Trong bài viết ngày hôm nay, Khoa Cử chúng tôi muốn đem đến cho các bạn một dạng toán rất hay trong chương trình toán lớp 11 đó chính là về lý thuyết bài tập của phép đối xứng tâm 11 rất đầy đủ và chi tiết cho các bạn tham khảo. Với những thông tin được Khoa cử chúng tôi chia sẽ về tìm ảnh của đường thẳng qua phép đối xứng tâm cũng như các bài tập về phép đối xứng tâm lớp 11 có lời giải bên dưới đây hy vọng sẽ hỗ trợ cho bạn học tốt môn Toán Hình Học lớp 11 nhé!
I. LÝ THUYẾT VỀ PHÉP ĐỐI XỨNG TÂM
Để có thể làm được lý thuyết bài tập như phép đối xứng tâm biến đường thẳng thành chính nó hay phép đối xứng tâm biến đường thẳng thành đường thẳng một cách dễ dàng nhất thì chúng ta cần phải nắm vững và thật chắc các công thức cũng như tính chất của dạng này như sau:
1. Khái niệm
Cho điểm $I$ và điểm $M$ , phép biến hình biến điểm $M$ thành ${M}’$ sao cho $I$ là trung điểm của $M{M}’$ gọi là phép đối xứng tâm $I$ , kí hiệu là ${{D}_{I}}$
Ta có ${{D}_{I}}\left( M \right)={M}’\Leftrightarrow \overrightarrow{IM}+\overrightarrow{I{M}’}=\overrightarrow{0}$
2. Tính chất
+${{D}_{I}}\left( M \right)={M}’;{{D}_{I}}\left( N \right)={N}’\Rightarrow MN={M}'{N}’$
+ Phép đối xứng tâm biến điểm thành điểm, đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó, đường thẳng thành đường thẳng song song với nó , biến đường tròn thành đường tròn cùng bán kính.
3. Biểu thức tọa độ
+ Cho điểm $I\left( a;b \right)$ và $M\left( x;y \right)$ phép đói xứng tâm $I$ biến $M$ thành ${M}’$ có toạ độ là: $\left\{ \begin{align}& {x}’=2\text{a}-x \\& {y}’=2b-y \\\end{align} \right.$
+ Đặc biệt nếu $I\left( 0;0 \right)$thì toạ độ ${M}’$là $\left\{ \begin{align}& {x}’=-x \\& {y}’=-y \\\end{align} \right.$
II. BÀI TẬP MẪU
Khi đã nắm chắc được các lý thuyết liên quan đến các dạng của chuyên đề phép đối xứng tâm lớp 11 thì chúng ta cần phải làm thêm một số bài tập về phép đối xứng tâm biến đường thẳng thành chính nó có lời giải để có thể hiểu rõ hơn chương này ngay bên dưới đây:
DẠNG 1: KHAI THÁC ĐỊNH NGHĨA, TÍNH CHẤT VA ỨNG DỤNG CỦA PHÉP ĐỐI XỨNG TRỤC VA ĐỐI XỨNG TÂM.
Bài tập 1: Cho hai điểm $A,\,B$ phân biệt. Gọi ${{S}_{A}},\,{{S}_{B}}$ là phép đối xứng qua $A,\,B$. Với điểm $M$ bất kì, gọi ${{M}_{1}}={{S}_{A}}\left( M \right)$, ${{M}_{2}}={{S}_{B}}\left( {{M}_{1}} \right)$. Gọi $F$ là phép biến hình biến $M$ thành ${{M}_{2}}$. Chọn mệnh đề đúng:
A. $F$ không là phép dời hình B. $F$ là phép đối xứng trục.
C. $F$ là phép đối xứng tâm. D. $F$ là phép tịnh tiến.
Lời giải:
Ta có: $\overrightarrow{MA}=\overrightarrow{A{{M}_{1}}}$, $\overrightarrow{{{M}_{1}}B}=\overrightarrow{B{{M}_{2}}}$.
$\overrightarrow{M{{M}_{1}}}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{A{{M}_{1}}}+\overrightarrow{{{M}_{1}}B}+\overrightarrow{B{{M}_{2}}}$ $=\overrightarrow{A{{M}_{1}}}+\overrightarrow{A{{M}_{1}}}+\overrightarrow{{{M}_{1}}B}+\overrightarrow{{{M}_{1}}B}$ $=2\overrightarrow{A{{M}_{1}}}+2\overrightarrow{{{M}_{1}}B}=2\overrightarrow{AB}$. Vậy $F$ là phép tịnh tiến theo vectơ $2\overrightarrow{AB}$.
Do đó, đáp án đúng nhất ở câu này mà ta chọn được là D.
Bài tập 2: Cho $\Delta ABC$ và đường tròn tâm $O$. Trên đoạn $AB$, lấy điểm $E$ sao cho $BE=2AE$, $F$ là trung điểm của $AC$ và $I$ là đỉnh thứ tư của hình bình hành $AEIF$. Với mỗi điểm $P$ trên $\left( O \right)$ ta dựng điểm $Q$ sao cho $\overrightarrow{PA}+2\overrightarrow{PB}+3\overrightarrow{PC}=6\overrightarrow{IQ}$. Khi đó tập hợp điểm $Q$ khi $P$ thay đổi là:
A. Đường tròn tâm ${O}’$ là ảnh của đường tròn $\left( O \right)$ qua ${{}_{I}}$.
B. Đường tròn tâm ${O}’$ là ảnh của đường tròn $\left( O \right)$ qua ${{}_{E}}$
C. Đường tròn tâm ${O}’$ là ảnh của đường tròn $\left( O \right)$ qua phép đối xứng tâm ${{}_{F}}$
D. Đường tròn tâm ${O}’$ là ảnh của đường tròn $\left( O \right)$ qua phép đối xứng tâm ${{}_{B}}$.
Lời giải:
Gọi $K$ là điểm xác định bởi $\overrightarrow{KA}+2\overrightarrow{KB}+3\overrightarrow{KC}=\overrightarrow{0}$.
Khi đó $\overrightarrow{KA}+2\left( \overrightarrow{KA}+\overrightarrow{AB} \right)+3\left( \overrightarrow{KA}+\overrightarrow{AC} \right)=\overrightarrow{0}$ $\Leftrightarrow \overrightarrow{AK}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}$.
Mặt khác $AEIF$ là hình bình hành nên $\overrightarrow{AI}=\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{AF}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}$ nên $K\equiv I$.
Từ giả thiết $\Rightarrow 6\overrightarrow{PK}+\left( \overrightarrow{KA}+2\overrightarrow{KB}+3\overrightarrow{KC} \right)=6\overrightarrow{IQ}$ $\Leftrightarrow \overrightarrow{PK}=\overrightarrow{IQ}$ hay $\overrightarrow{PI}=\overrightarrow{IQ}$
$\Rightarrow {{}_{I}}\left( P \right)=Q$ $\Rightarrow $ khi $P$ di động trên $\left( O \right)$ thì $Q$ di động trên đường $\left( {{O}’} \right)$ là ảnh của $\left( O \right)$ qua phép đối xứng tâm $I$.
Do đó, đáp án đúng nhất ở câu này mà ta chọn được là A.
Bài tập 3: Cho ba điểm $M,{{O}_{1}},{{O}_{2}}$. Gọi ${{M}_{1}},{{M}_{2}}$ tương ứng là ảnh của điểm $M$ qua các phép đối xứng tâm ${{O}_{1}}$ và ${{O}_{2}}$. Khằng định nào sau đây đúng?
A. $\overrightarrow{M{{M}_{2}}}=\overrightarrow{{{O}_{1}}{{O}_{2}}}$. B. $\overrightarrow{{{M}_{1}}{{M}_{2}}}=-2\overrightarrow{{{O}_{1}}{{O}_{2}}}$. C. $\overrightarrow{{{M}_{1}}{{M}_{2}}}=2\overrightarrow{{{O}_{1}}{{O}_{2}}}$. D. $\overrightarrow{{{O}_{1}}{{M}_{1}}}=\overrightarrow{{{O}_{2}}{{M}_{2}}}$.
Lời giải
Ta có ${{O}_{1}}{{O}_{2}}$ là đường trung bình của tam giác $M{{M}_{1}}{{M}_{2}}$ nên suy ra $\overrightarrow{{{M}_{1}}{{M}_{2}}}=2\overrightarrow{{{O}_{1}}{{O}_{2}}}$.
Do đó, đáp án đúng nhất ở câu này mà ta chọn được là C.
Bài tập 4: Cho đường thẳng $d$ và hai điểm $A,\,B$ nằm cùng phía với $d$. Gọi ${{A}_{1}}$ đối xứng với $A$, ${{B}_{1}}$ đối xứng với $B$ qua $d$. $M$ là điểm trên $d$ thỏa mãn $MA+MB$ nhỏ nhất. Chọn mệnh đề sai:
A. Góc giữa $AM$ và $d$ bằng góc giữa $BM$ và $d$.
B. $M$ là giao điểm của ${{A}_{1}}B$ và $d$.
C. $M$ là giao điểm của $A{{B}_{1}}$ và $d$.
D. $M$ là giao điểm của $AB$ và $d.$
Lời giải:
Với $\forall N\in d:{{A}_{1}}N+BN\ge {{A}_{1}}B$ do ${{A}_{1}}N=AN,\,{{A}_{1}}M=AM$
$\Rightarrow AN+BN={{A}_{1}}N+BN\ge {{A}_{1}}B={{A}_{1}}M+MB=AM+MB$.
Đẳng thức xảy ra khi $M\equiv N$. Vậy ${{A}_{1}}B\cap d$.
Do đó, đáp án đúng nhất ở câu này mà ta chọn được là D.
DẠNG 2. TÌM ẢNH CỦA ĐIỂM, ĐƯỜNG THẲNG QUA PHÉP ĐỐI XỨNG TRỤC, ĐỐI XỨNG TÂM BẰNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ:
Bài tập 1: Tìm ảnh của các điểm $A\left( 1;1 \right),B\left( 2;0 \right),C\left( -2;5 \right),D\left( 2;-7 \right)$ qua phép đối xứng tâm với:
a. Tâm$I\left( -1;-5 \right)$ .
b. Tâm $H\left( 1;-4 \right)$ .
Lời giải
Gọi ${A}’,{B}’,{C}’,{D}’$ lần lượt là ảnh qua phép đối xứng tâm
a. Với tâm$I\left( -1,-5 \right)$.
Ta có $\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{I{A}’}=\overrightarrow{0}\Rightarrow {A}’\left( -3;-11 \right)$ , $\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{I{B}’}=\overrightarrow{0}\Rightarrow {B}’\left( 0;-10 \right)$
$\overrightarrow{IC}+\overrightarrow{I{C}’}=\overrightarrow{0}\Rightarrow {C}’\left( 0;-15 \right)$,$\overrightarrow{ID}+\overrightarrow{I{D}’}=\overrightarrow{0}\Rightarrow {D}’\left( -4;-3 \right)$.
b. Với tâm $H\left( 1;-4 \right)$.
Ta có $\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{I{A}’}=\overrightarrow{0}\Rightarrow {A}’\left( -3;-9 \right)$ , $\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{I{B}’}=\overrightarrow{0}\Rightarrow {B}’\left( 0;-8 \right)$
$\overrightarrow{IC}+\overrightarrow{I{C}’}=\overrightarrow{0}\Rightarrow {C}’\left( 0;-13 \right)$,$\overrightarrow{ID}+\overrightarrow{I{D}’}=\overrightarrow{0}\Rightarrow {D}’\left( -4;1 \right)$.
Bài tập 2: Tìm ảnh của các đường thẳng sau qua phép đối xứng tâm $I\left( 1;0 \right)$
a. $x+y+2=0$
b. $2x+y+1=0$
Lời giải
a. $d:x+y+2=0$ lấy 2 điểm $A\left( 0,-2 \right),B\left( -2,0 \right)$ thuộc $d$ . Gọi $A,B$ là ảnh của $A,B$ qua phép đối xứng
tâm $I$ . Khi đó ta có
${{x}_{{{A}’}}}=2{{x}_{I}}-{{x}_{A}}=2;{{y}_{{{A}’}}}=2{{y}_{I}}-{{y}_{A}}=2\Rightarrow {A}’\left( 2;2 \right)$
${{x}_{{{B}’}}}=2{{x}_{I}}-{{x}_{B}}=4;{{y}_{{{B}’}}}=2{{y}_{I}}-{{y}_{B}}=0\Rightarrow {B}’\left( 4;0 \right)$
Ta có đường thẳng ${A}'{B}’:x+y-4=0$
Khi đó ảnh của $d$ chính là ${A}'{B}’:x+y-4=0$
b. d: 2x + y + 1 = 0 lấy 2 điểm A(0, -1), B (-1, 1) thuộc d. Gọi A’ , B’ là ảnh của A, B qua phép đốixứng tâm I. Khi đó ta có
${{x}_{{{A}’}}}=2{{x}_{I}}-{{x}_{A}}=2;{{y}_{{{A}’}}}=2{{y}_{I}}-{{y}_{A}}=1\Rightarrow {A}’\left( 2;1 \right)$
${{x}_{{{B}’}}}=2{{x}_{I}}-{{x}_{B}}=3;{{y}_{{{B}’}}}=2{{y}_{I}}-{{y}_{B}}=-1\Rightarrow {B}’\left( 3;-1 \right)$
Ta có đường thẳng ${A}'{B}’:2x+y-5=0$
Khi đó ảnh của $d$ chính là ${A}'{B}’:2x-y+5=0$
Bài tập 3: Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho đường tròn $\left( C \right)$ có phương trình: ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}-4x-2y-4=0$. Tìm ảnh đường tròn $\left( {{C}’} \right)$ của $\left( C \right)$ qua phép đối xứng tâm $I\left( 1;3 \right)$.
A. ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}-10x-16=0$. B. ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}-10y-16=0$.
C. ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}-10y+16=0$. D. ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}-x-10y+9=0$.
Lời giải:
Cách 1: ${{}_{I}}\left( \left( C \right) \right)=\left( {{C}’} \right):$ Với mọi $M\left( x;y \right)$ qua phép đối xứng tâm $I$ ta được
${M}’\left( {x}’;{y}’ \right)\in \left( {{C}’} \right)\Rightarrow \left\{ \begin{align}& {x}’=2{{x}_{I}}-x=2-x \\& {y}’=2{{y}_{I}}-y=6-y \\\end{align} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& x=2-{x}’ \\& y=6-{y}’ \\\end{align} \right.$. Thế vào $\left( C \right)$ ta có:
${{\left( 2-{x}’ \right)}^{2}}+{{\left( 6-{y}’ \right)}^{2}}-4\left( 2-{x}’ \right)-2\left( 6-{y}’ \right)-4=0\Leftrightarrow {{\left( {{x}’} \right)}^{2}}+{{\left( {{y}’} \right)}^{2}}-10{y}’+16=0$
Vậy đường tròn $\left( {{C}’} \right)$: ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}-10y+16=0$.
Cách 2: Đường tròn $\left( C \right)$ có tâm $M\left( 2;1 \right)$, bán kính $R=3$, ${{}_{I}}\left( M \right)={M}’\Rightarrow {M}’\left( 0;5 \right)$.
Vậy đường tròn $\left( {{C}’} \right)$: ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}-10y+16=0$.
Do đó, đáp án đúng nhất ở câu này mà ta chọn được là C.
Bài tập 4: Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ cho đường thẳng $d:\,3x+2y+5=0$. Ảnh của đường thẳng $\left( d \right)$qua phép đối xứng tâm $O$ là đường thẳng có phương trình
A. $3x+2y-1=0$. B. $3x+2y+1=0$. C. $3x+2y-5=0$. D. $3x+2y=0$.
Lời giải
Gọi $M\left( x;\,y \right)\in \left( d \right)\Leftrightarrow \,3x+2y+5=0\,\ \ \left( 1 \right)$.
Gọi ${M}’\left( {x}’;\,{y}’ \right)$ là ảnh của điểm $M$ qua phép đối xứng tâm $O$.
Ta có: ${{}_{O}}\left( M \right)=M’$ nên theo biểu thức tọa độ của phép đối xứng tâm $O$:
$\left\{ \begin{align}& {x}’=-x \\& {y}’=-y \\\end{align} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& x=-{x}’ \\& y=-{y}’ \\\end{align} \right.$.
Thay vào $\left( 1 \right)$ ta được: $3\left( -{x}’ \right)+2\left( -{y}’ \right)+5=0\Leftrightarrow 3{x}’+2{y}’-5=0$.
Gọi ảnh của đường thẳng $\left( d \right)$qua phép đối xứng tâm $O$ là $\left( {{d}’} \right)$ thì ${M}’\left( {x}’;\,{y}’ \right)\in \left( {{d}’} \right)$
Vậy ảnh của đường thẳng $\left( d \right)$qua phép đối xứng tâm $O$là $\left( {{d}’} \right):\,3x+2y-5=0$.
Do đó, đáp án đúng nhất ở câu này mà ta chọn được là C.
Như vậy bên trên là tất cả những thông tin cần thiết của các dạng toán về chuyên đề phép đối xứng tâm lớp 11 có lời giải mà các bạn không nên bỏ qua. Nếu như bạn có thắc mắc hay cần hỗ trợ về các dạng bài tập của phép đối xứng tâm biến đường thẳng thành đường thẳng hay phép đối xứng tâm biến đường thẳng thành chính nó có lời giải thì đừng ngần ngại mà không liên hệ ngay với chúng tôi để nhận được sự trợ giúp sớm nhất nhé!