẽ về bài tập trắc nghiệm tổ hợp xác suất, bài tập trắc nghiệm tổ hợp xác suất có đáp án bên dưới đây hy vọng sẽ hỗ trợ cho bạn học tốt môn Toán Đại lớp 11 nhé!
I. LÝ THUYẾT
1. Quy tắc cộng
Định nghĩa: Giả sử một công việc có thể thực hiện theo một trong $k$ phương án khác nhau
$\left. \begin{align} & {{A}_{1}}…………….{{n}_{1}} \\ & {{A}_{2}}…………….{{n}_{2}} \\ & …………………… \\ & {{A}_{k}}…………….{{n}_{k}} \\ \end{align} \right\}\Rightarrow$ có ${{n}_{1}}+{{n}_{2}}+…+{{n}_{k}}=\sum\limits_{i=1}^{k}{{{n}_{i}}.}$
2. Quy tắc nhân
Định nghĩa: Giả sử một công việc phải thực hiện theo $k$ công đoạn liên tiếp nhau, trong đó
$\left. \begin{align} & {{A}_{1}}………….{{n}_{1}} \\ & {{A}_{2}}………….{{n}_{2}} \\ & ……………….. \\ & {{A}_{k}}………….{{n}_{k}} \\ \end{align} \right\}\Rightarrow$ có ${{n}_{1}}.{{n}_{2}}…{{n}_{k}}=\prod\limits_{i=1}^{k}{{{n}_{i}}.}$
II. BÀI TẬP MẪU
Bài tập 1:
Một cửa hàng có $10$ bó hoa ly, $14$ bó hoa huệ, $6$ bó hoa lan. Một bạn muốn mua một bó hoa tại cửa hàng này. Hỏi bạn đó có bao nhiêu sự lựa chọn?
Lời giải.
- Bạn đó mua hoa ly có: $10$ sự lựa chọn.
- Bạn đó mua hoa huệ có: $14$ sự lựa chọn.
- Bạn đó mua hoa lan có: $6$ sự lựa chọn.
Vậy bạn đó có tất cả: $10+14+6=30$ sự lựa chọn để mua một bó hoa.
Bài tập 2:
Có $3$ bạn nữ và $3$ bạn nam. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp các bạn đó vào một hàng dọc sao cho nam nữ đứng xen kẽ nhau?
Lời giải.
- Vị trí thứ nhất có $6$ cách lựa chọn.
- Vị trí thứ hai có $3$ cách lựa chọn.(nếu vị trí thứ nhất là nam thì bắt buộc vị trí thứ 2 phải chọn 1 trong $3$ bạn nữ và ngược lại)
- Vị trí thứ ba có $2$ cách lựa chọn.
- Vị trí thứ 4 có $2$ cách lựa chọn.
- Vị trí thứ 5 có $1$ cách lựa chọn.
- Vị trí thứ 6 chỉ có $1$ cách lựa chọn.
Nên có $6.5.4.3.2.1=72$ cách.
Bài tập 3:
Một lớp có $7$ học sinh giỏi Toán, $5$ học sinh giỏi Văn, $6$ học sinh giỏi Lịch Sử. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra $1$ nhóm:
a/ Gồm $1$ học sinh giỏi bất kỳ?
b/ Gồm $3$ học sinh giỏi trong đó có tất cả học sinh giỏi của cả $3$ môn?
c/ Gồm $2$ học sinh giỏi khác nhau?
Lời giải.
a, Số cách chọn $1$ học sinh giỏi trong lớp là: $7+6+5=18$ cách.
b, Số cách chọn $1$ học sinh giỏi toán là $7$ cách.
Số cách chọn $1$ học sinh giỏi văn là $5$ cách.
Số cách chọn $1$ học sinh giỏi sử là $6$ cách.
Nên số cách chọn một nhóm gồm 3 học sinh giỏi trong đó có tất cả các môn là $7.6.5=210$ cách.
c, Số cách chọn $2$ học sinh trong đó một giỏi toán; một giỏi văn là $7.5=35$ cách.
Số cách chọn $2$ học sinh trong đó một giỏi toán; một giỏi sử là $7.6=42$ cách.
Số cách chọn $2$ học sinh trong đó một giỏi văn; một giỏi văn giỏi sử là $5.6=30$ cách.
Vậy số cách chọn ra một nhóm gồm $2$ học sinh giỏi khác nhau là $35+30+42=107$ cách.
Bài tập 4:
Cho các số tự nhiên sau : $1,\text{ }2,\text{ }5,\text{ }6,\text{ }7,\text{ }9$.
a, Hỏi lập được bao số lẻ có 3 chữ số khác nhau?
b, Hỏi lập được bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau chia hết
c, Hỏi lập được bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số mà có mặt chữ số 2
Lời giải.
a, Gọi số cần lập là $\overline{abc},(a\ne 0)$.
Vì số cần lập là số lẻ nên c có thể là $1;5;7;9\Rightarrow c$ có 4 cách chọn.
Vì khác $a;\text{ }b;\text{ }c$ nhau nên b có 5 cách chọn và a có 4 cách chọn.
Vậy số số lẻ có 3 chữ số khác nhau được thành lập từ các số trên là $4.5.4=80$ số.
b, Gọi số cần lập là $\overline{abc},(a\ne 0)$.
Vì số cần lập là số chia hết cho 5 nên $c$ có thể là có 1 cách chọn.
Vì $a;\text{ }b;\text{ }c$ khác nhau nên $b$ có 5 cách chọn và $a$ có 4 cách chọn.
Vậy số số có 3 chữ số khác nhau được thành lập từ các số trên là $5.4=20$ số.
c, Các số tự nhiên có 3 chữ số mà có mặt chữ số 2
TH1: Các số tự nhiên có 3 chữ số chỉ có mặt 1 chữ số 2
- Số 2: có 3 vị trí đặt, 5 số còn lại mỗi số có 2 vị trí đặt
- Có 3.5.5 số có 3 chữ số có mặt 1 chữ số 2
TH2: Các số tự nhiên có 3 chữ số chỉ có mặt 2 chữ số 2
- Số 2: có 3 vị trí đặt, 5 số còn lại mỗi số có 1 vị trí đặt
- Có 3.5 số có 3 chữ số có mặt 2 chữ số 2
TH3: Các số tự nhiên có 3 chữ số chỉ có mặt 3 chữ số 2, suy ra có 1 số: 222. Vậy số số tự nhiên có 3 chữ số mà có mặt chữ số 2 thành lập từ các số đã cho là:$3.5.5+3.5+1=91$ số.
Bài tập 5:
Cho các số tự nhiên $0,\text{ }2,\text{ }3,\text{ }5,\text{ }6,\text{ }9$.
a, Hỏi lập được bao nhiêu số chẵn có 3 chữ số khác nhau?
b, Hỏi lập được bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số chia hết cho 3?
c, Hỏi lập được bao nhiêu số tự nhiên lớn hơn 601?
Lời giải.
a, Ta phân các số trên thành 2 nhóm:
Nhóm 1 gồm các số $\{2;5\}$.
Nhóm 2 gồm các số $\{0;3;6;9\}$.
b, Gọi số cần lập là $\overline{abc}$ thỏa mãn $\overline{abc}\vdots 3\Leftrightarrow (a+b+c)\vdots 3$ $a;\text{ }b;\text{ }c$ sẽ không đồng thời thuộc cả hai
Số các số tự nhiên có 3 chữ số chia hết cho 3 được thành lập từ nhóm 1 là:
Cả 3 chữ số giống nhau: 222, 555
Có 1 chữ số 2 và 2 chữ số 5: 255, 552, 525 (có 3 cách chọn vị trí để chữ số 5 có 1 cách chọn để vị trí 2 chữ số 2, suy ra có 3 số).
Có 1 chữ số 5 và 2 chữ số 2: 522, 225, 252
Vậy từ nhóm 1 ta thành lập được 2 + 3 + 3 = 8 số chia hết cho 3.
Số các số chia hết cho 3 lập được từ nhóm thứ 2 là:
- Có 3 cách chọn chữ số $a$.
- Có 4 cách chọn chữ số $b$.
- Có 4 cách chọn chữ số $c$.
Vậy có tất cả $3.4.4=48$ số có 3 chữ số được thành lập từ nhóm 2 chia hết cho 3.
Vậy số các số có 3 chữ số chia hết cho 3 được thành lập từ các chữ số đã cho là $48+8=56$ số.
c, Gọi số cần lập là $\overline{abc}$ thỏa mãn $\overline{abc}>600$
Vì $\overline{abc}>600$nên a chỉ có 2 cách chọn. ($a=6$ hoặc $a=9$).
Chữ số $b$ có 6 cách chọn, chữ số $c$ có 6 cách chọn.
$\Rightarrow $ có $6.6.2=72$ số có 3 chữ số lớn hơn 600.
Trong 72 số trên có 1 số là: $600<601$.
Vậy có tất cả 71 số lớn hơn 601 được thành lập từ các số trên.
Bài tập 6:
Cho các số tự nhiên: $1,\text{ }2,\text{ }3,\text{ }4,\text{ }5,\text{ }6,\text{ }7,\text{ }8,\text{ }9.$
a, Hỏi lập được bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số?
b, Hỏi lập được bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau?
c, Hỏi lập được bao nhiêu số chẵn có 5 chữ số khác nhau?
Lời giải.
a, Gọi số tự nhiên cần lập là $\overline{abcde},(a\ne 0)$.
- $a$ có 9 cách chọn.
- $b$ có 9 cách chọn.
- $c$ có 9 cách chọn.
- $d$ có 9 cách chọn.
- $e$ có 9 cách chọn.
nên số các số tự nhiên có 5 chữ số được thành lập từ các số trên là $9.9.9.9.9={{9}^{5}}$ cách.
b, Gọi số tự nhiên cần lập là $\overline{abcde},(a\ne 0)$.
- $a$ có 9 cách chọn.
- $b$ có 8 cách chọn.
- $c$ có 7 cách chọn.
- $d$ có 6 cách chọn.
- $e$ có 9 cách chọn.
nên số các số tự nhiên có 5 chữ số được thành lập từ các số trên là $9.8.7.6.5=15120$ cách.
c, Gọi số tự nhiên cần lập là $\overline{abcde},(a\ne 0)$.
- $e$ có 4 cách chọn.
- $d$ có 8 cách chọn.
- $c$ có 7 cách chọn.
- $b$ có 6 cách chọn.
- $a$ có 5 cách chọn.
nên số các số tự nhiên chẵn có 5 chữ số khác nhau là $4.8.7.6.5=6720$ cách.
Bài tập 7:
Một nhà hàng có $3$ loại rượu, $4$ loại bia và $5$ loại nước uống. Một thực khách muốn lựa chọn một loại đồ uống thì có bao nhiêu cách chọn?
Lời giải.
- Nếu thực khách chọn rượu làm đồ uống thì có: $3$ cách chọn.
- Nếu thực khách chọn bia làm đồ uống thì có: $4$ cách chọn.
- Nếu thực khách chọn $5$ loại nước uống còn lại làm đồ uống thì có $5$ cách chọn.
- Như vậy thực khách có tất cả: $3+4+5=12$ cách chọn.
Bài tập 8:
Một giáo viên muốn ra đề kiểm tra $45$ phút môn Toán phần lượng giác. Trong ngân hàng câu hỏi có $5$ chủ đề, mỗi chủ đề có $4$ câu. Để ra đề kiểm tra $45p$ gồm $5$ câu và bao gồm tất cả các chủ đề thì giáo viên có bao nhiêu cách ra đề?
Lời giải.
Vì đề kiểm tra có $5$5câu và bao gồm $5$ chủ đề nên để thành lập đề kiểm tra mỗi chủ đề ta lấy một câu hỏi.
Chọn $1$ câu hỏi trong chủ đề $1$ có $4$ cách chọn.
Tương tự đối với các chủ đề $2;3;4;5$.
Nên số cách chọn đề ra là: $4.4.4.4.4={{4}^{5}}$ cách.