Bài viết sau đây giới thiệu đến các bạn bài tập phương trình mũ và logarit, phương trình mũ và logarit khó, bài tập phương trình mũ và logarit có đáp án cùng với các bài tập mẫu để luyện tập. Khoa Cử hy vọng với những chia sẻ này sẽ hỗ trợ bạn đọc học tốt chuyên đề phương trình mũ và logarit Toán lớp 12!
I. LÝ THUYẾT
Để giải các phương trình mũ và lôgarit, ngoài việc phải thành thạo các công thức biến đổi biểu thức mũ và lôgarit, cần nhớ các biến đổi tương đương cơ bản sau (dưới đây ta luôn giả thiết 0 < a khác 1 ).
DẠNG 1: PHƯƠNG TRÌNH MŨ – PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT CƠ BẢN
1. PHƯƠNG TRÌNH MŨ CƠ BẢN ${{a}^{x}}=b\text{ }\left( a>0,\text{ }a\ne 1 \right)$.
- Phương trình có một nghiệm duy nhất khi và chỉ khi $b>0$.
${{a}^{x}}=b\Leftrightarrow x={{\log }_{a}}b\text{ }\left( a>0,\text{ }a\ne 1,b>0 \right)$
- Phương trình vô nghiệm khi và chỉ khi $b\le 0$.
2. PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT CƠ BẢN ${{\log }_{a}}x=b\,\left( x>0,\,a>0,\,a\ne 1 \right)$ luôn có nghiệm duy nhất $x={{a}^{b}}$ với mọi $b$.
DẠNG 2: PHƯƠNG TRÌNH MŨ – PHƯƠNG TRÌNH LOOGARIT ĐƯA VỀ CÙNG CƠ SỐ
1. PHƯƠNG TRÌNH MŨ
2. PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT:
DẠNG 3: PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ
1. ẨN PHỤ KHÔNG THAM SỐ
DẠNG 1: $A.{{a}^{2f\left( x \right)}}+B.{{a}^{f\left( x \right)}}+C=0$ (1)
PHƯƠNG PHÁP GIẢI:
Cách 1:
Đặt $t={{a}^{f\left( x \right)}}\ \left( t>0 \right)$. Khi đó phương trình (1) trở thành $A.{{t}^{2}}+B.t+C=0.$(2)
Giải (2), đối chiếu điều kiện rồi trả lại ẩn cũ ta được các phương trình cơ bản.
Cách 2: $A.{{a}^{2f\left( x \right)}}+B.{{a}^{f\left( x \right)}}+C=0\Leftrightarrow A.{{\left( {{a}^{f\left( x \right)}} \right)}^{2}}+B.{{a}^{f\left( x \right)}}+C=0$. Đây là phương trình dạng bậc hai đối với ${{a}^{f\left( x \right)}}$, ta có thể tính nhanh nghiệm bằng máy tính.
DẠNG 2: $A.{{a}^{x}}+B.{{b}^{x}}+C.{{c}^{x}}=0$ (1)
PHƯƠNG PHÁP GIẢI:
Với PT này ta có thể giải theo cách chia cả hai vế của phương trình cho ${{c}^{x}}$ (hoặc ${{b}^{x}}$ hoặc ${{a}^{x}}$). Khi đó ta được PT $A.{{\left( \frac{a}{c} \right)}^{x}}+B.{{\left( \frac{b}{c} \right)}^{x}}+C=0$.
DẠNG 3: $A.\log _{a}^{2}f\left( x \right)+B.{{\log }_{a}}f\left( x \right)+C=0$ (1), với $0<a\ne 1$
PHƯƠNG PHÁP GIẢI:
Cách 1:
ĐK: $f\left( x \right)>0$
Đặt $t={{\log }_{a}}f\left( x \right)$. Khi đó phương trình (1) trở thành $A.{{t}^{2}}+B.t+C=0.$(2)
Giải (2), trả lại ẩn cũ ta được các phương trình cơ bản.
Cách 2: $A.\log _{a}^{2}f\left( x \right)+B.{{\log }_{a}}f\left( x \right)+C=0\Leftrightarrow A.{{\left( {{\log }_{a}}f\left( x \right) \right)}^{2}}+B.{{\log }_{a}}f\left( x \right)+C=0$.
Đây là phương trình dạng bậc hai đối với ${{\log }_{a}}f\left( x \right)$, ta có thể tính nhanh nghiệm bằng máy tính.
DẠNG 4: ẨN PHỤ CÓ THAM SỐ
DẠNG 4: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ, PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT BẰNG PHƯƠNG PHÁP LOGARIT HÓA.
I. GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ BẰNG PHƯƠNG PHÁP LOGARIT HÓA
DẠNG 1:${{a}^{f\left( x \right)}}=b$.
Phương pháp giải:Điều kiện: $1\ne a>0\,$, $b>0$. Lấy logarit cơ số $a$ cho hai vế, phương trình trở thành: $f\left( x \right)={{\log }_{a}}b$.
DẠNG 2:${{a}^{f\left( x \right)}}={{b}^{g\left( x \right)}}$.
Phương pháp giải:Điều kiện: $1\ne a>0$, $b>0$. Lấy logarit cơ số $a$ cho hai vế phương trình trở thành:$f\left( x \right)=g\left( x \right).{{\log }_{a}}b$.
DẠNG 3:${{a}^{f\left( x \right)}}=\frac{{{b}^{g\left( x \right)}}.{{c}^{h\left( x \right)}}}{{{d}^{k\left( x \right)}}}$.
Phương pháp giải : Điều kiện: $1\ne a>0$; $b\,,\,c\,,\,d>0$. Lấy logarit cơ số $a$ cho hai vế, phương trình trở thành: $f\left( x \right)=g\left( x \right).{{\log }_{a}}b+h\left( x \right).{{\log }_{a}}c-k\left( x \right).{{\log }_{a}}d$.
2. GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT BẰNG PHƯƠNG PHÁP MŨ HÓA.
DẠNG 1: ${{\log }_{a}}f\left( x \right)=b$
DẠNG 2: ${{\log }_{a}}f\left( x \right)=g\left( x \right)$
DẠNG 3: ${{\log }_{a}}f\left( x \right)={{\log }_{b}}g\left( x \right)$
DẠNG 5: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ, ĐÁNH GIÁ.
1. DÙNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT MŨ
Dựa vào các tính chất sau
- Tính chất 1: Nếu hàm số ${y=f\left( x \right)}$luôn đồng biến (hoặc luôn nghịch biến) trên ${\left( a;b \right)}$ thì phương trình ${f\left( x \right)=k}$ có không quá một nghiệm trên ${\left( a;b \right)}$ và ${f\left( u \right)=f\left( v \right)\Leftrightarrow u=v}$${\forall u,v\in \left( a;b \right)}$.
- Tính chất 2: Nếu hàm số ${y=f\left( x \right)}$ liên tục và luôn đồng biến (hoặc luôn nghịch biến) trên $D$ thì phương trình $f\left( x \right)=m$ có không quá một nghiệm trên $D$.
- Tính chất 3: Nếu hàm số ${y=f\left( x \right)}$ liên tục và luôn đồng biến (hoặc luôn nghịch biến); hàm số ${y=g\left( x \right)}$liên tục và luôn nghịch biến (hoặc luôn đồng biến) trên $D$ thì phương trình: ${f\left( x \right)=g\left( x \right)}$ có không quá một nghiệm trên $D$.
- Tính chất 4:Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ có đạo hàm đến cấp k liên tục trên $\left( a;b \right)$. Nếu phương trình ${{f}^{\left( k \right)}}\left( x \right)=0$ có đúng $m$ nghiệm thì phương trình ${{f}^{\left( k-1 \right)}}\left( x \right)=0$ có nhiều nhất là $m+1$ nghiệm.
II. BÀI TẬP MẪU
Câu 1:
Cho hàm số $y={{x}^{3}}-3x+2$ có đồ thị như hình vẽ bên. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình ${{4}^{{{x}^{3}}-3x-1-2m}}=\frac{1}{64}$ có ba nghiệm thực phân biệt.
Lời giải
Ta có ${{4}^{{{x}^{3}}-3x-1-2m}}=\frac{1}{64}\Leftrightarrow {{x}^{3}}-3x-1-2m=-3\Leftrightarrow {{x}^{3}}-3x+2=2m$.
Số nghiệm của phương trình ${{x}^{3}}-3x+2-2m=0$ là số giao điểm của đồ thị $y={{x}^{3}}-3x+2$ và đường thẳng $y=2m$.
Nhìn vào đồ thị suy ra phương trình có 3 nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow 0<2m<4\Leftrightarrow 0<m<2$.
Câu 2:
Giải phương trình $\frac{1}{{{\log }_{2}}x}+\frac{1}{{{\log }_{3}}x}+…+\frac{1}{{{\log }_{2018}}x}=2018$.
Lời giải
Điều kiện: $0<x\ne 1$.
Ta có $\frac{1}{{{\log }_{2}}x}+\frac{1}{{{\log }_{3}}x}+…+\frac{1}{{{\log }_{2018}}x}=2018$$\Leftrightarrow {{\log }_{x}}2+{{\log }_{x}}3+…+{{\log }_{x}}2018=2018$
$\Leftrightarrow {{\log }_{x}}\left( 2.3…2018 \right)=2018$$\Leftrightarrow {{\log }_{x}}\left( 2018! \right)=2018$$\Leftrightarrow {{x}^{2018}}=2018!$$\Leftrightarrow x=\pm \sqrt[2018]{2018!}$.
Kết hợp với điều kiện, ta được nghiệm của phương trình là $x=\sqrt[2018]{2018!}$.
Câu 3:
Tìm $m$ để phương trình ${{5}^{m{{x}^{2}}+2x+3+2m}}={{5}^{m+x}}$ có hai nghiệm trái dấu
Lời giải
${{5}^{m{{x}^{2}}+2x+3+2m}}={{5}^{m+x}}\text{ }\left( 1 \right)\Leftrightarrow m{{x}^{2}}+2x+3+2m=m+x\text{ }\Leftrightarrow m{{x}^{2}}+x+3+m=0\text{ }\left( 2 \right)$
Phương trình$\left( 1 \right)$có$2$nghiệm trái dấu$\Leftrightarrow $phương trình$\left( 2 \right)$có$2$nghiệm trái dấu$\Leftrightarrow $
$ac<0\Leftrightarrow m\left( 3+m \right)<0\Leftrightarrow -3<m<0$
Vậy $m=\left\{ -3;-2;-1 \right\}$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu 4:
Ba số $a+{{\log }_{2}}3$; $a+{{\log }_{4}}3$; $a+{{\log }_{8}}3$ theo thứ tự lập thành cấp số nhân. Công bội của cấp số nhân này bằng
Lời giải
Do các số $a+{{\log }_{2}}3$; $a+{{\log }_{4}}3$; $a+{{\log }_{8}}3$ theo thứ tự là cấp số nhân nên ${{\left( a+{{\log }_{4}}3 \right)}^{2}}=\left( a+{{\log }_{2}}3 \right)\left( a+{{\log }_{8}}3 \right)$
$\Leftrightarrow {{a}^{2}}+2a{{\log }_{4}}3+\log _{4}^{2}3={{a}^{2}}+a{{\log }_{2}}3+a{{\log }_{8}}3+{{\log }_{2}}3.{{\log }_{8}}3$
$\Leftrightarrow a{{\log }_{2}}3+\frac{1}{4}\log _{2}^{2}3=\frac{4}{3}a{{\log }_{2}}3+\frac{1}{3}\log _{2}^{2}3$
$\Leftrightarrow \frac{1}{3}a=-\frac{1}{12}{{\log }_{2}}3\Leftrightarrow a=-\frac{1}{4}{{\log }_{2}}3$.
Suy ra công bội của cấp số nhân là: $\frac{-\frac{1}{4}{{\log }_{2}}3+{{\log }_{4}}3}{-\frac{1}{4}{{\log }_{2}}3+{{\log }_{2}}3}=\frac{-\frac{1}{4}+\frac{1}{2}}{-\frac{1}{4}+1}=\frac{1}{3}.$
Câu 5:
Giải phương trình sau ${{\left( \sqrt{2}-1 \right)}^{x}}+{{\left( \sqrt{2}+1 \right)}^{x}}-2\sqrt{2}=0$
Lời giải
(*)$\Leftrightarrow \frac{1}{{{\left( \sqrt{2}+1 \right)}^{x}}}+{{\left( \sqrt{2}+1 \right)}^{x}}-2\sqrt{2}=0\Leftrightarrow {{\left[ {{\left( \sqrt{2}+1 \right)}^{x}} \right]}^{2}}-2\sqrt{2}.{{\left( \sqrt{2}+1 \right)}^{x}}+1=0$
Câu 6:
Giải phương trình sau ${{3.8}^{x}}+{{4.12}^{x}}-{{18}^{x}}-{{2.27}^{x}}=0$
Lời giải
(*) $\Leftrightarrow 3.{{\left( \frac{8}{27} \right)}^{x}}+4.{{\left( \frac{4}{9} \right)}^{x}}-{{\left( \frac{2}{3} \right)}^{x}}-2=0\Leftrightarrow 3.{{\left[ {{\left( \frac{2}{3} \right)}^{x}} \right]}^{3}}+4.{{\left[ {{\left( \frac{2}{3} \right)}^{x}} \right]}^{2}}-{{\left( \frac{2}{3} \right)}^{x}}-2=0$
Vậy phương trình có nghiệm là $x=1$.
Câu 7:
Giải phương trình sau ${{7}^{x-1}}=6{{\log }_{7}}\left( 6x-5 \right)+1.$
Lời giải
Điều kiện: $x>\frac{5}{6}.$
Đặt $y-1={{\log }_{7}}\left( 6x-5 \right)$ thì ta có hệ phương trình
Xét hàm số $f\left( t \right)={{7}^{t-1}}+6t$ với $t>\frac{5}{6}$ thì $f’\left( t \right)={{7}^{t-1}}\ln 7+6>0,\forall t>\frac{5}{6}\Rightarrow f\left( t \right)$ đồng biến nên
$\left( 2 \right)\Leftrightarrow f\left( x \right)=f\left( y \right)\Leftrightarrow x=y$ khi đó ta có phương trình ${{7}^{x-1}}-6x+5=0.$ (3)
Xét hàm số $g\left( x \right)={{7}^{x-1}}-6x+5$ với $x>\frac{5}{6}$ thì $g’\left( x \right)={{7}^{x-1}}\ln 7-6\Rightarrow g”\left( x \right)={{7}^{x-1}}{{\left( \ln 7 \right)}^{2}}>0$ $\forall x>\frac{5}{6}$
nên suy ra phương trình $g\left( x \right)=0$ có không quá hai nghiệm.
Mặt khác $g\left( 1 \right)=g\left( 2 \right)=0$ nên $x=1$ và $x=2$ là 2 nghiệm của phương trình (3).
Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm là $x=1$ và $x=2$.
Câu 8:
Tìm tất cả các giá trị thực của $m$ để phương trình $\log _{5}^{2}x+\sqrt{\log _{5}^{2}x+1}-2m+1=0$ có nghiệm
Lời giải
Đặt $x\in \left[ 1;{{5}^{\sqrt{3}}} \right]\Rightarrow t=\sqrt{\log _{5}^{2}x+1};t\in \left[ 1;2 \right]$ phương trình trở thành: ${{t}^{2}}+t-2m+2=0\Leftrightarrow {{t}^{2}}+t+2=2m$. (1)
PT đã cho có nghiệm $x\in \left[ 1;{{5}^{\sqrt{3}}} \right]$khi và chỉ khi (1) có nghiệm $t\in \left[ 1;2 \right]$.
Xét hàm số: $f\left( t \right)={{t}^{2}}+t+2\Rightarrow f’\left( t \right)=2t+1>0$ với $t\in \left[ 1;2 \right]$, suy ra hàm số luôn đồng biến trên $\left( 1;2 \right)$
Do đó (1) có nghiệm $t\in \left[ 1;2 \right]$$\Leftrightarrow f\left( 1 \right)\le 2m\le f\left( 2 \right)\Leftrightarrow 4\le 2m\le 8\Leftrightarrow m\in \left[ 2;4 \right]$.
Vậy với $m\in \left[ 2;4 \right]$ thì phương trình trình có nghiệm trên $\left[ 1;{{5}^{\sqrt{3}}} \right]$.
Câu 9:
Tìm tập nghiệm $S$ của phương trình ${{3}^{x-1}}{{.5}^{\frac{2x-2-m}{x-m}}}=15$, $m$ là tham số khác 2.
Lời giải
Phương trình $\Leftrightarrow {{3}^{x-1}}{{.5}^{\frac{2x-2-m}{x-m}}}=3.5\Leftrightarrow {{5}^{\frac{2x-2-m}{x-m}-1}}={{3}^{1-\left( x-1 \right)}}\Leftrightarrow {{5}^{\frac{x-2}{x-m}}}={{3}^{2-x}}$. $\left( * \right)$
Lấy logarit cơ số 5 hai vế của $\left( * \right)$, ta được
$\frac{x-2}{x-m}=\left( 2-x \right){{\log }_{5}}3\Leftrightarrow \left( x-2 \right)\left( \frac{1}{x-m}+{{\log }_{5}}3 \right)=0$
Với $x-2=0\Leftrightarrow x=2$(thỏa mãn).
Với $\frac{1}{x-m}+{{\log }_{5}}3=0\Leftrightarrow x-m=-\frac{1}{{{\log }_{5}}3}\Leftrightarrow x=m-{{\log }_{3}}5$ (thỏa mãn).
Vậy phương trình có tập nghiệm $S=\left\{ 2;m-{{\log }_{3}}5 \right\}$.
Câu 10:
Giải phương trình sau: ${{\log }_{2}}\left( {{2}^{x}}-1 \right)=-2$.
Lời giải
Điều kiện: ${{2}^{x}}-1>0\Leftrightarrow {{2}^{x}}>1\Leftrightarrow x>0.$
Ta có: ${{\log }_{2}}\left( {{2}^{x}}-1 \right)=-2\Leftrightarrow {{2}^{x}}-1={{2}^{-2}}$$\Leftrightarrow {{2}^{x}}=\frac{5}{4}$$\Leftrightarrow x={{\log }_{2}}\frac{5}{4}$$\Leftrightarrow x={{\log }_{2}}5-{{\log }_{2}}4$
$\Leftrightarrow x=-2+{{\log }_{2}}5$(tm)
Vậy phương trình có nghiệm là $x=-2+{{\log }_{2}}5$.
Câu 11:
Giải các phương trình: ${{\left( \sqrt{15} \right)}^{x}}+1={{4}^{x}}$
Lời giải
${{\left( \sqrt{15} \right)}^{x}}+1={{4}^{x}}$
$\Leftrightarrow {{\left( \frac{\sqrt{15}}{4} \right)}^{x}}+{{\left( \frac{1}{4} \right)}^{x}}=1$$(*)$
Xét hàm số $f\left( x \right)={{\left( \frac{\sqrt{15}}{4} \right)}^{x}}+{{\left( \frac{1}{4} \right)}^{x}}\Rightarrow f’\left( x \right)={{\left( \frac{\sqrt{15}}{4} \right)}^{x}}.\ln \frac{\sqrt{15}}{4}+{{\left( \frac{1}{4} \right)}^{x}}.\ln \frac{1}{4}<0,\forall x\in \mathbb{R}$
Vậy$f$là hàm số nghịch biến, liên tục trên trên $\mathbb{R}$và $x=2$ là một nghiệm của phương trình (*) nên $x=2$ là nghiệm duy nhất của $(*)$.
Vậy phương trình cho có $S=\left\{ 2 \right\}$.
Xem thêm:
Bài tập phương trình logarit có lời giải