Trong bài viết ngày hôm nay, Khoa Cử chúng tôi muốn đem đến cho các bạn một dạng toán rất hay trong chương trình toán lớp 11 đó chính là về phép thử và biến cố rất đầy đủ và chi tiết cho các bạn tham khảo. Với những thông tin được Khoa cử chúng tôi chia sẽ về giáo án phép thử và biến cố cũng như các bài giảng phép thử và biến cố bên dưới đây hy vọng sẽ hỗ trợ cho bạn học tốt môn Toán Đại lớp 11 nhé!
I. LÝ THUYẾT VỀ PHÉP THỬ VÀ BIẾN CỐ
Để có thể làm được các dạng bài tập về phép thử và biến cố một cách dễ dàng nhất thì chúng ta cần phải nắm vững và thật chắc các công thức cũng như tính chất của dạng này như sau:
Ví dụ:
Gieo 1 con súc sắc, số chấm xuất hiện
Tung đồng xu: sấp và ngửa
Số tự nhiên có 2 chữ số nhỏ hơn 20
1. PHÉP THỬ NGẪU NHIÊN:
Là 1 phép thử hay 1 hành động hay 1 thí nghiệm.
Kết quả không đoán trước được.
Có thể xác định được tập hợp các kết quả xảy ra của phép thử đó.
Phép thử ký hiệu là $T$.
Không gian mẫu là tập hợp tất cả các kết quả của phép thử, ký hiệu là: $\Omega $
Số phần tử trong không gian mẫu ký hiệu là: $\left| \Omega \right|$
2. BIẾN CỐ:
Biến cố liên quan tới phép thử $T$ là biến cố mà việc xảy ra hay không xảy ra $A$ phụ thuộc vào kết quả của phép thử $T$.
Mỗi kết quả của phép thử $T$ làm cho $A$ xảy ra thì gọi là một kết quả thuận lợi cho A.
Tập hợp các kết quả thuận lợi cho A được ký hiệu là: $\Omega _{A}^{{}}$
Số phần tử trong $\Omega _{A}^{{}}$ ký hiệu là: $\left| \Omega _{A}^{{}} \right|$
(Biến cố chắc chắn là biến cố chắc chắn xảy ra khi thực hiện phép thử $T$, là không gian mẫu. Biến cố không thể là biến cố không thể xảy ra khi thực hiện phép thử $T$, là biến cố rỗng.)
Xem thêm: Tổng hợp đầy đủ lý thuyết và bài tập chuyên đề tổ hợp xác suất
II. BÀI TẬP MẪU VỀ PHÉP THỬ VÀ BIẾN CỐ
Khi đã nắm chắc được các lý thuyết liên quan đến các dạng của phép thử và biến cố lớp 11 thì chúng ta cần phải làm thêm một số dạng bài tập về phép thử và biến cố lớp 11 để có thể hiểu rõ hơn chương tổ hợp, chỉnh hợp và xác suất này ngay bên dưới đây:
Bài tập 1: Tính số cách chọn các biến cố sau
Một hộp đựng $15$ viên bi khác nhau gồm $4$ bi đỏ, $5$ bi trắng và $6$ bi vàng. Tính số cách chọn $4$ viên bi từ hộp đó sao cho không có đủ $3$ màu.
Giải
+ Trường hợp 1: chọn $4$ bi đỏ hoặc trắng có $C_{9}^{4}=126$ cách.
+ Trường hợp 2: chọn $4$ bi đỏ và vàng hoặc $4$ bi vàng có $C_{10}^{4}-C_{4}^{4}=209$ cách.
+ Trường hợp 3: chọn $4$ bi trắng và vàng có $C_{11}^{4}-C_{5}^{4}+C_{6}^{4}=310$ cách.
Vậy có $126+209+310=645$ cách.
Cách khác:
+ Loại 1: chọn tùy ý $4$ trong $15$ viên bi có $C_{15}^{4}=1365$ cách.
+ Loại 2: chọn đủ cả $3$ màu có $720$ cách bao gồm các trường hợp sau:
– Chọn $2$ bi đỏ, $1$ bi trắng và $1$ bi vàng có $180$ cách.
– Chọn $1$ bi đỏ, $2$ bi trắng và $1$ bi vàng có $240$ cách.
– Chọn $1$ bi đỏ, $1$ bi trắng và $2$ bi vàng có $300$ cách.
Bài tập 2: Tính xác suất của các biến cố sau
Gieo ngẫu nhiên một con súc sắc cân đối đồng chất hai lần. Tính xác suất của các biến cố sau:
a. Biến cố $A$: “Trong hai lần gieo ít nhất một lần xuất hiện mặt một chấm”
b. Biến cố $B$: “Trong hai lần giao tổng số chấm trong hai lần giao là một số nhỏ hơn $11$”
Giải
+ Không gian mẫu
$\Omega =\left\{ \left( i,j \right)|i,j\in \left\{ 1,2,…,6 \right\} \right\}\Rightarrow n\left( \Omega \right)=6.6=36$
a. Ta có biến cố đối
$\bar{A}=\left\{ \left( i,j \right)|i,j\in \left\{ 2,…,6 \right\} \right\}\Rightarrow n\left( {\bar{A}} \right)=25$
$P\left( {\bar{A}} \right)=\frac{n\left( {\bar{A}} \right)}{n\left( \Omega \right)}=\frac{25}{36}\Rightarrow P\left( A \right)=1-P\left( {\bar{A}} \right)=\frac{11}{36}$
b. Ta có:
$\bar{B}=\left\{ \left( i,j \right)|i,j\in \left\{ 12,…,6 \right\},i+j\ge 11 \right\}\Rightarrow \bar{B}=\left\{ \left( 5,6 \right);\left( 6,5 \right);\left( 6,6 \right) \right\}$
$\Rightarrow n\left( {\bar{B}} \right)=3\Rightarrow P\left( {\bar{B}} \right)=\frac{n\left( {\bar{B}} \right)}{n\left( \Omega \right)}=\frac{3}{36}=\frac{1}{12}\Rightarrow P\left( B \right)=1-P\left( {\bar{B}} \right)=\frac{11}{12}$
Bài tập 3: Tính xác suất các biến cố sau
Trong hòm có $10$ chi tiết, trong đó có $2$ chi tiết hỏng. Tìm xác suất để khi lấy ngẫu nhiên $6$ chi tiết thì có không quá $1$ chi tiết hỏng.
Giải
+ Số cách lấy ra $6$ chi tiết từ $10$ chi tiết là $C_{10}^{6}$
$\Rightarrow n\left( \Omega \right)=C_{10}^{6}=210$
+ Gọi ${{A}_{1}}$ là biến cố “Trong $6$ chi tiết lấy ra không có chi tiết nào hỏng”
${{A}_{2}}$ là biến cố “Trong $6$ chi tiết lấy ra có 1 chi tiết hỏng”
$A$ là biến cố “Trong $6$ chi tiết lấy ra có không quá 1 chi tiết hỏng”
+ Khi đó $A={{A}_{1}}\cup {{A}_{2}}$. Do ${{A}_{1}}$ và ${{A}_{2}}$ xung khắc nhau nên
$P\left( A \right)=P\left( {{A}_{1}} \right)+P\left( {{A}_{2}} \right)$
+ Có $8$ chi tiết không bị hỏng nên
$n\left( {{A}_{1}} \right)=C_{8}^{6}=28$
+ Số cách lấy $5$ chi tiết từ $8$ chi tiết KHÔNG bị hỏng là $C_{8}^{5}$
+ Số cách lấy $1$ chi tiết từ $2$ chi tiết hỏng là $C_{2}^{1}$
+ Theo quy tắc nhân ta có
$n\left( {{A}_{2}} \right)=C_{8}^{5}.C_{2}^{1}=112$
+ Do vậy ta có:
$P\left( {{A}_{1}} \right)=\frac{n\left( {{A}_{1}} \right)}{n\left( \Omega \right)}=\frac{28}{210}=\frac{2}{15}$
$P\left( {{A}_{2}} \right)=\frac{n\left( {{A}_{2}} \right)}{n\left( \Omega \right)}=\frac{112}{210}=\frac{8}{15}$
$\Rightarrow P\left( A \right)=P\left( {{A}_{1}} \right)+P\left( {{A}_{2}} \right)=\frac{8}{15}+\frac{2}{15}=\frac{2}{3}$
Bài tập 4: Tính số tập hợp con của X
Tính số tập hợp con của $X=\left\{ 0;1;2;3;4;5;6 \right\}$ chưa $1$ mà không chứa $0$.
Giải
+ Số tập hợp con không chưa phần tử nào của $X$ \ $0$;$1$ là $C_{5}^{0}$.
+ Số tập hợp con chứa $1$ phần tử của $X$ \$0$;$1$ là $C_{5}^{1}$.
+ Số tập hợp con chứa $2$ phần tử của $X$ \$0$;$1$ là $C_{5}^{2}$.
+ Số tập hợp con chứa $3$ phần tử của $X$ \$0$;$1$ là $C_{5}^{3}$.
+ Số tập hợp con chứa $4$ phần tử của $X$ \$0$;$1$ là $C_{5}^{4}$.
+ Số tập hợp con chứa $5$ phần tử của $X$ \$0$;$1$ là $C_{5}^{5}$.
Suy ra số tập hợp con của $X$ \$0$;$1$ là $C_{5}^{0}+C_{5}^{1}+C_{5}^{2}+C_{5}^{3}+C_{5}^{4}+C_{5}^{5}=32$. Ta hợp các tập hợp con này với $\left\{ 1 \right\}$ thì được $32$ tập hợp thỏa bài toán.
Bài tập 5: Tính xác suất để số đó là
Cho các số $0,1,2,3,4,5,6,7,8,9.$ Gọi X là tập hợp các số tự nhiên có $5$chữ số khác nhau. Lấy ngẫu nhiên ra $1$số. Tính xác suất để số đó là:
a. Số lẻ b. Số đó chia hết cho 10 c. Số đó lớn hơn D. $59.000$
Bài giải:
Số các số tự nhiên lẻ có $5$ chữ số là: $9.9.8.7.6=27216$
a. $A=$ “số lẻ có $5$chữ số”
Để là số lẻ thì chữ số cuối cùng phải là các số $1,3,5,7,9.$Như vậy có $5$cách chọn chữ số cuối cùng.
Số các số là số lẻ khác nhau có $5$chữ số:$8.8.7.6.5=13440.$
$\Rightarrow P\left( A \right)=\frac{13440}{27216}=\frac{40}{81}$
b. $B=$”Số có $5$chữ số khác nhau chia hết cho 10”
$\Rightarrow n\left( B \right)=9.8.7.6=3024$
$\Rightarrow P\left( B \right)=\frac{9.8.7.6}{9.9.8.7.6}=\frac{1}{9}$
c. $C=$ “Số có $5$chữ số khác nhau lớn hơn $59000$”
gọi số có $5$ chữ số khác nhau lớn hơn $59000$ là:$\overline{abcde}$ khi đó
nếu $a=5$thì $b=9$còn $c$có $8$ cách chọn,$d$ có $7$cách chọn,$e$ có $6$cách chọn
$\Rightarrow $ có $8.7.6=366$ cách chọn
Nếu $a>5\Rightarrow a$có $4$ cách chọn, $b$có $9$cách chọn, $c$có$8$cách chọn,$d$ có$7$cách chọn, $e$có $6$cách chọn $\Rightarrow $có $4.9.8.7.6=12096$cách chọn.
Vậy số các số có $5$chữ số khác nhau lớn hơn $59000$là:$12432$
$\Rightarrow P\left( C \right)=\frac{12432}{27216}=\frac{37}{81}$
Do đó, đáp án đúng ở đây ta chọn chính là D.
Bài tập 6:
Một lớp có $40$học sinh, được đánh số từ $1-40$. Chọn ngẫu nhiên ra một bạn học sinh. Tính xác suất để bạn được chọn:
a. Mang số chẵn b. Mang số chia hết cho 3
Bài giải:
a. Gọi $A=$”Học sinh mang số chẵn”
$\Rightarrow n\left( A \right)=20\Rightarrow P\left( A \right)=\frac{20}{40}=0,5$
b. Gọi $B=$”Học sinh mang số chia hết cho 3”
là các số là bội của $3$ nhưng không vượt quá $40$
$\Rightarrow B=\left\{ 3,6,9,12,15,18,21,24,27,30,33,36,39 \right\}\Rightarrow n\left( B \right)=13\Rightarrow P\left( B \right)=\frac{13}{40}$
Bài tập 7:
Một sọt Cam có $10$trái trong đó có $4$ trái hư.Lấy ngẫu nhiên ra $4$ trái
a. Tính xác suất để lấy được $3$trái hư
b. Tính xác suất để lấy được $1$trái hư
c. Tính xác suất để lấy được ít nhất $1$trái hư.
Bài giải:
a. Gọi $A=$”Lấy được$3$trái hư và $1$trái tốt ”
$\Rightarrow n\left( A \right)=C_{4}^{3}.C_{6}^{1}\Rightarrow P\left( A \right)=\frac{C_{4}^{3}.C_{6}^{1}}{C_{10}^{4}}$
b. Gọi $B=$” Lấy được$1$trái hư và $3$trái tốt ”
$\Rightarrow n\left( B \right)=C_{4}^{1}.C_{6}^{3}\Rightarrow P\left( B \right)=\frac{C_{4}^{1}.C_{6}^{3}}{C_{10}^{4}}$
c. Gọi $C=$” Lấy được ít nhất $1$trái hư ”
$\Rightarrow \overline{C}=$” Không có trái hư nào ”
$\Rightarrow n\left( \overline{C} \right)=C_{6}^{4}\Rightarrow P\left( \overline{C} \right)=\frac{C_{6}^{4}}{C_{10}^{4}}\Rightarrow P\left( C \right)=1-P\left( \overline{C} \right)=1-\frac{C_{6}^{4}}{C_{10}^{4}}$
Bài tập 8:
Gieo đồng thời$2$con súc sắc cân đối đồng chất.Tính xác suất để:
a) Tổng số chấm ở mặt trên$2$con súc sắc bằng $6$
b) Hiệu số nốt ở mặt trên$2$ hai con súc sắc có giá trị tuyệt đối bằng$2$
Bài giải:
a. Gọi $A=$ “Tổng số chấm ở mặt trên hai con súc sắc bằng 6”
$\Rightarrow A=\left\{ \left( 1,5 \right);\left( 2,4 \right);\left( 3,3 \right);\left( 5,1 \right);\left( 4,2 \right) \right\}\Rightarrow n\left( A \right)=5$
$\Rightarrow P\left( A \right)=\frac{5}{36}$
b. $B=$ “Hiệu số nốt ở mặt trên$2$ hai con súc sắc có giá trị tuyệt đối bằng $2$”
$\Rightarrow B=\left\{ \left( 1,3 \right);\left( 2,4 \right);\left( 3,5 \right);\left( 4,6 \right);\left( 3,1 \right);\left( 4,2 \right);\left( 5,3 \right);\left( 6,4 \right) \right\}\Rightarrow n\left( B \right)=8\Rightarrow P\left( B \right)=\frac{8}{36}=\frac{2}{9}$
Như vậy bên trên là tất cả những thông tin cần thiết về các dạng bài tập về giáo án phép thử và biến cố trong chương trình toán 11 mà các bạn không nên bỏ qua. Nếu như bạn có thắc mắc hay cần hỗ trợ về thì đừng ngần ngại mà không liên hệ ngay với chúng tôi để nhận được sự trợ giúp sớm nhất nhé!
Xem thêm:
