Lý thuyết và bài tập mẫu phương trình mũ và logarit

Bài viết sau đây giới thiệu đến các bạn bài tập phương trình mũ và logarit, phương trình mũ và logarit khó, bài tập phương trình mũ và logarit có đáp án cùng với các bài tập mẫu để luyện tập. Khoa Cử hy vọng với những chia sẻ này sẽ hỗ trợ bạn đọc học tốt chuyên đề phương trình mũ và logarit Toán lớp 12!

I. LÝ THUYẾT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT

Để giải các phương trình mũ và lôgarit, ngoài việc phải thành thạo các công thức biến đổi biểu thức mũ và logarit, cần nhớ các biến đổi tương đương cơ bản sau (dưới đây ta luôn giả thiết 0 < a khác 1 ).

phương trình mũ và logarit

DẠNG 1: PHƯƠNG TRÌNH MŨ – PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT CƠ BẢN

1. PHƯƠNG TRÌNH MŨ CƠ BẢN ${{a}^{x}}=b\text{ }\left( a>0,\text{ }a\ne 1 \right)$.

  • Phương trình có một nghiệm duy nhất khi và chỉ khi $b>0$.

${{a}^{x}}=b\Leftrightarrow x={{\log }_{a}}b\text{ }\left( a>0,\text{ }a\ne 1,b>0 \right)$

  • Phương trình vô nghiệm khi và chỉ khi $b\le 0$.

2. PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT CƠ BẢN ${{\log }_{a}}x=b\,\left( x>0,\,a>0,\,a\ne 1 \right)$ luôn có nghiệm duy nhất $x={{a}^{b}}$ với mọi $b$.

DẠNG 2: PHƯƠNG TRÌNH MŨ – PHƯƠNG TRÌNH LOOGARIT ĐƯA VỀ CÙNG CƠ SỐ

1. PHƯƠNG TRÌNH MŨ

bài tập phương trình mũ và logarit2. PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT:

chuyên đề phương trình mũ và logarit

DẠNG 3: PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ

1. ẨN PHỤ KHÔNG THAM SỐ

DẠNG 1: $A.{{a}^{2f\left( x \right)}}+B.{{a}^{f\left( x \right)}}+C=0$ (1)

PHƯƠNG PHÁP GIẢI:

Cách 1:

Đặt $t={{a}^{f\left( x \right)}}\ \left( t>0 \right)$. Khi đó phương trình (1) trở thành $A.{{t}^{2}}+B.t+C=0.$(2)

Giải (2), đối chiếu điều kiện rồi trả lại ẩn cũ ta được các phương trình cơ bản.

Cách 2: $A.{{a}^{2f\left( x \right)}}+B.{{a}^{f\left( x \right)}}+C=0\Leftrightarrow A.{{\left( {{a}^{f\left( x \right)}} \right)}^{2}}+B.{{a}^{f\left( x \right)}}+C=0$. Đây là phương trình dạng bậc hai đối với ${{a}^{f\left( x \right)}}$,  ta có thể tính nhanh nghiệm bằng máy tính.

DẠNG 2: $A.{{a}^{x}}+B.{{b}^{x}}+C.{{c}^{x}}=0$ (1)

PHƯƠNG PHÁP GIẢI:

Với PT này ta có thể giải theo cách chia cả hai vế của phương trình cho ${{c}^{x}}$ (hoặc ${{b}^{x}}$ hoặc ${{a}^{x}}$).  Khi đó ta được PT $A.{{\left( \frac{a}{c} \right)}^{x}}+B.{{\left( \frac{b}{c} \right)}^{x}}+C=0$.

DẠNG 3: $A.\log _{a}^{2}f\left( x \right)+B.{{\log }_{a}}f\left( x \right)+C=0$ (1), với $0<a\ne 1$

PHƯƠNG PHÁP GIẢI:

Cách 1:

ĐK: $f\left( x \right)>0$

Đặt $t={{\log }_{a}}f\left( x \right)$. Khi đó phương trình (1) trở thành $A.{{t}^{2}}+B.t+C=0.$(2)

Giải (2), trả lại ẩn cũ ta được các phương trình cơ bản.

Cách 2: $A.\log _{a}^{2}f\left( x \right)+B.{{\log }_{a}}f\left( x \right)+C=0\Leftrightarrow A.{{\left( {{\log }_{a}}f\left( x \right) \right)}^{2}}+B.{{\log }_{a}}f\left( x \right)+C=0$.

Đây là phương trình dạng bậc hai đối với ${{\log }_{a}}f\left( x \right)$, ta có thể tính nhanh nghiệm bằng máy tính.

DẠNG 4: ẨN PHỤ CÓ THAM SỐ

DẠNG 4: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ, PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT BẰNG PHƯƠNG PHÁP LOGARIT HÓA.

I. GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ BẰNG PHƯƠNG PHÁP LOGARIT HÓA

DẠNG 1:${{a}^{f\left( x \right)}}=b$.

                Phương pháp giải:Điều kiện: $1\ne a>0\,$, $b>0$. Lấy logarit cơ số $a$ cho hai vế, phương trình trở thành: $f\left( x \right)={{\log }_{a}}b$.

DẠNG 2:${{a}^{f\left( x \right)}}={{b}^{g\left( x \right)}}$.

                Phương pháp giải:Điều kiện: $1\ne a>0$, $b>0$. Lấy logarit cơ số $a$ cho hai vế phương trình trở thành:$f\left( x \right)=g\left( x \right).{{\log }_{a}}b$.

DẠNG 3:${{a}^{f\left( x \right)}}=\frac{{{b}^{g\left( x \right)}}.{{c}^{h\left( x \right)}}}{{{d}^{k\left( x \right)}}}$.

Phương pháp giải : Điều kiện: $1\ne a>0$; $b\,,\,c\,,\,d>0$. Lấy logarit cơ số $a$ cho hai vế, phương trình trở thành: $f\left( x \right)=g\left( x \right).{{\log }_{a}}b+h\left( x \right).{{\log }_{a}}c-k\left( x \right).{{\log }_{a}}d$.

2. GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT BẰNG PHƯƠNG PHÁP MŨ HÓA.

DẠNG 1: ${{\log }_{a}}f\left( x \right)=b$

DẠNG 2: ${{\log }_{a}}f\left( x \right)=g\left( x \right)$

DẠNG 3: ${{\log }_{a}}f\left( x \right)={{\log }_{b}}g\left( x \right)$

DẠNG 5: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ, ĐÁNH GIÁ.

1. DÙNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT MŨ

Dựa vào các tính chất sau

  • Tính chất 1: Nếu hàm số ${y=f\left( x \right)}$luôn đồng biến (hoặc luôn nghịch biến) trên ${\left( a;b \right)}$ thì phương trình ${f\left( x \right)=k}$ có không quá một nghiệm trên ${\left( a;b \right)}$ và ${f\left( u \right)=f\left( v \right)\Leftrightarrow u=v}$${\forall u,v\in \left( a;b \right)}$.
  • Tính chất 2: Nếu hàm số ${y=f\left( x \right)}$ liên tục và luôn đồng biến (hoặc luôn nghịch biến) trên $D$ thì phương trình $f\left( x \right)=m$ có không quá một nghiệm trên $D$.
  • Tính chất 3: Nếu hàm số ${y=f\left( x \right)}$ liên tục và luôn đồng biến (hoặc luôn nghịch biến); hàm số ${y=g\left( x \right)}$liên tục và luôn nghịch biến (hoặc luôn đồng biến) trên $D$ thì phương trình: ${f\left( x \right)=g\left( x \right)}$ có không quá một nghiệm trên $D$.
  • Tính chất 4:Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ có đạo hàm đến cấp k liên tục trên $\left( a;b \right)$. Nếu phương trình  ${{f}^{\left( k \right)}}\left( x \right)=0$ có đúng $m$ nghiệm thì phương trình ${{f}^{\left( k-1 \right)}}\left( x \right)=0$ có nhiều nhất là $m+1$ nghiệm.

Xem thêm: Lý thuyết và bài tập logarit

II. BÀI TẬP MẪU PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT

Câu 1: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình có ba nghiệm thực phân biệt

Cho hàm số $y={{x}^{3}}-3x+2$ có đồ thị như hình vẽ bên. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình ${{4}^{{{x}^{3}}-3x-1-2m}}=\frac{1}{64}$ có ba nghiệm thực phân biệt.

phương trình mũ và logarit khó

Lời giải

Ta có ${{4}^{{{x}^{3}}-3x-1-2m}}=\frac{1}{64}\Leftrightarrow {{x}^{3}}-3x-1-2m=-3\Leftrightarrow {{x}^{3}}-3x+2=2m$.

Số nghiệm của phương trình ${{x}^{3}}-3x+2-2m=0$ là số giao điểm của đồ thị $y={{x}^{3}}-3x+2$ và đường thẳng $y=2m$.

bài tập phương trình mũ và logarit có đáp án

Nhìn vào đồ thị suy ra phương trình có 3 nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow 0<2m<4\Leftrightarrow 0<m<2$.

Câu 2: Giải phương trình sau

Giải phương trình $\frac{1}{{{\log }_{2}}x}+\frac{1}{{{\log }_{3}}x}+…+\frac{1}{{{\log }_{2018}}x}=2018$.

Lời giải

Điều kiện: $0<x\ne 1$.

Ta có $\frac{1}{{{\log }_{2}}x}+\frac{1}{{{\log }_{3}}x}+…+\frac{1}{{{\log }_{2018}}x}=2018$$\Leftrightarrow {{\log }_{x}}2+{{\log }_{x}}3+…+{{\log }_{x}}2018=2018$

$\Leftrightarrow {{\log }_{x}}\left( 2.3…2018 \right)=2018$$\Leftrightarrow {{\log }_{x}}\left( 2018! \right)=2018$$\Leftrightarrow {{x}^{2018}}=2018!$$\Leftrightarrow x=\pm \sqrt[2018]{2018!}$.

Kết hợp với điều kiện, ta được nghiệm của phương trình là $x=\sqrt[2018]{2018!}$.

Câu 3: Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu

Tìm $m$ để phương trình ${{5}^{m{{x}^{2}}+2x+3+2m}}={{5}^{m+x}}$ có hai nghiệm trái dấu

Lời giải

${{5}^{m{{x}^{2}}+2x+3+2m}}={{5}^{m+x}}\text{   }\left( 1 \right)\Leftrightarrow m{{x}^{2}}+2x+3+2m=m+x\text{   }\Leftrightarrow m{{x}^{2}}+x+3+m=0\text{ }\left( 2 \right)$

Phương trình$\left( 1 \right)$có$2$nghiệm trái dấu$\Leftrightarrow $phương trình$\left( 2 \right)$có$2$nghiệm trái dấu$\Leftrightarrow $

$ac<0\Leftrightarrow m\left( 3+m \right)<0\Leftrightarrow -3<m<0$

Vậy $m=\left\{ -3;-2;-1 \right\}$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 4: Tìm công bội của cấp số nhân

Ba số $a+{{\log }_{2}}3$; $a+{{\log }_{4}}3$; $a+{{\log }_{8}}3$ theo thứ tự lập thành cấp số nhân. Công bội của cấp số nhân này bằng

Lời giải

Do các số $a+{{\log }_{2}}3$; $a+{{\log }_{4}}3$; $a+{{\log }_{8}}3$ theo thứ tự là cấp số nhân nên ${{\left( a+{{\log }_{4}}3 \right)}^{2}}=\left( a+{{\log }_{2}}3 \right)\left( a+{{\log }_{8}}3 \right)$

$\Leftrightarrow {{a}^{2}}+2a{{\log }_{4}}3+\log _{4}^{2}3={{a}^{2}}+a{{\log }_{2}}3+a{{\log }_{8}}3+{{\log }_{2}}3.{{\log }_{8}}3$

$\Leftrightarrow a{{\log }_{2}}3+\frac{1}{4}\log _{2}^{2}3=\frac{4}{3}a{{\log }_{2}}3+\frac{1}{3}\log _{2}^{2}3$

$\Leftrightarrow \frac{1}{3}a=-\frac{1}{12}{{\log }_{2}}3\Leftrightarrow a=-\frac{1}{4}{{\log }_{2}}3$.

Suy ra công bội của cấp số nhân là: $\frac{-\frac{1}{4}{{\log }_{2}}3+{{\log }_{4}}3}{-\frac{1}{4}{{\log }_{2}}3+{{\log }_{2}}3}=\frac{-\frac{1}{4}+\frac{1}{2}}{-\frac{1}{4}+1}=\frac{1}{3}.$

Câu 5: Giải phương trình sau

Giải phương trình sau  ${{\left( \sqrt{2}-1 \right)}^{x}}+{{\left( \sqrt{2}+1 \right)}^{x}}-2\sqrt{2}=0$

Lời giải

 (*)$\Leftrightarrow \frac{1}{{{\left( \sqrt{2}+1 \right)}^{x}}}+{{\left( \sqrt{2}+1 \right)}^{x}}-2\sqrt{2}=0\Leftrightarrow {{\left[ {{\left( \sqrt{2}+1 \right)}^{x}} \right]}^{2}}-2\sqrt{2}.{{\left( \sqrt{2}+1 \right)}^{x}}+1=0$

phương trình mũ và logarit

Câu 6: Giải phương trình sau

Giải phương trình sau  ${{3.8}^{x}}+{{4.12}^{x}}-{{18}^{x}}-{{2.27}^{x}}=0$

Lời giải

 (*) $\Leftrightarrow 3.{{\left( \frac{8}{27} \right)}^{x}}+4.{{\left( \frac{4}{9} \right)}^{x}}-{{\left( \frac{2}{3} \right)}^{x}}-2=0\Leftrightarrow 3.{{\left[ {{\left( \frac{2}{3} \right)}^{x}} \right]}^{3}}+4.{{\left[ {{\left( \frac{2}{3} \right)}^{x}} \right]}^{2}}-{{\left( \frac{2}{3} \right)}^{x}}-2=0$

bài tập phương trình mũ và logarit

Vậy phương trình có nghiệm là $x=1$.

Câu 7: Giải phương trình sau

Giải phương trình sau  ${{7}^{x-1}}=6{{\log }_{7}}\left( 6x-5 \right)+1.$

Lời giải

Điều kiện: $x>\frac{5}{6}.$

Đặt $y-1={{\log }_{7}}\left( 6x-5 \right)$ thì ta có hệ phương trình

chuyên đề phương trình mũ và logarit

Xét hàm số $f\left( t \right)={{7}^{t-1}}+6t$ với $t>\frac{5}{6}$ thì $f’\left( t \right)={{7}^{t-1}}\ln 7+6>0,\forall t>\frac{5}{6}\Rightarrow f\left( t \right)$ đồng biến nên

$\left( 2 \right)\Leftrightarrow f\left( x \right)=f\left( y \right)\Leftrightarrow x=y$ khi đó ta có phương trình ${{7}^{x-1}}-6x+5=0.$ (3)

Xét hàm số $g\left( x \right)={{7}^{x-1}}-6x+5$ với $x>\frac{5}{6}$ thì $g’\left( x \right)={{7}^{x-1}}\ln 7-6\Rightarrow g”\left( x \right)={{7}^{x-1}}{{\left( \ln 7 \right)}^{2}}>0$ $\forall x>\frac{5}{6}$

nên suy ra phương trình $g\left( x \right)=0$ có không quá hai nghiệm.

Mặt khác $g\left( 1 \right)=g\left( 2 \right)=0$ nên $x=1$ và $x=2$ là 2 nghiệm của phương trình (3).

Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm là $x=1$ và $x=2$.

Câu 8: Tìm tất cả các giá trị thực của m để phương trình có nghiệm

Tìm tất cả  các giá trị thực của $m$ để phương trình $\log _{5}^{2}x+\sqrt{\log _{5}^{2}x+1}-2m+1=0$ có nghiệm

Lời giải

Đặt $x\in \left[ 1;{{5}^{\sqrt{3}}} \right]\Rightarrow t=\sqrt{\log _{5}^{2}x+1};t\in \left[ 1;2 \right]$ phương trình trở thành:  ${{t}^{2}}+t-2m+2=0\Leftrightarrow {{t}^{2}}+t+2=2m$.  (1)

PT đã cho có nghiệm $x\in \left[ 1;{{5}^{\sqrt{3}}} \right]$khi và chỉ khi (1) có nghiệm $t\in \left[ 1;2 \right]$.

Xét hàm số: $f\left( t \right)={{t}^{2}}+t+2\Rightarrow f’\left( t \right)=2t+1>0$ với $t\in \left[ 1;2 \right]$, suy ra hàm số luôn đồng biến trên $\left( 1;2 \right)$

Do đó (1) có nghiệm $t\in \left[ 1;2 \right]$$\Leftrightarrow f\left( 1 \right)\le 2m\le f\left( 2 \right)\Leftrightarrow 4\le 2m\le 8\Leftrightarrow m\in \left[ 2;4 \right]$.

Vậy với $m\in \left[ 2;4 \right]$ thì phương trình trình có nghiệm trên $\left[ 1;{{5}^{\sqrt{3}}} \right]$.

Câu 9: Tìm tập nghiệm S của phương trình là tham số

Tìm tập nghiệm $S$ của phương trình ${{3}^{x-1}}{{.5}^{\frac{2x-2-m}{x-m}}}=15$, $m$ là tham số khác 2.

Lời giải

Phương trình $\Leftrightarrow {{3}^{x-1}}{{.5}^{\frac{2x-2-m}{x-m}}}=3.5\Leftrightarrow {{5}^{\frac{2x-2-m}{x-m}-1}}={{3}^{1-\left( x-1 \right)}}\Leftrightarrow {{5}^{\frac{x-2}{x-m}}}={{3}^{2-x}}$. $\left( * \right)$

Lấy logarit cơ số 5 hai vế của $\left( * \right)$, ta được

$\frac{x-2}{x-m}=\left( 2-x \right){{\log }_{5}}3\Leftrightarrow \left( x-2 \right)\left( \frac{1}{x-m}+{{\log }_{5}}3 \right)=0$

Với $x-2=0\Leftrightarrow x=2$(thỏa mãn).

Với $\frac{1}{x-m}+{{\log }_{5}}3=0\Leftrightarrow x-m=-\frac{1}{{{\log }_{5}}3}\Leftrightarrow x=m-{{\log }_{3}}5$ (thỏa mãn).

Vậy phương trình có tập nghiệm $S=\left\{ 2;m-{{\log }_{3}}5 \right\}$.

Câu 10: Giải phương trình sau

Giải phương trình sau: ${{\log }_{2}}\left( {{2}^{x}}-1 \right)=-2$.

Lời giải

Điều kiện: ${{2}^{x}}-1>0\Leftrightarrow {{2}^{x}}>1\Leftrightarrow x>0.$

Ta có: ${{\log }_{2}}\left( {{2}^{x}}-1 \right)=-2\Leftrightarrow {{2}^{x}}-1={{2}^{-2}}$$\Leftrightarrow {{2}^{x}}=\frac{5}{4}$$\Leftrightarrow x={{\log }_{2}}\frac{5}{4}$$\Leftrightarrow x={{\log }_{2}}5-{{\log }_{2}}4$

$\Leftrightarrow x=-2+{{\log }_{2}}5$(tm)

Vậy phương trình có nghiệm là $x=-2+{{\log }_{2}}5$.

Câu 11: Giải các phương trình sau

Giải các phương trình: ${{\left( \sqrt{15} \right)}^{x}}+1={{4}^{x}}$

Lời giải

${{\left( \sqrt{15} \right)}^{x}}+1={{4}^{x}}$

$\Leftrightarrow {{\left( \frac{\sqrt{15}}{4} \right)}^{x}}+{{\left( \frac{1}{4} \right)}^{x}}=1$$(*)$

Xét hàm số $f\left( x \right)={{\left( \frac{\sqrt{15}}{4} \right)}^{x}}+{{\left( \frac{1}{4} \right)}^{x}}\Rightarrow f’\left( x \right)={{\left( \frac{\sqrt{15}}{4} \right)}^{x}}.\ln \frac{\sqrt{15}}{4}+{{\left( \frac{1}{4} \right)}^{x}}.\ln \frac{1}{4}<0,\forall x\in \mathbb{R}$

Vậy$f$là hàm số nghịch biến, liên tục trên  trên $\mathbb{R}$và $x=2$ là một nghiệm của phương trình (*) nên $x=2$ là nghiệm duy nhất của $(*)$.

Vậy phương trình cho có $S=\left\{ 2 \right\}$.

Xem thêm:

Bài tập phương trình logarit có lời giải

Cách giải và bài tập mẫu đạo hàm logarit

Lý thuyết và bài tập logarit