Lý thuyết và bài tập về phép vị tự

Trong bài viết ngày hôm nay, Khoa Cử chúng tôi muốn đem đến cho các bạn một dạng toán rất hay trong chương trình toán lớp 11 đó chính là về lý thuyết bài tập của phép vị tự lớp 11 rất đầy đủ và chi tiết cho các bạn tham khảo. Với những thông tin được Khoa cử chúng tôi chia sẽ về công thức phép vị tự cũng như tìm ảnh của đường tròn qua phép vị tự hay tìm ảnh của đường thẳng qua phép vị tự lớp 11 có lời giải bên dưới đây hy vọng sẽ hỗ trợ cho bạn học tốt môn Toán Hình Học lớp 11 nhé!

I. LÝ THUYẾT VỀ PHÉP VỊ TỰ

Để có thể làm được lý thuyết bài tập như phép vị tự đường tròn hay phép vị tự tâm o cũng như biểu thức tọa độ của phép vị tự một cách dễ dàng nhất thì chúng ta cần phải nắm vững và thật chắc các công thức cũng như tính chất về phép vị tự là gì của dạng này như sau:

1. Định nghĩa:

Cho điểm I và số thực $k\ne 0$, phép biến hình biến M thành M’ sao cho: $\overrightarrow{\operatorname{I}M’}=k\overrightarrow{IM}$ gọi là phép vị tự tâm I, tỷ số k. Kí hiệu:${{V}_{(I,k)}}$

${{V}_{(I,k)}}:M\mapsto M’\Leftrightarrow \overrightarrow{IM}=k\overrightarrow{IM’}(k\ne 0)$

2. Tính chất:

${{V}_{(I,k)}}\left( M \right)=M’,{{V}_{(I,k)}}\left( N \right)=N’\Rightarrow \overrightarrow{M’N’}=k\overrightarrow{MN}$

Phép vị tự biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng.

Phép vị tự biến tam giác thành tam giác.

Phép vị tự không làm thay đổi vị trí các điểm.

Phép vị tự biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó

Phép vị tự biến đường tròn thành đường tròn có bán kính $R’=\left| k \right|R$

Phép vị tự biến góc thành góc bằng nó.

Phép vị tự biến tia thành tia.

tìm ảnh của đường thẳng qua phép vị tự

3. Biểu thức toạ độ

Cho $I(a;b)$

${{V}_{(I,k)}}:M\mapsto M’$. Khi đó: $\left\{ \begin{align}& x’=kx+(1-k)a \\& y’=ky+\left( 1-k \right)b \\\end{align} \right.$

II. BÀI TẬP MẪU

Khi đã nắm chắc được các lý thuyết liên quan đến các dạng của chuyên đề phép vị tự tâm i tỉ số k lớp 11 thì chúng ta cần phải làm thêm một số bài tập về giáo án phép vị tự cũng như biểu thức tọa độ của phép vị tự có lời giải để có thể hiểu rõ hơn chương này ngay bên dưới đây:

DẠNG 1. KHAI THÁC ĐỊNH NGHĨA, TÍNH CHẤT VÀ ỨNG DỤNG CỦA PHÉP VỊ TỰ:

Bài tập 1: Cho tam giác $ABC$ có hai góc $B$ và $C$ nhọn. Dựng hình chữ nhật $DEFG$ có $EF=2DE$ với hai đỉnh $D,E$ nằm trên $BC$ và hai đỉnh $F,G$ lần lượt nằm trên $AB,AC$.

Lời giải:

công thức phép vị tự

Giả sử đã dựng được hình chữ nhật $DEFG$ thỏa mãn điều kiện đề bài (hình 1). Khi đó từ một điểm ${G}’$ tùy ý trên đoạn thẳng $AB$ ta dựng hình chữ nhật ${D}'{E}'{F}'{G}’$ có ${E}'{F}’=2{D}'{E}’$, hai đỉnh ${D}’,{E}’$ nằm trên $BC$. Ta có:

$\frac{BG}{B{G}’}=\frac{GD}{{G}'{D}’}=\frac{2GF}{2{G}'{F}’}=\frac{GF}{{G}'{F}’}$. Do đó $B,F,{F}’$ thẳng hàng.

Từ đó có thể xem hình chữ nhật $DEFG$ là ảnh của hình chữ nhật ${D}'{E}'{F}'{G}’$ theo phép vị tự tâm $B$ tỉ số $\frac{BG}{B{G}’}$. Từ đó ta có cách dựng:

Lấy điểm ${G}’$ tùy ý trên cạnh $AB$

Dựng hình chữ nhật ${D}'{E}'{F}'{G}’$ có ${E}'{F}’=2{D}'{E}’$ hai đỉnh ${D}’,{E}’$ nằm trên $BC$.

Đường thẳng $B{F}’$ cắt cạnh $AC$ tại $F$. Đường thẳng qua $F$ song song với $BC$ cắt

cạnh $AB$ tại $G$. Gọi $D,E$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $F,G$ trên đường

thẳng $BC$.

Ta sẽ chứng minh $DEFG$ là hình chữ nhật cần dựng:

Thật vậy, vì $GF\text{//}{G}'{F}’,GD\text{//}{G}'{D}’$ nên $\frac{GF}{{G}'{F}’}=\frac{BG}{{B}'{G}’}=\frac{GD}{{G}'{D}’}$. Từ đó suy ra

$\frac{GD}{GF}=\frac{{G}'{D}’}{{G}'{F}’}=2$. Do đó hình chữ nhật $DEFG$là hình cần dựng.

Bài tập 2: Cho tam giác $ABC$ có ba góc nhọn. Hãy dựng hình vuông $MNPQ$, sao cho $M,N$ lần lượt nằm trên cạnh $AB,AC$ và $P,Q$ nằm trên cạnh $BC$.

Lời giải:

tìm ảnh của đường tròn qua phép vị tự

Giả sử đã dựng được hình vuông $MNPQ$ thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Xét phép vị tự tâm $A$ tỉ số $k=\frac{AB}{AM}$.

Qua phép vị tự tâm $A$ tỉ số $k$ thì các điểm $M,N,P,Q$ lần lượt biến thành $B,C,{P}’,{Q}’$ (hình 2). Ta có:$MQ\text{//}B{Q}’\Rightarrow \frac{MN}{BC}=\frac{AM}{AB}=\frac{MQ}{B{Q}’}$, mà $MN=MQ\Rightarrow BC=B{Q}’$.

Tương tự ta có $BC=C{P}’$. Do đó tứ giác $BC{P}'{Q}’$ là hình vuông.

Ta dựng được $BC{P}'{Q}’$ nên dựng được hai điểm $P,Q$. Vậy dựng được hình vuông $MNPQ$.

Cách dựng:

Dựng hình vuông $BC{P}'{Q}’$ về phía ngoài tam giác $ABC$.

Dựng $P={{V}_{\left( A,K \right)}}\left( {{P}’} \right),Q={{V}_{\left( A,K \right)}}\left( {{Q}’} \right),M={{V}_{\left( A,K \right)}}\left( {{B}’} \right),N={{V}_{\left( A,K \right)}}\left( {{C}’} \right)$ với ${k}’=\frac{1}{k}$.

Ta được tứ giác $MNPQ$là hình vuông cần dựng.

Chứng minh

Ta có tứ giác $MNPQ$ là ảnh của tứ giác $BC{P}'{Q}’$ qua ${{V}_{\left( A,K \right)}}$, mà tứ giác $BC{P}'{Q}’$ là hình vuông nên tứ giác $MNPQ$ là hình vuông.

Bài toán có một nghiệm hình.

Bài tập 3: Cho nữa đường tròn đường kính $AB$. Hãy dựng hình vuông có hai đỉnh nằm trên nữa đường tròn, hai đỉnh còn lại nằm trên đường kính $AB$.

Lời giải:

phép vị tự là gì

Gọi $O$ trung điểm của $AB$. Giả sử dựng được hình vuông $MNPQ$ với $M,N$ thuộc đường kính $AB$; $P,Q$ thuộc nữa đường tròn. Khi đó $O$ phải là trung điểm của $MN$. Nếu lấy h́ình vuông ${M}'{N}'{P}'{Q}’$ sao cho ${M}’,{N}’$ thuộc $AB,O$ là trung điểm của ${M}'{N}’$, thì dễ thấy $\frac{OM}{O{M}’}=\frac{ON}{O{N}’}=\frac{OP}{O{P}’}=\frac{OQ}{O{Q}’}$.

Từ đó suy ra hình vuông $MNPQ$ là ảnh của hình vuông ${M}'{N}'{P}'{Q}’$ qua phép vị tự tâm $O$, suy ra $O,P,{P}’$ và $O,Q,{Q}’$ thẳng hàng. Vậy ta có cách dựng:

Dựng hình vuông ${M}'{N}'{P}'{Q}’$ nằm trong nữa hình tròn sao cho ${M}'{N}’$ thuộc $AB$ và $O$ là trung điểm của ${M}'{N}’$. Tia $O{P}’$ cắt nữa đường tròn tại $P$; tia $O{Q}’$ cắt nữa đường tròn tại $Q$.

Khi đó dễ thấy tứ giác $MNPQ$là hình vuông cần dựng.

Bài tập 4: Cho đường tròn $\left( O \right)$ với dây cung $PQ$. Dựng hình vuông $ABCD$ có hai đỉnh $A,B$ nằm trên đường thẳng $PQ$ và hai đỉnh $C,D$ nằm trên đường tròn.

Lời giải

phép vị tự đường tròn

Giả sử đã dựng được hình vuông $ABCD$ thỏa mãn điều kiện của bài toán. Gọi $I$ là trung điểm của đoạn thẳng $PQ$ thì $OI$ là đường trung trực của $PQ$ nên cũng là đường trung trực của $DC$ và do đó cũng là đường trung trực của $AB$. Từ đó suy ra, nếu dựng hình vuông $PQMN$ thì có phép vị tự tâm $I$ biến hình vuông $PQMN$ thành hình vuông $ABCD$.

Cách dựng

Dựng hình vuông $PQMN$. Lấy giao điểm $C$ và ${C}’$ của đường thẳng $IM$ và đường tròn, lấy giao điểm $D$ và ${D}’$ của $IN$ và đường tròn (ta kí hiệu sao cho hai điểm $C,D$ nằm về một phía đối với đường thẳng $PQ$ ). Gọi các điểm $B,A,{B}’,{A}’$ lần lượt là hình chiếu của các điểm $C,D,{C}’,{D}’$ trên đường thẳng $PQ$. Ta được các hình vuông $ABCD$ và ${A}'{B}'{C}'{D}’$ thỏa mãn điều kiện của bài toán.

Bài tập 5: Cho tam giác $ABC$. Gọi ${A}’,{B}’,{C}’$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $BC,CA,AB$. Gọi $I,G,H$ lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp, trọng tâm và trực tâm của tam giác $ABC$.

a) Chứng minh $I$ là trực tâm của tam giác ${A}'{B}'{C}’$.

b) Tìm ảnh của ${A}'{B}'{C}’$ qua phép vị tự tâm $G$ tỉ số $k=-2$.

c) Chứng minh $\overrightarrow{GH}=-2\overrightarrow{GI}$ (Như vậy khi ba điểm $G,H,I$ không trùng nhau thì chúng nằm trên một đường thẳng, đường thẳng này gọi là đường thẳng Ơ – le).

d) Gọi ${I}’$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ${A}'{B}'{C}’$. Chứng minh ${I}’$ là trung điểm của $IH$.

Lời giải

phép vị tự tâm o

a) Ta có $\left\{ \begin{matrix}I{A}’\bot BC  \\BC\text{//}{B}'{C}’  \\\end{matrix} \right.\Rightarrow I{A}’\bot {B}'{C}’$ $\left( 1 \right)$.

Tương tự ta có $I{B}’\bot {A}'{C}’$ $\left( 2 \right)$.

Từ $\left( 1 \right)\And \left( 2 \right)$ suy ra $I$ là trực tâm của tam giác ${A}'{B}'{C}’$.

b) Ta có:

$\overrightarrow{GA}=-2\overrightarrow{G{A}’}\Rightarrow {{V}_{\left( G,-2 \right)}}\left( {{A}’} \right)=A$

$\overrightarrow{GB}=-2\overrightarrow{G{B}’}\Rightarrow {{V}_{\left( G,-2 \right)}}\left( {{B}’} \right)=B$

$\overrightarrow{GC}=-2\overrightarrow{G{C}’}\Rightarrow {{V}_{\left( G,-2 \right)}}\left( {{C}’} \right)=C$

$\overrightarrow{GD}=-2\overrightarrow{G{D}’}\Rightarrow {{V}_{\left( G,-2 \right)}}\left( {{D}’} \right)=D$

Vậy $\Delta ABC={{V}_{\left( G,-2 \right)}}\left( \Delta {A}'{B}'{C}’ \right)$

c) Theo câu b) $\Delta ABC={{V}_{\left( G,-2 \right)}}\left( \Delta {A}'{B}'{C}’ \right)$, mà $I,H$ lần lượt là trực tâm của $\Delta {A}'{B}'{C}’$ và $\Delta ABC$, nên ${{V}_{\left( G,-2 \right)}}\left( I \right)=H\Rightarrow \overrightarrow{GH}=-2\overrightarrow{GI}$.

d) Theo câu b) $\Delta ABC={{V}_{\left( G,-2 \right)}}\left( \Delta {A}'{B}'{C}’ \right)$, mà ${I}’,I$ lần lượt là tâm của đường tròn ngoại tiếp $\Delta {A}'{B}'{C}’$ và $\Delta ABC$, nên ${{V}_{\left( G,-2 \right)}}\left( {{I}’} \right)=I\Rightarrow \overrightarrow{GI}=-2\overrightarrow{G{I}’}$.

Mà $\overrightarrow{GH}=-2\overrightarrow{GI}\Rightarrow \overrightarrow{GH}+\overrightarrow{GI}=-\overrightarrow{GI}\Rightarrow \overrightarrow{GH}-2\overrightarrow{G{I}’}=-\overrightarrow{GI}$.

$\Rightarrow \overrightarrow{GH}-\overrightarrow{G{I}’}=\overrightarrow{G{I}’}-\overrightarrow{GI}\Rightarrow \overrightarrow{{I}’H}=\overrightarrow{I{I}’}\Rightarrow {I}’$ là trung điểm của $IH$.

DẠNG 2. TÌM ẢNH CỦA MỘT ĐIỂM HOẶC HÌNH QUA PHÉP VỊ TỰ BẰNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ:

Bài tập 1: Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn (C ): ${{\left( x-3 \right)}^{2}}+{{\left( y+1 \right)}^{2}}=9$. Hãy viết phương trình đường tròn $(C’)$ là ảnh của đường tròn $(C)$ qua phép vị tự tâm $I(1;2)$ tỉ số $k=-2$.

Lời giải

Đường tròn$(C)$ có tâm $K\left( 3;-1 \right)$ bán kính $R=3$. Gọi $K'(x’;y’)$là tâm và ${R}’$ là bán kính của $(C’)$, với $(C’)$ là ảnh của $(C)$ qua phép vị tự tâm $I$ tỉ số $k=-2$. Ta có tọa độ của ${K}’$ thỏa mãn biểu thực tọa độ của phép vị tự:

$\left\{ \begin{align}& \overrightarrow{IK’}=-2\overrightarrow{IK} \\& R’=\left| -2 \right|R \\\end{align} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& x’-1=-2\left( x-1 \right) \\& y’-2=-2\left( y-2 \right) \\& R’=2R \\\end{align} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& x’-1=-2\left( 3-1 \right) \\& y’-2=-2\left( -1-2 \right) \\& R’=2.3=6 \\\end{align} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& x’=-3 \\& y’=8 \\& R’=6 \\\end{align} \right.$$\Rightarrow K’\left( -3;8 \right)$

Vậy (C’): $\Leftrightarrow {{\left( x+3 \right)}^{2}}+{{\left( y-6 \right)}^{2}}=36$

Bài tập 2: Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ cho một phép biến hình $T$ biến điểm $M\left( x;y \right)$ thành $M’\left( x’;y’ \right)$ xác định bởi biểu thức tọa độ sau đây: $\left\{ \begin{align}& x’=3x-4 \\& y’=3y-2 \\\end{align} \right.$

a) Chứng minh $T$ là một phép vị tự.

b) Tìm ảnh $(C’)$của đường tròn $\left( C \right):{{x}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}=1$ qua phép biến hình $T$.

Lời giải

Gọi $I$ là điểm biến hình chính nó qua phép biến hình đã cho. Ta có $\left\{ \begin{align}& x’=x \\& y’=y \\\end{align} \right.$ nên$\left\{ \begin{align}& x=3x-4 \\& y=3y-4 \\\end{align} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& x=2 \\& y=1 \\\end{align} \right.$

Vậy điểm $I\left( 2;1 \right)$ biến thành chính nó là tâm vị tự.

Ta có $\overrightarrow{IM}=\left( x-2;y-1 \right);\overrightarrow{IM’}=\left( x’-2;y’-1 \right)=\left( 3x-6;3y-3 \right)=3\left( x-2;y-1 \right)$

$\Rightarrow \overrightarrow{IM’}=3\overrightarrow{IM}$. Vậy T là phép vị tự tâm $I\left( 2;1 \right)$ tỉ số $k=3$.

b) Từ $\left\{ \begin{align}& x’=3x-4 \\& y’=3y-2 \\\end{align} \right.$$\Rightarrow \left\{ \begin{align}& x=\frac{1}{3}\left( x’+4 \right) \\& y=\frac{1}{3}\left( y+2 \right) \\\end{align} \right.$, thay vào $\left( C \right):{{x}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}=1$ ta được:

$\frac{1}{9}{{\left( x’+4 \right)}^{2}}+{{\left( \frac{1}{3}y’-\frac{1}{3} \right)}^{2}}=1\Leftrightarrow {{\left( x’+4 \right)}^{2}}+{{\left( y’-1 \right)}^{2}}=9$

Vậy phương trình $\left( C’ \right):{{\left( x+4 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}=9$.

Bài tập 3: Trong mặt phẳng tọa độ cho đường thẳng $d:3x+2y-6=0$. Hãy viết phương trình của đường thẳng d’ là ảnh của đường thẳng d qua phép vị tự tâm $I\left( 1;2 \right)$ tỉ số vị tự $k=-2$?

Lời giải

Gọi $M(x;y)\in d\Leftrightarrow 3x+2y-6=0$ (1).

Gọi $M'(x’;y’)$ là ảnh của M qua phép vị tự tâm I tỉ số $k=-2$:

$\Leftrightarrow \overrightarrow{IM’}=-2\overrightarrow{IM}\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& x’-1=-2\left( x-1 \right) \\& y’-2=-2\left( y-2 \right) \\\end{align} \right.$$\Rightarrow \left\{ \begin{align}& x=\frac{x’-1}{-2}+1=\frac{x’-3}{-2} \\& y=\frac{y’-2}{-2}+2=\frac{y’-6}{-2} \\\end{align} \right.$.

Do đó $\left( 1 \right)\Leftrightarrow ~3\left( \frac{x’-3}{-2} \right)+2\left( \frac{y’-6}{-2} \right)-6=0\Leftrightarrow 3\text{x}’+2y’-9=0$

$\Leftrightarrow M’\in d’:\Leftrightarrow 3\text{x}’+2y’-9=0$

Do vậy ảnh của đường thẳng d qua phép vị tự là $d’:3\text{x}+2y-9=0$

Bài tập 4: Trong mặt phẳng $Oxy,$cho đường tròn $(C):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}-6x+4y-12=0.$ Tìm phương trình đường tròn$(C’)$ là ảnh của $(C)$ qua phép vị tự tâm $I(2;1)$ tỉ số $k=-\frac{1}{2}$.

Lời giải

$(C)$ có tâm $A(3;-2),$ bán kính $R=5$

$(C’)$ có tâm$A'(x’;y’),$ bán kính $R’=\frac{5}{2}$

Vì $A’$ là ảnh của $A$ qua phép vị tự tâm$I,$ tỉ số $k=-\frac{1}{2}$ $\Rightarrow \overrightarrow{IA’}=\frac{-1}{2}\overrightarrow{IA}$

$\overrightarrow{IA’}=(x’-2;y’-1);\,\,\overrightarrow{IA}=(1;-3)$

$\Rightarrow A’\left( \frac{3}{2};\frac{5}{2} \right)$$\Rightarrow (C’):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}-3x-5y+\frac{9}{4}=0$

Như vậy bên trên là tất cả những thông tin cần thiết về lý thuyết cũng như công thức phép vị tự lớp 11 có lời giải mà các bạn không nên bỏ qua. Nếu như bạn có thắc mắc hay cần hỗ trợ về giáo án phép vị tự có lời giải thì đừng ngần ngại mà không liên hệ ngay với chúng tôi để nhận được sự trợ giúp sớm nhất nhé!