Trong bài viết ngày hôm nay, Khoa Cử chúng tôi muốn đem đến cho các bạn một dạng bài rất hay trong chương trình toán lớp 12 đó chính là dạng phương trình mặt phẳng trung trực đầy đủ và chi tiết cho các bạn tham khảo. Với những thông tin được Khoa cử chúng tôi chia sẽ về công thức tính tmặt phẳng trung trực cũng như viết phương trình mặt phẳng trung trực bên dưới đây hy vọng sẽ hỗ trợ cho bạn học tốt môn Toán Hình lớp 12 nhé!
I. LÝ THUYẾT
Để có thể làm được các dạng bài tập liên quan đến viết phương trình mặt phẳng trung trực một cách dễ dàng nhất thì chúng ta cần phải nắm vững và thật chắc các công thức cũng như tính chất của dạng này như sau:
Hướng dẫn cách viết phương trình mặt phẳng trung trực $(P)$ của đoạn thẳng $AB.$
| Phương pháp.$(P):\left\{ \begin{align}& \centerdot \text{ }Qua\text{ }I\left( \frac{{{x}_{A}}+{{x}_{B}}}{2};\frac{{{y}_{A}}+{{y}_{B}}}{2};\frac{{{z}_{A}}+{{z}_{B}}}{2} \right) \\ & \centerdot \text{ }VTPT:{{{\vec{n}}}_{(P)}}=\overrightarrow{AB} \\ \end{align} \right.$
Do đó, phương trình này là trung điểm của AB: |
II. BÀI TẬP MẪU
Khi đã nắm chắc được các lý thuyết liên quan đến các dạng mặt cầu ngoại tiếp hình chóp thì chúng ta cần phải làm thêm một số bài tập mẫu của công thức tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương để có thể hiểu rõ hơn chương hình học không gian này ngay bên dưới đây:
Bài tập 1:
Trong không gian $Oxyz$, cho $A\left( -1;-1;1 \right)$, $B\left( 3;1;1 \right)$. Phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn $AB$ là.
Lời giải
Gọi $I$ là trung điểm của $AB$ nên $I\left( 1;0;1 \right)$.
Mặt phẳng trung trực của đoạn $AB$có vtpt là $\overrightarrow{n}$$=\overrightarrow{AB}$$=\left( 4;2;0 \right)$$=2\left( 2;1;0 \right)$.
Phương trình mặt phẳng cần tìm là: $2\left( x-1 \right)+1\left( y-0 \right)=0$$\Leftrightarrow 2x+y-2=0$.
Bài tập 2:
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho hai điểm $A\left( 1;6;-7 \right)$ và $B\left( 3;2;1 \right)$. Phương trình mặt phẳng trung trực đoạn $AB$ là.
Lời giải
Mặt phẳng trung trực đoạn $AB$ đi qua trung điểm $I\left( 2;4;-3 \right)$ của đoạn $AB$ và nhân $\overrightarrow{AB}=\left( 2;-4;8 \right)$ làm vectơ pháp tuyến có phương trình:
$2\left( x-2 \right)-4\left( y-4 \right)+8\left( z+3 \right)=0$$\Leftrightarrow x-2y+4z+18=0$
Bài tập 3:
Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A\left( 1;3;-4 \right)$ và $B\left( -1;2;2 \right)$. Viết phương trình mặt phẳng trung trực $\left( \alpha \right)$ của đoạn thẳng$AB$.
A. $\left( \alpha \right):4x+2y+12z+7=0$. B. $\left( \alpha \right):4x-2y+12z+17=0$.
C. $\left( \alpha \right):4x+2y-12z-17=0$. D. $\left( \alpha \right):4x-2y-12z-7=0$.
Lời giải
Gọi $I\left( 0;\frac{5}{2};-1 \right)$ là trung điểm của $AB$; $\overrightarrow{AB}=\left( -2;-1;6 \right)$.
Mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ qua $I\left( 0;\frac{5}{2};-1 \right)$ và có VTPT $\overrightarrow{n}=\left( -2;-1;6 \right)$ nên có PT:$\left( \alpha \right):-2\left( x \right)-\left( y-\frac{5}{2} \right)+6\left( z+1 \right)=0\Leftrightarrow 4x+2y-12z-17=0$.
Do đó, đáp án chính xác của bài này chính là C.
Bài tập 4:
Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A\left( 1;-1;2 \right)$ và $B\left( 3;3;0 \right)$. Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng $AB$ có phương trình là
A. $x+y-z-2=0$. B. $x+y-z+2=0$. C. $x+2y-z-3=0$. D. $x+2y-z+3=0$.
Lời giải
Ta có $\overrightarrow{AB}=2\left( 1;2;-1 \right)$.
Gọi $I$ là trung điểm của $AB\Rightarrow I\left( 2;1;1 \right)$.
+ Mặt phẳng trung trực$\left( \alpha \right)$ của đoạn thẳng $AB$ đi qua $I$và nhận $\overrightarrow{n}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}=\left( 1;2;-1 \right)$ làm vectơ pháp tuyến có phương trình là
$x-2+2\left( y-1 \right)-\left( z-1 \right)=0\Leftrightarrow x+2y-z-3=0$.
Vậy mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng $AB$ là $x+2y-z-3=0$.
Do đó, đáp án chính xác của bài này chính là C.
Bài tập 5:
Trong không gian với hệ tọa độ$Oxyz$, cho điểm $A\left( 2;4;1 \right);B\left( -1;1;3 \right)$ và mặt phẳng $\left( P \right):x-3y+2z-5=0$. Một mặt phẳng $\left( Q \right)$ đi qua hai điểm $A,B$ và vuông góc với mặt phẳng $\left( P \right)$ có dạng $ax+by+cz-11=0$. Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. $a+b+c=5$. B. $a+b+c=15$. C. $a+b+c=-5$. D. $a+b+c=-15$.
Lời giải
Vì $\left( Q \right)$ vuông góc với $\left( P \right)$ nên $\left( Q \right)$ nhận vtpt $\overrightarrow{n}=\left( 1;-3;2 \right)$của $\left( P \right)$làm vtcp
Mặt khác $\left( Q \right)$đi qua $A$ và $B$ nên $\left( Q \right)$nhận $\overrightarrow{AB}=\left( -3;-3;2 \right)$ làm vtcp
$\left( Q \right)$ nhận $\overrightarrow{{{n}_{Q}}}=\left[ \overrightarrow{n},\overrightarrow{AB} \right]=\left( 0;8;12 \right)$ làm vtpt
Vậy phương trình mặt phẳng $\left( Q \right):0(x+1)+8(y-1)+12(z-3)=0$, hay $\left( Q \right):2y+3z-11=0$
Vậy $a+b+c=5$. Do đó, đáp án chính xác của bài này chính là A.
Bài tập 6:
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho $A\left( 1;-1;2 \right);\ B\left( 2;1;1 \right)$ và mặt phẳng $\left( P \right):x+y+z+1=0$. Mặt phẳng $\left( Q \right)$ chứa $A,\ B$ và vuông góc với mặt phẳng $\left( P \right)$. Mặt phẳng $\left( Q \right)$ có phương trình là:
A. $3x-2y-z-3=0$. B. $x+y+z-2=0$. C. $-x+y=0$. D. $3x-2y-z+3=0$.
Lời giải
Ta có $\overrightarrow{AB}=\left( 1;2;-1 \right)$
Từ $\left( P \right)$ suy ra vec tơ pháp tuyến của $\left( P \right)$ là $\overrightarrow{{{n}_{P}}}=\left( 1;1;1 \right)$
Gọi vec tơ pháp tuyến của $\left( Q \right)$ là $\overrightarrow{{{n}_{Q}}}$
Vì $\left( Q \right)$ chứa $A,\ B$ nên $\overrightarrow{{{n}_{Q}}}\bot \overrightarrow{AB}\ \left( 1 \right)$
Mặt khác $\left( Q \right)\bot \left( P \right)$ nên $\overrightarrow{{{n}_{Q}}}\bot \overrightarrow{{{n}_{P}}}\ \left( 2 \right)$
Từ $\left( 1 \right),\ \left( 2 \right)$ ta được $\overrightarrow{{{n}_{Q}}}=\left[ \overrightarrow{AB}\ ,\ \overrightarrow{{{n}_{P}}} \right]=\left( 3;-2;-1 \right)$
$\left( Q \right)$ đi qua $A\left( 1;-1;2 \right)$ và có vec tơ pháp tuyến $\overrightarrow{{{n}_{Q}}}=\left( 3;-2;-1 \right)$ nên $\left( Q \right)$ có phương trình là
$3\left( x-1 \right)-2\left( y+1 \right)-\left( z-2 \right)=0$ $\Leftrightarrow \ 3x-2y-z-3=0$.
Vậy $a+b+c=5$. Do đó, đáp án chính xác của bài này chính là A.
Bài tập 7:
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho mặt phẳng $\left( P \right):x+y+z+1=0$ và hai điểm $A\left( 1;-1;2 \right);B\left( 2;1;1 \right)$. Mặt phẳng $\left( Q \right)$ chứa $A,B$ và vuông góc với mặt phẳng $\left( P \right)$, mặt phẳng $\left( Q \right)$có phương trình là:
A. $3x-2y-z+3=0$. B. $x+y+z-2=0$. C. $3x-2y-z-3=0$. D. $-x+y=0$.
Lời giải
Mặt phẳng $\left( P \right)$ có 1 véc tơ pháp tuyến là $\overrightarrow{{{n}_{p}}}=(1;\,1;\,1)$. Véc tơ $\overrightarrow{AB}=(1;\,2;\,-1)$.
Gọi $\overrightarrow{n}$ là một véc tơ pháp tuyến của $\left( Q \right)$, do $\left( Q \right)$vuông góc với $\left( P \right)$ nên $\overrightarrow{n}$có giá vuông góc với $\overrightarrow{{{n}_{p}}}$, mặt khác véc tơ $\overrightarrow{AB}$ có giá nằm trong mặt phẳng $\left( Q \right)$ nên $\overrightarrow{n}$ cũng vuông góc với $\overrightarrow{AB}$
Mà ${{\overrightarrow{n}}_{p}}$ và $\overrightarrow{AB}$ không cùng phương nên ta có thể chọn $\overrightarrow{n}$=$\left[ \overrightarrow{{{n}_{P}}},\overrightarrow{AB} \right]=\left( -3;2;1 \right)$, mặt khác $\left( Q \right)$đi qua $A\left( 1;-1;2 \right)$ nên phương trình của mặt phẳng $\left( Q \right)$ là:
$-3\left( x-1 \right)+2\left( y+1 \right)+1(z-2)=0\Leftrightarrow 3x-2y-z-3=0$.
Do đó, đáp án chính xác ta chọn cho bài này chính là A.
Bài tập 8:
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho điểm $A\left( 1;\,1;\,1 \right)$ và hai mặt phẳng $\left( P \right):2x-y+3z-1=0$, $\left( Q \right):y=0$. Viết phương trình mặt phẳng $\left( R \right)$ chứa $A$, vuông góc với cả hai mặt phẳng $\left( P \right)$ và $\left( Q \right)$.
A. $3x-y+2z-4=0$. B. $3x+y-2z-2=0$. C. $3x-2z=0$. D. $3x-2z-1=0$.
Lời giải
$\left( P \right):2x-y+3z-1=0$ có véctơ pháp tuyến ${{\vec{n}}_{\left( P \right)}}=\left( 2;\,-1;\,3 \right)$.
$\left( Q \right):y=0$ có véctơ pháp tuyến ${{\vec{n}}_{\left( Q \right)}}=\left( 0;\,1;\,0 \right)$.
Do mặt phẳng $\left( R \right)$ vuông góc với cả hai mặt phẳng $\left( P \right)$ và $\left( Q \right)$ nên có véctơ pháp tuyến ${{\vec{n}}_{\left( R \right)}}=\left[ {{{\vec{n}}}_{\left( P \right)}},\,{{{\vec{n}}}_{\left( Q \right)}} \right]$. $\Rightarrow {{\vec{n}}_{\left( R \right)}}=\left( -3;\,0;\,2 \right)$.
Vậy phương trình mặt phẳng $\left( R \right)$ là: $-3x+2z+1=0$$\Leftrightarrow 3x-2z-1=0$.
Do đó, đáp án chính xác ta chọn cho bài này chính là D.
Như vậy bên trên là tất cả những thông tin cần thiết về cách viết phương trình mặt phẳng trung trực mà các bạn không nên bỏ qua. Nếu như bạn có thắc mắc hay cần hỗ trợ thì đừng ngần ngại mà không liên hệ ngay với chúng tôi để nhận được sự trợ giúp sớm nhất nhé!