Trong bài viết ngày hôm nay, Khoa Cử chúng tôi muốn đem đến cho các bạn một dạng toán rất hay trong chương trình toán lớp 11 đó chính là về lý thuyết của định nghĩa, ý nghĩa và bản chất của phép biến hình trong mặt phẳng lớp 11 rất đầy đủ và chi tiết cho các bạn tham khảo. Với những thông tin được Khoa cử chúng tôi chia sẽ về chuyên đề phép biến hình cũng như các dạng bài tập các phép biến hình trong mặt phẳng có lời giải bên dưới đây hy vọng sẽ hỗ trợ cho bạn học tốt môn Hình Học lớp 11 nhé!
I. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM
Để có thể làm được các dạng bài tập liên quan đến các phép biến hình lớp 11 một cách dễ dàng nhất thì chúng ta cần phải nắm vững và thật chắc các định nghĩa, ý nghĩa và bản chất của dạng này như sau:
1. Khái niệm
– Cho $\overrightarrow{v}=\left( a;\,b \right)$ và điểm $M\left( {{x}_{0}};\,{{y}_{0}} \right)$. Phép biến hình biến điểm $M$ thành ${M}’$ sao cho $\overrightarrow{v}=\overrightarrow{M{M}’}$ gọi là phép tịnh tiến theo $\overrightarrow{v}$, kí hiệu là ${{T}_{\overrightarrow{v}}}$.
${{T}_{\overrightarrow{v}}}\left( M \right)={M}’\Leftrightarrow \overrightarrow{v}=\overrightarrow{M{M}’}$
2. Tính chất
– ${{T}_{\overrightarrow{v}}}\left( M \right)={M}’$, ${{T}_{\overrightarrow{v}}}\left( N \right)={N}’\Leftrightarrow \overrightarrow{{M}'{N}’}=\overrightarrow{MN}$
– Biến điểm thành điểm, đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó, đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng, biến đường tròn thành đường tròn cùng bán kính.
3. Biểu thức tọa độ
– ${{T}_{\overrightarrow{v}}}:\,M\left( x;\,y \right)\to {M}’\left( {x}’;\,{y}’ \right)$. Khi đó: $\left\{ \begin{align}& {x}’=x+a \\& {y}’=y+b \\\end{align} \right.$.
II. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
Khi đã nắm chắc được các lý thuyết liên quan đến các dạng của chuyên đề phép biến hình trong mặt phẳng lớp 11 thì chúng ta cần phải làm thêm một số bài tập của các dạng các phép biến hình trong mặt phẳng lớp 11 có lời giải để có thể hiểu rõ hơn chương này ngay bên dưới đây:
DẠNG 1. CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN LÝ THUYẾT ĐỊNH NGHĨA, TÍNH CHẤT, ỨNG DỤNG CỦA PHÉP TỊNH TIẾN
Bài tập 1: Cho đường tròn tâm $O$ và bán kính $R$ không đổi đi qua một điểm cố định $A$. Đường kính $MN$ của đường tròn có phương không đổi. Tìm tập hợp các điểm $M,N$.
Lời giải
Ta có $\overrightarrow{OM}$ và $\overrightarrow{ON}$ có phương không đổi và $\left| \overrightarrow{OM} \right|=\left| \overrightarrow{ON} \right|=R$.
Lấy điểm ${A}’,{{A}’}’$ sao cho $\overrightarrow{A{A}’}=\overrightarrow{OM},\,\overrightarrow{A{{A}’}’}=\overrightarrow{ON}$
$\Rightarrow \overrightarrow{A{A}’},\,\overrightarrow{A{{A}’}’}$ cố định.
Ta có phép tịnh tiến ${{T}_{\overrightarrow{A{A}’}}}:\,O\mapsto M$
${{T}_{\overrightarrow{A{{A}’}’}}}:\,\,O\mapsto N$
Mặt khác quỹ tích điểm O là đường tròn $\left( A;R \right)$
Suy ra: quỹ tích điểm $M$ là đường tròn $\left( {{A}’} \right)$ là ảnh của $\left( A \right)$ qua phép tịnh tiến ${{T}_{\overrightarrow{A{A}’}}}$, quỹ tích điểm $N$ là đường tròn $\left( {{{A}’}’} \right)$ là ảnh của $\left( A \right)$ qua phép tịnh tiến ${{T}_{\overrightarrow{A{{A}’}’}}}$ .
Bài tập 2: Cho tam giác $ABC$. Dựng đường thẳng $d$ song song với $BC$, cắt hai cạnh $AB,AC$ lần lượt tại $M,N$ sao cho $AM=CN$.
Lời giải
Phân tích: Giả sử đã dựng được đường thẳng $d$ thỏa mãn bài toán. Từ $M$ dựng đường thẳng song song với $AC$ cắt $BC$ tại $P$, khi đó $MNCP$ là hình bình hành nên $CN=PM$. Lại có $AM=CN$ suy ra $MP=MA$, từ đó ta có $AP$ là phân giác trong của góc $A$.
Cách dựng:
– Dựng phân giác trong $AP$ của góc $A$
– Dựng đường thẳng đi qua $P$ song song với $AC$ cắt $AB$ tại $M$
– Dựng ảnh $N={{T}_{\overrightarrow{PM}}}\left( C \right)$.
Đường thẳng $MN$ chính là đường thẳng thỏa yêu cầu bài toán.
Chứng minh: Từ cách dựng ta có $MNCP$ là hình bình hành suy ra $MN\parallel BC$ và $CN=PM$, ta có $\widehat{MAP}\text{= }\widehat{CAP}=\widehat{APM}\Rightarrow \Delta MAP$ cân tại $M$$\Rightarrow AM=MP$.
Vậy $AM=CN$
Biện luận: Bài toán có một nghiệm hình
Bài tập 3: Cho tam giác $ABC$ có đỉnh $A$ cố định, $\widehat{BAC}=\alpha $ không đổi và $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{v}$ không đổi. Tìm tập hợp các điểm $B,C$.
Lời giải
Gọi $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$, khi đó theo định lí sin ta có $\frac{BC}{\sin \alpha }=2R$ không đổi (do $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{v}$ không đổi).
Vậy $OA=R=\frac{BC}{2\sin \alpha }$, nên $O$ di động trên đường tròn tâm $A$ bán kính $AO=\frac{BC}{2\sin \alpha }$. Ta có $OB=OC=R$ không đổi và $\widehat{BOC}=2\alpha $ không đổi suy ra $\widehat{OBC}=\widehat{OCB}=\frac{{{180}^{0}}-2\alpha }{2}$ không đổi.
Mặt khác $\overrightarrow{BC}$ có phương không đổi nên $\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OC}$ cũng có phương không đổi.
Đặt $\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{{{v}_{1}}},\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{{{v}_{2}}}$ không đổi, thì ${{T}_{\overrightarrow{{{v}_{1}}}}}\left( O \right)=B,{{T}_{\overrightarrow{{{v}_{2}}}}}\left( O \right)=C$.
Vậy tập hợp điểm $B$ là đường tròn $\left( {{A}_{1}};\frac{BC}{2\sin \alpha } \right)$ ảnh của $\left( A,\frac{BC}{2\sin \alpha } \right)$ qua ${{T}_{\overrightarrow{{{v}_{1}}}}}$, và tập hợp điểm $C$ là đường tròn $\left( {{A}_{2}};\frac{BC}{2\sin \alpha } \right)$ ảnh của $\left( A,\frac{BC}{2\sin \alpha } \right)$ qua ${{T}_{\overrightarrow{{{v}_{2}}}}}$.
Bài tập 4: Cho hai điểm cố định $B,C$ trên đường tròn $\left( O \right)$ và một điểm $A$ thay đổi trên đường tròn đó. Tìm quĩ tích trực tâm $H$của $\Delta ABC$.
Lời giải
– Nếu $BC$ là đường kính thì trực tâm $H$ của tam giác $\Delta ABC$ chính là $A$. Vậy H nằm trên đường tròn $\left( O;R \right)$.
– Nếu $BC$ không là đường kính. Vẽ đường kính BB’ của đường tròn.
Ta có $\overrightarrow{AH}=\overrightarrow{B’C}$ ( do tứ giác $AHCB$ là hình bình hành)
Mà $\overrightarrow{B’C}$ cố định. Vậy ta có phép tịnh tiến ${{T}_{\overrightarrow{B’C}}}$: biến $A$ thành $H$. Do đó $A$ chạy trên đường tròn
$\left( O;R \right)\Leftrightarrow H$chạy t rên đường tròn $\left( O’;R \right),\,O’$được xác định $\overrightarrow{OO’}=\overrightarrow{B’C}$.
Vậy quĩ tích điểm $H$ là đường tròn tâm $\left( O’;R \right)$là ảnh của đường tròn $\left( O;R \right)$qua phép tịnh tiến ${{T}_{\overrightarrow{B’C}}}$.
DẠNG 2. XÁC ĐỊNH ẢNH CỦA MỘT ĐIỂM HOẶC MỘT HÌNH QUA PHÉP TỊNH TIẾN BẰNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ
Bài tập 1: Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho $\overrightarrow{v}=\left( 1;-3 \right)$và đường thẳng $d$ có phương trình $2x-3y+5=0$. Viết phương trình đường thẳng $d’$ là ảnh của $d$ qua phép tịnh tiến${{T}_{\overrightarrow{v}}}$.
Lời giải
Cách 1. Sử dụng biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến.
Lấy điểm $M\left( x;y \right)$ tùy ý thuộc $d$, ta có $2x-3y+5=0\text{ }\left( * \right)$
Gọi $M’\left( x’;y’ \right)={{T}_{\overrightarrow{v}}}\left( M \right)\Rightarrow \left\{ \begin{align}& x’=x+1 \\& y’=y-3 \\\end{align} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& x=x’-1 \\& y=y’+3 \\\end{align} \right.$
Thay vào (*) ta được phương trình $2\left( x’-1 \right)-3\left( y’+3 \right)+5=0\Leftrightarrow 2x’-3y’-6=0$.
Vậy ảnh của $d$ là đường thẳng $d’:2x-3y-6=0$.
Cách 2. Sử dụng tính chất của phép tịnh tiến
Do $d’={{T}_{\overrightarrow{v}}}\left( d \right)$ nên $d’$ song song hoặc trùng với $d$, vì vậy phương trình đường thẳng $d’$ có dạng $2x-3y+c=0$.(**)
Lấy điểm $M\left( -1;1 \right)\in d$. Khi đó $M’={{T}_{\overrightarrow{v}}}\left( M \right)=\left( -1+1;1-3 \right)=\left( 0;-2 \right)$.
Do $M’\in d’\Rightarrow 2.0-3.\left( -2 \right)+c=0\Leftrightarrow c=-6$
Vậy ảnh của $d$ là đường thẳng $d’:2x-3y-6=0$.
Cách 3. Để viết phương trình $d’$ ta lấy hai điểm phân biệt $M,N$ thuộc $d$, tìm tọa độ các ảnh $M’,N’$ tương ứng của chúng qua ${{T}_{\overrightarrow{v}}}$. Khi đó $d’$ đi qua hai điểm $M’$ và $N’$.
Cụ thể: Lấy $M\left( -1;1 \right),N\left( 2;3 \right)$ thuộc $d$, khi đó tọa độ các ảnh tương ứng là $M’\left( 0;-2 \right),N’\left( 3;0 \right)$. Do $d’$ đi qua hai điểm $M’,N’$ nên có phương trình $\frac{x-0}{3}=\frac{y+2}{2}\Leftrightarrow 2x-3y-6=0$.
Bài tập 2: Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho đường tròn $\left( C \right)$ có phương trình ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+2x-4y-4=0$. Tìm ảnh của $\left( C \right)$ qua phép tịnh tiến theo vectơ $\overrightarrow{v}=\left( 2;-3 \right)$.
Lời giải
Cách 1. Sử dụng biểu thức tọa độ.
Lấy điểm $M\left( x;y \right)$ tùy ý thuộc đường tròn $\left( C \right)$, ta có ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+2x-4y-4=0\text{ }\left( * \right)$
Gọi $M’\left( x’;y’ \right)={{T}_{\overrightarrow{v}}}\left( M \right)\Rightarrow \left\{ \begin{align}& x’=x+2 \\& y’=y-3 \\\end{align} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& x=x’-2 \\& y=y’+3 \\\end{align} \right.$
Thay vào phương trình (*) ta được
${{\left( x’-2 \right)}^{2}}+{{\left( y’+3 \right)}^{2}}+2\left( x’-2 \right)-4\left( y’+3 \right)-4=0$ $\Leftrightarrow x{{‘}^{2}}+y{{‘}^{2}}-2x’+2y’-7=0$
Vậy ảnh của $\left( C \right)$ là đường tròn$\left( C’ \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2x+2y-7=0$.
Cách 2. Sử dụng tính chất của phép tịnh tiến
Dễ thấy $\left( C \right)$ có tâm $I\left( -1;2 \right)$ và bán kính $r=3$.
Gọi $\left( C’ \right)={{T}_{\overrightarrow{v}}}\left( \left( C \right) \right)$ và $I’\left( x’;y’ \right);r’$ là tâm và bán kính của $(C’)$.
Ta có $\left\{ \begin{align}& x’=-1+2=1 \\& y’=2-3=-1 \\\end{align} \right.\Rightarrow I’\left( 1;-1 \right)$ và $r’=r=3$
nên phương trình của đường tròn $\left( C’ \right)$ là ${{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y+1 \right)}^{2}}=9$
Bài tập 3: Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$,cho đường thẳng $d:3x+y-9=0$. Tìm phép tịnh tiến theo vec tơ $\overrightarrow{v}$ có giá song song với $Oy$ biến $d$ thành $d’$ đi qua điểm $A\left( 1;1 \right)$.
Lời giải
$\overrightarrow{v}$ có giá song song với $Oy$ nên $\overrightarrow{v}=\left( 0;k \right),\left( k\ne 0 \right)$.
Lấy $M\left( x;y \right)\in d\Rightarrow 3x+y-9=0\text{ }\left( * \right)$.
Gọi $M’\left( x’;y’ \right)={{T}_{\overrightarrow{v}}}\left( M \right)\Rightarrow \left\{ \begin{align}& x’=x \\& y’=y+k \\\end{align} \right.$ thay vào $\left( * \right)\Rightarrow 3x’+y’-k-9=0$
Hay ${{T}_{\overrightarrow{v}}}\left( d \right)=d’:3x+y-k-9=0$, mà $d$ đi qua $A\left( 1;1 \right)\Rightarrow k=-5$.
Vậy $\overrightarrow{v}=\left( 0;-5 \right)$.
Bài tập 4: Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho đường hai thẳng $d:2x-3y+3=0$ và $d’:2x-3y-5=0$. Tìm tọa độ $\overrightarrow{v}$ có phương vuông góc với $d$ để ${{T}_{\overrightarrow{v}}}\left( d \right)=d’$.
Lời giải
Đặt $\overrightarrow{v}=\left( a;b \right)$, lấy điểm $M\left( x;y \right)$tùy ý thuộc $d$, ta có $d:2x-3y+3=0\text{ }\left( * \right)$
Gọi sử $M’\left( x’;y’ \right)={{T}_{\overrightarrow{v}}}\left( M \right)$.
Ta có $\left\{ \begin{align}& x’=x+a \\& y’=y+b \\\end{align} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& x=x’-a \\& y=y’-b \\\end{align} \right.$, thay vào (*) ta được phương trình
$2x’-3y’-2a+3b+3=0$.
Từ giả thiết suy ra $-2a+3b+3=-5\Leftrightarrow 2a-3b=-8$.
Vec tơ pháp tuyến của đường thẳng $d$ là $\overrightarrow{n}=\left( 2;-3 \right)$suy ra VTCP $\overrightarrow{u}=\left( 3;2 \right)$.
Do $\overrightarrow{v}\bot \overrightarrow{u}\Rightarrow \overrightarrow{v}.\overrightarrow{u}=3a+2b=0$.
Ta có hệ phương trình $\left\{ \begin{align}& 2a-3b=-8 \\& 3a+2b=0 \\\end{align} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& a=-\frac{16}{13} \\& b=\frac{24}{13} \\\end{align} \right.$.
Như vậy bên trên là tất cả những thông tin cần thiết của lý thuyết và các dạng toán về chuyên đề phép biến hình trong mặt phẳng lớp 11 có lời giải mà các bạn không nên bỏ qua. Nếu như bạn có thắc mắc hay cần hỗ trợ về các phép biến hình trong mặt phẳng lớp 11 thì đừng ngần ngại mà không liên hệ ngay với chúng tôi để nhận được sự trợ giúp sớm nhất nhé!