Cách giải và bài tập mẫu phương trình mặt phẳng đi qua 3 điểm

Bài viết sau đây giới thiệu đến các bạn cách giải và bài tập mẫu dạng bài viết phương trình mặt phẳng đi qua 3 điểm thuộc chương Phương pháp tọa độ trong không gian. Khoa Cử hy vọng với những chia sẻ này sẽ hỗ trợ bạn đọc học tốt môn Toán lớp 12!

I. CÁCH GIẢI DẠNG PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG ĐI QUA 3 ĐIỂM

• Dạng 1. Mặt $(P):\left\{ \begin{align}& \centerdot \text{  }Qua\text{ }A({{x}_{\circ }};{{y}_{\circ }};{{z}_{\circ }}) \\ & \centerdot \text{  }VTPT:{{{\vec{n}}}_{(P)}}=(a;b;c) \\ \end{align} \right.\Rightarrow (P):$ 
• Dạng 2. Viết phương trình $(P)$ qua $A({{x}_{\circ }};{{y}_{\circ }};{{z}_{\circ }})$ và $(P)\parallel (Q):ax+by+cz+d=0.$

Phương pháp. $(P):\left\{ \begin{align}& \centerdot \text{  }Qua\text{ }A({{x}_{\circ }},{{y}_{\circ }},{{z}_{\circ }}) \\& \centerdot \text{  }VTPT:{{{\vec{n}}}_{(P)}}={{{\vec{n}}}_{(Q)}}=(a;b;c) \\\end{align} \right.$

• Dạng 3. Viết phương trình mặt phẳng trung trực $(P)$ của đoạn thẳng $AB.$

Phương pháp. $(P):\left\{ \begin{align}& \centerdot \text{ }Qua\text{ }I\left( \frac{{{x}_{A}}+{{x}_{B}}}{2};\frac{{{y}_{A}}+{{y}_{B}}}{2};\frac{{{z}_{A}}+{{z}_{B}}}{2} \right) \\ & \centerdot \text{ }VTPT:{{{\vec{n}}}_{(P)}}=\overrightarrow{AB} \\\end{align} \right.$

• Dạng 4. Viết phương trình mặt phẳng $(P)$ qua $M$ và vuông góc với đường thẳng $d\equiv AB.$

Phương pháp. $(P):\left\{ \begin{align}& \centerdot \text{  }Qua\text{ }M({{x}_{\circ }};{{y}_{\circ }};{{z}_{\circ }}) \\ & \centerdot \text{  }VTPT:{{{\vec{n}}}_{(P)}}={{{\vec{u}}}_{d}}=\overrightarrow{AB} \\\end{align} \right.$

• Dạng 5. Viết phương trình mặt phẳng $(P)$ qua điểm $M$ và có cặp véctơ chỉ phương $\vec{a},\text{ }\vec{b}.$

Phương pháp. $(P):\left\{ \begin{align}& \centerdot \text{  }Qua\text{ }M({{x}_{\circ }};{{y}_{\circ }};{{z}_{\circ }}) \\ & \centerdot \text{  }VTPT:{{{\vec{n}}}_{(P)}}=[\vec{a},\vec{b}] \\\end{align} \right.$

• Dạng 6. Viết phương trình mặt phẳng $(P)$ đi qua ba điểm $A,\text{ }B,\text{ }C$ không thẳng hàng.

Phương pháp. $(P):\left\{ \begin{align}& \centerdot \text{  }Qua\text{ }A,\text{ }(hay\text{ }B\text{ }hay\text{ }C) \\& \centerdot \text{  }VTPT:{{{\vec{n}}}_{(ABC)}}=\left[ \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} \right] \\\end{align} \right.$ 

• Dạng 7. Viết phương trình mặt phẳng $(P)$ đi qua $A,\text{ }B$ và $(P)\bot (Q).$

Phương pháp. $(P):\left\{ \begin{align}& \centerdot \text{  }Qua\text{ }A,\text{ }(hay\text{ }B) \\& \centerdot \text{  }VTPT:{{{\vec{n}}}_{(P)}}=\left[ \overrightarrow{AB},{{{\vec{n}}}_{(Q)}} \right] \\\end{align} \right.$

• Dạng 8. Viết phương trình mp $(P)$ qua $M$ và vuông góc với hai mặt $(\alpha ),\text{ }(\beta ).$

Phương pháp. $(P):\left\{ \begin{align}& \centerdot \text{  }Qua\text{ }M({{x}_{\circ }};{{y}_{\circ }};{{z}_{\circ }}) \\& \centerdot \text{  }VTPT:{{{\vec{n}}}_{(P)}}=\left[ {{{\vec{n}}}_{(\alpha )}},{{{\vec{n}}}_{(\beta )}} \right] \\\end{align} \right.$

• Dạng 9. Viết $(P)$ đi qua $M$ và giao tuyến $d$ của hai mặt phẳng:$(Q):{{a}_{1}}x+{{b}_{1}}y+{{c}_{1}}z+{{d}_{1}}=0$ và $(T):{{a}_{2}}x+{{b}_{2}}y+{{c}_{2}}z+{{d}_{2}}=0.$

Phương pháp: Khi đó mọi mặt phẳng chứa $d$ đều có dạng:
$(P):m({{a}_{1}}x+{{b}_{1}}y+{{c}_{1}}z+{{d}_{1}})+n({{a}_{2}}x+{{b}_{2}}y+{{c}_{2}}z+{{d}_{2}})=0,\text{ }{{m}^{2}}+{{n}^{2}}\ne 0.$
Vì $M\in (P)\Rightarrow $ mối liên hệ giữa $m$ và $n.$ Từ đó chọn $m\Rightarrow n$ sẽ tìm được $(P).$

• Dạng 10. Viết phương trình mặt phẳng đoạn chắn

Phương pháp: Nếu mặt phẳng $(P)$ cắt ba trục tọa độ lần lượt tại các điểm $A(a;0;0),$
$B(0;b;0),$ $C(0;0;c)$ với $(abc\ne 0)$ thì $(P):\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1$ gọi là mặt phẳng đoạn chắn.

Xem thêm: Cách Giải Và Bài Tập Mẫu Tích Vô Hướng, Tích Có Hướng Của Hai Vectơ

II. BÀI TẬP MẪU PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG ĐI QUA 3 ĐIỂM

Bài tập 1: Tìm phương trình mặt phẳng $\left( MNP \right)$

Trong không gian $Oxyz$, gọi $M$, $N$, $P$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $A\left( 2;-3;1 \right)$ lên các mặt phẳng tọa độ. Phương trình mặt phẳng $\left( MNP \right)$ là

A. $\frac{x}{2}+\frac{y}{3}+\frac{z}{1}=1$.                                                B. $3x-2y+6z=6$.

C. $\frac{x}{2}-\frac{y}{3}+\frac{z}{1}=0$.                                                 D. $3x-2y+6z-12=0$.

Lời giải

Không mất tính tổng quát, ta giả sử $M$, $N$, $P$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $A\left( 2;-3;1 \right)$ lên các mặt phẳng tọa độ $\left( Oxy \right)$, $\left( Oxz \right)$, $\left( Oyz \right)$.

Khi đó, $M\left( 2;-3;0 \right)$, $N\left( 2;0;1 \right)$ và $P\left( 0;-3;1 \right)$

$\overrightarrow{MN}=\left( 0;3;1 \right)$ và $\overrightarrow{MP}=\left( -2;0;1 \right)$.

Ta có, $\overrightarrow{MN}$ và $\overrightarrow{MP}$ là cặp vectơ không cùng phương và có giá nằm trong $\left( MNP \right)$

Do đó, $\left( MNP \right)$ có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n}=\left[ \overrightarrow{MN},\overrightarrow{MP} \right]=\left( 3;-2;6 \right)$.

Mặt khác, $\left( MNP \right)$ đi qua $M\left( 2;-3;0 \right)$ nên có phương trình là:

$3\left( x-2 \right)-2\left( y+3 \right)+6\left( z-0 \right)=0\Leftrightarrow 3x-2y+6z-12=0$.

Bài tập 2: Đường thẳng nào dưới đây vuông góc với mặt phẳng $\left( ABC \right)$

Trong không gian $Oxyz$, cho các điểm $A\left( -1;2;1 \right),\,B\left( 2;-1;4 \right)$ và $C\left( 1;1;4 \right)$. Đường thẳng nào dưới đây vuông góc với mặt phẳng $\left( ABC \right)$?

A. $\frac{x}{-1}=\frac{y}{1}=\frac{z}{2}$.                            B. $\frac{x}{2}=\frac{y}{1}=\frac{z}{1}$.                            C. $\frac{x}{1}=\frac{y}{1}=\frac{z}{2}$.                      D. $\frac{x}{2}=\frac{y}{1}=\frac{z}{-1}$.

Lời giải

Ta có $\overrightarrow{AB}=\left( 3;-3;3 \right);\,\overrightarrow{AC}=\left( 2;-1;3 \right)$.

Suy ra $\left[ \overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC} \right]=\left( -6;-3;3 \right)$.

Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng $\left( ABC \right)$ có vecto chỉ phương $\overrightarrow{u}$ vuông góc với $\overrightarrow{AB};\,\overrightarrow{AC}$

nên $\overrightarrow{u}$ cùng phương với $\left[ \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} \right]$ do đó chọn $\overrightarrow{u}(2;1;-1)$.

Bài tập 3: Xác định giá trị của $a$ và $d$

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho ba điểm $A\left( 0;1;2 \right),\,B\left( 2;-2;1 \right),\,C\left( -2;1;0 \right)$. Khi đó, phương trình mặt phẳng $\left( ABC \right)$ là $ax\,+\,y\,-z\,+\,d\,=\,0$. Hãy xác định $a$ và $d$.

A. $a\,=\,1,\,d\,=\,1$.                  B. $a\,=\,6,\,d\,=\,-6$.                 C. $a\,=\,-1,\,d\,=\,-6$.                D. $a\,=\,-6,\,d\,=\,6$.

Lời giải

Ta có: $\overrightarrow{AB}\,=\,\left( 2;-3;-1 \right)$; $\overrightarrow{AC}\,=\,\left( -2;0;-2 \right)$.

$\left[ \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} \right]=\,\left| \begin{matrix}-3 & -1  \\0 & -2  \\\end{matrix} \right| ;\,\left| \begin{matrix}-1 & 2  \\-2 & -2  \\\end{matrix} \right|;\,\,\left| \begin{matrix}2 & -3  \\-2 & 0  \\\end{matrix} \right|\,\,=\,\left( 6;\,6;\,-6 \right)\,$.

Chọn $\overrightarrow{n\,}\,=\frac{1}{6}\left[ \overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC} \right]=\,\left( 1;\,1;\,-1 \right)$ là một VTPT của $mp\left( ABC \right)$. Ta có pt $mp\left( ABC \right)$là:

$x\,+\,y-1\,-z\,+2\,=\,0\Leftrightarrow x\,+\,y\,-\,z\,+\,1\,=\,0$. Vậy $a\,=\,1,\,d\,=\,1$.

Bài tập 4: Tìm phương trình mặt phẳng đi qua các điểm là hình chiếu của điểm $A$ trên các mặt phẳng tọa độ

Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $A\left( 3\,;5\,;2 \right)$, phương trình nào dưới đây là phương trình mặt phẳng đi qua các điểm là hình chiếu của điểm $A$ trên các mặt phẳng tọa độ?

A. $3x+5y+2z-60=0$.                            B. $10x+6y+15z-60=0$.

C. $10x+6y+15z-90=0$.                            D. $\frac{x}{3}+\frac{y}{5}+\frac{z}{2}=1$.

Lời giải

Chọn B

Gọi ${{A}_{1}},\,\,{{A}_{2}},\,\,{{A}_{3}}$ lần lượt là hình chiếu của điểm $A$ lên các mặt phẳng $\left( Oxy \right),\,\,\left( Oyz \right),\,\,\left( Oxz \right)$.

Ta có ${{A}_{1}}\left( 3\,;\,5\,;\,0 \right),\,\,{{A}_{2}}\left( 0\,;\,5\,;\,2 \right),\,\,{{A}_{3}}\left( 3\,;\,0\,;\,2 \right)$. $\overrightarrow{{{A}_{1}}{{A}_{2}}}=\left( -3\,;\,0\,;\,2 \right),\,\,\overrightarrow{{{A}_{1}}{{A}_{3}}}=\left( 0\,;\,-5\,;\,2 \right)$.

Mặt phẳng qua ${{A}_{1}}$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=\left[ \overrightarrow{{{A}_{1}}{{A}_{2}}},\,\,\overrightarrow{{{A}_{1}}{{A}_{3}}} \right]=\left( 10\,;\,6\,;\,15 \right)$ có phương trình là $10x+6y+15z-60=0$.

Bài tập 5: Tìm phương trình mặt phẳng $\left( ABC \right)$

Trong không gian $Oxyz$, cho ba điểm$A\left( 3;-2;-2 \right)$,$B\left( 3;2;0 \right)$,$C\left( 0;2;1 \right)$. Phương trình mặt phẳng $\left( ABC \right)$ là

A. $2x-3y+6z+12=0$.                            B. $2x+3y-6z-12=0$.

C. $2x-3y+6z=0$.                            D. $2x+3y+6z+12=0$.

Lời giải

Chọn C

Cách 1:

Ta có:

$\overrightarrow{AB}=\left( 0;\,4;\,2 \right)$, $\overrightarrow{AC}=\left( -3;\,4;\,3 \right)$, $\vec{n}=\left[ \overrightarrow{AB;}\,\overrightarrow{AC} \right]=\left( 4;\,-6;\,12 \right)$.

Ta có $\vec{n}=\left( 4;\,-6;\,12 \right)$ cùng phương ${{\vec{n}}_{1}}=\left( 2;\,-3;\,6 \right)$

Mặt phẳng $\left( ABC \right)$ đi qua điểm $C\left( 0;2;1 \right)$ và có một vectơ pháp tuyến ${{\vec{n}}_{1}}=\left( 2;\,-3;\,6 \right)$ nên $\left( ABC \right)$có phương trình là:

$2\left( x-0 \right)-3\left( y-2 \right)+6\left( z-1 \right)=0$$\Leftrightarrow 2x-3y+6z=0$.

Vậy phương trình mặt phẳng cần tìm là: $2x-3y+6z=0$.

Cách 2:

Vì phương trình mặt phẳng $\left( ABC \right)$ đi qua 3 điểm A, B, C nên thay tọa độ điểm $C\left( 0;2;1 \right)$ lần lượt vào các đáp án. Loại đáp án A, B,                                D. Còn lại đáp án C thỏa.

Vậy phương trình mặt phẳng cần tìm là: $2x-3y+6z=0$.

Bài tập 6: Tìm phương trình mặt phẳng trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, mặt phẳng đi qua 3 điểm $A\left( 1;2;3 \right)$, $B\left( 4;5;6 \right)$, $C\left( 1;0;2 \right)$ có phương trình là

A. $x-y+2z-5=0$.                            B. $x+2y-3z+4=0$.

C. $3x-3y+z=0$.                            D. $x+y-2z+3=0$.

Lời giải

Chọn D

Ta có: $\overrightarrow{AB}=\left( 3;3;3 \right)$, $\overrightarrow{AC}=\left( 0;-2;-1 \right)$

Mặt phẳng đi qua 3 điểm $A\left( 1;2;3 \right)$, $B\left( 4;5;6 \right)$, $C\left( 0;1;2 \right)$ nhận $\overrightarrow{n}=\left[ \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} \right]=\left( 3;3;-6 \right)$ làm véctơ pháp tuyến.

Nên phương trình mặt phẳng đi qua 3 điểm $A\left( 1;2;3 \right)$, $B\left( 4;5;6 \right)$, $C\left( 1;0;2 \right)$ có phương trình là $3x+3y-6z+9=0$ hay $x+y-2z+3=0$

Bài tập 7: Tìm phương trình mặt phẳng trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, mặt phẳng đi qua ba điểm $A\left( 2;\text{ }3;\text{ }5 \right)$, $B\left( 3;\text{ 2};\text{ 4} \right)$ và $C\left( 4;\text{ 1};\text{ 2} \right)$ có phương trình là

A. $x+y+5=0$.                            B. $x+y-5=0$.                            C. $y-z+2=0$.                            D. $2x+y-7=0$.

Lời giải

Vì $\overrightarrow{AB}$; $\overrightarrow{AC}$$\subset \left( ABC \right)$ nên $\left( ABC \right)$ sẽ nhận $\overrightarrow{n}=\left[ \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} \right]$ làm một vectơ pháp tuyến.

Ta có $\overrightarrow{AB}=\left( 1;-1;-1 \right)$, $\overrightarrow{AC}=\left( 2;-2;-3 \right)$ suy ra $\overrightarrow{n}=\left[ \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} \right]=\left( 1;\text{ }1;\text{ }0 \right)$.

Hiển nhiên $\left( ABC \right)$ đi qua $A\left( 2;\text{ }3;\text{ }5 \right)$nên ta có phương trình của $\left( ABC \right)$ là

$1\left( x-2 \right)+1\left( y-3 \right)+0\left( z-5 \right)=0$$\Leftrightarrow x+y-5=0$.

Bài tập 8: Tìm phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm $S$, $B$, $H$ 

 Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho bốn điểm $S\left( -1;\,6;\,2 \right)$, $A\left( 0;\,0;\,6 \right)$, $B\left( 0;\,3;\,0 \right)$, $C\left( -2;\,0;\,0 \right)$. Gọi $H$ là chân đường cao vẽ từ $S$ của tứ diện $S.ABC$. Phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm $S$, $B$, $H$ là

A. $x+y-z-3=0$.                            B. $x+y-z-3=0$.

C. $x+5y-7z-15=0$.                           D. $7x+5y-4z-15=0$.

Lời giải

Phương trình Mặt phẳng $\left( ABC \right):\,\frac{x}{-2}+\frac{y}{3}+\frac{z}{6}=1$$\Leftrightarrow -3x+2y+z-6=0$.

$H$ là chân đường cao vẽ từ $S$ của tứ diện $S.ABC$ nên $H$ là hình chiếu vuông góc của $S$ lên mặt phẳng $\left( ABC \right)$$\Rightarrow H\left( \frac{19}{14};\,\frac{31}{7};\,\frac{17}{14} \right)$

Mặt phẳng $\left( SBH \right):\,\left\{ \begin{align}& qua\,B\left( 0;\,3;\,0 \right) \\& vtpt\,\left[ \overrightarrow{BH},\,\overrightarrow{SB} \right]=\left( \frac{11}{14};\,\frac{55}{14};\,-\frac{11}{2} \right)=\frac{11}{14}\left( 1;\,5;\,-7 \right) \\\end{align} \right.$.

Phương trình Mặt phẳng $\left( SBH \right):\,x+5\left( y-3 \right)-7z=0$$\Leftrightarrow x+5y-7z-15=0$.

Xem thêm:

Cách Giải Và Bài Tập Mẫu Tích Vô Hướng, Tích Có Hướng Của Hai Vectơ