Trong bài viết ngày hôm nay, Khoa Cử chúng tôi muốn đem đến cho các bạn một dạng toán rất hay trong chương trình toán lớp 11 đó chính là về phương trình lượng giác cơ bản rất đầy đủ và chi tiết cho các bạn tham khảo. Với những thông tin được Khoa cử chúng tôi chia sẽ về các dạng phương trình lượng giác cơ bản lớp 11 cũng như bài tập phương trình lượng giác cơ bản bên dưới đây hy vọng sẽ hỗ trợ cho bạn học tốt môn Toán Đại lớp 11 nhé!
I. LÝ THUYẾT
Để có thể làm được bài tập viết phương trình đường thẳng trong không gian một cách dễ dàng nhất thì chúng ta cần phải nắm vững và thật chắc các công thức cũng như tính chất của dạng này như sau:
1. Công thức lượng giác
Công thức cơ bản: Cung đối nhau
${{\sin }^{2}}x+{{\cos }^{2}}x=1$ $\sin \left( -x \right)=-\sin x$
${{\tan }^{2}}x+1=\frac{1}{{{\cos }^{2}}x}$ $\cos \left( -x \right)=\cos x$
${{\cot }^{2}}x+1=\frac{1}{{{\sin }^{2}}x}$ $\tan \left( -x \right)=-\tan x$
Công thức cộng: Cung bù nhau:
$\sin \left( x\pm y \right)=\sin x\cos y\pm \cos x\sin y$ $\sin x=\sin \left( \pi -x \right)$
$\cos \left( x\pm y \right)=\cos x\cos y\mp \sin x\sin y$ $\cos x=-\cos \left( x-\pi \right)$
$\tan \left( x\pm y \right)=\frac{\tan x\pm \tan y}{1\mp \tan x\tan y}$ $\tan x=\tan \left( x-\pi \right)$
Công thức đặc biệt:
$\sin x+\cos x=\sqrt{2}\sin \left( x+\frac{\pi }{4} \right)=\sqrt{2}\cos \left( x-\frac{\pi }{4} \right)$
$\sin x-\cos x=\sqrt{2}\sin \left( x-\frac{\pi }{4} \right)=-\sqrt{2}\cos \left( x+\frac{\pi }{4} \right)$
Góc nhân đôi: Góc chia đôi:
$\sin 2x=2\sin x\cos x$ ${{\sin }^{2}}x=\frac{1}{2}\left( 1-\cos 2x \right)$
$\cos 2x=2{{\cos }^{2}}x-1=1-2{{\sin }^{2}}x={{\cos }^{2}}x-{{\sin }^{2}}x$ ${{\cos }^{2}}x=\frac{1}{2}\left( 1+\cos 2x \right)$
Góc nhân ba: Góc chia ba:
$\sin 3x=3\sin x-4{{\sin }^{3}}x$ ${{\sin }^{3}}x=\frac{1}{4}\left( 3\sin x-\sin 3x \right)$
$\cos 3x=4{{\cos }^{3}}x-3\cos x$ ${{\cos }^{3}}x=\frac{1}{4}\left( 3\cos x+\cos 3x \right)$
$\tan 3x=\frac{3\tan x-{{\tan }^{3}}x}{1-3{{\tan }^{2}}x}$
Biến đổi tích thành tổng: Biến đổi tổng thành tích:
$\cos x\cos y=\frac{1}{2}\left[ \cos \left( x-y \right)+\cos \left( x+y \right) \right]$ $\cos x+\cos y=2\cos \frac{x+y}{2}\cos \frac{x-y}{2}$
$\sin x\sin y=\frac{1}{2}\left[ \cos \left( x-y \right)-\cos \left( x+y \right) \right]$ $\cos x-\cos y=-2\sin \frac{x+y}{2}\sin \frac{x-y}{2}$
$\sin x\cos y=\frac{1}{2}\left[ \sin \left( x-y \right)+\sin \left( x+y \right) \right]$ $\sin x+\sin y=2\sin \frac{x+y}{2}\cos \frac{x-y}{2}$
$\sin x-\sin y=2\cos \frac{x+y}{2}\sin \frac{x-y}{2}$
2. Lý Thuyết Trọng Tâm:
Phương trình $\sin x=m,\,\,\,\,\,\left| m \right|\le 1$
Nếu $m$ biểu diễn được dưới dạng $\sin $ của những góc đặc biệt thì:
$\sin x=m\Leftrightarrow \sin x=\sin \alpha \Leftrightarrow \left[ \begin{align}& x=\alpha +k2\pi \\& x=\pi -\alpha +k2\pi \\\end{align} \right.,k\in \mathbb{Z}$
Nếu $m$ không biểu diễn được dưới dạng $\sin $ của những góc đặc biệt thì:
$\sin x=m\Leftrightarrow \left[ \begin{align}& x=\arcsin m+k2\pi \\& x=\pi -\arcsin m+k2\pi \\\end{align} \right.,k\in \mathbb{Z}$
Các trường hợp đặc biệt:
- $\sin x=-1\Leftrightarrow x=-\frac{\pi }{2}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$
- $\sin x=0\Leftrightarrow x=k\pi ,k\in \mathbb{Z}$
- $\sin x=1\Leftrightarrow x=\frac{\pi }{2}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$
Phương trình $\cos x=m,\,\,\,\,\left| m \right|\le 1$
Nếu $m$ biểu diễn được dưới dạng $\cos in$ của những góc đặc biệt thì:
$\cos x=m\Leftrightarrow \cos x=\cos \alpha \Leftrightarrow \left[ \begin{align}& x=\alpha +k2\pi \\& x=-\alpha +k2\pi \\\end{align} \right.,k\in \mathbb{Z}$
Nếu $m$ không biểu diễn được dưới dạng $\cos in$ của những góc đặc biệt thì:
$\cos x=m\Leftrightarrow \left[ \begin{align}& x=\operatorname{arc}cosm+k2\pi \\& x=\operatorname{arc}cosm+k2\pi \\\end{align} \right.,k\in \mathbb{Z}$
Các trường hợp đặc biệt:
- $\cos x=-1\Leftrightarrow x=\pi +k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$
- $\cos x=0\Leftrightarrow x=\frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$
- $\cos x=1\Leftrightarrow x=k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$
Phương trình: $\tan x=m.$ Điều kiện: $x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$
Nếu m biểu diễn được dưới dạng tang của những góc đặc biệt thì:
$\tan x=\tan m\Leftrightarrow \tan x=\tan \alpha \Leftrightarrow x=\alpha +k\pi ,k\in \mathbb{Z}$
Nếu m không biểu diễn được dưới dạng tang của những góc đặc biệt thì:
$\tan x=m\Leftrightarrow x=\arctan m+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$
Phương trình: $\cot x=m.$ Điều kiện: $x\ne k\pi ,k\in \mathbb{Z}$
Nếu m biểu diễn được dưới dạng tang của những góc đặc biệt thì:
$\cot x=\cot m\Leftrightarrow \cot x=\cot \alpha \Leftrightarrow x=\alpha +k\pi ,k\in \mathbb{Z}$
Nếu m không biểu diễn được dưới dạng tang của những góc đặc biệt thì:
$\cot x=m\Leftrightarrow x=\operatorname{arc}\cot m+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$
II. BÀI TẬP MẪU
Khi đã nắm chắc được các lý thuyết liên quan đến các dạng phương trình đường thẳng trong không gian thì chúng ta cần phải làm thêm một số bài tập viết phương trình đường thẳng trong không gian để có thể hiểu rõ hơn chương hình học không gian này ngay bên dưới đây:
DẠNG 1. GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN
Bài tập 1: Giải các phương trình sau
a) $\sin \left( \frac{x}{2}-\frac{\pi }{3} \right)=-\frac{\sqrt{3}}{4}$
b) $\sin \left( 3x-{{30}^{\circ }} \right)=\sin {{45}^{\circ }}$
c) $\sin \left( 3x-\frac{3\pi }{4} \right)=\sin \left( \frac{\pi }{6}-x \right)$
d) $\sin \left( 4x-\frac{\pi }{3} \right)=0$ e)$\cos \left( -x+\frac{\pi }{3} \right)=1$
f) $\cos \left( 5x-\frac{\pi }{3} \right)=\sin \left( \frac{7\pi }{4}-2x \right)$
g) $\cos \left( 2x+{{25}^{\circ }} \right)=-\frac{\sqrt{2}}{2}$ h)$\cos \left( \frac{\pi }{6}-2x \right)=-\frac{1}{4}$
Lời giải
a) $\sin \left( \frac{x}{2}-\frac{\pi }{3} \right)=-\frac{\sqrt{3}}{4}$ đặt $\sin t=-\frac{\sqrt{3}}{4}$ $\Rightarrow \sin \left( \frac{x}{2}-\frac{\pi }{3} \right)=\sin t\Rightarrow \left[ \begin{matrix}\frac{x}{2}-\frac{\pi }{3}=t+k2\pi \\\frac{x}{2}-\frac{\pi }{3}=\pi -t+k2\pi \\\end{matrix}\Leftrightarrow \right.\left[ \begin{matrix}x=\frac{2\pi }{3}+2t+k4\pi \\x=\frac{8\pi }{3}-2t+k4\pi \\\end{matrix} \right.$
b) $\sin \left( 3x-{{30}^{\circ }} \right)=\sin {{45}^{\circ }}\Rightarrow \left[ \begin{matrix}3x-{{30}^{\circ }}={{45}^{\circ }}+k{{360}^{\circ }} \\3x-{{30}^{\circ }}=180-{{45}^{\circ }}+k{{360}^{\circ }} \\\end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}x={{25}^{\circ }}+k{{120}^{\circ }} \\x={{55}^{\circ }}+k{{120}^{\circ }} \\\end{matrix} \right.$
c) $\sin \left( 3x-\frac{3\pi }{4} \right)=\sin \left( \frac{\pi }{6}-x \right)\Rightarrow \left[ \begin{matrix}3x-\frac{3\pi }{4}=\frac{\pi }{6}-x+k2\pi \\3x-\frac{3\pi }{4}=\pi -\left( \frac{\pi }{6}-x \right)+k2\pi \\\end{matrix} \right.\Rightarrow \left[ \begin{matrix}x=\frac{11\pi }{48}+\frac{k\pi }{2} \\x=\frac{19\pi }{24}+k\pi \\\end{matrix} \right.$d) $\sin \left( 4x-\frac{\pi }{3} \right)=0\Rightarrow 4x-\frac{\pi }{3}=k\pi \Rightarrow x=\frac{\pi }{12}+\frac{k\pi }{4}$e) $\cos \left( -x+\frac{\pi }{3} \right)=1\Rightarrow -x+\frac{\pi }{3}=k2\pi \Rightarrow x=\frac{\pi }{3}-k2\pi $
f) $\begin{align}& \cos \left( 5x-\frac{\pi }{3} \right)=\sin \left( \frac{7\pi }{4}-2x \right)\Rightarrow \cos \left( 5x-\frac{\pi }{3} \right)=\sin \left( \frac{\pi }{2}-\left( 5x-\frac{\pi }{3} \right) \right)=\sin \left( \frac{5\pi }{6}-5x \right) \\& \Rightarrow \sin \left( \frac{5\pi }{6}-5x \right)=\sin \left( \frac{7\pi }{4}-2x \right)\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}\frac{5\pi }{6}-5x=\frac{7\pi }{4}-2x+k2\pi \\\frac{5\pi }{6}-5x=\pi -\left( \frac{7\pi }{4}-2x \right)+k2\pi \\\end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}x=-\frac{11\pi }{36}-\frac{k2\pi }{3} \\x=\frac{19\pi }{84}-\frac{k2\pi }{7} \\\end{matrix} \right. \\\end{align}$
g) $\begin{align}& \cos \left( 2x+{{25}^{\circ }} \right)=-\frac{\sqrt{2}}{2}\Rightarrow \cos \left( 2x+{{25}^{\circ }} \right)=\cos {{135}^{\circ }} \\& \Rightarrow \left[ \begin{matrix}2x+{{25}^{\circ }}={{135}^{\circ }}+k{{360}^{\circ }} \\2x+{{25}^{\circ }}=-{{135}^{\circ }}+k{{360}^{\circ }} \\\end{matrix} \right.\Rightarrow \left[ \begin{matrix}x={{55}^{\circ }}+k{{180}^{\circ }} \\x=-{{80}^{\circ }}+k{{180}^{\circ }} \\\end{matrix} \right. \\\end{align}$
h) $\cos \left( \frac{\pi }{6}-2x \right)=-\frac{1}{4};\cos t=-\frac{1}{4}\Rightarrow \cos \left( \frac{\pi }{6}-2x \right)=\cos t\Rightarrow \left[ \begin{matrix}\frac{\pi }{6}-2x=t+k2\pi \\\frac{\pi }{6}-2x=-t+k2\pi \\\end{matrix} \right.\Rightarrow \left[ \begin{matrix}x=\frac{\pi }{12}-\frac{t}{2}-k\pi \\x=\frac{\pi }{12}+\frac{t}{2}-k\pi \\\end{matrix} \right.$
Bài tập 2: Giải các phương trình sau
a) $\tan \left( 2x-1 \right)=\tan \left( -x+\frac{\pi }{3} \right)$
b) $\tan \left( 3x-{{10}^{\circ }} \right)=\sqrt{3}$
c) $3\tan \left( 3x+\frac{\pi }{6} \right)=-1$
d) $\cot \left( 2x-\frac{\pi }{3} \right)=1$
e) $2\cot \left( 3x \right)=3$
f) $\cot \left( x+\frac{\pi }{3} \right)=\cot \left( -2x+\frac{\pi }{6} \right)$
Lời giải
a) $\tan \left( 2x-1 \right)=\tan \left( -x+\frac{\pi }{3} \right)\Leftrightarrow 2x-1=-x+\frac{\pi }{3}+k\pi \Leftrightarrow x=\frac{1}{3}+\frac{\pi }{9}+\frac{k\pi }{3}$
b) $\tan \left( 3x-{{10}^{\circ }} \right)=\sqrt{3}\Rightarrow \tan \left( 3x-{{10}^{\circ }} \right)=\tan {{60}^{\circ }}\Rightarrow 3x-{{10}^{\circ }}={{60}^{\circ }}+k{{180}^{\circ }}\Leftrightarrow x=\frac{{{70}^{\circ }}}{3}+k{{60}^{\circ }}$
c) $3\tan \left( 3x+\frac{\pi }{6} \right)=-1\Leftrightarrow \tan \left( 3x+\frac{\pi }{6} \right)=-\frac{1}{3}=\tan t\Leftrightarrow 3x+\frac{\pi }{6}=t+k\pi \Rightarrow x=-\frac{\pi }{18}+\frac{t}{3}+\frac{k\pi }{3}$
d) $\cot \left( 2x-\frac{\pi }{3} \right)=1\Rightarrow \cot \left( 2x-\frac{\pi }{3} \right)=\cot \frac{\pi }{4}\Rightarrow 2x-\frac{\pi }{3}=\frac{\pi }{4}+k\pi \Rightarrow x=\frac{7\pi }{24}+\frac{k\pi }{2}$
e) $2\cot \left( 3x \right)=3\Rightarrow \cot \left( 3x \right)=\frac{3}{2}$ đặt $\cot t=\frac{3}{2}\Rightarrow \cot \left( 3x \right)=\cot t\Rightarrow 3x=t+k\pi \Rightarrow x=\frac{t}{3}+\frac{k\pi }{3}$
f) $\cot \left( x+\frac{\pi }{3} \right)=\cot \left( -2x+\frac{\pi }{6} \right)\Rightarrow x+\frac{\pi }{3}=-2x+\frac{\pi }{6}+k\pi \Leftrightarrow x=-\frac{\pi }{6}+\frac{k\pi }{3}$
DẠNG 2. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN CÓ ĐIỀU KIỆN NGHIỆM
Bài tập 1: Tìm nghiệm thuộc khoảng $\left( -\frac{\pi }{4};2\pi \right)$
a) $\sin \left( \frac{\pi }{6}+2x \right)=-1$
b) $\cos \left( 2x+\frac{\pi }{3} \right)=\cos \left( x-\frac{\pi }{3} \right)$
c)$\tan \left( 3x-\frac{\pi }{4} \right)=\tan \left( x+\frac{\pi }{6} \right)$
Lời giải
Tìm nghiệm thuộc khoảng $\left( -\frac{\pi }{4};2\pi \right)$
a) $\sin \left( \frac{\pi }{6}+2x \right)=-1\Leftrightarrow \frac{\pi }{6}+2x=-\frac{\pi }{2}+k2\pi \Leftrightarrow x=-\frac{\pi }{3}+k\pi $
$-\frac{\pi }{4}<-\frac{\pi }{3}+k\pi <2\pi \Rightarrow k=1;2\Rightarrow x=\frac{2\pi }{3};\frac{5\pi }{3}.$
b) $\cos \left( 2x+\frac{\pi }{3} \right)=\cos \left( x-\frac{\pi }{3} \right)\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}2x+\frac{\pi }{3}=x-\frac{\pi }{3}+k2\pi \\2x+\frac{\pi }{3}=-x+\frac{\pi }{3}+k2\pi \\\end{matrix} \right.$$\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}x=-\frac{2\pi }{3}+k2\pi \\x=\frac{k2\pi }{3} \\\end{matrix} \right.$Với $x\in \left( -\frac{\pi }{4};2\pi \right)\Rightarrow \left[ \begin{matrix}k=1\Rightarrow x=\frac{4\pi }{3} \\k=0;1;2\Rightarrow x=0;\frac{2\pi }{3};\frac{4\pi }{3} \\\end{matrix} \right.$
c)$\tan \left( 3x-\frac{\pi }{4} \right)=\tan \left( x+\frac{\pi }{6} \right)\Leftrightarrow 3x-\frac{\pi }{4}=x+\frac{\pi }{6}+k\pi \Leftrightarrow x=\frac{5\pi }{24}+\frac{k\pi }{2}$
$-\frac{\pi }{4}<\frac{5\pi }{24}+\frac{k\pi }{2}<2\pi \Rightarrow k=0;1;2;3\Rightarrow x=\left\{ \frac{5\pi }{24};\frac{17\pi }{24};\frac{29\pi }{24};\frac{41\pi }{24} \right\}$
Bài tập 2: Tìm nghiệm thuộc khoảng $\left[ -\pi ;\pi \right]$
a)$\cot \left( -x+\frac{3\pi }{4} \right)=0$
b) $2\sin \left( x+\frac{\pi }{6} \right)=\sqrt{2}$
c)$\tan \left( -x \right)=\tan \left( 2x+1 \right)$
Lời giải
Tìm nghiệm thuộc khoảng $\left[ -\pi ;\pi \right]$
a) $\begin{align}& \cot \left( -x+\frac{3\pi }{4} \right)=0\Leftrightarrow -x+\frac{3\pi }{4}=\frac{\pi }{2}+k\pi \Leftrightarrow x=\frac{\pi }{4}-k\pi \\& x\in \left[ -\pi ;\pi \right]\Rightarrow k=0;1\Rightarrow x=\frac{\pi }{4};-\frac{3\pi }{4} \\\end{align}$
b) $2\sin \left( x+\frac{\pi }{6} \right)=\sqrt{2}\Leftrightarrow \sin \left( x+\frac{\pi }{6} \right)=\frac{\sqrt{2}}{2}=\sin \frac{\pi }{4}\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}x+\frac{\pi }{6}=\frac{\pi }{4}+k2\pi \\x+\frac{\pi }{6}=\pi -\frac{\pi }{4}+k2\pi \\\end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}x=\frac{\pi }{12}+k2\pi \\x=\frac{7\pi }{12}+k2\pi \\\end{matrix} \right.$ $x\in \left[ -\pi ;\pi \right]\Rightarrow \left[ \begin{matrix}k=0\Rightarrow x=\frac{\pi }{12} \\k=0\Rightarrow x=\frac{7\pi }{12} \\\end{matrix} \right.$
c) $\tan \left( -x \right)=\tan \left( 2x+1 \right)\Leftrightarrow -x=2x+1+k\pi \Leftrightarrow x=-\frac{1}{3}-\frac{k\pi }{3}$
$x\in \left[ -\pi ;\pi \right]\Rightarrow k=-3;-2;-1;0;1;2\Rightarrow x=\left\{ -\frac{1}{3}+\pi ;-\frac{1}{3}+\frac{2\pi }{3};-\frac{1}{3}+\frac{2\pi }{3};-\frac{1}{3}+\frac{\pi }{3};-\frac{1}{3};-\frac{1}{3}-\frac{\pi }{3};-\frac{1}{3}-\frac{2\pi }{3}; \right\}$
DẠNG 3. SỬ DỤNG CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI ĐƯA VỀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN
Bài tập 1: Giải các phương trình sau:
a) $\cos \,x+\cos \,2x+\cos \,3x=0$
b) $8\sin \,2x.\cos \,2x.\cos \,4x=\sqrt{2}$
c) $\cos \,3x-\cos \,5x=\sin \,x$
d) $\sin \,7x-\sin \,3x=\cos \,5x$
Lời giải
a) $\cos \,x+\cos \,2x+\cos \,3x=0$$\Leftrightarrow 2\cos \,\left( \frac{x+3x}{2} \right).\cos \,\left( \frac{x-3x}{2} \right)+\cos \,2x=0$$\Leftrightarrow 2\cos \,2x.\cos \,x+\cos \,2x=0$ $\Leftrightarrow \cos \,2x\left( 2\cos \,x+1 \right)=0$$\Leftrightarrow \left[ \begin{align}& \cos \,2x=0 \\& \cos \,x=\frac{1}{2} \\\end{align} \right.$$\Leftrightarrow \left[ \begin{align}& x=\frac{\pi }{4}+k\frac{\pi }{2} \\& x=\frac{2\pi }{3}+k2\pi \\& x=-\frac{2\pi }{3}+k2\pi \\\end{align} \right.$
b) $8\sin \,2x.\cos \,2x.\cos \,4x=\sqrt{2}$$\Leftrightarrow 4\sin \,4x.\cos \,4x=\sqrt{2}$$\Leftrightarrow \sin \,8x=\frac{\sqrt{2}}{2}\Leftrightarrow \left[ \begin{align}& 8x=\frac{\pi }{4}+k2\pi \\& 8x=\frac{3\pi }{4}+k2\pi \\\end{align} \right.$$\Leftrightarrow \left[ \begin{align}& x=\frac{\pi }{32}+k\frac{\pi }{4} \\&x=\frac{3\pi }{32}+k\frac{\pi }{4} \\\end{align} \right.$
c) $\cos \,3x-\cos \,5x=\sin \,x$$\begin{align}& \Leftrightarrow -2\sin \,\left( \frac{3x+5x}{2} \right).\sin \,\left( \frac{3x-5x}{2} \right)=\sin \,x \\& \Leftrightarrow -2\sin \,4x\sin \,\left( -x \right)=\sin \,x \\& \Leftrightarrow \sin \,x\left( 2\sin \,4x-1 \right)=0 \\\end{align}$$\Leftrightarrow \left[ \begin{align}& \sin \,x=0 \\& \sin \,4x=\frac{1}{2} \\\end{align} \right.$$\Leftrightarrow \left[ \begin{align}& x=k\pi \\& x=\frac{\pi }{24}+k\frac{\pi }{2} \\& x=\frac{5\pi }{24}+k\frac{\pi }{2} \\\end{align} \right.$
d) $\sin \,7x-\sin \,3x=\cos \,5x$$\begin{align}& \Leftrightarrow 2\cos \,5x\sin \,5x=\cos \,5x \\& \Leftrightarrow \cos \,5x\left( 2\sin \,2x-1 \right)=0 \\\end{align}$$\Leftrightarrow \left[ \begin{align}& \cos \,5x=0 \\& \sin \,2x=\frac{1}{2} \\\end{align} \right.$$\Leftrightarrow \left[ \begin{align}& x=\frac{\pi }{10}+k\frac{\pi }{5} \\& x=\frac{\pi }{12}+k\pi \\& x=\frac{5\pi }{6}+k\pi \\\end{align} \right.$
Bài tập 2: Giải các phương trình sau:
a) $\cot \left( \frac{5\pi }{3}-3x \right)-\tan \left( 2x+\frac{\pi }{3} \right)=0$
b) $\cot x.\cot 2x=-1$
Lời giải
a) ĐK: $\left\{ \begin{align}& \sin \,\left( \frac{5\pi }{3}-3x \right)\ne 0 \\ & \cos \,\left( 2x+\frac{\pi }{3} \right)\ne 0 \\\end{align} \right.$$\cot \left( \frac{5\pi }{3}-3x \right)-\tan \left( 2x+\frac{\pi }{3} \right)=0$ $\Leftrightarrow \tan \left( \frac{\pi }{2}-\frac{5\pi }{3}+3x \right)=\tan \left( 2x+\frac{\pi }{3} \right)$$\Leftrightarrow -\frac{7\pi }{6}+3x=\frac{\pi }{3}+2x+k\pi \Leftrightarrow x=\frac{3\pi }{2}+k\pi $ (thỏa đk)
b) ĐK: $\left\{ \begin{align}& \sin \,x\ne 0 \\& \sin \,2x\ne 0 \\\end{align} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& x\ne k\pi \\& x\ne k\frac{\pi }{2} \\\end{align} \right.$$\cot x.\cot 2x=-1\Leftrightarrow \cot 2x=-\tan x=\tan \left( -x \right)$$\Leftrightarrow \cot 2x=\cot \left( \frac{\pi }{2}+x \right)\Leftrightarrow x=\frac{\pi }{2}+k\pi $ không thoat điều kiện nên PT vô nghiệm.
Như vậy bên trên là tất cả những thông tin cần thiết về lý thuyết cũng như bài bài tập về phương trình lượng giác cơ bản mà các bạn không nên bỏ qua. Nếu như bạn có thắc mắc hay cần hỗ trợ thì đừng ngần ngại mà không liên hệ ngay với chúng tôi để nhận được sự trợ giúp sớm nhất nhé!