Trong bài viết ngày hôm nay, Khoa Cử chúng tôi muốn đem đến cho các bạn một dạng bài rất hay trong chương trình toán lớp 12 đó chính là dạng viết phương trình mặt cầu rất đầy đủ và chi tiết cho các bạn tham khảo. Với những thông tin được Khoa cử chúng tôi chia sẽ về các dạng bài tập về viết phương trình mặt cầu dưới đây hy vọng sẽ hỗ trợ cho bạn học tốt môn Toán lớp 12 nhằm đạt được kết quả cao trong học tập nhé!
I. LÝ THUYẾT
1. ĐỊNH NGHĨA
| Cho điểm I cố định và một số thực dương R. Tập hợp tất cả những điểm M trong không gian cách I một khoảng R được gọi là mặt cầu tâm I, bán kính R.
Kí hiệu: $S\left( I;R \right)$$\Rightarrow S\left( I;R \right)=\left\{ M/IM=R \right\}\text{ }$
|
2. CÁC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU
| Dạng 1 : Phương trình chính tắc
Mặt cầu (S) có tâm $I\left( a;b;c \right)$, bán kính $R>0$. |
Dạng 2 : Phương trình tổng quát
$\text{ }(S):\text{ }{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-2ax-2by-2cz+d=0\text{ }$ (2) $\Rightarrow $ Điều kiện để phương trình (2) là phương trình mặt cầu:
|
3. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA MẶT CẦU VÀ MẶT PHẲNG
| Cho mặt cầu $S\left( I;R \right)$ và mặt phẳng $\left( P \right)$. Gọi H là hình chiếu vuông góc của I lên $\left( P \right)$ $\Rightarrow d=IH$ là khoảng cách từ I đến mặt phẳng $\left( P \right)$. Khi đó : | ||
| + Nếu $d>R$ : Mặt cầu và mặt phẳng không có điểm chung. | + Nếu $d=R$ : Mặt phẳng tiếp xúc mặt cầu. Lúc đó: $\left( P \right)$ là mặt phẳng tiếp diện của mặt cầu và H là tiếp điểm. | + Nếu $d<R:$ Mặt phẳng $\left( P \right)$ cắt mặt cầu theo thiết diện là đường tròn có tâm I’ và bán kính $\text{ }r=\sqrt{{{R}^{2}}-I{{H}^{2}}}\text{ }$ |
 |
 |
 |
Lưu ý: Khi mặt phẳng (P) đi qua tâm I thì mặt phẳng (P) được gọi là mặt phẳng kính và thiết diện lúc đó được gọi là đường tròn lớn.
4. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA MẶT CẦU VÀ ĐƯỜNG THẲNG
| Cho mặt cầu $S\left( I;R \right)$ và đường thẳng $\Delta $. Gọi H là hình chiếu của I lên $\Delta $. Khi đó : | ||
| + $IH>R$: $\Delta $ không cắt mặt cầu. | + $IH=R$: $\Delta $ tiếp xúc với mặt cầu. $\Delta $ là tiếp tuyến của (S) và H là tiếp điểm. | + $IH<R$: $\Delta $ cắt mặt cầu tại hai điểm phân biệt. |
 |
 |
 |
* Lưu ý: Trong trường hợp $\Delta $ cắt (S) tại 2 điểm A, B thì bán kính R của (S) được tính như sau:
+ Xác định: 
+ Lúc đó: $\text{ }R=\sqrt{I{{H}^{2}}+A{{H}^{2}}}=\sqrt{I{{H}^{2}}+{{\left( \frac{AB}{2} \right)}^{2}}}\text{ }$
5. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA MẶT CẦU VÀ MẶT PHẲNG
| Cho mặt cầu $\left( S \right):{{\left( xa \right)}^{2}}+{{\left( yb \right)}^{2}}+{{\left( zc \right)}^{2}}={{R}^{2}}$ tâm $I\left( a;b;c \right)$ bán kính R và mặt phẳng $\left( P \right):Ax+By+Cz+D=0$ .
o Nếu $d\left( I,\left( P \right) \right)>R$ thì mp $\left( P \right)$ và mặt cầu $\left( S \right)$ không có điểm chung. o Nếu $d\left( I,\left( P \right) \right)=R$ thì mặt phẳng $\left( P \right)$ và mặt cầu $\left( S \right)$ tiếp xúc nhau. Khi đó (P) gọi là tiếp diện của mặt cầu (S) và điểm chung gọi là tiếp điểm o Nếu $d\left( I,\left( P \right) \right)<R$ thì mặt phẳng $\left( P \right)$ và mặt cầu $\left( S \right)$ cắt nhau theo giao tuyến là đường tròn có phương trình : $\left\{ \begin{align}& {{\left( x-a \right)}^{2}}+{{\left( y-b \right)}^{2}}+{{\left( z-c \right)}^{2}}={{R}^{2}} \\& Ax+By+Cz+D=0 \\\end{align} \right.$ Trong đó bán kính đường tròn $r=\sqrt{{{R}^{2}}-d{{(I,(P))}^{2}}}$và tâm H của đường tròn là hình chiếu của tâm I mặt cầu $\left( S \right)$ lên mặt phẳng $\left( P \right)$.
|
II. BÀI TẬP MẪU
Bài tập 1:
| Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, viết phương trình mặt cầu trong mỗi trường hợp sau:
a) Có đường kính $AB$ với $A\left( 4;\,\,-3;\,\,7 \right),$$B\left( 2;\,\,1;\,\,3 \right)$. b) Có tâm $C\left( 3;-3;1 \right)$ và đi qua điểm $A\left( 5;-2;1 \right)$. c) Có tâm thuộc mặt phẳng $\left( Oxy \right)$ và đi qua 3 điểm $A\left( 1;\,\,1;\,\,1 \right),\text{ }B\left( 2;\,\,-1;\,\,-3 \right),\text{ }C\left( -1;\text{ }0;\,\,2 \right)$. d) Có tâm $A\left( 2;\,\,4;\,\,-5 \right)$ và tiếp xúc với trục $Oz$. |
Lời giải:
a) Có đường kính $AB$ với $A\left( 4;\,\,-3;\,\,7 \right),\text{ }B\left( 2;\,\,1;\,\,3 \right)$.
- Tâm $I$ của mặt cầu là trung điểm của $AB$ $\Rightarrow I\left( 3;-1;5 \right)$.
- Bán kính mặt cầu là $R=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}\sqrt{{{\left( 2-4 \right)}^{2}}+{{\left( 1+3 \right)}^{2}}+{{\left( 3-7 \right)}^{2}}}=3$.
- Vậy phương trình mặt cầu là:${{\left( x3 \right)}^{2}}+{{\left( y+1 \right)}^{2}}+{{\left( z5 \right)}^{2}}=9$.
b) Có tâm $C\left( 3;-3;1 \right)$ và đi qua điểm $A\left( 5;-2;1 \right)$.
- Tâm của mặt cầu là $C\left( 3;-3;1 \right)$.
- Bán kính mặt cầu là $R=CA=\sqrt{{{\left( 5-3 \right)}^{2}}+{{\left( -2+3 \right)}^{2}}+{{\left( 1-1 \right)}^{2}}}=\sqrt{5}$.
- Vậy phương trình mặt cầu là:${{\left( x3 \right)}^{2}}+{{\left( y+3 \right)}^{2}}+{{\left( z1 \right)}^{2}}=5$.
c) Có tâm thuộc mặt phẳng $\left( Oxy \right)$ và đi qua 3 điểm $A\left( 1;\,\,1;\,\,1 \right),\text{ }B\left( 2;\,\,-1;\,\,-3 \right),\text{ }C\left( -1;\text{ }0;\,\,2 \right)$.
- Gọi phương trình mặt cầu dạng:${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}2ax2by2cz+d=0$, ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}-d>0$.
- Mặt cầu có tâm $I\left( a;b;c \right)\in mp\left( Oxy \right)\Rightarrow c=0$ $\left( 1 \right)$.
- Mặt cầu qua 3 điểm $A\left( 1;\,\,1;\,\,1 \right),\text{ }B\left( 2;\,\,-1;\,\,-3 \right),\text{ }C\left( -1;\text{ }0;\,\,2 \right)$, suy ra:$\left\{ \begin{align}& 3-2a-2b-2c+d=0 \\& 14-4a+2b+6c+d=0 \\& 5+2a-4c+d=0 \\\end{align} \right.$ $\left( 2 \right)$
Từ $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$ ta tìm được: $a=\frac{7}{10},b=-\frac{12}{5},c=0,d=-\frac{32}{5}$.
- Vậy PTMC là: ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-\frac{7}{5}x+\frac{24}{5}z-\frac{32}{5}=0$.
d) Có tâm $A\left( 2;\,\,4;\,\,-5 \right)$ và tiếp xúc với trục $Oz$.
- Tâm mặt cầu là $A\left( 2;\,\,4;\,\,-5 \right)$.
- Gọi $H$ là hình chiếu của $A$ lên trục $Oz$ $\Rightarrow H\left( 0;0;-5 \right)$
Bán kính mặt cầu là $R=AH=\sqrt{{{\left( 0-2 \right)}^{2}}+{{\left( 0-4 \right)}^{2}}+{{\left( -5+5 \right)}^{2}}}=\sqrt{20}$
- Vậy PTMC là: ${{\left( x2 \right)}^{2}}+{{\left( y-4 \right)}^{2}}+{{\left( z+5 \right)}^{2}}=20$.
Bài tập 2:
| Viết phương trình mặt cầu (S) biết :
a) (S) qua bốn điểm $A\left( 1;2;-4 \right),\text{ }B\left( 1;-3;1 \right),\text{ }C\left( 2;2;3 \right),\text{ }D\left( 1;0;4 \right)$. b) (S) qua $A\left( 0;8;0 \right),\text{ }B\left( 4;6;2 \right),\text{ }C\left( 0;12;4 \right)$ và có tâm I thuộc mặt phẳng (Oyz). |
Lời giải:
a) Cách 1: Gọi $I\left( x;y;z \right)$ là tâm mặt cầu (S) cần tìm.
Theo giả thiết: $\left\{ \begin{align}& IA=IB \\& IA=IC \\& IA=ID \\\end{align} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& I{{A}^{2}}=I{{B}^{2}} \\& I{{A}^{2}}=I{{C}^{2}} \\& I{{A}^{2}}=I{{D}^{2}} \\\end{align} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& -y+z=-1 \\& x+7z=-2 \\& y-4z=1 \\\end{align} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& x=-2 \\& y=1 \\& z=0 \\\end{align} \right.$.
Do đó: $I\left( -2;1;0 \right)$ và $R=IA=\sqrt{26}$. Vậy (S) : ${{\left( x+2 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}+{{z}^{2}}=26$.
Cách 2: Gọi phương trình mặt cầu (S) : ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-2ax-2by-2cz+d=0$, $\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}-d>0 \right)$.
Do $A\left( 1;2;-4 \right)\in \left( S \right)\Leftrightarrow $ $-2a-4b+8c+d=-21$ (1)
Tương tự: $B\left( 1;-3;1 \right)\in \left( S \right)\Leftrightarrow -2a+6b-2c+d=-11$ (2)
$C\left( 2;2;3 \right)\in \left( S \right)\Leftrightarrow $$-4a-4b-6c+d=-17$ (3)
$D\left( 1;0;4 \right)\in \left( S \right)\Leftrightarrow -2a-8c+d=-17$ (4)
Giải hệ (1), (2), (3), (4) ta có $a,\text{ }b,\text{ }c,\text{ }d$, suy ra phương trình mặt cầu (S) :
${{\left( x+2 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}+{{z}^{2}}=26$.
b) Do tâm I của mặt cầu nằm trên mặt phẳng (Oyz)$\Rightarrow I\left( 0;b;c \right)$.
Ta có: $IA=IB=IC\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& I{{A}^{2}}=I{{B}^{2}} \\& I{{A}^{2}}=I{{C}^{2}} \\\end{align} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& b=7 \\& c=5 \\\end{align} \right.$.
Vậy $I\left( 0;7;5 \right)$ và $R=\sqrt{26}$. Vậy (S): ${{x}^{2}}+{{\left( y-7 \right)}^{2}}+{{\left( z-5 \right)}^{2}}=26.$
Bài tập 3:
| Lập phương trình mặt cầu (S) qua 2 điểm $A\left( 2;6;0 \right),\text{ }B\left( 4;0;8 \right)$ và có tâm thuộc d: $\frac{x-1}{-1}=\frac{y}{2}=\frac{z+5}{1}$. |
Lời giải:
Ta có $d:\left\{ \begin{align}& x=1-t \\& y=2t \\& z=-5+t \\\end{align} \right.$. Gọi $I\left( 1-t;2t;-5+t \right)\in d$ là tâm của mặt cầu (S) cần tìm.
Ta có: $\overrightarrow{IA}=\left( 1+t;6-2t;5-t \right),\text{ }\overrightarrow{IB}=\left( 3+t;-2t;13-t \right)$.
Theo giả thiết, do (S) đi qua A, B$\Leftrightarrow AI=BI$
$\Leftrightarrow \sqrt{{{\left( 1+t \right)}^{2}}+{{\left( 6-2t \right)}^{2}}+{{\left( 5-t \right)}^{2}}}=\sqrt{{{\left( 3+t \right)}^{2}}+4{{t}^{2}}+{{\left( 13-t \right)}^{2}}}$$\Leftrightarrow 62-32t=178-20t\Leftrightarrow 12t=-116\Leftrightarrow t=-\frac{29}{3}$
$\Rightarrow I\left( \frac{32}{3};-\frac{58}{3};-\frac{44}{3} \right)$ và $R=IA=2\sqrt{233}$.
Vậy (S): ${{\left( x-\frac{32}{3} \right)}^{2}}+{{\left( y+\frac{58}{3} \right)}^{2}}+{{\left( z+\frac{44}{3} \right)}^{2}}=932$.
Bài tập 4:
| Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm $I\left( 2;3;-1 \right)$ và cắt đường thẳng $\Delta :\frac{x+1}{1}=\frac{y-1}{-4}=\frac{z}{1}$ tại hai điểm A, B với $AB=16$. |
Lời giải:
Chọn $M\left( -1;1;0 \right)\in \Delta \Rightarrow \overrightarrow{IM}=\left( -3;-2;1 \right)$.
Đường thẳng $\Delta $ có một vectơ chỉ phương là ${{\vec{u}}_{\Delta }}=\left( 1;-4;1 \right)$.
Ta có: $\left[ \overrightarrow{IM},{{{\vec{u}}}_{\Delta }} \right]=\left( 2;4;14 \right)\Rightarrow \text{d}\left( I,\Delta \right)=\frac{\left| \left[ \overrightarrow{IM},{{{\vec{u}}}_{\Delta }} \right] \right|}{\left| {{{\vec{u}}}_{\Delta }} \right|}=2\sqrt{3}$.
Gọi R là bán kính mặt cầu (S). Theo giả thiết : $R=\sqrt{{{\left[ \text{d}\left( I,\Delta \right) \right]}^{2}}+\frac{A{{B}^{2}}}{4}}=2\sqrt{19}.$
Vậy (S): ${{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{\left( y-3 \right)}^{2}}+{{\left( z+1 \right)}^{2}}=76$.
Bài tập 5:
| Cho hai mặt phẳng $\left( P \right)\text{: }5x-4y+z-6=0,\text{ }\left( Q \right):\text{ }2x-y+z+7=0$ và đường thẳng $\Delta :\frac{x-1}{7}=\frac{y}{3}=\frac{z-1}{-2}$. Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I là giao điểm của (P) và $\Delta $ sao cho (Q) cắt (S) theo một hình tròn có diện tích là $20\pi $. |
Lời giải:
Ta có $\Delta :\left\{ \begin{align}& x=1+7t \\& y=3t \\& z=1-2t \\\end{align} \right.$ . Tọa độ I là nghiệm của hệ phương trình: $\left\{ \begin{align}& x=1+7t\text{ (1)} \\& y=3t\text{ (2)} \\& z=1-2t\text{ (3)} \\& 5x-4y+z-6=0\text{ (4)} \\\end{align} \right.$
Thay (1), (2), (3) vào (4) ta có: $5\left( 1+7t \right)-4\left( 3t \right)+\left( 1-2t \right)-6=0\Leftrightarrow t=0\Rightarrow I\left( 1;0;1 \right)$.
Ta có : $d\left( I,\left( Q \right) \right)=\frac{5\sqrt{6}}{3}$.
Gọi r là bán kính đường tròn giao tuyến của (S) và mặt phẳng (Q). Ta có: $20\pi =\pi {{r}^{2}}\Leftrightarrow r=2\sqrt{5}.$
R là bán kính mặt cầu (S) cần tìm.
Theo giả thiết: $R=\sqrt{{{\left[ d\left( I,\left( Q \right) \right) \right]}^{2}}+{{r}^{2}}}=\frac{\sqrt{330}}{3}.$ Vậy (S) : ${{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}+{{\left( z-1 \right)}^{2}}=\frac{110}{3}$.
Bài tập 6:
| Cho mặt phẳng $(P):2x-y-2z-2=0$ và đường thẳng $d:\left\{ \begin{align}& x=-t \\& y=2t-1 \\& z=t+2 \\\end{align} \right.$.
Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I thuộc $d$ và I cách (P) một khoảng bằng 2 và (S) cắt (P) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính bằng 3. |
Lời giải:
Gọi $I\left( -t;2t-1;t+2 \right)\in d:$ là tâm của mặt cầu (S) và R là bán kính của (S).
Theo giả thiết : $R=\sqrt{{{\left[ d\left( I;\left( P \right) \right) \right]}^{2}}+{{r}^{2}}}=\sqrt{4+9}=\sqrt{13}$.
Mặt khác: $d\left( I;\left( P \right) \right)=2\Leftrightarrow \frac{\left| -2t-2t+1-2t-4-2 \right|}{\sqrt{4+1+4}}=2\Leftrightarrow \left| 6t+5 \right|=6\Leftrightarrow \left[ \begin{align}& t=\frac{1}{6} \\& t=-\frac{11}{6} \\\end{align} \right.$
* Với $t=\frac{1}{6}$: Tâm${{I}_{1}}\left( -\frac{1}{6};-\frac{2}{3};\frac{13}{6} \right)$, suy ra $\left( {{S}_{1}} \right):\text{ }{{\left( x+\frac{1}{6} \right)}^{2}}+{{\left( y+\frac{2}{3} \right)}^{2}}+{{\left( z-\frac{13}{6} \right)}^{2}}=13$.
* Với $t=-\frac{11}{6}$: Tâm${{I}_{2}}\left( \frac{11}{6};-\frac{2}{3};\frac{1}{6} \right)$, suy ra $\left( {{S}_{2}} \right):\text{ }{{\left( x-\frac{11}{6} \right)}^{2}}+{{\left( y+\frac{2}{3} \right)}^{2}}+{{\left( z-\frac{1}{6} \right)}^{2}}=13$.
Bài tập 7:
| Cho mặt cầu (S): ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-4x-4y-4z=0$ và điểm $A\left( 4;4;0 \right)$. Viết phương trình mặt phẳng (OAB), biết điểm B thuộc (S) và tam giác OAB đều. |
Lời giải:
(S) có tâm $I\left( 2;2;2 \right),$ bán kính $R=2\sqrt{3}$. Nhận xét: điểm O và A cùng thuộc (S).
Tam giác OAB đều, có bán kính đường tròn ngoại tiếp ${{R}^{/}}=\frac{OA}{\sqrt{3}}=\frac{4\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$.
Khoảng cách : $d\left( I;\left( P \right) \right)=\sqrt{{{R}^{2}}-{{\left( {{R}^{/}} \right)}^{2}}}=\frac{2}{\sqrt{3}}$.
Mặt phẳng (P) đi qua O có phương trình dạng : $ax+by+cz=0\text{ }\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}>0 \right)\text{ }\left( * \right)$
Do (P) đi qua A, suy ra: $4a+4b=0\Leftrightarrow b=-a$.
Lúc đó: $\text{d}\left( I;\left( P \right) \right)=\frac{\left| 2\left( a+b+c \right) \right|}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}}=\frac{\left| 2c \right|}{\sqrt{2{{a}^{2}}+{{c}^{2}}}}\Rightarrow \frac{\left| 2c \right|}{\sqrt{2{{a}^{2}}+{{c}^{2}}}}=\frac{2}{\sqrt{3}}$
$\Rightarrow 2{{a}^{2}}+{{c}^{2}}=3{{c}^{2}}\Rightarrow \left[ \begin{align}& c=a \\& c=-1 \\\end{align} \right.$. Theo (*), suy ra $\left( P \right):x-y+z=0$ hoặc $x-y-z=0.$
Bài tập 8:
| Chứng minh rằng: Mặt cầu $(S):\text{ }{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-2x-3=0$ cắt mặt phẳng (P): $x-2=0$ theo giao tuyến là một đường tròn (C). Xác định tâm và bán kính của (C). |
Lời giải:
* Mặt cầu (S) có tâm $I\left( 1;0;0 \right)$ và bán kính $R=2$.
Ta có : $\text{d}\left( I,\left( P \right) \right)=1<2=R\Leftrightarrow $mặt phẳng (P) cắt (S) theo giao tuyến là 1 đường tròn. (đ.p.c.m)
* Đường thẳng d qua $I\left( 1;0;0 \right)$ và vuông góc với (P) nên nhận ${{\vec{n}}_{P}}=\left( 1;0;0 \right)$ làm 1 vectơ chỉ phương, có phương trình $d:\left\{ \begin{align}& x=1+t \\& y=0 \\& z=0 \\\end{align} \right.$.
+ Tọa độ tâm ${{I}^{/}}$ đường tròn là nghiệm của hệ : $\left\{ \begin{align}& x=1+t \\& y=0 \\& z=0 \\& x-2=0 \\\end{align} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& x=2 \\& y=0 \\& z=0 \\\end{align} \right.$$\Rightarrow {{I}^{/}}\left( 2;0;0 \right)$.
+ Ta có: $d\left( I,\left( P \right) \right)=1$. Gọi r là bán kính của (C), ta có : $r=\sqrt{{{R}^{2}}-{{\left[ d\left( I,\left( P \right) \right) \right]}^{2}}}=\sqrt{3}.$