Trong bài viết ngày hôm nay, Khoa Cử chúng tôi muốn đem đến cho các bạn một dạng toán rất hay trong chương trình toán lớp 11 đó chính là về lý thuyết bài tập của phép đối xứng trục 11 rất đầy đủ và chi tiết cho các bạn tham khảo. Với những thông tin được Khoa cử chúng tôi chia sẽ về tìm ảnh của đường thẳng qua phép đối xứng trục cũng như các bài tập về phép đối xứng trục lớp 11 có lời giải bên dưới đây hy vọng sẽ hỗ trợ cho bạn học tốt môn Toán Hình Học lớp 11 nhé!
I. LÝ THUYẾT VỀ PHÉP ĐỐI XỨNG TRỤC
Để có thể làm được lý thuyết bài tập như tìm ảnh của đường tròn qua phép đối xứng trục hay tìm ảnh của đường thẳng qua phép đối xứng trục ox một cách dễ dàng nhất thì chúng ta cần phải nắm vững và thật chắc các công thức cũng như tính chất của dạng này như sau:
1. Khái niệm.
Cho đường thẳng $d$ và điểm$M$, phép biến hình biến điểm $M$ thành $M’$ sao cho $d$ là trung trực của $MM’$ gọi là phép đối xứng trục $d$, ký hiệu là ${{\tilde{N}}_{d}}$.
${{\tilde{N}}_{d}}\left( M \right)=M’\Leftrightarrow \overrightarrow{{{M}_{0}}M’}=-\overrightarrow{{{M}_{0}}M}$.
2.Tính chất.
${{\tilde{N}}_{d}}\left( M \right)=M’\Leftrightarrow {{\tilde{N}}_{d}}\left( M’ \right)=M$.
${{\tilde{N}}_{d}}\left( M \right)=M’$, ${{\tilde{N}}_{d}}\left( N \right)=N’\Rightarrow M’N’=MN$.
Biến điểm thành điểm, đoạn thẳng thành bằng đoạn thẳng bằng nó, đường thẳng thành đường thẳng, biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính.
3. Biểu thức tọa độ.
Trường hợp đặc biệt.
${{\tilde{N}}_{Ox}}:M\left( x;y \right)\mapsto M’\left( x’;y’ \right)$. Khi đó: $\left\{ \begin{align}& x’=x \\& y’=-y \\\end{align} \right.$.
${{\tilde{N}}_{Oy}}:M\left( x;y \right)\mapsto M’\left( x’;y’ \right)$. Khi đó: $\left\{ \begin{align}& x’=-x \\& y’=y \\\end{align} \right.$.
Trường hợp tổng quát tìm điểm $M’$.
- Gọi $\Delta $ là đường thẳng qua $M$ và vuông góc với $d$.
- Tìm $0=\Delta \cap d$.
- $O$ là trung điểm của $MM’\mapsto M’$.
II. BÀI TẬP MẪU
Khi đã nắm chắc được các lý thuyết liên quan đến các dạng của chuyên đề phép đối xứng trục lớp 11 thì chúng ta cần phải làm thêm một số bài tập về tìm phép đối xứng trục biến d thành d’ của phép đối xứng trục lớp 11 có lời giải để có thể hiểu rõ hơn chương này ngay bên dưới đây:
DẠNG 1: KHAI THÁC ĐỊNH NGHĨA, TÍNH CHẤT VA ỨNG DỤNG CỦA PHÉP ĐỐI XỨNG TRỤC VA ĐỐI XỨNG TÂM.
Bài tập 1: Cho đường thẳng $d$ và hai điểm $A$, $B$ nằm về một phía của $d$. Tìm trên $d$một điểm $M$ sao cho tổng $AM+MB$ có giá trị nhỏ nhất.
Lời giải:
Gọi $A’$ là điểm đối xứng của $A$ qua $d$. Lấy điểm $M$ bất kỳ thuộc $d$.
Khi đó: $MA+MB=MA’+MB\ge A’B$ .
Như vậy $AM+MB$có giá trị nhỏ nhất là $A’B$.
Điều này xảy ra khi $M$ là giao điểm của $d$ và $A’B$.
Bài tập 2: Điểm $M$ thuộc miền trong tứ giác lồi$ABCD$ . Gọi ${A}’,{B}’,{C}’,{D}’$ lần lượt là điểm đối xứng của M qua trung điểm các cạnh$AB,BC,CD,DA$ . Chứng minh tứ giác ${A}'{B}'{C}'{D}’$là hình bình hành.
Lời giải:
+ Để chứng minh ${A}'{B}'{C}'{D}’$là hình bình hành ta đi chứng minh, ${A}'{B}’//{D}'{C}’;{A}'{D}’//{B}'{C}’$
+ Thật vậy:
Xét tam giác $ABC$ ta có $E,G$ là trung điểm của $AB,BC=>EG//AC\left( 1 \right)$
Có ${A}'{B}’$là điểm đối xứng của $M$ qua $E,G$ nên $E,G$ là trung điểm của $M{A}’,M{B}’=>EG//{A}'{B}’\left( 2 \right)$ Từ $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)=>AC//{A}'{B}’$
Tương tự ta cũng có: ${D}'{C}’//AC$; ${A}'{B}’//{D}'{C}’$
Chứng minh hoàn toàn tương tự như trên ta được ${A}'{D}’//{B}'{C}’$ .
Vậy tứ giác ${A}'{B}'{C}'{D}’$là hình bình hành.
Bài tập 3: Cho hai điểm $A,\,B$ phân biệt. Gọi ${{S}_{A}},\,{{S}_{B}}$ là phép đối xứng qua $A,\,B$. Với điểm $M$ bất kì, gọi ${{M}_{1}}={{S}_{A}}\left( M \right)$, ${{M}_{2}}={{S}_{B}}\left( {{M}_{1}} \right)$. Gọi $F$ là phép biến hình biến $M$ thành ${{M}_{2}}$. Chọn mệnh đề đúng:
A. $F$ không là phép dời hình B. $F$ là phép đối xứng trục.
C. $F$ là phép đối xứng tâm. D. $F$ là phép tịnh tiến.
Lời giải:
Ta có: $\overrightarrow{MA}=\overrightarrow{A{{M}_{1}}}$, $\overrightarrow{{{M}_{1}}B}=\overrightarrow{B{{M}_{2}}}$.
$\overrightarrow{M{{M}_{1}}}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{A{{M}_{1}}}+\overrightarrow{{{M}_{1}}B}+\overrightarrow{B{{M}_{2}}}$ $=\overrightarrow{A{{M}_{1}}}+\overrightarrow{A{{M}_{1}}}+\overrightarrow{{{M}_{1}}B}+\overrightarrow{{{M}_{1}}B}$ $=2\overrightarrow{A{{M}_{1}}}+2\overrightarrow{{{M}_{1}}B}=2\overrightarrow{AB}$. Vậy $F$ là phép tịnh tiến theo vectơ $2\overrightarrow{AB}$.
Do đó, đáp án đúng nhất ở câu này mà ta chọn được là D.
Bài tập 4: Cho $\Delta ABC$ và đường tròn tâm $O$. Trên đoạn $AB$, lấy điểm $E$ sao cho $BE=2AE$, $F$ là trung điểm của $AC$ và $I$ là đỉnh thứ tư của hình bình hành $AEIF$. Với mỗi điểm $P$ trên $\left( O \right)$ ta dựng điểm $Q$ sao cho $\overrightarrow{PA}+2\overrightarrow{PB}+3\overrightarrow{PC}=6\overrightarrow{IQ}$. Khi đó tập hợp điểm $Q$ khi $P$ thay đổi là:
A. Đường tròn tâm ${O}’$ là ảnh của đường tròn $\left( O \right)$ qua ${{}_{I}}$.
B. Đường tròn tâm ${O}’$ là ảnh của đường tròn $\left( O \right)$ qua ${{}_{E}}$
C. Đường tròn tâm ${O}’$ là ảnh của đường tròn $\left( O \right)$ qua phép đối xứng tâm ${{}_{F}}$
D. Đường tròn tâm ${O}’$ là ảnh của đường tròn $\left( O \right)$ qua phép đối xứng tâm ${{}_{B}}$.
Lời giải:
Gọi $K$ là điểm xác định bởi $\overrightarrow{KA}+2\overrightarrow{KB}+3\overrightarrow{KC}=\overrightarrow{0}$.
Khi đó $\overrightarrow{KA}+2\left( \overrightarrow{KA}+\overrightarrow{AB} \right)+3\left( \overrightarrow{KA}+\overrightarrow{AC} \right)=\overrightarrow{0}$ $\Leftrightarrow \overrightarrow{AK}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}$.
Mặt khác $AEIF$ là hình bình hành nên $\overrightarrow{AI}=\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{AF}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}$ nên $K\equiv I$.
Từ giả thiết $\Rightarrow 6\overrightarrow{PK}+\left( \overrightarrow{KA}+2\overrightarrow{KB}+3\overrightarrow{KC} \right)=6\overrightarrow{IQ}$ $\Leftrightarrow \overrightarrow{PK}=\overrightarrow{IQ}$ hay $\overrightarrow{PI}=\overrightarrow{IQ}$
$\Rightarrow {{}_{I}}\left( P \right)=Q$ $\Rightarrow $ khi $P$ di động trên $\left( O \right)$ thì $Q$ di động trên đường $\left( {{O}’} \right)$ là ảnh của $\left( O \right)$ qua phép đối xứng tâm $I$.
Do đó, đáp án đúng nhất ở câu này mà ta chọn được là A.
DẠNG 2. TÌM ẢNH CỦA ĐIỂM, ĐƯỜNG THẲNG QUA PHÉP ĐỐI XỨNG TRỤC, ĐỐI XỨNG TÂM BẰNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ
Bài tập 1: Cho $A\left( 1;1 \right)$, $B\left( 0;3 \right)$, $C\left( 5;0 \right)$.
a. Tìm ảnh của điểm $A$, $B$, $C$ qua phép đối xứng ${{\tilde{N}}_{Ox}}$.
b. Tìm ảnh của điểm $A$, $B$, $C$ qua phép đối xứng ${{\tilde{N}}_{Oy}}$.
c. Tìm ảnh của điểm $A$, $B$, $C$ qua phép đối xứng ${{\tilde{N}}_{d}}$ với $\left( d \right):x-y+3=0$.
Giải
a. Gọi $A’$, $B’$, $C’$ lần lượt là ảnh của điểm $A$, $B$, $C$ qua phép đối xứng ${{\tilde{N}}_{Ox}}$.
$\Rightarrow $ $A’=\left( 1;-1 \right)$, $B’=\left( 0;-3 \right)$, $C’=\left( 5;0 \right)$.
b. Gọi $A’$, $B’$, $C’$ lần lượt là ảnh của điểm $A$, $B$, $C$ qua phép đối xứng ${{\tilde{N}}_{Oy}}$.
$\Rightarrow $$A’=\left( -1;1 \right)$, $B’=\left( 0;3 \right)$, $C’=\left( -5;0 \right)$.
c. Gọi $A’$, $B’$, $C’$ lần lượt là ảnh của điểm $A$, $B$, $C$ qua phép đối xứng ${{\tilde{N}}_{d}}$ với $\left( d \right):x-y+3=0$.
Gọi ${{M}_{0}}\left( a;a+3 \right)$ là hình chiếu của $A$lên $\left( d \right)$. Khi đó ta có $A{{M}_{0}}$ vuông góc với $VTCP$của $\left( d \right)$.
$\overrightarrow{A{{M}_{0}}}.\overrightarrow{{{u}_{d}}}=0\Leftrightarrow \left( a-1;a+2 \right).\left( 1;1 \right)=0\Leftrightarrow a=-\frac{1}{2}\Rightarrow {{M}_{0}}\left( -\frac{1}{2};\frac{5}{2} \right)$.
Do đó: $A’=\left( 2.{{x}_{{{M}_{0}}}}-{{x}_{A}};2.{{y}_{{{M}_{0}}}}-{{y}_{A}} \right)=\left( -2;4 \right)$.
Với điểm $B$ ta có $B’=\left( 0;3 \right)$ vì $\left( 0;3 \right)$ nằm trên $\left( d \right)$.
Tương tự với điểm $C$ ta có $C’=\left( -3;8 \right)$.
Bài tập 2: Cho đường thẳng $\left( d \right):3x+y+1=0$.
a. Tìm đường thẳng $\left( {{d}_{1}} \right)$ là ảnh của đường thẳng $\left( d \right)$ qua phép đối xứng : ${{\tilde{N}}_{Ox}}$.
b. Tìm đường thẳng $\left( {{d}_{2}} \right)$ là ảnh của đường thẳng $\left( d \right)$ qua phép đối xứng : ${{\tilde{N}}_{Oy}}$.
c. Tìm đường thẳng $\left( {{d}_{3}} \right)$ là ảnh của đường thẳng $\left( d \right)$ qua phép đối xứng qua đường phân giác của góc phần tư thứ nhất.
Giải
a. Lấy hai điểm trên $\left( d \right)$, điểm $A\left( 0;-1 \right)$, $B\left( -1;2 \right)$. Gọi hai điểm $A’$, $B’$ là điểm đối xứng của $A$, $B$ qua $Ox$. Khi đó đường thẳng đi qua hai điểm $A’$, $B’$ là đường thẳng cần tìm.
Với cách làm như bài 1 ta được $A’=\left( 0;1 \right)$, $B’=\left( -1;-2 \right)$.
$\Rightarrow $ Phương trình đường thẳng cần tìm là: $\frac{x}{-1}=\frac{y-1}{-3}\Leftrightarrow 3x-y+1=0$.
b. Gọi hai điểm $A’$, $B’$ là hai điểm đối xứng của $A$, $B$ qua $Oy$. Khi đó đường thẳng đi qua hai điểm $A’$, $B’$ là đường thẳng cần tìm. Có $A’\left( -1;0 \right)$, $B’\left( 2;-1 \right)$.
$\Rightarrow $ Phương trình đường thẳng cần tìm là: $\frac{x+1}{3}=\frac{y}{-1}\Leftrightarrow x+3y+1=0$.
Bài tập 3: Tìm ảnh của các điểm $A\left( 1;1 \right),B\left( 2;0 \right),C\left( -2;5 \right),D\left( 2;-7 \right)$ qua phép đối xứng tâm với:
a. Tâm$I\left( -1;-5 \right)$ .
b. Tâm $H\left( 1;-4 \right)$ .
Lời giải
Gọi ${A}’,{B}’,{C}’,{D}’$ lần lượt là ảnh qua phép đối xứng tâm
a. Với tâm$I\left( -1,-5 \right)$.
Ta có $\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{I{A}’}=\overrightarrow{0}\Rightarrow {A}’\left( -3;-11 \right)$ , $\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{I{B}’}=\overrightarrow{0}\Rightarrow {B}’\left( 0;-10 \right)$
$\overrightarrow{IC}+\overrightarrow{I{C}’}=\overrightarrow{0}\Rightarrow {C}’\left( 0;-15 \right)$,$\overrightarrow{ID}+\overrightarrow{I{D}’}=\overrightarrow{0}\Rightarrow {D}’\left( -4;-3 \right)$.
b. Với tâm $H\left( 1;-4 \right)$.
Ta có $\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{I{A}’}=\overrightarrow{0}\Rightarrow {A}’\left( -3;-9 \right)$ , $\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{I{B}’}=\overrightarrow{0}\Rightarrow {B}’\left( 0;-8 \right)$
$\overrightarrow{IC}+\overrightarrow{I{C}’}=\overrightarrow{0}\Rightarrow {C}’\left( 0;-13 \right)$,$\overrightarrow{ID}+\overrightarrow{I{D}’}=\overrightarrow{0}\Rightarrow {D}’\left( -4;1 \right)$.
Bài tập 4: Tìm ảnh của các đường thẳng sau qua phép đối xứng tâm $I\left( 1;0 \right)$
a. $x+y+2=0$
b. $2x+y+1=0$
Lời giải
a. $d:x+y+2=0$ lấy 2 điểm $A\left( 0,-2 \right),B\left( -2,0 \right)$ thuộc $d$ . Gọi $A,B$ là ảnh của $A,B$ qua phép đối xứng
tâm $I$ . Khi đó ta có
${{x}_{{{A}’}}}=2{{x}_{I}}-{{x}_{A}}=2;{{y}_{{{A}’}}}=2{{y}_{I}}-{{y}_{A}}=2\Rightarrow {A}’\left( 2;2 \right)$
${{x}_{{{B}’}}}=2{{x}_{I}}-{{x}_{B}}=4;{{y}_{{{B}’}}}=2{{y}_{I}}-{{y}_{B}}=0\Rightarrow {B}’\left( 4;0 \right)$
Ta có đường thẳng ${A}'{B}’:x+y-4=0$
Khi đó ảnh của $d$ chính là ${A}'{B}’:x+y-4=0$
b. d: 2x + y + 1 = 0 lấy 2 điểm A(0, -1), B (-1, 1) thuộc d. Gọi A’ , B’ là ảnh của A, B qua phép đốixứng tâm I. Khi đó ta có
${{x}_{{{A}’}}}=2{{x}_{I}}-{{x}_{A}}=2;{{y}_{{{A}’}}}=2{{y}_{I}}-{{y}_{A}}=1\Rightarrow {A}’\left( 2;1 \right)$
${{x}_{{{B}’}}}=2{{x}_{I}}-{{x}_{B}}=3;{{y}_{{{B}’}}}=2{{y}_{I}}-{{y}_{B}}=-1\Rightarrow {B}’\left( 3;-1 \right)$
Ta có đường thẳng ${A}'{B}’:2x+y-5=0$
Khi đó ảnh của $d$ chính là ${A}'{B}’:2x-y+5=0$
Như vậy bên trên là tất cả những thông tin cần thiết của các dạng toán về chuyên đề phép đối xứng trục lớp 11 có lời giải mà các bạn không nên bỏ qua. Nếu như bạn có thắc mắc hay cần hỗ trợ về biểu thức tọa độ của phép đối xứng trục thì đừng ngần ngại mà không liên hệ ngay với chúng tôi để nhận được sự trợ giúp sớm nhất nhé!