Lý thuyết và bài tập mẫu phương trình mặt phẳng oxyz

Bài viết sau đây giới thiệu đến các bạn lý thuyết và bài tập mẫu phương trình mặt phẳng oxyz để luyện tập. Khoa Cử hy vọng với những chia sẻ này sẽ hỗ trợ bạn đọc học tốt phần  phương trình mặt phẳng trong không gian môn Toán lớp 12!

I. LÝ THUYẾT

1. VECTƠ PHÁP TUYẾN CỦA MẶT PHẲNG

Vectơ $\overrightarrow{n}\ne \overrightarrow{0}$ là vectơ pháp tuyến (VTPT) nếu giá của $\overrightarrow{n}$ vuông góc với mặt phẳng $(\alpha )$ Chú ý: Nếu $\overrightarrow{n}$ là một VTPT của mặt phẳng $(\alpha )$ thì $k\overrightarrow{n}\,$$\,(k\ne 0)$ cũng là một VTPT của mặt phẳng$(\alpha )$. Một mặt phẳng được xác định duy nhất nếu biết một điểm nó đi qua và một VTPT của nó. Nếu $\overrightarrow{u},\,\overrightarrow{v}$ có giá song song hoặc nằm trên mặt phẳng $(\alpha )$ thì $\overrightarrow{n}=\text{ }\!\![\!\!\text{ }\overrightarrow{u},\,\overrightarrow{v}\text{ }\!\!]\!\!\text{ }$ là một VTPT của $(\alpha )$.

2. PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QUÁT CỦA MẶT PHẲNG

Trong không gian $Oxyz$, mọi mặt phẳng đều có dạng phương trình: $Ax+By+Cz+D=0\,\,$với${{A}^{2}}+{{B}^{2}}+{{C}^{2}}\ne 0$ Nếu mặt phẳng $(\alpha )$ có phương trình $Ax+By+Cz+D=0\,\,$thì nó có một VTPT là $\overrightarrow{n}(A;\,B;\,C)$. Phương trình mặt phẳng đi qua điểm ${{M}_{0}}({{x}_{0}};{{y}_{0}};{{z}_{0}})$ và nhận vectơ $\overrightarrow{n}(A;\,B;\,C)$ khác $\overrightarrow{0}$ là VTPT là: $A(x-{{x}_{0}})+B(y-{{y}_{0}})+C(z-{{z}_{0}})=0$. ·       Các trường hợp riêng Xét phương trình mặt phẳng $(\alpha )$: $Ax+By+Cz+D=0\,\,$với ${{A}^{2}}+{{B}^{2}}+{{C}^{2}}\ne 0$ Nếu $D=0$thì mặt phẳng $(\alpha )$đi qua gốc tọa độ $O$. Nếu $A=0,B\ne 0,C\ne 0$ thì mặt phẳng $(\alpha )$song song hoặc chứa trục $Ox$. Nếu $A\ne 0,B=0,C\ne 0$ thì mặt phẳng $(\alpha )$song song hoặc chứa trục $Oy$. Nếu $A\ne 0,B\ne 0,C=0$ thì mặt phẳng $(\alpha )$song song hoặc chứa trục $Oz$. Nếu $A=B=0,C\ne 0$ thì mặt phẳng $(\alpha )$song song hoặc trùng với $\left( Oxy \right)$. Nếu $A=C=0,B\ne 0$ thì mặt phẳng $(\alpha )$song song hoặc trùng với $\left( Oxz \right)$. Nếu $B=C=0,A\ne 0$ thì mặt phẳng $(\alpha )$song song hoặc trùng với $\left( Oyz \right)$. Chú ý: Nếu trong phương trình $(\alpha )$ không chứa ẩn nào thì $(\alpha )$ song song hoặc chứa trục tương ứng. Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn $\left( \alpha  \right):\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1$. Ở đây $(\alpha )$ cắt các trục tọa độ tại các điểm $\left( a;0;0 \right)$, $\left( 0;b;0 \right)$, $\left( 0;0;c \right)$ với $abc\ne 0$.

3. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI MẶT PHẲNG

Cho 2 mặt phẳng $(\alpha ):{{A}_{1}}x+{{B}_{1}}y+{{C}_{1}}z+{{D}_{1}}=0$ và $(\beta ):{{A}_{2}}x+{{B}_{2}}y+{{C}_{2}}z+{{D}_{2}}=0$ $\circ $ $(\alpha )\text{//}(\beta )$Û$\frac{{{A}_{1}}}{{{A}_{2}}}=\frac{{{B}_{1}}}{{{B}_{2}}}=\frac{{{C}_{1}}}{{{C}_{2}}}\ne \frac{{{D}_{1}}}{{{D}_{2}}}$                                     $\circ $ $(\alpha )\equiv (\beta )$Û$\frac{{{A}_{1}}}{{{A}_{2}}}=\frac{{{B}_{1}}}{{{B}_{2}}}=\frac{{{C}_{1}}}{{{C}_{2}}}=\frac{{{D}_{1}}}{{{D}_{2}}}$ $\circ $ $(\alpha )$ cắt $(\beta )$Û$\frac{{{A}_{1}}}{{{A}_{2}}}\ne \frac{{{B}_{1}}}{{{B}_{2}}}\vee \frac{{{B}_{1}}}{{{B}_{2}}}\ne \frac{{{C}_{1}}}{{{C}_{2}}}\vee \frac{{{A}_{1}}}{{{A}_{2}}}\ne \frac{{{C}_{1}}}{{{C}_{2}}}$ Đặc biệt: $(\alpha )\bot (\beta )$ Û ${{A}_{1}}{{B}_{1}}+{{A}_{2}}{{B}_{2}}+{{A}_{3}}{{B}_{3}}=0$

4. KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MỘT MẶT PHẲNG

Trong không gian $Oxyz$, cho điểm ${{M}_{0}}({{x}_{0}};{{y}_{0}};{{z}_{0}}) $ và mặt phẳng $\left( \alpha  \right):Ax+By+Cz+D=0$ Khi đó khoảng cách từ điểm ${{M}_{0}}$ đến mặt phẳng $(\alpha )$ được tính: $d({{M}_{0}},(\alpha ))=\frac{|A{{x}_{0}}+B{{y}_{0}}+C{{z}_{0}}+D|}{\sqrt{{{A}^{2}}+{{B}^{2}}+{{C}^{2}}}}$ Chú ý: Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song là khoảng cách từ 1 điểm thuộc mặt phẳng này đến mặt phẳng kia.

5. GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN

Trong không gian $Oxyz$, cho hai mặt phẳng $\left( \alpha  \right):{{A}_{1}}x+{{B}_{1}}y+{{C}_{1}}z+{{D}_{1}}=0$ và $\left( \beta  \right):{{A}_{2}}x+{{B}_{2}}y+{{C}_{2}}z+{{D}_{2}}=0.$ Góc giữa $\left( \alpha  \right)$ và $\left( \beta  \right)$ bằng hoặc bù với góc giữa hai VTPT $\overrightarrow{{{n}_{\alpha }}},\overrightarrow{{{n}_{\beta }}}$. Tức là: $\cos \left( \left( \alpha  \right),\left( \beta  \right) \right)=\left| \cos \left( \overrightarrow{{{n}_{\alpha }}},\overrightarrow{{{n}_{\beta }}} \right) \right|=\frac{\left| \overrightarrow{{{n}_{\alpha }}}.\overrightarrow{{{n}_{\beta }}} \right|}{\left| \overrightarrow{{{n}_{\alpha }}} \right|.\left| \overrightarrow{{{n}_{\beta }}} \right|}=\frac{\left| {{A}_{1}}{{A}_{2}}+{{B}_{1}}{{B}_{2}}+{{C}_{1}}{{C}_{2}} \right|}{\sqrt{A_{1}^{2}+B_{1}^{2}+C_{1}^{2}}.\sqrt{A_{2}^{2}+B_{2}^{2}+C_{2}^{2}}}$ Đặc biệt: $(P)\bot (Q)\Leftrightarrow AA’+BB’+CC’=0.$.

II. BÀI TẬP MẪU

Bài tập 1:

Trong không gian $Oxyz$, cho $A\left( -1;-1;1 \right)$, $B\left( 3;1;1 \right)$. Phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn $AB$ là.

Lời giải

Gọi $I$ là trung điểm của $AB$ nên $I\left( 1;0;1 \right)$.

Mặt phẳng trung trực của đoạn $AB$có vtpt là $\overrightarrow{n}$$=\overrightarrow{AB}$$=\left( 4;2;0 \right)$$=2\left( 2;1;0 \right)$.

Phương trình mặt phẳng cần tìm là: $2\left( x-1 \right)+1\left( y-0 \right)=0$$\Leftrightarrow 2x+y-2=0$.

Bài tập 2:

Trong không gian $Oxyz$, viết phương trình mặt phẳng$(P)$ đi qua điểm $M(0;1;3)$và song song với  mặt phẳng$(Q):2x-3z+1=0$.

Lời giải:

Mặt phẳng $(P)$ song song với  mặt phẳng$(Q):2x-3z+1=0$nên mặt phẳng$(P)$ có phương trình dạng: $2x-3z+D=0\,\,\,(D\ne 1)$.

Mặt phẳng $(P)$ đi qua điểm $M(0;1;3)$ nên thay tọa độ điểm $M$vào phương trình mặt phẳng phải thỏa mãn. Ta được: $2.0-3.3+D=0\Leftrightarrow D=9$(thỏa mãn $D\ne 1$ ).

Vậy phương trình mặt phẳng $(P)$là: $2x-3z+9=0$.

Bài tập 3:

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, viết phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm $A\left( 2;\text{ }3;\text{ }5 \right)$, $B\left( 3;\text{ 2};\text{ 4} \right)$ và $C\left( 4;\text{ 1};\text{ 2} \right)$.

Lời giải

Vì $\overrightarrow{AB}$ ; $\overrightarrow{AC}$$\subset \left( ABC \right)$ nên $\left( ABC \right)$ sẽ nhận $\overrightarrow{n}=\left[ \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} \right]$ làm một vectơ pháp tuyến.

Ta có $\overrightarrow{AB}=\left( 1;-1;-1 \right)$, $\overrightarrow{AC}=\left( 2;-2;-3 \right)$ suy ra $\overrightarrow{n}=\left[ \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} \right]=\left( 1;\text{ }1;\text{ }0 \right)$.

Hiển nhiên $\left( ABC \right)$ đi qua $A\left( 2;\text{ }3;\text{ }5 \right)$nên ta có phương trình của $\left( ABC \right)$ là

$1\left( x-2 \right)+1\left( y-3 \right)+0\left( z-5 \right)=0$$\Leftrightarrow x+y-5=0$.

Bài tập 4:

Trong không gian hệ tọa độ $\text{Ox}yz,$cho $A\left( 2;1;-1 \right);\,B\left( 1;0;1 \right)$ và mặt phẳng $\left( P \right):\,x+2y-z+1=0.$ Viết phương trình mặt phẳng $\left( Q \right)$ qua $A;\,B$ và vuông góc với $\left( P \right)$.

Lời giải

Ta có :$\overrightarrow{AB}=\left( -1;-1;2 \right).$

Mặt phẳng $\left( P \right)$ nhận VTPT là $\overrightarrow{n}\left( 1;2;-1 \right)$. Khi đó mặt phẳng $\left( Q \right)$ nhận VTPT là

$\overrightarrow{{{n}_{1}}}=\left[ \overrightarrow{AB};\overrightarrow{n} \right]=\left( -3;1;-1 \right)$.

Mặt mặt phẳng $\left( Q \right)$qua $A;\,B$và vuông góc với $\left( P \right)$ thì nhận $\overrightarrow{{{n}_{1}}}=\left( -3;1;-1 \right)$ làm VTPT và đi qua $A\left( 2;1;-1 \right)$. Phương trình mặt phẳng $\left( Q \right)$ là: $-3\left( x-2 \right)+y-1-\left( z+1 \right)=0$.

Vậy phương trình mặt phẳng $\left( Q \right)$ là $3x-y+z-4=0$.

Bài tập 5:

Trong không gian $Oxyz,$ cho hai mặt phẳng $\left( P \right):x-3y+2z-1=0,$$\left( Q \right):x-z+2=0$. Mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ vuông góc với cả $\left( P \right)$ và $\left( Q \right)$ đồng thời cắt trục $Ox$ tại điểm có hoành độ bằng $3.$ Phương trình của mp $\left( \alpha  \right)$ là

Lời giải

$\left( P \right)$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{{{n}_{P}}}=\left( 1;-3;2 \right)$, $\left( Q \right)$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{{{n}_{Q}}}=\left( 1;0;-1 \right)$.

Vì mặt phẳng $\left( \alpha  \right)$ vuông góc với cả $\left( P \right)$ và $\left( Q \right)$ nên $\left( \alpha  \right)$ có một vectơ pháp tuyến là

$\left[ \overrightarrow{{{n}_{P}}},\overrightarrow{{{n}_{Q}}} \right]=\left( 3;3;3 \right)=3\left( 1;1;1 \right)$.

Vì mặt phẳng $\left( \alpha  \right)$ cắt trục $Ox$ tại điểm có hoành độ bằng 3 nên $\left( \alpha  \right)$ đi qua điểm $M\left( 3;0;0 \right)$.

Vậy $\left( \alpha  \right)$ đi qua điểm $M\left( 3;0;0 \right)$ và có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{{{n}_{\alpha }}}=\left( 1;1;1 \right)$ nên $\left( \alpha  \right)$ có phương trình:

$x+y+z-3=0.$

Bài tập 6:

Trong không gian $Oxyz$, viết phương trình mặt phẳng $(P)$ song song với mặt phẳng $(Q):x+2y-2z+1=0$ và cách $(Q)$một khoảng bằng 3.

Lời giải:

Trên mặt phẳng $(Q):x+2y-2z+1=0$chọn điểm $M(-1;0;0)$.

Do $(P)$ song song với mặt phẳng $(Q)$ nên phương trình của mặt phẳng  $(P)$ có dạng: $x+2y-2z+D=0$với $D\ne 1$.

Vì $d((P),(Q))=3$$\Leftrightarrow d(M,(P))=3$$\Leftrightarrow \frac{|-1+D|}{\sqrt{{{1}^{2}}+{{2}^{2}}+{{(-2)}^{2}}}}=3$$\Leftrightarrow |-1+D|=9$$\Leftrightarrow \left[ \begin{align}& D=-8 \\& D=10 \\\end{align} \right.$

Vậy có hai mặt phẳng thỏa mãn yêu cầu bài toán: $x+2y-2z-8=0$và $x+2y-2z+10=0$.

Bài tập 7:

Trong không gian $Oxyz$, viết phương trình mặt phẳng $(P)$ song song với mặt phẳng $(Q):x+2y-2z+1=0$ và $(P)$ cách điểm $M(1;-2;1)$một khoảng bằng 3.

Lời giải:

Do $(P)$ song song với mặt phẳng $(Q)$ nên phương trình của mặt phẳng  $(P)$ có dạng: $x+2y-2z+D=0$với $D\ne 1$.

Vì  $d(M,(P))=3$$\Leftrightarrow \frac{|1-4-2+D|}{\sqrt{{{1}^{2}}+{{2}^{2}}+{{(-2)}^{2}}}}=3$$\Leftrightarrow |-5+D|=9$$\Leftrightarrow \left[ \begin{align}& D=-4 \\& D=14 \\\end{align} \right.$

Vậy có hai mặt phẳng thỏa mãn yêu cầu bài toán: $x+2y-2z-4=0$và $x+2y-2z+14=0$.

Bài tập 8:

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho mặt cầu có phương trình ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-2x-4y-6z-11=0$. Viết phương trình mặt phẳng $\left( \alpha \right)$, biết $\left( \alpha  \right)$song song với $\left( P \right):2x+y-2z+11=0$ và cắt mặt cầu $\left( S \right)$theo thiết diện là một đường tròn có chu vi bằng $8\pi $

Lời giải

Mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $I\left( 1;2;3 \right)$ và bán kính $R=\sqrt{{{1}^{2}}+{{2}^{2}}+{{3}^{2}}+11}=5$.

Chu vi thiết diện bằng $8\pi $ nên bán kính $r$ của đường tròn thỏa mãn $8\pi =2\pi r\Leftrightarrow r=4$

$d\left( I,\left( \alpha  \right) \right)=\sqrt{{{R}^{2}}-{{r}^{2}}}=3$.

Phương trình mặt phẳng $\left( \alpha  \right)$song song với $\left( P \right):2x+y-2z+11=0$có dạng $\left( \alpha  \right):2x+y-2z+m=0\left( m\ne 11 \right)$.

$d\left( I,\left( \alpha  \right) \right)=3$$\Leftrightarrow \frac{\left| 2.1+2-2.3+m \right|}{\sqrt{{{1}^{2}}+{{2}^{2}}+{{2}^{2}}}}=3$$\Leftrightarrow \left| m-2 \right|=9\Leftrightarrow m=11\vee m=-7$. Đối chiếu điều kiện suy ra $\left( \alpha  \right):2x+y-2z-7=0$.

Bài tập 9:

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxy$, cho đường thẳng $\left( d \right):\frac{x+2}{1}=\frac{y-2}{-1}=\frac{z+3}{2}$ và điểm $A\left( 1;-2;3 \right)$. viết phương trình mặt phẳng qua $A$ và vuông góc với đường thẳng $d$.

Lời giải

Đường thẳng $d$ có vectơ chỉ phương: $\overrightarrow{u}=\left( 1;\,-1;\,2 \right)$.

Vì mặt phẳng $\left( P \right)$ đi qua $A$ và vuông góc với đường thẳng $\left( d \right)$ nên $\left( P \right)$ có vectơ pháp tuyến: $\overrightarrow{n}=\left( 1;\,-1;\,2 \right)$.

$\Rightarrow $ Phương trình mặt phẳng $\left( P \right)$ là: $\left( x-1 \right)-\left( y+2 \right)+2\left( z-3 \right)=0$$\Leftrightarrow x-y+2z-9=0$.

Bài tập 10:

Trong không gian tọa độ $Oxyz,$ cho điểm $A\left( 0;1;0 \right),$ mặt phẳng $\left( Q \right):x+y-4z-6=0$ và đường thẳng $d:\left\{ \begin{align}& x=3 \\& y=3+t \\& z=5-t \\\end{align} \right.$. Phương trình mặt phẳng $\left( P \right)$ qua $A$, song song với $d$ và vuông góc với $\left( Q \right)$ là:

Lời giải

Mặt phẳng $\left( Q \right)$ có VTPT $\overrightarrow{{{n}_{Q}}}=\left( 1;1;-4 \right)$.

Đường thẳng $d$ có VTCP $\overrightarrow{{{u}_{d}}}=\left( 0;1;-1 \right)$.

Gọi VTPT của mặt phẳng $\left( P \right)$ là $\overrightarrow{{{n}_{P}}}$.

Ta có: $\overrightarrow{{{n}_{P}}}\bot \overrightarrow{{{n}_{Q}}}$ và $\overrightarrow{{{n}_{P}}}\bot \overrightarrow{{{u}_{d}}}$ nên chọn $\overrightarrow{{{n}_{P}}}=\left[ \overrightarrow{{{n}_{Q}}},\,\overrightarrow{{{u}_{d}}} \right]=\left( 3;\,1;\,1 \right)$.

$\left( P \right)$ đi qua điểm $A\left( 0;1;0 \right),$ VTPT $\overrightarrow{{{n}_{P}}}=\left( 3;1;1 \right)$ có phương trình là: $3x+y+z-1=0$.

Bài tập 11:

Trong không gian $Oxyz$, viết phương trình mặt phẳng$(P)$ chứa đường thẳng ${{d}_{1}}:\left\{ \begin{matrix}x=1\,\,\,\,\,\,\,\,\,  \\y=1-2t  \\ z=\,1+\,\,\,\,t  \\\end{matrix} \right.$ và song song với đường thẳng ${{d}_{2}}:\frac{x-1}{1}=\frac{y}{2}=\frac{z-1}{2}$.

Lời giải:

Đường thẳng ${{d}_{1}}$ đi qua điểm ${{M}_{1}}(1;1;1)$ vectơ chỉ phương $\overrightarrow{{{u}_{1}}}(0;-2;1)$.

Đường thẳng ${{d}_{2}}$ đi qua điểm ${{M}_{2}}(1;0;1)$ vectơ chỉ phương $\overrightarrow{{{u}_{2}}}(1;2;2)$.

Ta có $\left[ \overrightarrow{{{u}_{1}}},\,\overrightarrow{{{u}_{2}}} \right]=(-6;1;2)$.

Gọi $\overrightarrow{n}$ là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng$(P)$, ta có:

$\left\{ \begin{matrix}\overrightarrow{n}\bot \overrightarrow{{{u}_{1}}}  \\\overrightarrow{n}\bot \overrightarrow{{{u}_{2}}}  \\\end{matrix} \right.$ nên $\overrightarrow{n}$ cùng phương với $\left[ \overrightarrow{{{u}_{1}}},\,\overrightarrow{{{u}_{2}}} \right]$.

Chọn $\overrightarrow{n}=(-6;1;2)$.

Mặt phẳng$(P)$ đi qua điểm ${{M}_{1}}(1;1;1)$ và nhận vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=(-6;1;2)$có phương trình:

$\,\,\,\,-6(x-1)+1(y-1)+2(z-1)=0$

$\Leftrightarrow -6x+y+2z+3=0$.

Thay tọa độ điểm ${{M}_{2}}$vào phương trình mặt phẳng $(P)$thấy không thỏa mãn.

Vậy phương trình mặt phẳng $(P)$là:$-6x+y+2z+3=0$.

Bài tập 12:

Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $M\left( 1;0;-1 \right)$. Mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ đi qua $M$ và chứa trục $Ox$ có phương trình là.

Lời giải

Do mặt phẳng $\left( \alpha  \right)$ đi qua $M$ và chứa trục $Ox$ nên $\left( \alpha  \right)$ có một véc tơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n}=\left[ \overrightarrow{i},\overrightarrow{OM} \right]$ với $\overrightarrow{i}=\left( 1;0;0 \right)$ và $\overrightarrow{OM}=\left( 1;0;-1 \right)$$\Rightarrow \overrightarrow{n}=\left( 0;1;0 \right)$.

Vậy phương trình mặt phẳng $\left( \alpha  \right)$ đi qua $M\left( 1;0;-1 \right)$ và có một véc tơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=\left( 0;1;0 \right)$ là $y=0$.

Bài tập 13:

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, phương trình của mặt phẳng chứa hai đường thẳng $d:\frac{x+1}{3}=\frac{y-1}{2}=\frac{z-3}{-2}$ và ${d}’:\frac{x}{1}=\frac{y-1}{1}=\frac{z+3}{2}$ là

Lời giải:

Gọi $\left( P \right)$ là mặt phẳng cần tìm.

Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng cần tìm là $\overrightarrow{{{n}_{\left( P \right)}}}=\left[ \overrightarrow{{{u}_{d}}},\overrightarrow{{{u}_{{{d}’}}}} \right]=\left( 6;-8;1 \right)$.

Chọn điểm $A\left( -1;1;3 \right)\in d\Rightarrow A\in \left( P \right)$.

$\Rightarrow \left( P \right):6\left( x+1 \right)-8\left( y-1 \right)+1\left( z-3 \right)=0$ $\Leftrightarrow 6x-8y+z+11=0$.

Bài tập 14:

Trong không gian $Oxyz$, viết phương trình mặt phẳng $(\alpha )$ chứa đường thẳng ${{d}_{1}}:\left\{ \begin{matrix}x=1\,\,\,\,\,\,\,\,\,  \\y=1-2t  \\z=\,1+\,\,\,\,t  \\\end{matrix} \right.$ và ${{d}_{2}}:\left\{ \begin{matrix}x=4\,\,\,\,\,\,  \\y=3-4t  \\z=\,1+\,\,2\,\,t  \\\end{matrix} \right.$

Lời giải:

Đường thẳng ${{d}_{1}}$ đi qua điểm ${{M}_{1}}(1;1;1)$ vectơ chỉ phương $\overrightarrow{{{u}_{1}}}(0;-2;1)$.

Đường thẳng ${{d}_{2}}$ đi qua điểm ${{M}_{2}}\left( 4;3;1 \right)$ vectơ chỉ phương $\overrightarrow{{{u}_{2}}}\left( 0;-4;2 \right)$.

Ta có $\left[ \overrightarrow{{{u}_{1}}},\,\overrightarrow{{{u}_{2}}} \right]=\overrightarrow{0}$, $\overrightarrow{{{M}_{1}}{{M}_{2}}}=\left( 3;2;0 \right).$

Do $\left[ \overrightarrow{{{u}_{1}}},\,\overrightarrow{{{u}_{2}}} \right]=\overrightarrow{0}$ nên đường thẳng ${{d}_{1}},{{d}_{2}}$ song song

Mặt phẳng$(\alpha )$ chứa đường thẳng ${{d}_{1}},{{d}_{2}}$ song song nên $(\alpha )$có một vectơ pháp tuyến là: $\overrightarrow{{{n}_{\alpha }}}=\left[ \overrightarrow{{{u}_{1}}},\overrightarrow{{{M}_{1}}{{M}_{2}}} \right]=\left( -2;3;6 \right)=-\left( 2;-3;-6 \right)$.

Phương trình mặt phẳng $\left( \alpha  \right)$là: $2x-3y-6z+7=0$.

Bài tập 15:

Trong không gian $Oxyz$, cho hai đường thẳng chéo nhau ${{d}_{1}}:\frac{x-2}{2}=\frac{y-6}{-2}=\frac{z+2}{1}$ và ${{d}_{2}}:\frac{x-4}{1}=\frac{y+1}{3}=\frac{z+2}{-2}$. Phương trình mặt phẳng $\left( P \right)$ chứa ${{d}_{1}}$ và $\left( P \right)$song song với đường thẳng ${{d}_{2}}$ là

Lời giải:

Đường thẳng ${{d}_{1}}$ đi qua $A\left( 2;6;-2 \right)$ và có một véc tơ chỉ phương $\overrightarrow{{{u}_{1}}}=\left( 2;-2;1 \right)$.

Đường thẳng ${{d}_{2}}$ có một véc tơ chỉ phương $\overrightarrow{{{u}_{2}}}=\left( 1;3;-2 \right)$.

Gọi $\overrightarrow{n}$ là một véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left( P \right)$. Do mặt phẳng $\left( P \right)$ chứa ${{d}_{1}}$ và $\left( P \right)$song song với đường thẳng ${{d}_{2}}$ nên $\overrightarrow{n}=\left[ \overrightarrow{{{u}_{1}}},\overrightarrow{{{u}_{2}}} \right]=\left( 1;5;8 \right)$.

Vậy phương trình mặt phẳng $\left( P \right)$ đi qua $A\left( 2;6;-2 \right)$ và có một véc tơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=\left( 1;5;8 \right)$ là $x+5y+8z-16=0$.

Bài tập 16:

Trong mặt phẳng $Oxyz$, cho mặt phẳng $\left( P \right)$ và đường thẳng $d$ lần lượt có phương trình $\left( P \right):x+2y-z+5=0$ và $d:\frac{x+1}{2}=y+1=z-3$. Viết phương trình mặt phẳng $\left( Q \right)$ chứa đường thẳng $d$ và tạo với mặt phẳng $\left( P \right)$ một góc ${{60}^{0}}$.

Lời giải:

Giả sử mặt phẳng $(Q)$ có dạng $Ax+By+Cz+D=0$$\left( {{A}^{2}}+{{B}^{2}}+{{C}^{2}}\ne 0 \right).$

Chọn hai điểm $M\left( -1;-1;3 \right),N\left( 1;0;4 \right)\in d.$

Mặt phẳng $\left( Q \right)$ chứa $d$ nên $M,N\in \left( Q \right)$$\Rightarrow \left\{ \begin{align}& A.\left( -1 \right)+B\left( -1 \right)+C.3+D=0 \\& A.1+B.0+C.4+D=0 \\\end{align} \right.$$\Rightarrow \left\{ \begin{align}& C=-2A-B \\& D=7A+4B \\\end{align} \right.$

Suy ra mặt phẳng có phương trình là $Ax+By+\left( -2A-B \right)z+7A+4B=0$ và có VTPT $\overrightarrow{{{n}_{Q}}}=\left( A;B;-2A-B \right).$

$\left( Q \right)$tạo với mặt phẳng $\left( P \right)$ một góc ${{60}^{0}}$$\begin{align}& \Rightarrow \frac{\left| A+2B+2A+B \right|}{\sqrt{{{A}^{2}}+{{B}^{2}}+{{(2A+B)}^{2}}}\sqrt{{{1}^{2}}+{{2}^{2}}+{{(-1)}^{2}}}}=\cos ({{60}^{0}})=\frac{1}{2} \\& \Leftrightarrow A=(4\pm 2\sqrt{3})B \\\end{align}$

Cho $B=1$ ta được$A=(4\pm 2\sqrt{3}).$

Vậy có 2 phương trình mặt phẳng

$\begin{align}& (4-2\sqrt{3})x+y+\left( -9+4\sqrt{3} \right)z+32-14\sqrt{3}=0 \\& (4+2\sqrt{3})x+y+\left( -9-4\sqrt{3} \right)z+32+14\sqrt{3}=0 \\\end{align}$