Trong bài viết ngày hôm nay, Khoa Cử chúng tôi muốn đem đến cho các bạn một dạng toán rất hay trong chương trình toán lớp 11 đó chính là về lý thuyết bài tập của phép chiếu song song và hình biểu diễn của một hình không gian lớp 11 rất đầy đủ và chi tiết cho các bạn tham khảo. Với những thông tin được Khoa cử chúng tôi chia sẽ về giáo án phép chiếu song song hình biểu diễn của một hình không gian cũng như bài tập về bài tập về phép chiếu song song trong không gian có lời giải bên dưới đây hy vọng sẽ hỗ trợ cho bạn học tốt môn Toán Hình Học lớp 11 đạt được kết quả cao trong học tập nhé!
I. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM
Để có thể làm được các dạng bài tập về phép chiếu song song và hình biểu diễn của một hình không gian một cách dễ dàng nhất thì chúng ta cần phải nắm vững và thật chắc các công thức cũng như tính chất của dạng phép chiếu song song là gì này như sau:
1. Khái niệm:
Cho mặt phẳng $\left( \alpha \right)$, đường thẳng $d$ và một điểm $M$ bất kỳ. Cách lất điểm ${M}’$ bằng cách qua $M$ kẻ đường thẳng song song với $d$, đường thẳng đó cắt $\left( \alpha \right)$ tại điểm $M$. Cách lấy điểm ${M}’$ gọi là phép chiếu song song.
$d$ gọi là phương chiếu.
$\left( \alpha \right)$ gọi là mặt phẳng chiếu.
$M$ gọi là điểm gốc và ${M}’$ gọi là điểm ảnh.
2. Tính chất:
Tính chất 1: Phép chiếu song song biến đưởng thẳng thành đường thẳng.
Tính chất 2: Phép chiếu song song biến hai đường thẳng song song thành hai đường thẳng song song.
Tính chất 3: Phép chiếu song song đảm bảo tỉ số giữa các đoạn thẳng.
II. BÀI TẬP MẪU
Khi đã nắm chắc được các lý thuyết liên quan đến các dạng của phép chiếu song song và hình biểu diễn của một hình không gian lớp 11 thì chúng ta cần phải làm thêm một số dạng bài tập của phép chiếu song song có lời giải rất dễ hiểu để có thể hiểu rõ hơn chương này ngay bên dưới đây:
Bài tập 1:
Cho đường thẳng $a$ cắt mặt phẳng $\left( P \right)$ tại $A$. Gọi ${a}’$ là hình chiếu song song của $a$ lên $\left( P \right)$ theo phương $d$ cho trước.
a. Chứng minh ${a}’$ qua $A$?
b. Lấy hai điểm $B$ và $C$ trên $a$ và gọi ${B}’,{C}’$ lần lượt là hình chiếu song song của $B$ và $C$ trên $\left( P \right)$ theo phương $d$. Chọn $d$ sao cho ${B}'{C}’=BC$.
Lời giải
a. Ta có điểm $A\in a$ và $A\in \left( P \right)$, do đó hình chiếu song song của $A$ trên $\left( P \right)$ theo phương $d$ nào đó cũng là điểm $A$. Mà hình chiếu song song của đường thẳng $a$ trên $\left( P \right)$ là ${a}’$. Vậy $A\in {a}’$.
b. Nếu ${B}'{C}’=BC$ thì tứ giác $BC{C}'{B}’$ là hình thang cân cạnh đáy bằng $B{B}’$ và $C{C}’$. Do đó $A{B}’=AB$. Lấy điểm ${B}’$ trên $\left( P \right)$ sao cho $A{B}’$ và chọn phương $d$ song song với $B{B}’$.
Bài tập 2:
Gọi $S$ là một điểm nằm ngoài mặt phẳng $\left( P \right)$ chứa tam giác $ABC$. $G$ là trọng tâm của tam giác $SAB$.
a. Tìm ảnh của $G$ trong phép chiếu song song trên mặt phẳng $\left( P \right)$ theo phương $SC$.
b. Gọi $M,N,E$ lần lượt là trung điểm của $SA,SB,SC$. Tìm ảnh của $MN$ và của tam giác $MNE$ trong phép chiếu song song trên mặt phẳng $\left( P \right)$ theo phương $SC$.
d. Tìm ảnh của tam giác $MNE$ trong phép chiếu song song trên $\left( P \right)$ theo phương trung tuyến $SI$ của tam giác $SAB$.
Lời giải
a. Dựa vào tỉ số trọng tâm tam giác suy ra:
Anhr của $G$ trong phép chiếu song song trên mặt phẳng $\left( P \right)$ theo phương $SC$ là trọng tâm của tam giác $ABC$.
b. Gọi ${M}'{N}’$ lần lượt là trung điểm của $CA$ và $CB$. Suy ra ảnh của $MN$ và của tam giác $MNE$ trong phép chiếu song song trên mặt phẳng $\left( P \right)$ theo phương $SC$ lần lượt là ${M}'{N}’$ và tam giác ${M}'{N}’C$.
c. Từ $M,N,E$ và các đường thẳng song song với $SI$ cắt $AB$ tại $H,K$ cắt $CI$ tại $F$.
Suy ra $H,K,F$ lần lượt là trung điểm của $AI,BI,CI$.
Ảnh của tam giác $MNE$ trong phép chiếu song song trên $\left( P \right)$ theo phương trung tuyến $SI$ là tam giác $HKE$.
Bài tập 3:
Cho hình hộp chữ nhật $ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}’$. Gọi $O=AC\cap BD$ và ${O}’={A}'{C}’\cap {B}'{D}’$. Điểm $M,$$N$ lần lượt là trung điểm của $AB$ và $CD.$ Qua phép chiếu song song theo phương $A{O}’$ lên mặt phẳng $\left( ABCD \right)$ thì hình chiếu của tam giác ${C}’MN$ là
A. Đoạn thẳng $MN$. B. Điểm $O$. C. Tam giác $CMN$. D. Đoạn thẳng $BD$.
Lời giải
Ta có: ${O}'{C}’=AO$ và ${O}'{C}’||AO$ nên tứ giác ${O}'{C}’OA$ là hình bình hành $\Rightarrow {O}’A||{C}’O$.
Do đó hình chiếu của điểm ${O}’$ qua phép chiếu song song theo phương ${O}’A$ lên mặt phẳng $\left( ABCD \right)$ là điểm $O.$
Mặt khác điểm $M$ và $N$ thuộc mặt phẳng $\left( ABCD \right)$ nên hình chiếu của $M$ và $N$ qua phép chiếu song song theo phương ${O}’A$ lên mặt phẳng $\left( ABCD \right)$ lần lượt là điểm $M$ và $N.$
Vậy qua phép chiếu song song theo phương $A{O}’$ lên mặt phẳng $\left( ABCD \right)$ thì hình chiếu của tam giác ${C}’MN$ là đoạn thẳng $MN$.
Do đó, đáp án đúng nhất mà ta chọn được chính là A.
Bài tập 4:
Cho hình hộp $ABCD.A’B’C’D’$. Xác định các điểm $M,N$ tương ứng trên các đoạn $AC’,B’D’$ sao cho $MN$ song song với $BA’$ và tính tỉ số $\frac{MA}{MC’}$.
A. 2 B. 3 C. 4 D. 1
Lời giải
Xét phép chiếu song song lên mặt phẳng $\left( A’B’C’D’ \right)$ theo phương chiếu $BA’$. Ta có $N$ là ảnh của $M$ hay $M$ chính là giao điểm của $B’D’$ và ảnh $AC’$ qua phép chiếu này. Do đó ta xác định $M,N$ như sau:
Trên $A’B’$ kéo dài lấy điểm $K$ sao cho $A’K=B’A’$ thì $ABA’K$ là hình bình hành nên $AK//BA’$ suy ra $K$ là ảnh của $A$ trên $AC’$ qua phép chiếu song song.
Gọi $N=B’D’\cap KC’$. Đường thẳng qua $N$ và song song với $AK$ cắt $AC’$ tại $M$. Ta có $M,N$ là các điểm cần xác định.
Theo định lí Thales, ta có $\frac{MA}{MC’}=\frac{NK}{NC’}=\frac{KB’}{C’D’}=2$.
Do đó, đáp án đúng nhất mà ta chọn được chính là A.
Bài tập 5:
Cho hình hộp $ABCD.A’B’C’D’$. Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của $CD$ và $CC’$.
a) Xác định đường thẳng $\Delta $ đi qua $M$ đồng thời cắt $AN$ và $A’B$.
b) Gọi $I,J$ lần lượt là giao điểm của $\Delta $ với $AN$ và $A’B$. Hãy tính tỉ số $\frac{IM}{IJ}$.
A. 2 B. 3 C. 4 D. 1
Lời giải
a) Giả sử đã dựng được đường thẳng $\Delta $ cắt cả $AN$ và $BA’$. Gọi $I,J$ lần lượt là giao điểm của $\Delta $ với $AN$ và $BA’$.
Xét phép chiếu song song lên $\left( ABCD \right)$theo phương chiếu $A’B$. Khi đó ba điểm $J,I,M$ lần lượt có hình chiếu là $B,I’,M$. Do $J,I,M$ thẳng hàng nên $B,I’,M$ cũng thẳng hàng. Gọi $N’$ là hình chiếu của $N$ thì $An’$ là hình chiếu của $AN$. Vì $I\in AN\Rightarrow I’\in AN’\Rightarrow I’=BM\cap AN’$.
Từ phân tích trên suy ra cách dựng:
– Lấy $I’=AN’\cap BM$.
– Trong $\left( ANN’ \right)$ dựng $II’\parallel NN’$( đã có $NN’\parallel CD’$) cắt $AN$ tại $I$.
– Vẽ đường thẳng $MI$, đó chính là đường thẳng cần dựng.
b) Ta có $MC=CN’$ suy ra $MN’=CD=AB$. Do đó $I’$ là trung điểm của $BM$. Mặt khác $II’\parallel JB$ nên $II’$ là đường trung bình của tam giác $MBJ$, suy ra $IM=IJ\Rightarrow \frac{IM}{IJ}=1$.
Do đó, đáp án đúng nhất mà ta chọn được chính là D.
Bài tập 6:
Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào sai?
A. Hình chiếu song song của hai đường thẳng chéo nhau có thể song song với nhau.
B. Một đường thẳng có thể trùng với hình chiếu của nó.
C. Hình chiếu song song của hai đường thẳng chéo nhau có thể trùng nhau.
D. Một tam giác bất kỳ đều có thể xem là hình biểu diễn của một tam giác cân.
Lời giải.
Phương án A: Đúng vì khi đó hình chiếu của chúng cùng nằm trên một mặt phẳng.
Phương án B: Đúng vì mặt phẳng chiếu chứa đường thẳng đã cho.
Phương án C: Sai vì hình chiếu của chúng chỉ có thể song song hoặc cắt nhau.
Phương án D: Đúng – tính chất phép chiếu song song.
Do đó, đáp án đúng nhất mà ta chọn được chính là C.
Bài tập 7:
Khẳng định nào sau đây đúng?
A. Hình chiếu song song của hình lập phương $ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}’$theo phương $A{A}’$ lên mặt phẳng $\left( ABCD \right)$ là hình bình hành.
B. Hình chiếu song song của hình lập phương $ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}’$theo phương $A{A}’$ lên mặt phẳng $\left( ABCD \right)$ là hình vuông.
C. Hình chiếu song song của hình lập phương $ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}’$theo phương $A{A}’$ lên mặt phẳng $\left( ABCD \right)$ là hình thoi.
D. Hình chiếu song song của hình lập phương $ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}’$theo phương $A{A}’$ lên mặt phẳng $\left( ABCD \right)$ là một tam giác.
Lời giải.
Qua phép chiếu song song đường thẳng $A{A}’$ lên mặt phẳng $\left( ABCD \right)$ sẽ biến ${A}’$ thành $A$, biến ${B}’$ thành $B$, biến ${C}’$ thành $C$, biến ${D}’$ thành $D$. Nên hình chiếu song song của hình lập phương $ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}’$ là hình vuông.
Do đó, đáp án đúng nhất mà ta chọn được chính là B.
Bài tập 8:
Cho tam giác $ABC$ ở trong mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ và phương $l$. Biết hình chiếu (theo phương $l$) của tam giác $ABC$ lên mặt phẳng $\left( P \right)$ là một đoạn thẳng. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. $\left( \alpha \right)\,\text{//}\,\left( P \right)$. B. $\left( \alpha \right)\,\equiv \,\left( P \right)$.
C. $\left( \alpha \right)\,\text{//}\,l$ hoặc $\left( \alpha \right)\,\supset \,l$. D. A, B, C đều sai.
Lời giải.
Phương án A: Hình chiếu của tam giác $ABC$ vẫn là một tam giác trên mặt phẳng $\left( P \right)$.
Phương án B: Hình chiếu của tam giác $ABC$ vẫn là tam giác $ABC$.
Phương án C: Khi phương chiếu $l$ song song hoặc được chứa trong mặt phẳng $\left( \alpha \right)$. Thì hình chiếu của tam giác là đoạn thẳng trên mặt phẳng $\left( P \right)$. Nếu giao tuyến của hai mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ và $\left( P \right)$ là một trong ba cạnh của tam giác $ABC$.
Do đó, đáp án đúng nhất mà ta chọn được chính là C.
Như vậy bên trên là tất cả những thông tin cần thiết về lý thuyết cũng như các bài tập về phép chiếu song song và hình biểu diễn của một hình không gian lớp 11 có lời giải mà các bạn không nên bỏ qua. Nếu như bạn có thắc mắc hay cần hỗ trợ về giáo án phép chiếu song song là gì thì đừng ngần ngại mà không liên hệ ngay với chúng tôi để nhận được sự trợ giúp sớm nhất có thể nhé!