Trong bài viết ngày hôm nay, Khoa Cử chúng tôi muốn đem đến cho các bạn một dạng toán rất hay trong chương trình toán lớp 11 đó chính là về phép đồng dạng rất đầy đủ và chi tiết cho các bạn tham khảo. Với những thông tin được Khoa cử chúng tôi chia sẽ về phép đồng dạng cũng như bài tập phép đồng dạng lớp 11 bên dưới đây hy vọng sẽ hỗ trợ cho bạn học tốt môn Toán lớp 11 và đạt được thành tích cao trong học tập nhé!
I. LÝ THUYẾT
1. Định nghĩa:
Phép biến hình $f$gọi là phép đồng dạng tỉ số $k$ $\left( k>0 \right)$ nếu với 2 điểm$M,N$ bất kì và ảnh $M’,N’$ của chúng ta có:$M’N’=kMN$.
2. Định lí:
Mọi phép đồng dạng $f$ tỉ số $k$ $\left( k>0 \right)$đều là hợp thành của một phép vị tự$V$ tỉ số $k$ và một phép dời hình $D$.
3. Tính chất:
– Biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và bảo toàn thứ tự của ba điểm đó.
– Biến đường thẳng thành đường thẳng, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng mà độ dài được nhân lên với$k$( $k$ là tỉ số đồng dạng).
– Biến tam giác thành tam giác đồng dạng với tỉ số $k$.
– Biến đường tròn bán kính$R$ thành đường tròn có bán kính$R’=kR$.
– Biến góc thành góc bằng nó.
4. Hai hình đồng dạng:
Hai hình được gọi là đồng dạng với nhau nếu có một phép đồng dạng biến hình này thành hình kia.
Sơ đồ biểu thị mối quan hệ giữa các phép biến hình
II. BÀI TẬP MẪU
Bài tập 1:
Cho hai tam giác $ABC$ vuông tại $A$, $AH$ là đường cao kẻ từ $A$ $\left( H\in BC \right)$. Chứng minh rằng có một phép đồng dạng biến tam giác $HBA$ thành tam giác $ABC$.
Lời giải.
Ta có: $\Delta BHA\sim \Delta BAC$. Do đó
$\frac{BA}{BH}=\frac{BC}{BA}=k$ $\Rightarrow \left\{ \begin{align} & BA=kBH \\ & BC=kBA \\\end{align} \right.$
Gọi $d$ là đường vuông góc trong của góc $\widehat{ABC}$.
- Giả sử:${{\text{ }\!\!\tilde{\mathrm{N}}\!\!\text{ }}_{ d}}\left( H \right)=H’\Rightarrow BH=BH’\Rightarrow V_{B}^{k}(H’)=A$
- Giả sử: ${{\text{ }\!\!\tilde{\mathrm{N}}\!\!\text{ }}_{d}}\left( A \right)=A’\Rightarrow BA=BA’\Rightarrow V_{B}^{k}(A’)=C$
- Ngoài ra: ${{\text{ }\!\!\tilde{\mathrm{N}}\!\!\text{ }}_{d}}\left( B \right)=B$; $V_{B}^{K}=B$
Như vậy thực hiện hai phép biến hình liên tiếp ${{\text{ }\!\!\tilde{\mathrm{N}}\!\!\text{ }}_{d}}$ và $V_{B}^{k}$ thì tam giác $HBA$ biến thành tam giác $ABC$.
Mặt khác ${{\text{ }\!\!\tilde{\mathrm{N}}\!\!\text{ }}_{d}}$ và $V_{B}^{k}$ là các phép đồng dạng nên thực hiện liên tiếp ta được một phép đồng dạng.
Bài tập 2:
Chứng minh rằng các đa giác đều có cùng số cạnh thì đồng dạng với nhau.
Lời giải.
Cho hai $n$ đa giác đều $\text{A}{{\text{A}}_{1}}…{{A}_{n}}$ và $B{{B}_{1}}…{{B}_{n}}$ có cùng số cạnh là $n$ và có tâm lần lượt là $O$, $O’$. Hai tam giác cân${{A}_{1}}O{{A}_{2}}$, $BO'{{B}_{2}}$ có góc ở đỉnh $\widehat{{{A}_{1}}O{{A}_{2}}}=\widehat{{{B}_{1}}O{{B}_{2}}}=\frac{2\pi }{n}$ nên đồng dạng. Do đó, đặt$k=\frac{{{B}_{1}}{{B}_{2}}}{{{A}_{1}}{{A}_{2}}}=\frac{O'{{B}_{1}}}{O{{A}_{1}}}\left( 1 \right)$.
Phép biến đa giác đều $\text{A}{{\text{A}}_{1}}…{{A}_{n}}$thành đa giác đều $\text{C}{{\text{C}}_{1}}…{{C}_{n}}$và $k=\frac{{{C}_{1}}{{C}_{2}}}{{{A}_{1}}{{A}_{2}}}\left( 2 \right)$.
Từ (1) và (2) ta có${{C}_{1}}{{C}_{2}}={{B}_{1}}{{B}_{2}}$. Vậy hai đa giác đều $\text{C}{{\text{C}}_{1}}…{{C}_{n}}$và $B{{B}_{1}}…{{B}_{n}}$có cạnh bằng nhau nên có một phép dời hình$D$ biến$\text{C}{{\text{C}}_{1}}…{{C}_{n}}$thành $B{{B}_{1}}…{{B}_{n}}$.
Nếu gọi$f$ là hợp thành của $V\left( O,k \right)$và phép dời hình $D$thì $f$ là một phép đồng dạng biến đa giác đều $\text{A}{{\text{A}}_{1}}…{{A}_{n}}$thành đa giác đều$B{{B}_{1}}…{{B}_{n}}$.
Bài tập 3:
Cho tam giác $ABC$ vuông tại cân tại$A$ (các đỉnh vẽ theo chiều dương). Biết đỉnh$B$ cố định, đỉnh$A$di động trên đường tròn$\left( O;R \right)$. Tìm tập hợp các đỉnh$C$.
Lời giải.
Tam giác $ABC$ vuông tại cân tại$A$ nên $BC=AB\sqrt{2}$. Xét phép vị tự ${{V}_{\left( B;\sqrt{2} \right)}}$ biến $A$ thành $A’$, với $BA’=BA\sqrt{2}$. Ta có $A’$ thuộc nữa đường thẳng$BA$$\Rightarrow \left\{ \begin{align} & BC=BA’ \\ & \left( \overrightarrow{BA’};\overrightarrow{BC} \right)=-{{45}^{0}} \\\end{align} \right.$.
Do đó $C$ là ảnh của $A’$ trong phép quay ${{Q}_{\left( B;-{{45}^{0}} \right)}}$.
Suy ra$C$là ảnh của $A$ qua phép hợp thành của phép vị tự ${{V}_{\left( B;\sqrt{2} \right)}}$ và phép quay ${{Q}_{\left( B;-{{45}^{0}} \right)}}$.
Vậy $C$là ảnh của $A$ qua phép đồng dạng tỉ số $\sqrt{2}$.
Theo giả thiết, $A$ di động trên $\left( O;R \right)$, nên tập hợp của $C$là đường tròn $\left( O’;R\sqrt{2} \right)$, là ảnh của
$\left( O;R \right)$ qua phép đồng dạng đó. Tâm $O’$ được xác định bởi:$\left\{ \begin{align} & \left( BO;BO’ \right)=-{{45}^{0}} \\ & BO’=BO\sqrt{2} \\\end{align} \right.$
Bài tập 4:
Trong mặt phẳng $Oxy$, cho điểm $M\left( 3;\,-6 \right)$. Gọi $N$ là ảnh của $M$ qua phép đồng dạng có được từ việc thực hiện liên tiếp phép vị tự tâm $O$ tỉ số $-\frac{1}{3}$ và phép đối xứng trục $Oy$. Tìm tọa độ $N$.
Lời giải
Gọi $M\left( {x}’;\,{y}’ \right)={{V}_{\left( 0;\,-\frac{1}{3} \right)}}\left( M \right)$$\Rightarrow =-\frac{1}{3}\Leftrightarrow {M}’\left( -1;\,2 \right)$.
Gọi $N\left( {{x}’}’;\,{{y}’}’ \right)={{\text{D}}_{Oy}}\left( {{M}’} \right)$$\Rightarrow N\left( 1;\,2 \right)$.
Bài tập 5:
Trong mặt phẳng $Oxy$ cho đường thẳng $d$ có phương trình $x+y-2=0$. Viết phương trình đường thẳng $d’$ là ảnh của $d$ qua phép đồng dạng có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép vị tự tâm $I\left( -1;-1 \right)$, tỉ số $k=\frac{1}{2}$ và phép quay tâm $O$ góc $-{{45}^{0}}$.
Lời giải.
Gọi ${{d}_{1}}$ là ảnh của $d$ qua phép vị tử tâm $I\left( -1;-1 \right)$, tỉ số $k=\frac{1}{2}$. Vì ${{d}_{1}}$ song song hoặc trùng với $d$ nên phương trình của ${{d}_{1}}$ có dạng: $x+y+C=0$.
Lấy $M\left( 1;1 \right)$ thuộc $d$, thì ảnh của nó qua phép vị tự nói trên là $O$ thuộc ${{d}_{1}}$.
Vậy phương trình của ${{d}_{1}}:x+y=0$. Ảnh của ${{d}_{1}}$ qua phép quay tâm $O$ góc $-{{45}^{0}}$ là đường thẳng $Oy$. Vậy phương trình của $d’$ là $x=0$.
Bài tập 6:
Xét phép biến hình $F$ biến mỗi điểm $M\left( x;y \right)$ thành điểm ${M}’\left( -2x+3;2y-1 \right)$. Chứng minh $F$ là một phép đồng dạng.
Giải
Gọi $A\left( {{x}_{A}};{{y}_{A}} \right),B\left( {{x}_{B}};{{y}_{B}} \right)$ phép biến hình $F$ biến $A,B$ tương ứng thành ${A}’\left( -2{{x}_{A}}+3;2{{y}_{A}}-1 \right),{B}’\left( -2{{x}_{B}}+3;2{{y}_{B}}-1 \right)$
Ta có ${A}'{B}’=\sqrt{{{\left( 2{{x}_{A}}-2{{x}_{B}} \right)}^{2}}+{{\left( 2{{y}_{B}}-2{{y}_{A}} \right)}^{2}}}=2\sqrt{{{\left( {{x}_{A}}-{{x}_{B}} \right)}^{2}}+{{\left( {{y}_{B}}-{{y}_{A}} \right)}^{2}}}=2AB$
Vậy $F$ là một phép đồng dạng tỉ số $k=2$.
Bài tập 7:
Cho đường thẳng $d:y=2\sqrt{2}$. Viết phương trình đường thẳng ${d}’$ là ảnh của $d$ qua phép đồng dạng có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép vị tự tâm $O$ tỉ số $k=\frac{1}{2}$ và phép quay tâm $O$ góc ${{45}^{0}}$.
Giải
Phép vị tự $O$ tỉ số $k=\frac{1}{2}$ biến $d:y=2\sqrt{2}$ thành ${d}’:y=\sqrt{2}$.
Phép quay tâm $O$ góc ${{45}^{0}}$ biến ${d}’:y=\sqrt{2}$ thành ${d}”:y=x+2$.
Bài tập 8:
Cho điểm $A$ và đường thẳng$\Delta $ không đi qua$A$. Một điểm $M$ thay đổi trên$\Delta $, vẽ tam giác $AMN$ vuông cân tại $M$ (các đỉnh của tam giác ghi theo chiều ngược kim đồng hồ). Tìm tập hợp các điểm$N$
Lời giải.
Ta có:$\left\{ \begin{align} & \left( AN;AM \right)={{45}^{0}} \\ & AN=AM\sqrt{2} \\\end{align} \right.$
Suy ra $N$là ảnh của $M$qua phép đồng dạng qua phép hợp thành của phép vị tự ${{V}_{\left( A;\sqrt{2} \right)}}$ và phép quay ${{Q}_{\left( A;{{45}^{0}} \right)}}$.
Do đó khi $M$thay đổi trên $\Delta $ thì tập hợp các điểm$N$là ảnh của đường thẳng$\Delta $ qua phép đồng dạng trên, gọi $H$ là hình chiếu của $A$trên $\Delta $, vẽ tam giác vuông$AHI$ khi đó $\Delta ‘$ là đường thẳng qua $I$ và tạo với $\Delta $ một góc ${{45}^{0}}$.